ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของพื้นผิวขั้นต่ำทฤษฎีบทฟองคู่ระบุว่ารูปร่างที่ล้อมรอบและแยกปริมาตร สองปริมาตรที่กำหนด และมีพื้นที่ผิว น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ คือฟองคู่มาตรฐาน : พื้นผิวทรงกลมสามพื้นผิวมาบรรจบกันที่มุม 120° บนวงกลมร่วมกัน ทฤษฎีบทฟองคู่ได้รับการกำหนดและคิดว่าเป็นจริงในศตวรรษที่ 19 และกลายเป็น "จุดสนใจของการวิจัยอย่างจริงจัง" ในปี 1989 ^{[ 1 ]}แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์จนกระทั่งปี 2002

การพิสูจน์นี้เป็นการรวมส่วนประกอบหลายอย่างเข้าด้วยกันความกะทัดรัดของกระแสที่แก้ไขได้ (นิยามทั่วไปของพื้นผิว) แสดงให้เห็นว่ามีคำตอบอยู่ การใช้เหตุผลเชิงสมมาตรพิสูจน์ว่าคำตอบนั้นจะต้องเป็นพื้นผิวหมุนและสามารถจำกัดเพิ่มเติมให้มีจำนวนชิ้นส่วนเรียบที่จำกัดได้การพิสูจน์กฎของ Plateau โดย Jean Taylorอธิบายว่าชิ้นส่วนเหล่านี้จะต้องมีรูปร่างและเชื่อมต่อกันอย่างไร และการวิเคราะห์กรณี สุดท้าย แสดงให้เห็นว่า ในบรรดาพื้นผิวหมุนที่เชื่อมต่อกันในลักษณะนี้ มีเพียงพื้นผิวฟองคู่มาตรฐานเท่านั้นที่มีพื้นที่น้อยที่สุดในระดับท้องถิ่น

ทฤษฎีบทฟองคู่ขยายความอสมการไอโซเพอริเมตริกซึ่งระบุว่าพื้นที่ที่มีเส้นรอบวงน้อยที่สุดคือวงกลมและพื้นที่ที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดคือทรงกลมผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันเกี่ยวกับการล้อมรอบที่เหมาะสมที่สุดของปริมาตรสองปริมาตรสามารถขยายไปสู่รูปแบบถ่วงน้ำหนักของพลังงานพื้นผิวการวัดพื้นผิวแบบเกาส์เซียน และปริภูมิยูคลิดทุกมิติได้

ตามอสมการไอโซเพอริเมตริก วงกลม จะเป็น กรอบล้อมรอบพื้นที่ที่มีเส้นรอบวงน้อยที่สุดและทรงกลม จะเป็นกรอบล้อมรอบปริมาตรเดี่ยวที่มีพื้นที่ผิวน้อย ที่สุด การมีอยู่ของรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวจำกัดซึ่งล้อมรอบปริมาตรสองปริมาตรนั้นชัดเจน: เพียงแค่ล้อมรอบปริมาตรเหล่านั้นด้วยทรงกลมสองลูกที่แยกจากกัน แต่การมีอยู่ของรูปทรงที่ล้อมรอบปริมาตรสองปริมาตรและมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้นั้นไม่ชัดเจนนัก อาจเป็นไปได้ว่าลำดับของรูปทรงลู่เข้าสู่ค่าต่ำสุด (หรือศูนย์) โดยไม่ถึงจุดนั้น ปัญหานี้ยังก่อให้เกิดปัญหาเชิงนิยามที่ซับซ้อน: รูปทรง พื้นที่ผิวของรูปทรง และปริมาตรที่รูปทรงนั้นล้อมรอบ หมายถึงอะไร เมื่อสิ่งเหล่านี้อาจไม่เรียบหรือแม้แต่เป็นแฟรกทัล ? อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะกำหนดปัญหาของกรอบล้อมรอบที่เหมาะสมที่สุดอย่างเข้มงวดโดยใช้ทฤษฎีของกระแสที่แก้ไขได้และพิสูจน์โดยใช้ความกะทัดรัดในพื้นที่ของกระแสที่แก้ไขได้ว่าปริมาตรสองปริมาตรทุก ๆ สองปริมาตรมีกรอบล้อมรอบที่มีพื้นที่น้อยที่สุด^{[ 2 ]}

