IM 67118
Clay tablet, IM 67118, mathematical, geometric-algebraic, similar to the Pythagorean theorem. From Tell al-Dhabba'i, Iraq. 2003-1595 BCE. Iraq Museum
Height	11.5 cm
Width	6.8 cm
Created	c. 1770 BC
Discovered	1962Baghdad, Baghdad Governorate, Iraq
Present location	Baghdad, Baghdad Governorate, Iraq
Language	Akkadian

IM 67118, also known as Db₂-146, is an Old Babylonianclay tablet in the collection of the Iraq Museum that contains the solution to a problem in plane geometry concerning a rectangle with given area and diagonal. In the last part of the text, the solution is proved correct using the Pythagorean theorem. The steps of the solution are believed to represent cut-and-paste geometry operations involving a diagram from which, it has been suggested, ancient Mesopotamians might, at an earlier time, have derived the Pythagorean theorem.

The tablet was excavated in 1962 at Tell edh-Dhiba'i, an Old Babylonian settlement near modern Baghdad that was once part of the kingdom of Eshnunna, and was published by Taha Baqir in the same year.^[1][2] It dates to approximately 1770 BCE (according to the middle chronology), during the reign of Ibal-pi-el II, who ruled Eshnunna at the same time that Hammurabi ruled Babylon.^[3] The tablet measures 11.5 cm × 6.8 cm × 3.3 cm (4+1⁄2 in × 2+3⁄4 in × 1+1⁄4 in).^[4] Its language is Akkadian, written in cuneiform script. There are 19 lines of text on the tablet's obverse and six on its reverse. The reverse also contains a diagram consisting of the rectangle of the problem and one of its diagonals. Along that diagonal is written its length in sexagesimal notation; the area of the rectangle is written in the triangular region below the diagonal.^[5]

In modern mathematical language, the problem posed on the tablet is the following: a rectangle has area A = 0.75 and diagonal c = 1.25. What are the lengths a and b of the sides of the rectangle?

วิธีแก้ปัญหาสามารถเข้าใจได้ว่าดำเนินการเป็นสองขั้นตอน: ในขั้นตอนที่ 1 ปริมาณจะถูกคำนวณได้เป็น 0.25 ในขั้นตอนที่ 2 วิธีการของบาบิโลนโบราณที่ได้รับการรับรองอย่างดีในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จะถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาระบบสมการb  −  a  = 0.25, ab  = 0.75 ^{[ 6 ]} ในทางเรขาคณิต นี่คือปัญหาของการคำนวณความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่Aและผลต่างความยาวด้านb − aที่ทราบ ซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ในคณิตศาสตร์บาบิโลนโบราณ^{[ 7 ]} ในกรณีนี้พบว่าb  = 1 และa  = 0.75 วิธีการแก้ปัญหาชี้ให้เห็นว่าผู้ที่คิดค้นวิธีแก้ปัญหานั้นใช้คุณสมบัติc ²  − 2 A  =  c ²  − 2 ab  = ( b  −  a ) ²อย่างไรก็ตาม ต้องเน้นย้ำว่าสัญลักษณ์สมัยใหม่สำหรับสมการและการปฏิบัติในการแสดงพารามิเตอร์และตัวแปรที่ไม่ทราบค่าด้วยตัวอักษรนั้นไม่เคยได้ยินมาก่อนในสมัยโบราณ ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางแล้ว อันเป็นผลมาจาก การวิเคราะห์คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บาบิโลนโบราณอย่างละเอียดของ Jens Høyrupว่าเบื้องหลังขั้นตอนในข้อความต่างๆ เช่น IM 67118 นั้นคือชุดของการดำเนินการทางเรขาคณิตแบบตัดและวางมาตรฐาน ไม่ใช่พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle {\sqrt {c^{2}-2A}}}$

จากคำศัพท์ของวิธีแก้ปัญหา Høyrup สรุปได้ว่าc ²ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของแนวทแยงมุมนั้น จะต้องเข้าใจว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสทางเรขาคณิต ซึ่งพื้นที่เท่ากับ 2 Aจะถูก "ตัดออก" นั่นคือ ถูกลบออกไป เหลือไว้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวb  −  a Høyrup แนะนำว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนแนวทแยงมุมนั้นอาจเกิดจากการทำสำเนาสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่ชุด โดยแต่ละชุดหมุนไป 90° และพื้นที่ 2 A นั้น คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่บรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนแนวทแยงมุม ส่วนที่เหลือคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ ตรงกลางรูป^{[ 10 ]}

