แม้ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องจะมีความสำคัญในทางคณิตศาสตร์แต่ไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันจะต่อเนื่องเสมอไป หากฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่จุดลิมิต (หรือเรียกว่า "จุดสะสม" หรือ "จุดรวม") ของโดเมน ฟังก์ชันนั้น จะมีจุดไม่ต่อเนื่องณ จุดนั้นเซตของจุดไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของฟังก์ชันอาจเป็นเซตแบบแยกส่วน เซต แบบหนาแน่นหรือแม้กระทั่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันก็ได้

ในการวิเคราะห์เชิงจริง เบื้องต้น ความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริงตัวเดียว มักถูกจำแนกตามพฤติกรรมของลิมิตด้านเดียว แม้ว่าการจำแนกประเภทนี้จะไม่เป็นมาตรฐานอย่างสมบูรณ์ แต่การแบ่งประเภททั่วไปคือ ความไม่ต่อเนื่องประเภทแรก ซึ่งมีลิมิตด้านเดียวที่เกี่ยวข้องอยู่ และความไม่ต่อเนื่องประเภทที่สอง ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งลิมิตด้านเดียวไม่มีอยู่หรือเป็นอนันต์ กรณีพิเศษ ได้แก่ความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดออกได้และ ความไม่ต่อเนื่อง แบบ กระโดด

สำหรับแต่ละข้อต่อไปนี้ ให้พิจารณาฟังก์ชันค่าจริง ของตัวแปรจริงที่กำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงจุดที่ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

พิจารณาฟังก์ชัน แบบแบ่งช่วง$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ สำหรับ }}x<1\\0&{\text{ สำหรับ }}x=1\\2-x&{\text{ สำหรับ }}x>1\end{cases}}}$$

ประเด็นคือความไม่ต่อเนื่องที่สามารถแก้ไขได้สำหรับความไม่ต่อเนื่องประเภทนี้: ${\displaystyle x_{0}=1}$

ลิมิตด้านเดียวจากทิศทางลบ: และลิมิตด้านเดียวจากทิศทางบวก: ที่ทั้งสองมีอยู่จริง มีค่าจำกัด และเท่ากับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เนื่องจากลิมิตด้านเดียวทั้งสองมีอยู่จริงและเท่ากัน ดังนั้นลิมิตของเมื่อเข้าใกล้ จึงมีอยู่จริงและเท่ากับค่าเดียวกันนี้ หากค่าจริงของไม่เท่ากับแล้วเรียกว่า$${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$$${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle x_{0}}$ความไม่ต่อเนื่องที่สามารถแก้ไขได้ความไม่ต่อเนื่องนี้สามารถแก้ไขให้มีความต่อเนื่องที่หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ฟังก์ชัน มีความต่อเนื่องที่${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0},}$$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$${\displaystyle x=x_{0}.}$

บางครั้ง คำว่า " ความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดออกได้"จะถูกขยายความให้รวมถึง " ความเอกฐานที่ขจัดออกได้"ซึ่งลิมิตในทั้งสองทิศทางมีอยู่และเท่ากัน ในขณะที่ฟังก์ชันไม่นิยามที่จุด^{[ a ]}การใช้แบบนี้เป็นการใช้คำศัพท์ในทางที่ผิดเพราะความต่อเนื่องและความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันเป็นแนวคิดที่นิยามไว้เฉพาะสำหรับจุดในโดเมนของฟังก์ชันเท่านั้น ${\displaystyle x_{0}.}$

พิจารณาฟังก์ชัน $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

ดังนั้น ประเด็นก็คือ${\displaystyle x_{0}=1}$ความไม่ต่อเนื่อง แบบ กระโดด

ในกรณีนี้ ลิมิตเดี่ยวไม่มีอยู่จริง เพราะลิมิตด้านเดียวและมีอยู่และมีค่าจำกัด แต่ไม่เท่ากัน: ดังนั้นลิมิตจึงไม่มีอยู่จริง ดังนั้น จึงเรียกว่า การไม่ต่อเนื่อง แบบกระโดดการไม่ต่อเนื่องแบบขั้นบันไดหรือการไม่ต่อเนื่องชนิดที่หนึ่งสำหรับการไม่ต่อเนื่องประเภทนี้ ฟังก์ชันอาจมีค่าใดก็ได้ที่${\displaystyle L^{-}}$${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

สำหรับความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญ อย่างน้อยหนึ่งในสองลิมิตด้านเดียวจะไม่มีอยู่ใน(โปรดสังเกตว่าลิมิตด้านเดียวหนึ่งหรือทั้งสองอาจเป็น) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \pm \infty }$

พิจารณาฟังก์ชัน $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

ดังนั้น ประเด็นก็คือ${\displaystyle x_{0}=1}$ความไม่ต่อเนื่อง ที่ สำคัญ

ในตัวอย่างนี้ ทั้งและ ไม่มีอยู่ในดังนั้นจึงตรงตามเงื่อนไขของความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญ ดังนั้น จึงเป็นความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญ ความไม่ต่อเนื่องอนันต์ หรือความไม่ต่อเนื่องประเภทที่สอง (ซึ่งแตกต่างจากภาวะเอกฐานที่สำคัญซึ่งมักใช้เมื่อศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ) ${\displaystyle L^{-}}$${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$

สมมติว่าเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วงเราจะใช้สัญลักษณ์ แทนเซตของจุดไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของบนช่วงนั้นเราจะใช้สัญลักษณ์ แทนเซตของค่าทั้งหมดที่ทำให้ มี จุดไม่ ต่อเนื่องที่สามารถแก้ไขได้ณ จุดนั้น ใน ทำนองเดียวกันเราจะใช้สัญลักษณ์ แทนเซตของค่าทั้งหมดที่ทำให้ มี จุดไม่ต่อเนื่องแบบ กระโดดณ จุดนั้นเซตของค่าทั้งหมดที่ทำให้มี จุดไม่ต่อเนื่อง ที่สำคัญณ จุดนั้นจะใช้สัญลักษณ์ แทนแน่นอนว่า จากนั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle J}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

คุณสมบัติสองประการต่อไปนี้ของเซตมีความเกี่ยวข้องในวรรณกรรม ${\displaystyle D}$

• เซตคือเซตเซตของจุดที่ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องจะเป็นเซต เสมอ (ดู^{[ 2 ]} )${\displaystyle D}$${\displaystyle F_{\sigma }}$${\displaystyle G_{\delta }}$
• ถ้าช่วงนั้นเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ แล้ว จำนวนเต็ม จะเป็นจำนวนนับได้มากที่สุดและนี่คือทฤษฎีบทของโฟรดา${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D=J.}$

Tom Apostol ^{[ 3 ]}ปฏิบัติตามการจำแนกประเภทข้างต้นบางส่วนโดยพิจารณาเฉพาะความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดออกได้และความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดเท่านั้น วัตถุประสงค์ของเขาคือการศึกษาความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันโมโนโทน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Froda ด้วยจุดประสงค์เดียวกัน Walter Rudin ^{[ 4 ]}และ Karl R. Stromberg ^{[ 5 ]}ก็ศึกษาความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดออกได้และความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดเช่นกันโดยใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนทั้งสองยังระบุเพิ่มเติมว่าเป็นเซตที่นับได้เสมอ (ดู^{[ 6 ] [ 7 ]} ) ${\displaystyle R\cup J}$

คำว่า " ความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญ"มีหลักฐานการใช้งานในบริบททางคณิตศาสตร์ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2432 ^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม การใช้คำนี้พร้อมกับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดดูเหมือนจะปรากฏในงานของ John Klippert ^{[ 9 ]}ในนั้น Klippert ยังได้จำแนกความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญโดยแบ่งเซตออกเป็นสามเซตดังต่อไปนี้: ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ do not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.}$$

แน่นอนว่า " เมื่อใดก็ตามที่" เรียกว่าความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญประเภทแรก ส่วน "ใดๆ" เรียกว่าความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญประเภทที่สองดังนั้น เขาจึงขยายเซตโดยไม่สูญเสียคุณลักษณะของการนับได้ โดยกล่าวดังต่อไปนี้: ${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$${\displaystyle R\cup J}$

• เซตนี้สามารถนับได้${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$

เมื่อและเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตเป็นที่ทราบกันดีถึงความสำคัญของเซตในแง่ของการหาปริพันธ์แบบ รีมันน์ ของในความเป็นจริงทฤษฎีบทของเลเบส (หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทเลเบส-วิทาลี ) กล่าวว่าสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้บนก็ต่อเมื่อเป็นเซตที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle D}$

