ในการวิเคราะห์เชิงจริงอินทิกรัลของดาร์บูซ์ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ผลรวมของดาร์บูซ์และเป็นหนึ่งในนิยามที่เป็นไปได้ของอินทิกรัลของฟังก์ชัน อินทิกรัล ของดาร์บูซ์เทียบเท่ากับอินทิกรัลของรีมันน์ หมายความว่าฟังก์ชันสามารถหาอินทิกรัลของดาร์บูซ์ได้ก็ต่อเมื่อสามารถหาอินทิกรัลของรีมันน์ได้ และค่าของอินทิกรัลทั้งสอง ถ้ามีอยู่ จะเท่ากัน^{[ 1 ]}นิยามของอินทิกรัลของดาร์บูซ์มีข้อดีคือใช้งานง่ายกว่าในการคำนวณหรือพิสูจน์เมื่อเทียบกับอินทิกรัลของรีมันน์ ดังนั้น ตำราเบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัสและการวิเคราะห์เชิงจริงมักจะพัฒนาการหาอินทิกรัลของรีมันน์โดยใช้อินทิกรัลของดาร์บูซ์ แทนที่จะใช้อินทิกรัลของรีมันน์ที่แท้จริง^{[ 2 ]} ยิ่งไปกว่านั้น นิยามนี้ยังสามารถขยายไปสู่การกำหนดอินทิกรัลของรีมันน์-สตีลต์เจสได้ อย่างง่ายดาย ^{[ 3 ]} อินทิกรัลของดาร์บูซ์ตั้งชื่อตามผู้คิดค้นคือกาสตง ดาร์บูซ์ (ค.ศ. 1842–1917)

นิยามของปริพันธ์ดาร์บูซ์พิจารณาปริพันธ์บนและปริพันธ์ล่าง (ดาร์บูซ์)ซึ่งมีอยู่สำหรับฟังก์ชันค่าจริง ที่ มีขอบเขต ใดๆ${\displaystyle f}$ในช่วงเวลา${\displaystyle [a,b].}$อินทิกรัล ของดาร์บูซ์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่ออินทิกรัลบนและอินทิกรัลล่างเท่ากันอินทิกรัลบนและอินทิกรัลล่างนั้นเป็นค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดตาม ลำดับของผล รวมบนและผลรวมล่าง (ดาร์บูซ์)ซึ่งประมาณค่าเกินและประมาณค่าต่ำกว่า "พื้นที่ใต้เส้นโค้ง" ตามลำดับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับการแบ่งช่วงของการอินทิเกรตที่กำหนด ผลรวมบนและผลรวมล่างจะบวกพื้นที่ของส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูงเป็นค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดตามลำดับของfในแต่ละช่วงย่อยของการแบ่งช่วง แนวคิดเหล่านี้จะอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้นด้านล่าง:

ผลรวมของดาร์บูซ์

การแบ่งช่วง${\displaystyle [a,b]}$เป็นลำดับของค่าที่จำกัด${\displaystyle x_{i}}$โดยที่

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}$

แต่ละช่วงเวลา${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$เรียกว่าช่วงย่อยของพาร์ทิชัน ให้${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต และให้

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$

เป็นส่วนหนึ่งของ${\displaystyle [a,b]}$. อนุญาต

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

ผลรวมดาร์บูซ์บนของ${\displaystyle f}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle P}$เป็น

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

ผลรวมดาร์บูซ์ล่างของ${\displaystyle f}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle P}$เป็น

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

ผลรวมดาร์บูซ์ล่างและผลรวมดาร์บูซ์บน มักถูกเรียกว่าผลรวมล่างและผลรวมบน

• สำหรับพาร์ทิชันใดๆ ผลรวมดาร์บูซ์บนจะมากกว่าหรือเท่ากับผลรวมดาร์บูซ์ล่างเสมอ ยิ่งไปกว่านั้น ผลรวมดาร์บูซ์ล่างมีขอบเขตล่างโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง ( b − a ) และความสูง inf( f ) ที่ครอบคลุมช่วง [ a , b ] ในทำนองเดียวกัน ผลรวมบนมีขอบเขตบนโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง ( b − a ) และความสูง sup( f )

  ${\displaystyle (ba)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (ba)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

• อินทิกรัลดาร์บูซ์ล่างและบนเป็นไปตามเงื่อนไข

  ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$

• กำหนดให้c ใดๆ ใน ( a , b )

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• อินทิกรัลดาร์บูซ์ล่างและบนไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงเส้นเสมอไป สมมติว่าg :[ a , b ] → Rก็เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตเช่นกัน ดังนั้นอินทิกรัลบนและล่างจะสอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}$

• สำหรับค่าคงที่c ≥ 0 เราจะได้ว่า

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• สำหรับค่าคงที่c ≤ 0 เราจะได้ว่า

