ลูกตุ้มเป็นอุปกรณ์เชิงกลที่ประกอบด้วย ตุ้ม น้ำหนักที่แขวนจากจุดหมุนเพื่อให้สามารถแกว่งได้อย่างอิสระ[ ^{1 ] เมื่อ}ลูกตุ้มเคลื่อนที่ไปด้านข้างจาก ตำแหน่ง สมดุลเชิงกล ที่หยุดนิ่ง มันจะได้รับแรงดึงกลับเนื่องจากแรงโน้มถ่วงซึ่งจะเร่งมันกลับไปยังตำแหน่งสมดุล เมื่อปล่อย แรงดึงกลับที่กระทำต่อมวลของลูกตุ้มจะทำให้มันแกว่งไปมารอบตำแหน่งสมดุล เวลาสำหรับหนึ่งรอบที่สมบูรณ์ การแกว่งไปทางซ้ายและการแกว่งไปทางขวา หรือความถี่มักเรียกว่า "คาบ" คาบขึ้นอยู่กับทั้งความยาวของลูกตุ้มและแอมพลิจูด (ความกว้างของการแกว่งของลูกตุ้ม) หน่วย SI ของคาบของลูกตุ้มคือวินาที (s)

การเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอของลูกตุ้มเหมาะสำหรับการบอกเวลานาฬิกาลูกตุ้มถูกประดิษฐ์โดยคริสเตียน ฮุยเกนส์ในปี ค.ศ. 1656 และกลายเป็นมาตรฐานการบอกเวลาของโลกที่ใช้กันในบ้านและสำนักงานเป็นเวลา 270 ปีนาฬิกา Shortt-Synchronomeมีความแม่นยำประมาณหนึ่งวินาทีต่อปี ก่อนที่จะถูกแทนที่ด้วยนาฬิกาควอตซ์ ในฐานะมาตรฐานเวลา ในช่วงทศวรรษ ค.ศ. 1930 ^{[ 2 ]} ลูกตุ้มยังใช้ในเครื่องมือทางวิทยาศาสตร์เช่นเครื่องวัดความเร่งและเครื่องวัดแผ่นดินไหวในอดีต ลูกตุ้มถูกใช้เป็นเครื่องวัดความโน้มถ่วงเพื่อวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วงในการสำรวจทางธรณีฟิสิกส์ และเป็นมาตรฐานความยาว คำว่าpendulumมาจากภาษาละตินใหม่pendulusซึ่งหมายถึง' แขวน' ^{[ 3 ]}

ลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่าย [ ^{4 ​​] เป็น}แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติของลูกตุ้ม^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ซึ่งประกอบด้วยตุ้มน้ำหนัก (หรือลูกตุ้ม ) ที่ปลายเชือกที่ไม่มีมวลซึ่งแขวนจากจุดหมุนโดยไม่มีแรงเสียดทานเมื่อได้รับแรงผลักเริ่มต้น มันจะแกว่งไปมาด้วยแอมพลิจูด คง ที่ ลูกตุ้มจริงนั้นอยู่ภายใต้แรงเสียดทานและแรงต้านอากาศดังนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งจึงลดลง

ลูกตุ้ม

ภาพเคลื่อนไหวของลูกตุ้มแสดงแรงที่กระทำต่อลูกตุ้ม ได้แก่ แรงตึงT ในแกน และแรงโน้มถ่วงmg

ภาพเคลื่อนไหวของลูกตุ้มแสดง เวกเตอร์ ความเร็วและความเร่ง

คาบการแกว่งของลูกตุ้มจะยาวขึ้นเมื่อแอมพลิจูดθ ₀ (ความกว้างของการแกว่ง) เพิ่มขึ้น

คาบการแกว่งของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายขึ้นอยู่กับความยาว ของ ลูกตุ้ม ความแรงของแรงโน้มถ่วงในบริเวณนั้น และขึ้นอยู่กับ มุม สูงสุด ที่ลูกตุ้มแกว่งออกจากแนวตั้งθ ₀เพียงเล็กน้อยซึ่งเรียกว่าแอมพลิจูด [ ^{8 ] มัน} ไม่ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม หากแอมพลิจูดถูกจำกัดไว้ที่การแกว่งเล็กน้อย^{[หมายเหตุ 1 ]} คาบT ของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่ง เป็นเวลาที่ใช้สำหรับรอบสมบูรณ์ คือ: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1{\text{ เรเดียน}}}$$

1

โดยที่คือความยาวของลูกตุ้ม และคือความเร่งโน้มถ่วง เฉพาะ ที่ ${\displaystyle L}$${\displaystyle g}$