ขั้นตอนทางเรขาคณิตสำหรับการคำนวณความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่Aและผลต่างความยาวด้านb  −  aที่กำหนดให้ คือ การแปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้เป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่Aโดยการตัดชิ้นส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดa × ½( b  −  a ) ออก แล้วนำชิ้นส่วนนี้ไปติดไว้ที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นจึงเติมสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่มีด้านยาว ½( b  −  a ) เข้าไปในรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสจนสมบูรณ์^{[ 11 ] [ 7 ]} ในปัญหานี้ ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์จะคำนวณได้เป็น จากนั้น จึงนำ ค่า ½( b  −  a ) = 0.125 ไปบวกกับด้านแนวนอนของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วลบออกจากด้านแนวตั้ง ส่วนของเส้นตรงที่ได้จะเป็นด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ต้องการ^{[ 11 ]}${\displaystyle {\sqrt {A+{\tfrac {1}{4}}(b-a)^{2}}}={\sqrt {0.75+0.015625}}=0.875}$

ความยากลำบากประการหนึ่งในการสร้างแผนภาพเรขาคณิตบาบิโลนโบราณขึ้นใหม่คือ แท็บเล็ตที่รู้จักไม่เคยรวมแผนภาพไว้ในคำตอบ แม้แต่ในคำตอบทางเรขาคณิตที่มีการอธิบายการสร้างอย่างชัดเจนในข้อความก็ตาม แม้ว่าแผนภาพมักจะรวมอยู่ในสูตรของปัญหา Høyrup โต้แย้งว่าเรขาคณิตแบบตัดแปะจะทำในสื่ออื่นที่ไม่ใช่ดินเหนียว อาจจะเป็นทรายหรือบน "ลูกคิดฝุ่น" อย่างน้อยในระยะแรกของการฝึกฝนของอาลักษณ์ก่อนที่ความสามารถทางจิตในการคำนวณทางเรขาคณิตจะได้รับการพัฒนา^{[ 12 ] [ 13 ]}

Friberg does describe some tablets containing drawings of "figures within figures", including MS 2192, in which the band separating two concentric equilateral triangles is divided into three trapezoids. He writes, "The idea of computing the area of a triangular band as the area of a chain of trapezoids is a variation on the idea of computing the area of a square band as the area of a chain of four rectangles. This is a simple idea, and it is likely that it was known by Old Babylonian mathematicians, although no cuneiform mathematical text has yet been found where this idea enters in an explicit way." He argues that this idea is implicit in the text of IM 67118.^[14] He also invites a comparison with the diagram of YBC 7329, in which two concentric squares are shown. The band separating the squares is not subdivided into four rectangles on this tablet, but the numerical value of the area of one of the rectangles area does appear next to the figure.^[15]

The solution b = 1, a = 0.75 is proved correct by computing the areas of squares with the corresponding side-lengths, adding these areas, and computing the side-length of the square with the resulting area, that is, by taking the square root. This is an application of the Pythagorean theorem, ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, and the result agrees with the given value, c = 1.25.^[11][16] That the area is also correct is verified by computing the product, ab.^[11]

