ขีดจำกัดแบบไร้การกระจายตัว (หรือกึ่งคลาสสิก) ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่สามารถหาคำตอบได้ (PDE) เกิดขึ้นในปัญหาต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ และได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นในเอกสารทางวิชาการล่าสุด (ดูตัวอย่างเช่นเอกสารอ้างอิงด้านล่าง) โดยทั่วไปแล้วจะเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาคลื่นยาวที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ของระบบ PDE ที่สามารถหาคำตอบได้และมีการกระจายตัว

สมการ Kadomtsev–Petviashviliที่ไม่มีการกระจายตัว(dKPE) หรือที่รู้จักกันในชื่อ (โดยไม่นับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของตัวแปร) ว่าสมการ Khokhlov–Zabolotskayaมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}+u_{yy}=0,\qquad (1)}$

มันเกิดขึ้นจากการสลับเปลี่ยน

${\displaystyle [L_{1},L_{2}]=0.\qquad (2)}$

ของคู่ตระกูลเวกเตอร์ฟิลด์ 1 พารามิเตอร์ต่อไปนี้

${\displaystyle L_{1}=\partial _{y}+\lambda \partial _{x}-u_{x}\partial _{\lambda },\qquad (3a)}$

${\displaystyle L_{2}=\partial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\partial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\partial _{\lambda },\qquad (3b)}$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์สเปกตรัม dKPE คือขีดจำกัดแบบไร้การกระจายตัวของสมการ Kadomtsev–Petviashvili ที่มี ชื่อเสียง ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาคลื่นยาวของระบบนั้น dKPE เช่นเดียวกับระบบไร้การกระจายตัวแบบอินทิกรัลมิติ (2+1) อื่นๆ อีกมากมาย ยอมรับการวางนัยทั่วไปในมิติ (3+1) ^{[ 1 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$

ระบบ KP ที่ไม่มีการกระจายตัวมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ ลำดับชั้นโมเมนต์ ของเบนนีย์ซึ่งแต่ละระบบเป็นระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยไม่มีการกระจายตัว:

${\displaystyle A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{n-1}A_{x}^{0}=0.}$

สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นเนื่องจากเป็นเงื่อนไขความสอดคล้องระหว่าง

${\displaystyle \lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},}$

และวิวัฒนาการที่ง่ายที่สุดสองขั้นในลำดับชั้นคือ:

${\displaystyle p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,}$

${\displaystyle p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,}$

dKP จะกลับมาทำงานได้อีกครั้งเมื่อตั้งค่า

${\displaystyle u=A^{0},}$

และกำจัดช่วงเวลาอื่นๆ รวมถึงการระบุและ... ${\displaystyle y=t_{2}}$${\displaystyle t=t_{3}}$

หากกำหนดให้เพื่อให้โมเมนต์จำนวนนับได้นั้นแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันเพียงสองฟังก์ชัน ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการน้ำตื้น แบบคลาสสิก : ${\displaystyle A^{n}=hv^{n}}$${\displaystyle A^{n}}$

${\displaystyle h_{y}+(hv)_{x}=0,}$

${\displaystyle v_{y}+vv_{x}+h_{x}=0.}$

นอกจากนี้ ยังอาจได้มาจากการพิจารณาคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์แบบไม่เชิง เส้นที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ การ "ลดรูป" ดังกล่าว ซึ่งแสดงโมเมนต์ในรูปของตัวแปรขึ้นอยู่จำนวนจำกัดนั้น อธิบายได้ด้วยสมการกิบบอนส์-ซาเรฟ

สมการคอร์เทเว็ก-เดอไวรีส์ที่ไม่มีการกระจายตัว(dKdVE) อ่านว่า

${\displaystyle u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)}$

นี่คือขีดจำกัดแบบไร้การกระจายตัวหรือกึ่งคลาสสิกของสมการ Korteweg–de Vriesซึ่งเป็นผลที่ได้จากคำตอบอิสระของระบบ dKP นอกจากนี้ยังสามารถหาได้จากโฟลว์ของลำดับชั้น Benney เมื่อกำหนดค่า ${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle t_{3}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.}$

สมการโนวิคอฟ-เวเซโลฟแบบไร้การกระจายตัวมักเขียนในรูปสมการต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันค่าจริง : ${\displaystyle v=v(x_{1},x_{2},t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}v=\partial _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}}$

โดย ใช้สัญลักษณ์มาตรฐานของการวิเคราะห์เชิงซ้อน ดังต่อไปนี้: , . ฟังก์ชันในที่นี้คือฟังก์ชันเสริมซึ่งกำหนดขึ้นอย่างเฉพาะเจาะจงจากจนถึงพจน์ผลรวมเชิงโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle \partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}})}$${\displaystyle \partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$

ดู^{[ 1 ]}สำหรับระบบที่มีคู่ Lax สัมผัส และเช่น^{[ 2 ] [ 3 ]}และเอกสารอ้างอิงในนั้นสำหรับระบบอื่นๆ

• ระบบบูรณาการ
• สมการชโรดิงเกอร์แบบไม่เชิงเส้น
• ระบบไม่เชิงเส้น
• สมการเดวี-สจ๊วตสัน
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบกระจาย
• สมการ Kadomtsev–Petviashvili
• สมการ Korteweg–de Vries

• ระบบอิชิโมริในวิกิสมการการกระจายตัว
• Takebe T. "การบรรยายเรื่องลำดับชั้นที่สามารถบูรณาการได้โดยปราศจากการกระจายตัว" , 2014