ในทฤษฎีบทนี้ดูเหมือนว่าความไม่ต่อเนื่องทุกประเภทจะมีน้ำหนักเท่ากันในการขัดขวางไม่ให้ฟังก์ชันที่มีขอบเขตสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้เนื่องจากเซตที่นับได้คือเซตที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ และการรวมกันของเซตที่นับได้ซึ่งมีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ก็ยังคงเป็นเซตที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ เราจึงเห็นว่านี่ไม่ใช่กรณีดังกล่าว ในความเป็นจริง ความไม่ต่อเนื่องในเซตนั้นเป็นกลางอย่างสมบูรณ์ในแง่ของการหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ ความไม่ต่อเนื่องหลักสำหรับจุดประสงค์นั้นคือความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญประเภทแรก และด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีบทเลเบส-วิทาลีจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$${\displaystyle f.}$

• ฟังก์ชันที่มีขอบเขตสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้บนก็ต่อเมื่อเซตที่สอดคล้องกันของความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญทั้งหมดชนิดแรกของมีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์${\displaystyle f,}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle f}$

กรณีที่สอดคล้องกับสถานการณ์เสริมแบบคลาสสิกที่เป็นที่รู้จักกันดีต่อไปนี้ของการหาปริพันธ์แบบรีมันน์ของฟังก์ชันที่มีขอบเขต: ${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

• ถ้าลิมิตด้านขวาอยู่ที่แต่ละจุดของจะสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้บน(ดู^{[ 10 ]} )${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b[}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$
• ถ้าลิมิตซ้ายอยู่ที่แต่ละจุดของแล้วจะสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้บน${\displaystyle f}$${\displaystyle ]a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b].}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันที่มีการควบคุมบนแล้วจะสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้บน${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b].}$

ฟังก์ชันของ Thomaeไม่ต่อเนื่องที่จุดตรรกยะ ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจุด แต่ต่อเนื่องที่ จุด อตรรกยะ ทุก จุด จะเห็นได้ง่ายว่าความไม่ต่อเนื่องเหล่านั้นสามารถกำจัดออกได้ทั้งหมด จากย่อหน้าแรก ไม่มีฟังก์ชันใดที่ต่อเนื่องที่ จุด ตรรกยะ ทุก จุด แต่ไม่ต่อเนื่องที่จุดอตรรกยะทุกจุด

ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของจำนวนตรรกยะ หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชัน Dirichletนั้นไม่ต่อเนื่องทุกที่ความไม่ต่อเนื่องเหล่านี้ล้วนเป็นความไม่ต่อเนื่องประเภทแรกที่สำคัญเช่นกัน

พิจารณาเซตแคนเตอร์ แบบไตรภาค และฟังก์ชันตัวบ่งชี้ (หรือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ) ของมัน วิธีหนึ่งในการสร้างเซตแคนเตอร์คือ โดยที่เซตต่างๆได้มาจากความสัมพันธ์เวียนเกิดตาม ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$$${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].}$$

เนื่องจากฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องเราจึงสมมติจุดหนึ่งขึ้นมา${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),}$${\displaystyle x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.}$

ดังนั้นจึงมีเซตที่ใช้ในการกำหนดสูตรของซึ่งไม่มีนั่นคือเป็นส่วนหนึ่งของช่วงเปิดช่วงใดช่วงหนึ่งที่ถูกตัดออกไปในการสร้าง ด้วยวิธีนี้ จึงมีบริเวณใกล้เคียงที่ไม่มีจุดของ(ในอีกวิธีหนึ่ง ข้อสรุปเดียวกันนี้ก็ได้มาจากการพิจารณาว่าเป็นเซตปิดและส่วนเติมเต็มของมันเมื่อเทียบกับเป็นเซตเปิด) ดังนั้นจึงมีค่าเป็นศูนย์เฉพาะในบริเวณใกล้เคียงบางแห่งของ เท่านั้นดังนั้นจึงมีความต่อเนื่องที่${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle C_{n}.}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}.}$

