ในทฤษฎีกราฟวงจรในกราฟคือเส้นทางที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีเพียงจุดเริ่มต้นและจุด สุดท้ายเท่านั้น ที่เท่ากันส่วนวงจรแบบมีทิศทางในกราฟแบบมีทิศทาง คือ เส้นทางแบบมีทิศทางที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีเพียงจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายเท่านั้นที่เท่ากัน

กราฟที่ไม่มีวัฏจักรเรียกว่ากราฟอะไซคลิก (acyclic graph ) กราฟทิศทางที่ไม่มีวัฏจักรทิศทางเรียกว่ากราฟทิศทางอะไซคลิก (directed acyclic graph ) กราฟเชื่อมต่อที่ไม่มีวัฏจักรเรียกว่าต้นไม้ (tree )

• วงจร คือ เส้นทางที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายเท่ากัน ( เส้นทางปิด ) ^{[ 1 ]}

ให้G = ( V , E , Φ )เป็นกราฟ วงจรคือเส้นทางที่ไม่ว่างเปล่า( e ₁ , e ₂ , ..., e _n )ที่มีลำดับจุดยอด( v ₁ , v ₂ , ..., v _n , v ₁ )

• วงจรหรือวงจรอย่างง่ายคือวงจรที่v ₁ ,..., v _nแตกต่างกัน^{[ 1 ]}
• nเรียกว่าความยาวของวงจรหรือ ความ ยาวของรอบ

• วงจรทิศทาง คือ เส้นทางทิศทางที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งจุดยอดแรกและจุดยอดสุดท้ายเท่ากัน ( เส้นทางทิศทางปิด ) ^{[ 1 ]}

ให้G = ( V , E , Φ )เป็นกราฟทิศทาง วงจรทิศทางคือเส้นทางทิศทางที่ไม่ว่างเปล่า( e ₁ , e ₂ , ..., e _n )ที่มีลำดับจุดยอด( v ₁ , v ₂ , ..., v _n , v ₁ )

• วงจรทิศทางหรือวงจรทิศทางแบบง่ายคือวงจรทิศทางซึ่งv ₁ ,..., v _nแตกต่างกัน^{[ 1 ]}
• nเรียกว่าความยาวของวงจรทิศทางหรือ ความ ยาวของวัฏจักรทิศทาง

วงจรไร้คอร์ดในกราฟ หรือที่เรียกว่า รู หรือ วงจรเหนี่ยวนำ คือ วงจรที่ไม่มีจุดยอดสองจุดใดในวงจรเชื่อมต่อกันด้วยขอบที่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของวงจรนั้นเอง แอนติรู คือส่วนเติมเต็มของรูในกราฟ วงจรไร้คอร์ดอาจใช้ในการจำแนกลักษณะของกราฟสมบูรณ์ได้โดยทฤษฎีบทกราฟสมบูรณ์แบบเข้มแข็งกราฟจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อไม่มีรูหรือแอนติรูใดที่มีจำนวนจุดยอดเป็นเลขคี่มากกว่าสามกราฟคอร์ดัลซึ่งเป็นกราฟสมบูรณ์ชนิดพิเศษ ไม่มีรูใดที่มีขนาดใหญ่กว่าสาม

เส้นรอบวงของกราฟคือความยาวของวงจรที่สั้นที่สุด ซึ่งวงจรนี้จะต้องไม่มีคอร์ดกรงถูกนิยามว่าเป็นกราฟปกติที่เล็กที่สุดที่มีการรวมกันของดีกรีและเส้นรอบวงที่กำหนดให้

วงจรภายนอก (peripheral cycle ) คือวงจรในกราฟที่มีคุณสมบัติว่า ขอบสองเส้นใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนวงจรนั้น สามารถเชื่อมต่อกันได้ด้วยเส้นทางที่มีจุดยอดภายในหลีกเลี่ยงวงจรนั้น ในกราฟที่ไม่ได้เกิดจากการเพิ่มขอบหนึ่งเส้นเข้าไปในวงจร วงจรภายนอกจะต้องเป็นวงจรเหนี่ยวนำ (induced cycle)

