ในทางคณิตศาสตร์ พหุ นามดิกสัน (Dickson polynomials ) ซึ่งเขียนแทนด้วยD _n ( x , α )เป็นลำดับพหุนามที่LE Dickson  ( 1897 ) นำเสนอ ต่อมา Brewer (1961)ได้ค้นพบพหุนามเหล่านี้อีกครั้งในงานศึกษาผลรวมของ Brewerและบางครั้งก็ถูกเรียกว่าพหุนาม Brewer แม้ว่าจะไม่บ่อยนัก ก็ตาม

บนจำนวนเชิงซ้อน พหุนามดิกสันนั้นโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากับพหุนามเชบิเชฟที่มีการเปลี่ยนตัวแปร และในความเป็นจริง บางครั้งพหุนามดิกสันก็ถูกเรียกว่าพหุนามเชบิเชฟ

โดยทั่วไปแล้ว พหุนามดิกสันจะถูกศึกษาในฟิลด์จำกัดซึ่งบางครั้งอาจไม่เทียบเท่ากับพหุนามเชบิเชฟ เหตุผลหลักประการหนึ่งที่ทำให้เกิดความสนใจในพหุนามดิกสันก็คือ สำหรับค่า α ที่กำหนดไว้ พหุนามดิกสัน ให้ตัวอย่างมากมายของพหุนามการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งเป็นพหุนามที่ทำหน้าที่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของฟิลด์จำกัด

สำหรับจำนวนเต็มn > 0และαในวงแหวนสลับที่Rที่มีเอกลักษณ์ (มักเลือกให้เป็นฟิลด์จำกัดF _q = GF( q ) ) พหุนามดิกสัน (ชนิดแรก) เหนือRจะได้รับจาก^{[ 1 ]}

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

พหุนามดิกสันกลุ่มแรกๆ มีดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ ยังอาจสร้างขึ้นโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับn ≥ 2 ได้อีกด้วย

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นD ₀ ( x , α ) = 2และD ₁ ( x , α ) = x

ค่าสัมประสิทธิ์จะระบุไว้ในหลายตำแหน่งใน OEIS ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}โดยมีความแตกต่างเล็กน้อยสำหรับสองพจน์แรก

พหุนามดิกสันชนิดที่สองE _n ( x , α )ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.}$

พหุนามเหล่านี้ยังไม่ได้รับการศึกษามากนัก และมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับพหุนามดิกสันชนิดแรก พหุนามดิกสันชนิดที่สองกลุ่มแรกๆ ได้แก่

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ ยังอาจสร้างขึ้นโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับn ≥ 2 ได้อีกด้วย

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นE ₀ ( x , α ) = 1และE ₁ ( x , α ) = x

ค่าสัมประสิทธิ์ยังระบุไว้ใน OEIS ด้วย^{[ 6 ] [ 7 ]}

D _nคือพหุนามเอกลักษณ์ที่สอดคล้องกับสมการเชิง ฟังก์ชัน

${\displaystyle D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},}$

โดยที่α ∈ F _qและu ≠ 0 ∈ F _{q ²} . ^{[ 8 ]}

นอกจากนี้พวกเขายังปฏิบัติตามกฎการประกอบอีกด้วย^{[ 8 ]}

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}$

E nยังสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันอีก_ด้วย^{[ 8 ]}

${\displaystyle E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,}$

สำหรับy ≠ 0 , y ² ≠ αโดยที่ α ∈ F _qและy ∈ F _{q ²}

พหุนามดิกสันy = D _nเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,}$

และพหุนามดิกสันy = E _nเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.}$

ฟังก์ชันการกำเนิดพลังงานปกติของพวกมันคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

จากความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น พหุนามดิกสันเป็นลำดับลูคัสโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับα = −1พหุนามดิกสันชนิดแรกเป็น พหุนาม ฟิโบนาชชีและพหุนามดิกสันชนิดที่สองเป็นพหุนามลูคัส