กฎของ Plateauระบุว่า รูปทรงเรียบเป็นช่วงที่มีพื้นที่ขั้นต่ำใดๆ ที่ล้อมรอบปริมาตรใดๆ หรือชุดของปริมาตรใดๆ จะต้องมีรูปแบบที่พบเห็นได้ทั่วไปในฟองสบู่ซึ่งพื้นผิวที่มีความโค้งเฉลี่ย คงที่ มาบรรจบกันเป็นสามส่วน ก่อให้เกิดมุมไดเฮดรัล 120° (${\displaystyle 2\pi /3}$เรเดียน ) ^{[ 2 ]}ในฟองคู่มาตรฐานทรงกลมสามส่วนมาบรรจบกันที่มุมนี้ตามวงกลมร่วมกัน พื้นผิวทรงกลมสองพื้นผิวนี้ก่อตัวเป็นขอบนอกของฟองคู่ และพื้นผิวที่สามภายในแยกปริมาตรทั้งสองออกจากกัน ในฟองทางกายภาพ รัศมีของทรงกลมเป็นสัดส่วนผกผันกับความแตกต่างของความดันระหว่างปริมาตรที่แยกออกจากกัน ตามสมการ Young–Laplace [ ^{3 ] ความ}สัมพันธ์ระหว่างความดันและรัศมีนี้สะท้อนให้เห็นทางคณิตศาสตร์ในข้อเท็จจริงที่ว่า สำหรับฟองคู่มาตรฐานใดๆ รัศมีทั้งสาม${\displaystyle r_{1}}$,${\displaystyle r_{2}}$, และ${\displaystyle r_{3}}$พื้นผิวทรงกลมทั้งสามนั้นเป็นไปตามสมการ$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}},}$$ที่ไหน${\displaystyle r_{1}}$คือรัศมีที่เล็กกว่าของฟองอากาศด้านนอกทั้งสอง^{[ 4 ]}ในกรณีพิเศษเมื่อปริมาตรทั้งสองและรัศมีด้านนอกทั้งสองเท่ากัน การคำนวณรัศมีตรงกลางโดยใช้สูตรนี้จะนำไปสู่การหารด้วยศูนย์ในกรณีนี้ พื้นผิวตรงกลางจะเป็นแผ่น เรียบ ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมที่มีรัศมีอนันต์ ทฤษฎีบทฟองอากาศคู่ระบุว่า สำหรับปริมาตรสองปริมาตรใดๆ ฟองอากาศคู่มาตรฐานเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่น้อยที่สุดที่ล้อมรอบปริมาตรทั้งสองนั้น ไม่มีชุดพื้นผิวอื่นใดที่ล้อมรอบพื้นที่ในปริมาณเท่ากันด้วยพื้นที่รวมที่น้อยกว่า^{[ 1 ]}

ในระนาบยุคลิดในทำนองเดียวกันเส้นรอบวง ขั้นต่ำ ของระบบเส้นโค้งที่ล้อมรอบพื้นที่สองพื้นที่ที่กำหนด จะเกิดจากส่วนโค้งวงกลม สาม ส่วน โดยมีความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีเท่ากัน และมาบรรจบกันที่มุม 120° เท่ากัน สำหรับพื้นที่สองพื้นที่ที่เท่ากัน ส่วนโค้งตรงกลางจะกลายเป็นส่วนของเส้นตรง^{[ 5 ]}ฟองคู่มาตรฐานสามมิติสามารถมองได้ว่าเป็นพื้นผิวการหมุนของฟองคู่สองมิตินี้^{[ 6 ]}ในมิติที่สูงกว่าใดๆ การล้อมรอบที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปริมาตรสองปริมาตรจะเกิดจากส่วนของไฮเปอร์สเฟียร์ สามส่วน ซึ่งมาบรรจบกันที่มุม 120° เท่ากัน^{[ 1 ] [ 7 ]}

อสมการไอโซเพอริเมตริกสามมิติซึ่งระบุว่าทรงกลมมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับปริมาตร ได้รับการกำหนดโดยอาร์คิมิดีสแต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดจนกระทั่งศตวรรษที่ 19 โดยเฮอร์มันน์ ชวาร์ซในศตวรรษที่ 19 โจเซฟ พลาโตศึกษาฟองสบู่คู่ และความจริงของทฤษฎีบทฟองสบู่คู่ได้รับการสันนิษฐานโดยไม่มีการพิสูจน์โดยซีวี บอยส์ในหนังสือเกี่ยวกับฟองสบู่ฉบับปี 1912 ^{[ 8 ] [ 4 ]}พลาโตได้กำหนดกฎของพลาโตซึ่งอธิบายรูปร่างและการเชื่อมต่อระหว่างชิ้นส่วนพื้นผิวเรียบในฟองสบู่แบบผสม กฎเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับพื้นที่ปิดที่มีปริมาตรน้อยที่สุดโดยฌอง เทย์เลอร์ในปี 1976 ^{[ 9 ]}