คำว่าวงจรอาจหมายถึงองค์ประกอบของปริภูมิวงจรของกราฟได้เช่นกัน มีปริภูมิวงจรอยู่หลายแบบ แบบละหนึ่งสำหรับฟิลด์สัมประสิทธิ์หรือวงแหวนแต่ละอัน ปริภูมิวงจรที่พบได้บ่อยที่สุดคือปริภูมิวงจรไบนารี (มักเรียกว่าปริภูมิวงจร ) ซึ่งประกอบด้วยเซตของขอบที่มีดีกรีคู่ที่ทุกจุดยอด โดยสร้างปริภูมิเวกเตอร์ เหนือ ฟิลด์สององค์ประกอบตามทฤษฎีบทของเวบเลนองค์ประกอบทุกตัวของปริภูมิวงจรสามารถสร้างขึ้นได้จากการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนของขอบของวงจรแบบง่ายฐานวงจรของกราฟคือเซตของวงจรแบบง่ายที่สร้างฐานของปริภูมิวงจร^{[ 2 ]}

โดยใช้แนวคิดจากโทโพโลยีเชิงพีชคณิตพื้นที่วงจรไบนารีจะขยายไปสู่พื้นที่เวกเตอร์หรือโมดูลเหนือวงแหวน อื่น ๆ เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ หรือจำนวนจริง เป็นต้น^{[ 3 ]}

การมีอยู่ของวงจรในกราฟแบบมีทิศทางและไม่มีทิศทางสามารถกำหนดได้โดยการค้นหาแบบเจาะลึก (DFS) ว่าพบขอบที่ชี้ไปยังบรรพบุรุษของจุดยอดปัจจุบันหรือไม่ (กล่าวคือ มีขอบย้อนกลับ ) ^{[ 4 ]}ขอบย้อนกลับทั้งหมดที่ DFS ข้ามไปเป็นส่วนหนึ่งของวงจร^{[ 5 ]}ในกราฟแบบไม่มีทิศทาง ขอบที่ไปยังโหนดแม่ไม่ควรนับเป็นขอบย้อนกลับ แต่การพบจุดยอดอื่นที่เคยเยี่ยมชมแล้วจะบ่งชี้ถึงขอบย้อนกลับ ในกรณีของกราฟแบบไม่มีทิศทาง จะใช้เวลาเพียงO ( n ) ในการค้นหาวงจรใน กราฟ n จุดยอด เนื่องจาก  มีขอบต้นไม้ได้ มากที่สุดเพียงn − 1 ขอบ

อัลกอริ ทึมการเรียงลำดับเชิงโทโพโลยีจำนวนมากจะตรวจจับวงจรด้วย เนื่องจากวงจรเป็นอุปสรรคต่อการมีอยู่ของลำดับเชิงโทโพโลยี นอกจากนี้ หากกราฟทิศทางถูกแบ่งออกเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาวงจรจะมีอยู่เฉพาะภายในส่วนประกอบเท่านั้น ไม่ใช่ระหว่างส่วนประกอบ เนื่องจากวงจรเชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา^{[ 5 ]}

สำหรับกราฟแบบมีทิศทาง สามารถใช้อัลกอริธึมแบบกระจายที่ใช้ข้อความได้ อัลกอริธึมเหล่านี้อาศัยแนวคิดที่ว่าข้อความที่ส่งโดยจุดยอดในวงจรจะย้อนกลับมาที่จุดยอดนั้นเอง อัลกอริธึมตรวจจับวงจรแบบกระจายมีประโยชน์สำหรับการประมวลผลกราฟขนาดใหญ่โดยใช้ระบบประมวลผลกราฟแบบกระจายบนคลัสเตอร์คอมพิวเตอร์ (หรือซูเปอร์คอมพิวเตอร์ )