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• พิจารณาฟังก์ชัน

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$

ดังนั้นFจึงเป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์ต่อเนื่องผลลัพธ์ที่เหมือนกันนี้ยังคงใช้ได้หากนิยามF โดยใช้ปริพันธ์ดาร์บูซ์บน

การปรับปรุงการแบ่งส่วนให้ ดียิ่งขึ้น${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$เป็นพาร์ติชัน${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$โดยที่สำหรับทุกi = 0, …, nจะมีจำนวนเต็มr ( i ) อยู่จริง ซึ่ง

${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากต้องการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้น ให้แบ่งช่วงย่อยออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ และอย่าลบส่วนที่แบ่งไว้แล้วออก

ถ้า${\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}$เป็นการปรับปรุงของ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}$แล้ว

${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$

และ

${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}$

ถ้าP และP เป็นการแบ่งช่วงสองช่วงของช่วงเดียวกัน (ช่วงหนึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นการแบ่งย่อยของอีกช่วงหนึ่ง) แล้ว

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}$

และเป็นผลสืบเนื่องมาจาก

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}$

ผลรวมรีมันน์จะอยู่ระหว่างผลรวมดาร์บูซ์ล่างและผลรวมดาร์บูซ์บนที่สอดคล้องกันเสมอ กล่าวคือ ถ้า${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$และ${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$รวมกันแล้วสร้างพาร์ติชันที่มีแท็ก

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}$

(เช่นเดียวกับในนิยามของปริพันธ์รีมันน์ ) และถ้าผลรวมรีมันน์ของ${\displaystyle f}$เท่ากับ${\displaystyle R_{f,P}}$ซึ่งสอดคล้องกับPและTแล้ว

${\displaystyle L_{f,P}\leq R_{f,P}\leq U_{f,P}.}$

จากข้อเท็จจริงก่อนหน้านี้ อินทิกรัลของรีมันน์มีความเข้มแข็งอย่างน้อยก็เท่ากับอินทิกรัลของดาร์บูซ์: ถ้าอินทิกรัลของดาร์บูซ์มีอยู่จริง ผลรวมของดาร์บูซ์บนและล่างที่สอดคล้องกับพาร์ทิชันที่ละเอียดเพียงพอจะใกล้เคียงกับค่าของอินทิกรัล ดังนั้นผลรวมของรีมันน์ใดๆ บนพาร์ทิชันเดียวกันก็จะใกล้เคียงกับค่าของอินทิกรัลเช่นกัน มีพาร์ทิชันที่มีป้ายกำกับ (ดูด้านล่าง) ที่เข้าใกล้ค่าของอินทิกรัลของดาร์บูซ์บนหรืออินทิกรัลของดาร์บูซ์ล่างอย่างไม่จำกัด และด้วยเหตุนี้ ถ้าอินทิกรัลของรีมันน์มีอยู่จริง อินทิกรัลของดาร์บูซ์ก็ต้องมีอยู่จริงเช่นกัน

รายละเอียดเกี่ยวกับการค้นหาแท็ก

ในการพิสูจน์นี้ เราจะใช้ตัวยกเพื่อระบุหมายเลขดัชนี${\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}$และตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนั้น อนุญาต${\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}$เป็นลำดับของการแบ่งพาร์ติชันแบบสุ่มของ${\displaystyle [a,b]}$โดยที่${\displaystyle \|P_{n}\|\to 0}$ซึ่งยังไม่ได้กำหนดแท็ก ตามนิยามของค่าต่ำสุด (infimum) สำหรับค่าใดๆ${\displaystyle \epsilon >0}$เราสามารถหาเจอได้เสมอ${\displaystyle t_{i}^{(n)}\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}$ โดยที่${\displaystyle \inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)\geq f(t_{i}^{(n)})-\epsilon .}$ ดังนั้น, ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i}^{(n)})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\left(\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)+\epsilon \right)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\ \ \ \\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\sum _{i=0}^{N-1}\epsilon (x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\epsilon (b-a).\end{aligned}}}$ อนุญาต${\displaystyle \epsilon =1/n(b-a)}$เรามี ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i}^{(n)})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+{\frac {1}{n}}\\&=&L_{f,P^{(n)}}+{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$ เมื่อพิจารณาขีดจำกัดของทั้งสองด้านแล้ว ${\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}=\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i}^{(n)})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}$ ในทำนองเดียวกัน (โดยใช้ลำดับแท็กที่แตกต่างกัน) ${\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}\geq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}$ ดังนั้น เราจึงมี ${\displaystyle R_{f}\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}\leq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}\leq R_{f},}$ ซึ่งหมายความว่าปริพันธ์ดาร์บูซ์มีอยู่และเท่ากับ${\displaystyle R_{f}}$.

• อินทิกรัลที่ควบคุม
• การบูรณาการเลเบสก์
• สี่เหลี่ยมล้อมรอบขั้นต่ำ