พีชคณิตเชิงผลต่างเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับ สมการเชิงผล ต่าง (หรือสมการเชิงฟังก์ชัน ) จากมุมมองทางพีชคณิต พีชคณิตเชิงผลต่างมีความคล้ายคลึงกับ พีชคณิตเชิงอนุพันธ์แต่เน้นที่สมการเชิงผลต่างมากกว่าสมการเชิงอนุพันธ์โจเซฟ ริตต์และริชาร์ด โคห์น นักศึกษาของเขาได้ริเริ่มสาขาวิชานี้ในฐานะวิชาอิสระ

วงแหวนผลต่างเป็นวงแหวนสลับที่ได้${\displaystyle R}$พร้อมกับเอนโดมอร์ฟิซึมแบบวงแหวน${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$โดยทั่วไปมักสันนิษฐานว่า${\displaystyle \sigma }$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเมื่อ${\displaystyle R}$เป็นสนามที่เราเรียกว่าสนามผลต่างตัวอย่างคลาสสิกของสนามผลต่างคือสนาม${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$ของฟังก์ชันตรรกยะที่มีตัวดำเนินการผลต่าง${\displaystyle \sigma }$มอบให้โดย${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$บทบาทของวงแหวนผลต่างในพีชคณิตผลต่างคล้ายคลึงกับบทบาทของวงแหวนสลับที่ในพีชคณิตสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมอร์ฟิซึมของวงแหวนผลต่างคือมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่สลับที่ได้กับ${\displaystyle \sigma }$พีชคณิตเชิงผลต่างเหนือฟิลด์เชิงผลต่าง${\displaystyle K}$เป็นแหวนที่แตกต่างกัน${\displaystyle R}$ด้วย${\displaystyle K}$โครงสร้าง พีชคณิตเช่นนั้น${\displaystyle K\to R}$เป็นมอร์ฟิซึมของวงแหวนผลต่าง กล่าวคือ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$ขยาย${\displaystyle \sigma \colon K\to K}$พีชคณิตเชิงผลต่างที่เป็นฟิลด์เรียกว่า ส่วน ขยายฟิลด์เชิงผลต่าง

วงแหวนพหุนามผลต่าง${\displaystyle K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$เหนือฟิลด์ความแตกต่าง${\displaystyle K}$ในตัวแปร (ความแตกต่าง)${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$คือวงแหวนพหุนามเหนือ${\displaystyle K}$ในตัวแปรจำนวนอนันต์${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$มันกลายเป็นพีชคณิตเชิงผลต่างเหนือ${\displaystyle K}$โดยการขยาย${\displaystyle \sigma }$จาก${\displaystyle K}$ถึง${\displaystyle K\{y\}}$ตามที่ได้ระบุไว้จากการตั้งชื่อตัวแปร

โดยระบบสมการเชิงผลต่างพีชคณิตเหนือ${\displaystyle K}$หนึ่งหมายถึงเซตย่อยใดๆ${\displaystyle F}$ของ${\displaystyle K\{y\}}$. ถ้า${\displaystyle R}$เป็นพีชคณิตเชิงผลต่างเหนือ${\displaystyle K}$วิธีแก้ปัญหาของ${\displaystyle F}$ใน${\displaystyle R}$เป็น

${\displaystyle \mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{ สำหรับทุก }}f\in F\}.}$

โดยทั่วไปแล้ว เรามักสนใจคำตอบในส่วนขยายของฟิลด์ผลต่างเป็นหลัก${\displaystyle K}$ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$และ${\displaystyle R}$คือขอบเขตของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบน${\displaystyle \mathbb {C} }$ด้วยตัวดำเนินการผลต่าง${\displaystyle \sigma }$มอบให้โดย${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$จากนั้นข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันแกมมา${\displaystyle \Gamma }$สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$สามารถกล่าวใหม่ในเชิงนามธรรมได้ดังนี้${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})}$.

โดยสัญชาตญาณแล้วความหลากหลายเชิงผลต่างเหนือฟิลด์เชิงผลต่าง${\displaystyle K}$คือเซตของคำตอบของระบบสมการเชิงผลต่างพีชคณิตเหนือ${\displaystyle K}$คำจำกัดความนี้จำเป็นต้องมีความแม่นยำมากขึ้นโดยการระบุว่ากำลังมองหาคำตอบอยู่ที่ใด โดยปกติแล้วเราจะมองหาคำตอบในสิ่งที่เรียกว่าตระกูลสากลของการขยายฟิลด์ความแตกต่าง${\displaystyle K}$[ ^{1 ] [ 2 ]}อีกทางเลือกหนึ่ง อาจกำหนดวาไรตี้ความแตกต่างเป็น^{ฟังก์ชัน}จากหมวดหมู่ของส่วนขยายฟิลด์ความแตกต่างของ${\displaystyle K}$ไปยังหมวดหมู่ของเซตซึ่งมีรูปแบบดังนี้${\displaystyle R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)}$สำหรับบางคน${\displaystyle F\subseteq K\{y\}}$.

มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างความหลากหลายเชิงผลต่างที่กำหนดโดยสมการผลต่างเชิงพีชคณิตในตัวแปร${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$และอุดมคติ บางประการ ใน${\displaystyle K\{y\}}$กล่าวคือ อุดมคติความแตกต่างที่สมบูรณ์แบบของ${\displaystyle K\{y\}}$[ ^{3 ]}หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานในพีชคณิตเชิงผลต่างยืนยันว่าทุกสายโซ่ขึ้นของอุดมคติเชิงผลต่างที่สมบูรณ์แบบ^ใน${\displaystyle K\{y\}}$มีค่าจำกัด ผลลัพธ์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อกเชิงความแตกต่างของทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต

พีชคณิตเชิงผลต่างเกี่ยวข้องกับสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย เช่นระบบพลวัต แบบไม่ต่อเนื่อง คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียงทฤษฎีจำนวนหรือทฤษฎีแบบจำลองในขณะที่ปัญหาในชีวิตจริงบางอย่าง เช่นพลวัตของประชากรสามารถจำลองได้ด้วยสมการเชิงผลต่างทางพีชคณิต พีชคณิตเชิงผลต่างยังมีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ อีก ด้วย ตัวอย่างเช่น มีการพิสูจน์สมมติฐาน Manin–Mumfordโดยใช้วิธีการของพีชคณิตเชิงผลต่าง^{[ 4 ]}ทฤษฎีแบบจำลองของฟิลด์เชิงผลต่างได้รับการศึกษาแล้ว

• ผลต่างจำกัด
• ความสัมพันธ์เวียนเกิด
• สมการเชิงฟังก์ชัน
• พีชคณิตเชิงอนุพันธ์

• วิบเมอร์, ไมเคิล (2013). เอกสารประกอบการบรรยาย - สมการเชิงผลต่างพีชคณิต (PDF) .  80 หน้า.
• หน้าแรกของZoé Chatzidakisมีแบบสำรวจออนไลน์หลายฉบับที่พูดคุยเกี่ยวกับ (ทฤษฎีแบบจำลองของ) ฟิลด์ความแตกต่าง