การประยุกต์ใช้การตรวจจับวงจรรวมถึงการใช้กราฟรอเพื่อตรวจจับภาวะหยุดชะงักในระบบพร้อมกัน^{[ 6 ]}

การใช้การค้นหาแบบเจาะลึก (depth-first search) เพื่อค้นหาวัฏจักรที่กล่าวถึงข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังนี้:

สำหรับทุกจุดยอด v: visited(v) = finished(v) = false สำหรับทุกจุดยอด v: DFS(v) 

ที่ไหน

DFS(v) = ถ้าเสร็จสิ้น (v): ส่งกลับ หากเข้าชม(v): "พบวงจรแล้ว" กลับ เยี่ยมชมแล้ว(v) = จริง สำหรับเพื่อนบ้านทุกราย w: DFS(w) เสร็จสิ้น(v) = จริง 

สำหรับกราฟแบบไม่มีทิศทาง "เพื่อนบ้าน" หมายถึงจุดยอดทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับvยกเว้นจุดยอดที่เรียกซ้ำDFS(v)การละเว้นนี้ช่วยป้องกันไม่ให้อัลกอริทึมค้นหาวัฏจักรที่ไม่สำคัญในรูปแบบv → w → vซึ่งมีอยู่ในกราฟแบบไม่มีทิศทางทุกกราฟที่มีขอบอย่างน้อยหนึ่งเส้น

วิธีการอีกแบบหนึ่งที่ใช้การค้นหาแบบกว้าง (breadth-first search)จะพบวงจรที่มีความยาวน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ในบทความเรื่องสะพานเจ็ดแห่งของเคอนิกส์เบิร์ก^{ในปี ค.ศ. 1736 [} 7 ^{] ซึ่ง}ถือกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นจุดกำเนิดของทฤษฎีกราฟ^{[ 8 ] [ 9 ]}เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้พิสูจน์ว่า สำหรับกราฟแบบไม่มีทิศทางที่มีขอบเขตจำกัดที่จะมีเส้นทางปิดที่เยี่ยมชมขอบแต่ละขอบเพียงครั้งเดียว (ทำให้เป็นเส้นทางปิด) จำเป็นและเพียงพอที่กราฟนั้นจะต้องเชื่อมต่อกัน ยกเว้นจุดยอดที่แยกเดี่ยว (นั่นคือ ขอบทั้งหมดอยู่ในส่วนประกอบเดียว) และมีดีกรีคู่ที่จุดยอดแต่ละจุด^{[ 7 ]}ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันสำหรับการมีอยู่ของเส้นทางปิดที่เยี่ยมชมขอบแต่ละขอบเพียงครั้งเดียวในกราฟแบบมีทิศทางคือ กราฟนั้นจะต้องเชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาและมีจำนวนขอบขาเข้าและขาออกเท่ากันที่จุดยอดแต่ละจุด ไม่ว่าในกรณีใด เส้นทางปิดที่ได้จะเรียกว่าเส้นทางออยเลอร์หากกราฟแบบไม่มีทิศทางที่มีขอบเขตจำกัดมีดีกรีคู่ที่จุดยอดแต่ละจุด โดยไม่คำนึงว่ากราฟนั้นเชื่อมต่อกันหรือไม่ ก็สามารถหาชุดของวัฏจักรแบบง่ายที่รวมกันครอบคลุมขอบแต่ละขอบเพียงครั้งเดียวได้ ซึ่งก็คือทฤษฎีบทของเวเบลน^{[ 10 ]}เมื่อกราฟที่เชื่อมต่อกันไม่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทของออยเลอร์ การเดินแบบปิดที่มีความยาวขั้นต่ำที่ครอบคลุมขอบแต่ละขอบอย่างน้อยหนึ่งครั้งยังคงสามารถค้นหาได้ในเวลาพหุนามโดยการแก้ปัญหา การตรวจสอบเส้นทาง

