ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเดอ บรังจ์ ( บางครั้งเขียนว่าปริภูมิเดอ บรังจ์ ) เป็นแนวคิดในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันและสร้างขึ้นจากฟังก์ชันเดอ บรังจ์

แนวคิดนี้ตั้งชื่อตามหลุยส์ เดอ บรองจ์ผู้ซึ่งพิสูจน์ผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับปริภูมิเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฐานะปริภูมิฮิลเบิร์ตและใช้ผลลัพธ์เหล่านั้นเพื่อพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของบีเบอร์บัค

ฟังก์ชันHermite-Biehlerหรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชัน de Brangesคือฟังก์ชันสมบูรณ์Eจาก${\displaystyle \mathbb {C} }$ถึง${\displaystyle \mathbb {C} }$ที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$สำหรับทุกค่าzในครึ่งบนของระนาบเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$.

เมื่อกำหนดฟังก์ชัน Hermite-Biehler Eแล้ว พื้นที่ de Branges B ( E )จะถูกกำหนดให้เป็นเซตของฟังก์ชัน ทั้งหมด Fเช่นนั้น ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B(E)={\bigg \{}F{\text{ is entire }}{\bigg |}{\frac {F}{E}},{\frac {F^{\#}}{E}}\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+}),\int _{\mathbb {R} }{\bigg |}{\frac {F(\lambda )}{E(\lambda )}}{\bigg |}^{2}\mathrm {d} \lambda <\infty {\bigg \}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$คือครึ่งบนที่เปิดโล่งของระนาบเชิงซ้อน
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$.
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$คือ ช่องว่างฮาร์ดีตามปกติบนระนาบครึ่งบนที่เปิดโล่ง

ปริภูมิเดอ บรองจ์ สามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์F ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมด:

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเชิงสัจพจน์ ซึ่งมีประโยชน์ในทฤษฎีตัวดำเนินการ

กำหนดปริภูมิเดอแบรนจ์B ( E ) จง นิยามผลคูณสเกลาร์: $${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าปริภูมิเดอ บรองจ์ที่มีผลคูณเชิงสเกลาร์ดังกล่าวเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต