ลูกตุ้มคู่

ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ในด้านระบบพลวัตลูกตุ้มคู่หรือที่รู้จักกันในชื่อลูกตุ้มอลวนคือลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มอีกอันติดอยู่ที่ปลาย ทำให้เกิดระบบทางกายภาพ ที่ซับซ้อน ซึ่งแสดงพฤติกรรมพลวัต ที่หลากหลาย และมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก [ ^{1 ] การ}เคลื่อนที่ของลูกตุ้มคู่ถูกควบคุมโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ คู่หนึ่ง และเป็นแบบอลวน

อาจพิจารณาลูกตุ้มคู่ได้หลายรูปแบบ โดยแขนทั้งสองอาจมีความยาวและมวลเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้ อาจเป็นลูกตุ้มธรรมดาหรือลูกตุ้มประกอบ (เรียกอีกอย่างว่าลูกตุ้มเชิงซ้อน) และการเคลื่อนที่อาจเกิดขึ้นในสามมิติหรือจำกัดอยู่ในระนาบแนวตั้งเพียงระนาบเดียว ในการวิเคราะห์ต่อไปนี้ จะถือว่าแขนทั้งสองเป็นลูกตุ้มประกอบที่เหมือนกัน มีความยาวℓและมวลmและการเคลื่อนที่จำกัดอยู่ในสองมิติ

ในลูกตุ้มประกอบ มวลจะกระจายอยู่ตามความยาว หากมวลของลูกตุ้มคู่กระจายอย่างสม่ำเสมอจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละแขนจะอยู่ที่จุดกึ่งกลาง และแขนจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับI = ⁠1/12⁠ mℓ ²เกี่ยวกับจุดนั้น

ถึงแม้ว่าจะสามารถหาอนุพันธ์ของสมการลูกตุ้มคู่โดยใช้กลศาสตร์นิวตันได้ แต่ก็ถือว่ายุ่งยากในการใช้งาน เนื่องจากจะต้องแยกเวกเตอร์โดยสัมพันธ์กับแรงยึดเหนี่ยว ดังนั้นจึงสะดวกกว่าที่จะใช้มุมระหว่างแต่ละแขนกับแนวตั้งเป็นพิกัดทั่วไปที่กำหนดโครงสร้างของระบบ มุมเหล่านี้จะถูกกำหนดให้เป็นθ ₁และθ ₂ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละแขนสามารถเขียนได้ในรูปของพิกัดทั้งสองนี้ ถ้าจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนอยู่ที่จุดแขวนของลูกตุ้มแรก จุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มนี้จะอยู่ที่:$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\tfrac {1}{2}}\ell \sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\tfrac {1}{2}}\ell \cos \theta _{1}\end{aligned}}}$$

และจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มที่สองอยู่ที่... ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะเขียนสมการลากรางจ์ได้แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$$

ลากรางเจียนกำหนดโดย พจน์แรกคือพลังงานจลน์เชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ พจน์ที่สองคือ พลังงานจลน์ การหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละแท่ง พจน์สุดท้ายคือพลังงานศักย์ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอสัญลักษณ์จุดแสดงถึงอนุพันธ์เทียบกับเวลาของตัวแปรนั้น ๆ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{พลังงานจลน์}}-{\text{พลังงานศักย์}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$$

เมื่อใช้ค่าของและที่กำหนดไว้ข้างต้น เราจะได้ ซึ่งนำไปสู่ ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \cos \theta _{1}\right)\\[1ex]{\dot {y}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \sin \theta _{1}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\ell ^{2}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {1}{4}}\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}.}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับและเรามี ${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle y_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\\{\dot {y}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$$

และด้วยเหตุนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{2}^{2}&={\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right).\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าพิกัดข้างต้นลงในนิยามของลากรางเจียน และจัดเรียงสมการใหม่ จะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {1}{24}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\[1ex]&={\tfrac {1}{6}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{2}^{2}+4{\dot {\theta }}_{1}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).\end{aligned}}}$$

ขณะนี้เราสามารถหาอนุพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่ได้โดยใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ซึ่งกำหนดโดย เราเริ่มต้นด้วยสมการการเคลื่อนที่สำหรับอนุพันธ์ของลากรางจ์กำหนดโดย และ ดังนั้น การรวมผลลัพธ์เหล่านี้และทำให้ง่ายขึ้นจะได้สมการการเคลื่อนที่แรก $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{i}}}=0,\quad i=1,2.}$$${\displaystyle \theta _{1}}$$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {3}{2}}mg\ell \sin \theta _{1}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}={\tfrac {4}{3}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}={\tfrac {4}{3}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$$${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\ell {\ddot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}\ell {\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {1}{2}}\ell {\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {3}{2}}g\sin \theta _{1}=0.}$$

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของลากรางเจียนเทียบกับและจะได้จาก และ ดังนั้น ${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}}$$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}mg\ell \sin \theta _{2}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}={\tfrac {1}{3}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}={\tfrac {1}{3}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$

เมื่อนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปแทนในสมการออยเลอร์-ลากรองจ์และทำการลดรูป จะได้สมการการเคลื่อนที่ข้อที่สอง $${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\ell {\ddot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}\ell {\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}\ell {\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {1}{2}}g\sin \theta _{2}=0.}$$

ไม่ ทราบคำตอบ ในรูปแบบปิดสำหรับและในฐานะฟังก์ชันของเวลา ดังนั้นระบบจึงสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข เท่านั้น โดยใช้วิธี Runge Kuttaหรือเทคนิคที่คล้ายคลึงกัน ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

ค่าสัมประสิทธิ์ Lyapunov ของลูกตุ้มคู่ สำหรับทุกมุมเริ่มต้นตามแกน

กราฟแสดงเวลาที่ลูกตุ้มจะพลิกตัวเป็นฟังก์ชันของเงื่อนไขเริ่มต้น

ลูกตุ้มคู่มีการเคลื่อนที่แบบอลหม่านและแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นความไวของวิถีการเคลื่อนที่ของระบบพลวัต ณ เงื่อนไขเริ่มต้นเฉพาะ สามารถวัดได้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ Lyapunovณ เงื่อนไขเริ่มต้นนั้น ภาพด้านซ้ายแสดงค่าเหล่านี้โดยประมาณเป็นฟังก์ชันของมุมเริ่มต้น โดยค่าที่ต่ำกว่าแสดงด้วยสีน้ำเงิน และค่าที่สูงกว่าแสดงด้วยสีแดง

ภาพด้านขวามือแสดงระยะเวลาที่ผ่านไปก่อนที่ลูกตุ้มจะพลิกคว่ำ โดยเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งเริ่มต้นเมื่อปล่อยจากหยุดนิ่ง ในที่นี้ ค่าเริ่มต้นของθ ₁อยู่ในช่วงตาม ทิศทาง xตั้งแต่ −3.14 ถึง 3.14 ค่าเริ่มต้นของθ ₂อยู่ในช่วงตาม ทิศทาง yตั้งแต่ −3.14 ถึง 3.14 สีของแต่ละพิกเซลบ่งบอกว่าลูกตุ้มใดลูกหนึ่งพลิกคว่ำภายในช่วงเวลาใด

• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$(สีดำ)
• ${\displaystyle 10{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$(สีแดง)
• ${\displaystyle 100{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$(สีเขียว)
• ${\displaystyle 1000{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$(สีน้ำเงิน) หรือ
• ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$(สีม่วง).

เงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่นำไปสู่การพลิกกลับภายในจะถูกแสดงด้วยสีขาว ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

ขอบเขตของบริเวณสีขาวตรงกลางถูกกำหนดบางส่วนโดยการอนุรักษ์พลังงานด้วยเส้นโค้งต่อไปนี้: $${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$$

ภายในบริเวณที่กำหนดโดยเส้นโค้งนี้ นั่นคือ ถ้าเป็นไปไม่ได้ในเชิงพลังงานที่ลูกตุ้มทั้งสองจะพลิกกลับ นอกบริเวณนี้ ลูกตุ้มสามารถพลิกกลับได้ แต่การกำหนดว่ามันจะพลิกกลับเมื่อใดนั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อน พฤติกรรมที่คล้ายกันนี้พบได้ในลูกตุ้มคู่ที่ประกอบด้วยมวลจุด สองจุด แทนที่จะเป็นแท่งสองแท่งที่มีมวลกระจาย^{[ 2 ]}$${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$$

การขาดความถี่การกระตุ้นตามธรรมชาติทำให้ต้องใช้ระบบลูกตุ้มคู่ในการออกแบบต้านทานแผ่นดินไหวในอาคาร โดยที่ตัวอาคารเองเป็นลูกตุ้มคว่ำหลัก และมีการเชื่อมต่อมวลรองเพื่อทำให้ลูกตุ้มคู่สมบูรณ์^{[ 3 ]}

• ลูกตุ้มกลับหัวคู่
• ลูกตุ้ม (กลศาสตร์)
• เครื่องยิงหิน
• โบลาส
• ตัวหน่วงมวล
• ตำราฟิสิกส์ช่วงกลางศตวรรษที่ 20 ใช้คำว่า "ลูกตุ้มคู่" หมายถึงลูกตุ้มเดี่ยวที่แขวนจากเชือกเส้นหนึ่ง ซึ่งแขวนจากเชือกรูปตัววีอีกทีหนึ่งลูกตุ้ม ประเภทนี้ ซึ่งสร้างเส้นโค้งลิสซาจูส์ปัจจุบันเรียกว่าลูกตุ้มแบล็กเบิร์น

ลองค้นหาคำว่า"double pendulum"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• ภาพเคลื่อนไหวและคำอธิบายเกี่ยวกับลูกตุ้มคู่และลูกตุ้มคู่แบบกายภาพ (แผ่นสี่เหลี่ยมสองแผ่น)โดย ไมค์ วีทแลนด์ (มหาวิทยาลัยซิดนีย์)
• โปรแกรมจำลองฟิสิกส์แบบโต้ตอบโอเพนซอร์สด้วย JavaScript พร้อมสมการโดยละเอียดสำหรับลูกตุ้มคู่
• การจำลอง ลูกตุ้มคู่แบบโต้ตอบด้วย JavaScript
• การจำลองทางฟิสิกส์ของลูกตุ้มคู่จากwww.myphysicslab.comโดยใช้โค้ด JavaScript แบบโอเพนซอร์ส
• การจำลอง สมการ และคำอธิบายของลูกตุ้มรอตต์
• วิดีโอเปรียบเทียบลูกตุ้มคู่ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเหมือนกันบน YouTube
• โปรแกรมจำลองลูกตุ้มคู่ - โปรแกรมจำลองแบบโอเพนซอร์สที่เขียนด้วยภาษาC++โดยใช้ชุดเครื่องมือ Qt
• โปรแกรมจำลอง Java ออนไลน์ถูกเก็บถาวร เมื่อวันที่ 16 สิงหาคม 2022 ที่Wayback Machineของนิทรรศการ Imaginary