ปัญหาของการค้นหาวงจรแบบง่ายเพียงวงเดียวที่ครอบคลุมจุดยอดแต่ละจุดเพียงครั้งเดียว แทนที่จะครอบคลุมขอบ เป็นเรื่องที่ยากกว่ามาก วงจรดังกล่าวเรียกว่าวงจรแฮมิลโทเนียนและการพิจารณาว่ามันมีอยู่หรือไม่นั้นเป็นปัญหาNP-complete [ ^{11 ] มี}งานวิจัยมากมายที่ได้รับการตีพิมพ์เกี่ยวกับคลาสของกราฟที่สามารถรับประกันได้ว่ามีวงจรแฮมิลโทเนียน ตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทของโอเรที่กล่าวว่าสามารถพบวงจรแฮมิลโทเนียนได้เสมอในกราฟที่จุดยอดแต่ละคู่ที่ไม่ติดกันมีผลรวมของดีกรีอย่างน้อยเท่ากับจำนวนจุดยอดทั้งหมดในกราฟ^{[ 12 ]}

ข้อสันนิษฐานเรื่องการครอบคลุมสองเท่าของวัฏจักรระบุว่า สำหรับกราฟที่ไม่มีสะพาน ทุกกราฟ จะมีมัลติเซตของวัฏจักรแบบง่ายที่ครอบคลุมขอบแต่ละขอบของกราฟสองครั้งพอดี การพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นจริง (หรือการหาตัวอย่างค้าน) ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 13 ]}

กราฟประเภทสำคัญหลายประเภทสามารถกำหนดหรือจำแนกลักษณะได้ด้วยวัฏจักรของกราฟนั้น ซึ่งได้แก่:

• กราฟสองส่วน (Bipartite graph ) คือกราฟที่ไม่มีวัฏจักรคี่ (วัฏจักรที่มีจำนวนจุดยอดเป็นเลขคี่)
• กราฟแคคตัสคือกราฟที่ส่วนประกอบเชื่อมต่อสองทางที่ไม่ใช่ส่วนประกอบพื้นฐานทุกส่วนเป็นวัฏจักร
• กราฟวงจรคือกราฟที่ประกอบด้วยวงจรเดียว
• กราฟคอร์ดัลคือกราฟที่วัฏจักรเหนี่ยวนำทุกวัฏจักรเป็นรูปสามเหลี่ยม
• กราฟทิศทางที่ไม่มีวงจรคือ กราฟทิศทางที่ไม่มีวงจรทิศทาง
• ป่ากราฟที่ปราศจากวงจร
• กราฟเส้นสมบูรณ์แบบคือกราฟที่วัฏจักรคี่ทุกวัฏจักรเป็นรูปสามเหลี่ยม
• กราฟสมบูรณ์คือ กราฟที่ไม่มีวัฏจักรเหนี่ยวนำหรือส่วนเติมเต็มของวัฏจักรเหนี่ยวนำที่มีความยาวคี่มากกว่าสาม
• Pseudoforestคือกราฟที่แต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันมีวงจรได้มากที่สุดหนึ่งวงจร
• กราฟที่ถูกบีบรัดคือกราฟที่ทุกวงจรรอบนอกเป็นรูปสามเหลี่ยม
• กราฟที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาคือกราฟทิศทางที่ทุกขอบเป็นส่วนหนึ่งของวงจร
• กราฟไร้สามเหลี่ยมคือ กราฟที่ไม่มีวัฏจักรสามจุดยอด
• กราฟที่ปราศจากวัฏจักรคู่คือกราฟที่ไม่มีวัฏจักรคู่
• กราฟที่ปราศจากรูคู่คือ กราฟที่ไม่มีวงจรเหนี่ยวนำที่มีความยาวเป็นเลขคู่

• พื้นที่สำหรับจักรยาน
• พื้นฐานวงจร
• การตรวจจับวัฏจักรในลำดับของค่าฟังก์ชันที่วนซ้ำ
• รอบน้ำหนักเฉลี่ยขั้นต่ำ