นี่หมายความว่าเซตของจุดไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของบนช่วงเป็นเซตย่อยของเนื่องจากเป็นเซตที่นับไม่ได้ซึ่งมีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ดังนั้น จึงเป็นเซตที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์เช่นกัน และด้วยเหตุนี้ ในแง่ของทฤษฎีบทเลเบส-วิทาลี จึง เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือในความเป็นจริง เนื่องจากเป็นเซตที่ไม่หนาแน่น ถ้าเช่นนั้นไม่มีย่านใกล้ เคียงใด ของที่สามารถบรรจุอยู่ใน ได้ ด้วยวิธีนี้ ย่านใกล้เคียงใด ๆ ของจะมีจุดของและจุดที่ไม่ใช่ของในแง่ของฟังก์ชันนี้ หมายความว่าทั้งและไม่มีอยู่จริง นั่นคือโดยที่เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราใช้สัญลักษณ์ แทนเซตของความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญทั้งหมดของประเภทแรกของฟังก์ชันอย่างชัดเจน${\displaystyle D={\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$${\displaystyle D=E_{1},}$${\displaystyle E_{1},}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}.}$${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

ให้เป็นช่วงเปิด ให้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนและให้เป็นอนุพันธ์ของนั่นคือสำหรับทุกตามทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ฟังก์ชันอนุพันธ์มีคุณสมบัติค่ากลาง แน่นอนว่าฟังก์ชันสามารถต่อเนื่องบนช่วง ได้ซึ่งในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโบลซาโนก็ใช้ได้เช่นกัน โปรดจำไว้ว่าทฤษฎีบทของโบลซาโนกล่าวว่าฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันมีคุณสมบัติค่ากลาง ในทางกลับกัน ข้อความกลับกันนั้นไม่จริง: ทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ไม่ได้สมมติว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และคุณสมบัติค่ากลางไม่ได้หมายความว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I,}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F.}$${\displaystyle F'(x)=f(x)}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I.}$

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของ Darboux มีผลโดยตรงต่อประเภทของความไม่ต่อเนื่องที่สามารถเกิดขึ้นได้ ในความเป็นจริง ถ้าเป็นจุดไม่ต่อเนื่องของแล้ว จะต้องเป็นความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญของ[ ^{11 ] ซึ่ง} หมายความว่าสถานการณ์สองอย่างต่อไปนี้ ไม่สามารถ เกิดขึ้นได้ โดยเฉพาะ: ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

นอกจากนี้ ยังต้องยกเว้น สถานการณ์อื่นอีกสองสถานการณ์ (ดู John Klippert ^{[ 12 ]} ):

สังเกตว่าเมื่อใดก็ตามที่เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในข้อ (i), (ii), (iii) หรือ (iv) เป็นจริงสำหรับบางกรณี ก็สามารถสรุปได้ว่าไม่มีอนุพันธ์ผกผัน , , บนช่วงเวลา ${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle I}$

ในทางกลับกันอาจมีการแนะนำความไม่ต่อเนื่องแบบใหม่ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ นั่นคือ ความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญ (essential discontinuity) ของฟังก์ชันซึ่งกล่าวได้ว่าเป็นความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญพื้นฐานของ ฟังก์ชัน ถ้า ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$และ$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

ดังนั้น ถ้าเป็นความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันอนุพันธ์แล้ว ก็จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเป็นความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญพื้นฐานของ ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

โปรดสังเกตด้วยว่า เมื่อ และเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตตามสมมติฐานของทฤษฎีบทของเลเบส เราจะได้ สำหรับทุก: และ ดังนั้น ความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญใดๆ ของ จึงเป็นความไม่ต่อเนื่องพื้นฐาน ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$${\displaystyle f}$

• จุดเอกฐานที่กำจัดได้  – จุดที่ไม่นิยามบนฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกซึ่งสามารถทำให้เป็นจุดปกติได้
• จุดเอกฐานทางคณิตศาสตร์  – จุดที่วัตถุทางคณิตศาสตร์แสดงพฤติกรรมผิดปกติPages displaying short descriptions of redirect targets
• การขยายโดยความต่อเนื่อง  – คุณสมบัติของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• ความเรียบ  – ระดับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือแผนที่
  • ความต่อเนื่องทางเรขาคณิต  – ระดับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือแผนที่Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • ความต่อเนื่องแบบพาราเมตริก  – แนวคิดเรื่องความเรียบของเส้นโค้งพาราเมตริก

• Malik, SC; Arora, Savita (1992). การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)

• "ไม่ต่อเนื่อง " PlanetMath
• "ความไม่ต่อเนื่อง"โดยเอ็ด เพ็กก์ จูเนียร์โครงการสาธิตวูลฟรามปี 2007
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ความไม่ต่อเนื่อง" . แมธเวิลด์ .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994]. "จุดไม่ต่อเนื่อง" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์ EMS .