ภายในปี 1989 ปัญหาฟองสบู่คู่ได้กลายเป็น "จุดสนใจอย่างจริงจังของการวิจัย" ^{[ 1 ]}ในปี 1991 โจเอล ฟอยซี นักศึกษาปริญญาตรีที่วิทยาลัยวิลเลียม ส์ เป็นหัวหน้าทีมของนักศึกษาปริญญาตรีที่พิสูจน์สมมติฐานฟองสบู่คู่แบบสองมิติ^{[ 5 ] [ 8 ]}ในวิทยานิพนธ์ปริญญาตรีของเขา ฟอยซีเป็นคนแรกที่ให้คำกล่าวที่แม่นยำของสมมติฐานฟองสบู่คู่สามมิติ แต่เขาไม่สามารถพิสูจน์ได้^{[ 10 ]}

บทพิสูจน์สำหรับกรณีจำกัดของทฤษฎีบทฟองคู่ สำหรับปริมาตรสองปริมาตรที่เท่ากัน ได้รับการประกาศโดยJoel Hassและ Roger Schlafly ในปี 1995 และตีพิมพ์ในปี 2000 ^{[ 11 ] [ 12 ]}บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทแบบเต็มโดยHutchings , Morgan , Ritoré และ Ros ได้รับการประกาศในปี 2000 และตีพิมพ์ในปี 2002 ^{[ 6 ] [ 10 ] [ 13 ]}หลังจากงานก่อนหน้านี้ในกรณีสี่มิติ^{[ 14 ]}การวางนัยทั่วไปแบบเต็มไปยังมิติที่สูงกว่าได้รับการตีพิมพ์โดย Reichardt ในปี 2008 ^{[ 7 ]}และในปี 2014 Lawlor ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ทางเลือกของทฤษฎีบทฟองคู่ที่ขยายไปยังมิติที่สูงกว่าและรูปแบบถ่วงน้ำหนักของพลังงานพื้นผิว^{[ 1 ]}การเปลี่ยนแปลงของปัญหาที่พิจารณามาตรวัดอื่น ๆ ของขนาดของพื้นผิวที่ล้อมรอบ เช่นมาตรวัดเกาส์เซียนก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน^{[ 15 ]}

บทพิสูจน์ของBrian Whiteแสดงให้เห็นว่าฟองคู่ที่มีพื้นที่น้อยที่สุดจะต้องเป็นพื้นผิวของการหมุนเพราะถ้าไม่เช่นนั้น เราสามารถใช้ข้อโต้แย้งที่คล้ายกับทฤษฎีบทแซนด์วิชแฮมเพื่อหาระนาบตั้งฉากสองระนาบที่แบ่งครึ่งปริมาตรทั้งสอง แทนที่พื้นผิวในสองในสี่ส่วนด้วยการสะท้อนของพื้นผิวในส่วนอื่น ๆ แล้วปรับความเรียบของจุดเอกฐานที่ระนาบสะท้อน ลดพื้นที่ทั้งหมดลง^{[ 8 ]}จากบทพิสูจน์นี้ Michael Hutchings สามารถจำกัดรูปร่างที่เป็นไปได้ของฟองคู่ที่เหมาะสมแบบไม่มาตรฐานให้ประกอบด้วยชั้นของท่อรูปวงแหวน^{[ 16 ]}

นอกจากนี้ ฮัทชิงส์ยังแสดงให้เห็นว่าจำนวนของทอรอยด์ในฟองคู่ที่ไม่เป็นมาตรฐานแต่มีขนาดเล็กที่สุดนั้นสามารถจำกัดได้ด้วยฟังก์ชันของปริมาตรทั้งสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับปริมาตรที่เท่ากันสองปริมาตร ฟองคู่ที่ไม่เป็นมาตรฐานที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวประกอบด้วยฟองกลางเพียงฟองเดียวที่มีทอรอยด์ เพียงอันเดียว รอบเส้นศูนย์สูตร จากการลดความซับซ้อนของปัญหานี้โจเอล ฮาสส์และโรเจอร์ ชลาฟลีสามารถลดการพิสูจน์กรณีนี้ของสมมติฐานฟองคู่ให้เหลือเพียงการวิเคราะห์กรณีขนาดใหญ่ด้วยคอมพิวเตอร์ซึ่งใช้เวลา 20 นาทีบนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลในปี 1995 ^{[ 8 ] [ 12 ]}การพิสูจน์ขั้นสุดท้ายของสมมติฐานฟองคู่แบบเต็มรูปแบบยังใช้วิธีของฮัทชิงส์เพื่อลดปัญหาให้เหลือเพียงการวิเคราะห์กรณีจำกัด แต่หลีกเลี่ยงการใช้การคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ และใช้วิธีแสดงให้เห็นว่าฟองคู่ที่ไม่เป็นมาตรฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมดนั้นไม่เสถียร กล่าวคือ ฟองคู่เหล่านั้นสามารถถูกรบกวนด้วยปริมาณเล็กน้อยเพื่อสร้างพื้นผิวอื่นที่มีพื้นที่น้อยกว่า การรบกวนที่จำเป็นในการพิสูจน์ผลลัพธ์นี้คือชุดการหมุนที่เลือกอย่างระมัดระวัง เนื่องจากมีพื้นผิวที่มีพื้นที่น้อยที่สุดอยู่ และไม่มีพื้นผิวผู้สมัครอื่นใดที่มีพื้นที่น้อยที่สุด พื้นผิวที่มีพื้นที่น้อยที่สุดจึงเป็นได้เพียงฟองคู่มาตรฐานเท่านั้น^{[ 8 ] [ 2 ]}

