ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีบทของดอนสเกอร์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อหลักการไม่เปลี่ยนแปลงของดอนสเกอร์หรือทฤษฎีบทลิมิตกลางเชิงฟังก์ชัน ) ซึ่งตั้งชื่อตามมอนโร ดี. ดอนสเกอร์เป็นส่วนขยายเชิงฟังก์ชันของทฤษฎีบทลิมิตกลางสำหรับฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ที่ถูกปรับให้มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และปรับขนาดอย่างเหมาะสม จะลู่เข้าสู่กระบวนการเกาส์เซียน

ให้เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน (iid) โดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 ให้กระบวนการสุ่มนี้เรียกว่าการเดินสุ่มกำหนดการเดินสุ่มที่ปรับขนาดแบบแพร่กระจาย (กระบวนการผลรวมย่อย) โดย ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

ทฤษฎีบทลิมิตกลางยืนยันว่าลู่เข้าตามการกระจาย ไปยัง ตัวแปรสุ่มเกาส์เซียนมาตรฐานเมื่อหลักการไม่แปรเปลี่ยนของดอนสเกอร์^{[ 1 ] [ 2 ]}ขยายการลู่เข้านี้ไปยังฟังก์ชันทั้งหมดกล่าวโดยละเอียด ในรูปแบบที่ทันสมัย ​​หลักการไม่แปรเปลี่ยนของดอนสเกอร์ระบุว่า: เมื่อตัวแปรสุ่มรับค่าในปริภูมิสโกโรค็อดฟังก์ชันสุ่มจะลู่เข้าตามการกระจายไปยังการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐานเมื่อ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$${\displaystyle W(1)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$${\displaystyle W^{(n)}}$${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$${\displaystyle n\to \infty .}$

ให้F เป็นฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ของลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid) โดยมีฟังก์ชันการแจกแจงFกำหนดรูปแบบที่ปรับค่าเฉลี่ยและปรับขนาดของF โดย ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

กำหนดดัชนีโดยx  ∈  Rตามทฤษฎีบทลิมิตกลาง แบบคลาสสิก สำหรับx ที่กำหนดไว้ ตัวแปรสุ่มG ( x ) จะลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบเกาส์เซียน (ปกติ) ของ ตัวแปรสุ่มG ( x ) ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนF ( x )(1 −  F ( x )) เมื่อขนาดตัวอย่างnเพิ่มขึ้น

ทฤษฎีบท (ดอนสเกอร์, สโกโรค็อด, โคลโมโกรอฟ) ลำดับของG ( x ) ซึ่งเป็นองค์ประกอบสุ่มของปริภูมิสโกโรค็อด จะลู่เข้าสู่กระบวนการเกาส์เซียนGที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าความแปรปรวนร่วมที่กำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$${\displaystyle {F}(t).}$

กระบวนการG ( x ) สามารถเขียนได้เป็นB ( F ( x )) โดยที่B คือ สะพานบราวน์มาตรฐาน บนช่วงหน่วย

สำหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง จะลดลงเหลือกรณีที่การแจกแจงเป็นแบบเอกรูปบนโดยใช้ การ แปลง ผกผัน${\displaystyle [0,1]}$

เมื่อกำหนดลำดับเวลาจำกัดใดๆเราจะได้ว่ามีการแจกแจงแบบทวินามโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ${\displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}<1}$${\displaystyle NF_{N}(t_{1})}$${\displaystyle Nt_{1}}$${\displaystyle Nt_{1}(1-t_{1})}$

ในทำนองเดียวกัน การแจกแจงร่วมของเป็นการแจกแจงแบบพหุนาม และจากการประมาณค่าลิมิตกลางสำหรับการแจกแจงแบบพหุนามพบว่าลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบเกาส์เซียนที่มีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่มีค่าเป็น ซึ่งก็คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสะพานบราวน์นั่นเอง ${\displaystyle F_{N}(t_{1}),F_{N}(t_{2}),\dots ,F_{N}(t_{n})}$${\displaystyle \lim _{N}{\sqrt {N}}(F_{N}(t_{i})-t_{i})}$${\displaystyle \min(t_{i},t_{j})-t_{i}t_{j}}$

Kolmogorov (1933) แสดงให้เห็นว่าเมื่อFต่อเนื่องค่าสูงสุดและค่าสูงสุดของค่าสัมบูรณ์จะลู่เข้าในการกระจายไปยังกฎของฟังก์ชันเดียวกันของสะพานบราวน์B ( t ) ดูการทดสอบ Kolmogorov–Smirnovในปี 1949 Doob ถามว่าการลู่เข้าในการกระจายใช้ได้กับฟังก์ชันทั่วไปมากขึ้นหรือไม่ จึงได้กำหนดปัญหาของการลู่เข้าแบบอ่อนของฟังก์ชันสุ่มในปริภูมิฟังก์ชัน ที่เหมาะสม ^{[ 3 ]}${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$

ในปี พ.ศ. 2495 Donsker ได้กล่าวและพิสูจน์ (ไม่ถูกต้องนัก) ^{[ 4 ]}การขยายทั่วไปสำหรับแนวทางฮิวริสติกของ Doob–Kolmogorov ในเอกสารต้นฉบับ Donsker พิสูจน์ว่ากฎการลู่เข้าของG ไปยังสะพานบราวน์นั้นใช้ได้กับการแจกแจงแบบเอกรูป[0,1]โดยสัมพันธ์กับการลู่เข้าแบบเอกรูปในtเหนือช่วง [0,1] ^{[ 2 ]}

อย่างไรก็ตาม สูตรของดอนสเกอร์ไม่ถูกต้องนักเนื่องจากปัญหาเรื่องความสามารถในการวัดของฟังก์ชันของกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง ในปี 1956 สโกโรค็อดและโคลโมโกรอฟได้กำหนดเมตริกที่แยกได้dซึ่งเรียกว่าเมตริกสโกโรค็อดบนปริภูมิของ ฟังก์ชัน càdlàgบน [0,1] โดยที่การลู่เข้าของdไปยังฟังก์ชันต่อเนื่องเทียบเท่ากับการลู่เข้าของนอร์มสูงสุด และแสดงให้เห็นว่าG ลู่เข้าตามกฎไปยังสะพานบราวน์ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$

ต่อมา Dudley ได้ปรับปรุงผลลัพธ์ของ Donsker ใหม่เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเรื่องการวัดได้และความจำเป็นของเมตริก Skorokhod สามารถพิสูจน์ได้^{[ 4 ]}ว่ามีX , iid สม่ำเสมอใน [0,1] และลำดับของสะพานบราวน์เนียนต่อเนื่องตัวอย่างB เช่นนั้น

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }}$

สามารถวัดได้และลู่เข้าสู่ 0 ในเชิงความน่าจะเป็น ผลลัพธ์ที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัตราการลู่เข้าคือการประมาณของ Komlós–Major– Tusnády

• ทฤษฎีบทกลิเวนโก-คันเทลลี
• การทดสอบ Kolmogorov–Smirnov