คำแปลต่อไปนี้จัดทำโดย Britton, ProustและShniderโดยอิงจากคำแปลของ Høyrup ^{[ 17 ]}ซึ่งอิงจากสำเนาด้วยมือและการถอดเสียงของ Baqir ^{[ 18 ]}โดยมีการแก้ไขเล็กน้อย ตัวเลข ฐานหกสิบ ของบาบิโลน ถูกแปลเป็นสัญกรณ์ฐาน 60 โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ดังนั้น 1.15 หมายถึง 1 + 15/60 = 5/4 = 1.25 โปรดทราบว่าไม่มี "จุดฐานหกสิบ" ในระบบบาบิโลน ดังนั้นกำลังโดยรวมของ 60 ที่คูณกับตัวเลขจึงต้องอนุมานจากบริบท การแปลเป็นแบบ "สอดคล้อง" ซึ่งตามที่Eleanor Robson อธิบายไว้ว่า "เกี่ยวข้องกับการแปลคำศัพท์ทางเทคนิคของบาบิโลนอย่างสม่ำเสมอด้วยคำศัพท์ภาษาอังกฤษที่มีอยู่หรือคำศัพท์ใหม่ที่ตรงกับความหมายดั้งเดิมให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้" นอกจากนี้ยังรักษา ลำดับคำ ของภาษา อัค คาเดียน ไว้ด้วย^{[ 9 ]}คณิตศาสตร์บาบิโลนโบราณใช้คำที่แตกต่างกันสำหรับการคูณขึ้นอยู่กับบริบททางเรขาคณิตพื้นฐาน และเช่นเดียวกันสำหรับการดำเนินการทางเลขคณิตอื่นๆ^{[ 19 ]}

ด้านหน้า

1. ถ้ามีคนถามคุณเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทแยงมุม
2. ดังนั้น 1,15 คือเส้นทแยงมุม, 45 คือพื้นผิว;
3. ความยาวและความกว้างสอดคล้องกับอะไร? คุณเอง ด้วยการกระทำของคุณ...
4. 1,15 เส้นทแยงมุมของคุณ เส้นตรงข้ามวางลง:
5. ทำให้พวกมันคงอยู่: 1, 33, 45 ปรากฏขึ้น
6. 1,33,45 อาจ (?) มือของคุณ (?) จับ (?)
7. 45 พื้นผิวของคุณไปยังสองสิ่งที่นำมา: 1.30 ปรากฏขึ้น
8. จากการตัด 1,33,45 ออก: 3,45 ^{[ 20 ]}ส่วนที่เหลือ
9. ด้านเท่ากันของ 3.45 คือ 15 ส่วนครึ่งของมันคือ...
10. 7.30 ขึ้นมา เพิ่มขึ้นเป็น 7.30: 56.15 ขึ้นมา
11. 56,15 มือของคุณ 45 พื้นผิวเหนือมือของคุณ
12. เลข 45, 56, 15 ปรากฏขึ้น ด้านเท่ากันของ 45, 56, 15 คือ:
13. 52,30 ปรากฏขึ้น 52,30 ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามวางลง
14. 7.30 ซึ่งคุณได้ยึดไว้หนึ่ง
15. เพิ่ม: จากหนึ่ง
16. ตัดออก ความยาว 1 หน่วย ความกว้าง 45 หน่วย ถ้าความยาว 1 หน่วย
17. 45 ความกว้าง พื้นผิว และเส้นทแยงมุม สอดคล้องกับอะไร?
18. (คุณด้วยการกระทำของคุณ) ทำให้ความยาวคงอยู่:
19. (ข้อ 1 ปรากฏขึ้น...) ขอให้ท่านเข้มแข็ง

ย้อนกลับ

20. [...]: 45 ความกว้าง ทำให้ยึดไว้:
21. 33.45 ปรากฏขึ้น เพิ่มความยาวตามต้องการ:
22. ได้ผลลัพธ์เป็น 1,33,45 ด้านเท่ากันของ 1,33,45 คือ:
23. 1.15 ปรากฏขึ้น 1.15 คือเส้นทแยงมุมของคุณ ความยาวของคุณ
24. เพื่อปรับความกว้างให้เพิ่มขึ้น 45 องศาบนพื้นผิวของคุณ
25. ดังนั้นขั้นตอน^{[ 21 ]}

โจทย์ปัญหาจะระบุไว้ในบรรทัดที่ 1–3 ขั้นตอนที่ 1 ของวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในบรรทัดที่ 3–9 ขั้นตอนที่ 2 ของวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในบรรทัดที่ 9–16 และการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในบรรทัดที่ 16–24 โปรดทราบว่า "1,15 เส้นทแยงมุมของคุณ วางคู่ตรงข้ามลง: ทำให้มันยึด" หมายถึงการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยการวางสำเนาที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุม "ด้านเท่ากัน" คือด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรากที่สองของพื้นที่ "ขอให้หัวของคุณยึด" หมายถึงการจดจำ และ "มือของคุณ" อาจหมายถึง "แผ่นรองหรืออุปกรณ์สำหรับการคำนวณ" ^{[ 11 ]}