จอห์น เอ็ม. ซัลลิแวนได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่า สำหรับมิติใดๆ ก็ตาม${\displaystyle d}$โดยมีพื้นที่ปิดล้อมขั้นต่ำไม่เกิน${\displaystyle d+1}$ปริมาตร (ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน) มีรูปแบบเป็นการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของ ซิ มเพล็กซ์^{[ 17 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีนี้ ขอบเขตทั้งหมดระหว่างฟองอากาศจะเป็นส่วนของทรงกลม กรณีพิเศษของสมมติฐานนี้สำหรับฟองอากาศสามฟองในสองมิติได้รับการพิสูจน์แล้ว ในกรณีนี้ ฟองอากาศทั้งสามก่อตัวขึ้นจากส่วนโค้งวงกลมหกส่วนและส่วนของเส้นตรงที่มาบรรจบกันในรูปแบบเชิงผสมเดียวกันกับขอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า^{[ 18 ]}แฟรงค์ มอร์แกนเรียกแม้กระทั่งกรณีของปริมาตรสามปริมาตรในสามมิติว่า "เข้าถึงไม่ได้" ^{[ 19 ]}แต่ในปี 2022 ได้มีการประกาศการพิสูจน์กรณีปริมาตรสามปริมาตรในทุกมิติ และผลลัพธ์บางส่วนเพิ่มเติมในมิติที่สูงกว่า^{[ 20 ] [ 21 ]}การทดลองเชิงตัวเลขแสดงให้เห็นว่าสำหรับปริมาตรหกปริมาตรขึ้นไปในสามมิติ ขอบเขตบางส่วนระหว่างฟองอากาศอาจไม่ใช่ทรงกลม^{[ 17 ]}

สำหรับพื้นที่เท่ากันจำนวนอนันต์ในระนาบ ชุดเส้นโค้งที่มีความยาวน้อยที่สุดที่แยกพื้นที่เหล่านี้คือการปูพื้นแบบหกเหลี่ยมซึ่งคุ้นเคยจากการที่ผึ้งใช้สร้างรังผึ้งและความเหมาะสมที่สุดของมัน ( สมมติฐานรังผึ้ง ) ได้รับการพิสูจน์โดยTC Halesในปี 2001 ^{[ 22 ]}สำหรับปัญหาเดียวกันในสามมิติ วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดยังไม่เป็นที่ทราบลอร์ดเคลวินตั้งสมมติฐานว่ามันได้รับจากโครงสร้างที่เทียบเท่าเชิงการจัดเรียงกับรังผึ้งลูกบาศก์แบบตัดสองส่วนแต่สมมติฐานนี้ถูกหักล้างโดยการค้นพบโครงสร้าง Weaire–Phelanซึ่งเป็นการแบ่งพื้นที่ออกเป็นเซลล์ปริมาตรเท่ากันที่มีรูปร่างแตกต่างกันสองแบบโดยใช้พื้นที่ผิวเฉลี่ยต่อเซลล์ที่น้อยกว่า^{[ 23 ]}

นักวิจัยยังได้ศึกษาพลวัตของกระบวนการทางกายภาพที่ฟองอากาศคู่หนึ่งรวมตัวกันเป็นฟองอากาศคู่^{[ 24 ] [ 25 ]}หัวข้อนี้เกี่ยวข้องกับหัวข้อทั่วไปในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของพฤติกรรมพลวัตของเส้นโค้งและพื้นผิวภายใต้กระบวนการต่างๆ ที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นการไหลที่ทำให้เส้นโค้งสั้นลงเป็นกระบวนการที่เส้นโค้งในระนาบเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่แปรผันตามความโค้งสำหรับสองบริเวณอนันต์ที่คั่นด้วยเส้นตรง โดยมีบริเวณจำกัดที่สามอยู่ระหว่างนั้น การไหลที่ทำให้เส้นโค้งสั้นลงบนขอบเขตของบริเวณเหล่านั้น (ปรับขนาดใหม่เพื่อรักษาพื้นที่ของบริเวณจำกัด) จะลู่เข้าสู่รูปร่างที่จำกัดในรูปแบบของฟองอากาศคู่ที่เสื่อมสภาพ: vesica piscisตามแนวเส้นตรงระหว่างสองบริเวณที่ไม่มีขอบเขต^{[ 26 ]}