ตามกฎการประกอบข้างต้น เมื่อ α เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ การประกอบพหุนามดิกสันชนิดแรกจะเป็นแบบสลับที่ได้

• พหุนามดิกสันที่มีพารามิเตอร์α = 0จะให้เอกนาม

${\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,.}$

• พหุนามดิกสันที่มีพารามิเตอร์α = 1เกี่ยวข้องกับพหุนามเชบิเชฟT _n ( x ) = cos ( n arccos x )ชนิดแรกโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.}$

• เนื่องจากพหุนามดิกสันD _n ( x , α )สามารถนิยามได้บนริงที่มีตัวผกผันเพิ่มเติม ดังนั้นD _n ( x , α )จึงมักไม่เกี่ยวข้องกับพหุนามเชบิเชฟ

พหุนามการเรียงสับเปลี่ยน (สำหรับฟิลด์จำกัดที่กำหนด) คือพหุนามที่ทำหน้าที่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิกในฟิลด์จำกัดนั้น

พหุนามดิกสันD _n ( x , α) (ถือว่าเป็นฟังก์ชันของxโดยที่ α คงที่) เป็นพหุนามการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับฟิลด์ที่มี องค์ประกอบ qก็ต่อเมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับq ² − 1 ^{[ 9 ]}

Fried (1970)พิสูจน์ว่าพหุนามจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นพหุนามการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับฟิลด์จำนวนเฉพาะอนันต์นั้นเป็นการประกอบกันของพหุนามดิกสันและพหุนามเชิงเส้น (ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ) ข้อกล่าวอ้างนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อสมมติฐานของ Schur แม้ว่าในความเป็นจริง Schur ไม่ได้ตั้งสมมติฐานนี้ขึ้นมาเองก็ตาม เนื่องจากบทความของ Fried มีข้อผิดพลาดมากมายTurnwald (1995) จึงได้แก้ไขบทความ และต่อมาMüller (1997)ได้ให้การพิสูจน์ที่ง่ายกว่าตามแนวทางของ Schur

นอกจากนี้มุลเลอร์ (1997)พิสูจน์ว่าพหุนามการเรียงสับเปลี่ยนใดๆ บนฟิลด์จำกัดF _qที่มีดีกรีเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับqและน้อยกว่าq พร้อมกัน ^{นั้น1/4ต้อง}เป็นการประกอบกันของพหุนามดิกสันและพหุนามเชิงเส้น

พหุนามดิกสันทั้งสองชนิดเหนือฟิลด์จำกัดสามารถคิดได้ว่าเป็นสมาชิกเริ่มต้นของลำดับพหุนามดิกสันทั่วไปที่เรียกว่าพหุนามดิกสันชนิด ที่ ( k + 1) ^{[ 10 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับα ≠ 0 ∈ F _qโดยที่q = p ^e สำหรับจำนวนเฉพาะ pบางตัวและจำนวนเต็มn ≥ 0 ใดๆ และ0 ≤ k < pพหุนามดิกสันชนิดที่( k + 1)ลำดับ ที่ nเหนือF _qซึ่งแสดงด้วยD _{n , k} ( x , α )ถูกกำหนดโดย^{[ 11 ]}

${\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}$

และ

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α )และ D _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α )ซึ่งแสดงให้เห็นว่านิยามนี้รวมและขยายความพหุนามดั้งเดิมของดิกสัน

คุณสมบัติที่สำคัญของพหุนามดิกสันยังขยายความได้ดังนี้: ^{[ 12 ]}

• ความสัมพันธ์เวียนเกิด : สำหรับn ≥ 2 ,

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นD _{0, k} ( x , α ) = 2 − kและD _{1, k} ( x , α ) = x

• สมการเชิงฟังก์ชัน :

${\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

โดยที่y ≠ 0 , y ² ≠ α .

• ฟังก์ชันสร้าง :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.}$