ปัญหาข้อที่ 2 บนแผ่นจารึก MS 3971 ในชุดสะสม Schøyenซึ่งตีพิมพ์โดย Friberg นั้นเหมือนกับปัญหาบน IM 67118 วิธีแก้ปัญหานั้นคล้ายกันมาก แต่ดำเนินการโดยการเพิ่ม 2 Aให้กับc ²แทนที่จะลบออก ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้จะเท่ากับb  +  a = 1.75 ในกรณีนี้ ระบบสมการb  +  a  = 1.75, ab  = 0.75 จะถูกแก้โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์อีกครั้ง MS 3971 ไม่มีแผนภาพและไม่ได้ทำขั้นตอนการตรวจสอบ ภาษาของมัน "กระชับ" และใช้สัญลักษณ์ภาพสุเมเรียน จำนวนมาก เมื่อเปรียบเทียบกับ IM 67118 ที่ "เยิ่นเย้อ" ซึ่งอยู่ในภาษาอัคคาเดียนแบบพยางค์^{[ 22 ]} Friberg เชื่อว่าข้อความนี้มาจากUrukทางตอนใต้ของอิรักและกำหนดอายุไว้ก่อน 1795 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 23 ]}

Friberg ชี้ให้เห็นปัญหาที่คล้ายกันในปาปิรัสภาษาเดโมติกของอียิปต์ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชP. Cairoปัญหาที่ 34 และ 35 ซึ่งตีพิมพ์โดย Parker ในปี 1972 ^{[ 24 ]} Friberg ยังเห็นความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้กับคำอธิบายของ AA Vaiman เกี่ยวกับรายการในตารางค่าคงที่ของบาบิโลนโบราณ TMS 3 ซึ่งอ่านว่า "57 36 ค่าคงที่ของ šàr" Vaiman ตั้งข้อสังเกตว่าสัญลักษณ์อักษรลิ่มสำหรับ šàr มีลักษณะคล้ายโซ่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่จัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังเช่นในรูปที่เสนอ พื้นที่ของโซ่ดังกล่าวคือ 24/25 (เท่ากับ 57 36 ในระบบเลขฐานหกสิบ) หากสมมติว่ามีสามเหลี่ยมมุมฉาก 3-4-5 รูป โดยด้านตรงข้ามมุมฉากมีความยาวเท่ากับ 1 ^{[ 24 ]} Høyrup เขียนว่าปัญหาของ IM 67118 "ปรากฏขึ้น โดยได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน ในคู่มือภาษาฮีบรูจาก ค.ศ. 1116" ^{[ 25 ]}

แม้ว่าปัญหาใน IM 67118 จะเกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉพาะ ซึ่งด้านและเส้นทแยงมุมประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3-4-5 ที่ถูกย่อส่วน แต่ภาษาของคำตอบนั้นเป็นแบบทั่วไป โดยมักจะระบุบทบาทเชิงฟังก์ชันของแต่ละตัวเลขตามที่ใช้ ในส่วนหลังของข้อความ จะเห็นการกำหนดสูตรแบบนามธรรมในบางจุด โดยไม่มีการอ้างอิงถึงค่าเฉพาะใดๆ ("ความยาวทำให้คงอยู่", "ความยาวของคุณทำให้ความกว้างเพิ่มขึ้น") Høyrup มองเห็นในสิ่งนี้ "ร่องรอยที่ชัดเจนของ 'กฎพีทาโกเรียน' ในการกำหนดสูตรแบบนามธรรม" ^{[ 26 ]}

วิธีการค้นพบกฎพีทาโกเรียนยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่มีนักวิชาการบางท่านมองเห็นเส้นทางที่เป็นไปได้ในวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้ใน IM 67118 การสังเกตว่าการลบ 2 A ออก จากc ²จะได้ ( b  −  a ) ^{2 นั้น}จำเป็นต้องเสริมด้วยการจัดเรียงพื้นที่ทางเรขาคณิตใหม่ที่สอดคล้องกับa ² , b ²และ −2 A  = −2 abเพื่อให้ได้การพิสูจน์การจัดเรียงใหม่ของกฎ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในยุคปัจจุบัน และยังมีการเสนอแนะในศตวรรษที่ 3 ในคำอธิบายของ Zhao Shuang เกี่ยวกับZhoubi Suanjing ( Gnomon of the Zhou ) ของจีนโบราณ ^{[ 27 ] [ 24 ] [ 28 ] [ 29 ]} การกำหนดสูตรของวิธีแก้ปัญหาใน MS 3971 ปัญหาที่ 2 ซึ่งไม่มีพื้นที่ที่ถูกลบออก ทำให้ได้การพิสูจน์ที่ตรงไปตรงมามากยิ่งขึ้น^{[ 27 ] [ 30 ]}

ฮอยรุปเสนอสมมติฐาน ซึ่งส่วนหนึ่งอิงจากความคล้ายคลึงกันระหว่างโจทย์ปัญหาคำถามที่ปรากฏขึ้นซ้ำๆ ในช่วงเวลาและสถานที่ต่างๆ อย่างกว้างขวาง รวมถึงภาษาและเนื้อหาเชิงตัวเลขของโจทย์ปัญหาเหล่านั้น ว่าเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของอาลักษณ์ชาวบาบิโลนโบราณส่วนใหญ่ถูกนำเข้ามาจากประเพณีของนักสำรวจภาคปฏิบัติ ซึ่งการแก้ปริศนาถูกใช้เป็นเครื่องหมายแสดงถึงทักษะทางวิชาชีพ ฮอยรุปเชื่อว่าวัฒนธรรมนักสำรวจนี้รอดพ้นจากการล่มสลายของวัฒนธรรมอาลักษณ์ชาวบาบิโลนโบราณอันเป็นผลมาจากการพิชิตเมโสโปเตเมียของชาวฮิตไทต์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 16 ก่อนคริสตกาล และมีอิทธิพลต่อคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณ บาบิโลนในสมัยราชวงศ์เซเลวซิด จักรวรรดิอิสลาม และยุโรปยุคกลาง^{[ 31 ]}ในบรรดาปัญหาที่ Høyrup ระบุว่าเป็นประเพณีของนักสำรวจเชิงปฏิบัติ ได้แก่ ปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลายปัญหาที่ต้องทำให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์ รวมถึงปัญหาของ IM 67118 ^{[ 32 ]} โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีการอ้างอิงถึงกฎของพีทาโกรัสในช่วงสหัสวรรษที่สามก่อนคริสต์ศักราช และสูตรของ IM 67118 ได้รับการปรับให้เข้ากับวัฒนธรรมการเขียนแล้ว Høyrup เขียนว่า " เมื่อพิจารณาจากหลักฐานนี้เพียงอย่างเดียวจึงเป็นไปได้ว่ากฎของพีทาโกรัสถูกค้นพบภายในสภาพแวดล้อมของนักสำรวจฆราวาส อาจเป็นผลสืบเนื่องมาจากปัญหาที่กล่าวถึงใน Db ₂ -146 ในช่วงระหว่าง 2300 ถึง 1825 ปีก่อนคริสต์ศักราช" ^{[ 33 ]}ดังนั้น กฎที่ตั้งชื่อตามพีทาโกรัสซึ่งเกิดประมาณ 570 ปีก่อนคริสต์ศักราชและเสียชีวิตประมาณ 495 ปีก่อนคริสต์ศักราช^{[ 34 ]}จึงแสดงให้เห็นว่าถูกค้นพบประมาณ 12 ศตวรรษก่อนการเกิดของเขา

• พลิมป์ตัน 322
• วายบีซี 7289

• The Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI) catalog has entries for tablets discussed in this article:
  • The entry for IM 67118 includes Taha Baqir's hand copy of the tablet and photographs of the tablet.
  • MS 3179
  • MS 2192
• MS 2192 at the Schøyen Collection.
• YBC 7359 at the Yale Babylonian Collection.
• Lion de Tell Harmal (IM 52560), début du IIe millénaire, containing a photograph of the reverse of the tablet and photographs of artifacts from nearby sites.