สำหรับการแกว่งเล็กๆ คาบการแกว่งจะใกล้เคียงกันสำหรับการแกว่งที่มีขนาดต่างกัน กล่าวคือคาบการแกว่งไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดคุณสมบัตินี้เรียกว่าไอโซโครนิสม์ซึ่งเป็นเหตุผลที่ลูกตุ้มมีประโยชน์มากสำหรับการบอกเวลา^{[ 10 ]} การแกว่งของลูกตุ้มที่ต่อเนื่องกัน แม้ว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูด ก็ใช้เวลาเท่ากัน

สำหรับแอมพลิจูด ที่มากขึ้น คาบจะเพิ่มขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไปตามแอมพลิจูด ดังนั้นจึงยาวกว่าที่กำหนดโดยสมการ (1) ตัวอย่างเช่น ที่แอมพลิจูดθ ₀ = 0.4 เรเดียน (23°) จะมากกว่าที่กำหนดโดย (1) 1% คาบจะเพิ่มขึ้นแบบเข้าใกล้ค่าอนันต์ (ไปสู่ค่าอนันต์) เมื่อθ ₀เข้าใกล้ π เรเดียน (180°) เนื่องจากค่าθ ₀ = π เป็นจุดสมดุลที่ไม่เสถียรสำหรับลูกตุ้ม คาบที่แท้จริงของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายในอุดมคติสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ (ดูลูกตุ้ม (กลศาสตร์) ) ตัวอย่างหนึ่งคืออนุกรมอนันต์ : ^{[ 11 ] [ 12 ]} โดยที่อยู่ในหน่วยเรเดียน $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$${\displaystyle \theta _{0}}$

ความแตกต่างระหว่างคาบเวลาจริงนี้กับคาบเวลาสำหรับการแกว่งเล็กๆ (1) ข้างต้นเรียกว่าข้อผิดพลาดแบบวงกลมในกรณีของนาฬิกาตั้งพื้น ทั่วไป ที่มีลูกตุ้มแกว่ง 6° และด้วยเหตุนี้จึงมีแอมพลิจูด 3° (0.05 เรเดียน) ความแตกต่างระหว่างคาบเวลาจริงกับการประมาณมุมเล็กๆ (1) จะเท่ากับประมาณ 15 วินาทีต่อวัน

สำหรับการแกว่งเล็กน้อย ลูกตุ้มจะประมาณได้ว่าเป็นตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกและการเคลื่อนที่ของมันเป็นฟังก์ชันของเวลาtโดยประมาณจะเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย : ^{[ 5 ]} โดยที่เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น $${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$${\displaystyle \varphi }$

สำหรับลูกตุ้มจริง คาบจะแตกต่างกันเล็กน้อยตามปัจจัยต่างๆ เช่น แรงลอยตัวและแรงต้านทานหนืดของอากาศ มวลของเชือกหรือแท่ง ขนาดและรูปร่างของลูกตุ้มและวิธีการยึดติดกับเชือก รวมถึงความยืดหยุ่นและการยืดตัวของเชือก^{[ 11 ] [ 13 ]} ในการใช้งานที่ต้องการความแม่นยำ อาจจำเป็นต้องปรับแก้ปัจจัยเหล่านี้ในสมการ (1) เพื่อให้ได้คาบที่แม่นยำ

ลูกตุ้มที่ถูกหน่วงและขับเคลื่อนเป็นระบบอลหม่าน^{[ 14 ] [ 15 ]}

วัตถุแข็งที่แกว่งไปมาได้อย่างอิสระรอบแกนแนวนอนคงที่เรียกว่าลูกตุ้มประกอบหรือลูกตุ้มทางกายภาพลูกตุ้มประกอบมีคาบเท่ากับลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงธรรมดาที่มีความยาวเรียกว่าความยาวเทียบเท่าหรือรัศมีของการแกว่งเท่ากับระยะทางจากจุดหมุนไปยังจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางการแกว่ง [ ^{16 ] จุด}นี้ตั้งอยู่ใต้ศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม ในระยะทางที่ขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของลูกตุ้ม หากมวลส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ในลูกตุ้มที่มีขนาดค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของลูกตุ้ม ศูนย์กลางการแกว่งจะอยู่ใกล้กับศูนย์กลางมวล^{[ 17 ]}${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$

รัศมีของการแกว่งหรือความยาวเทียบเท่าของลูกตุ้มทางกายภาพใดๆ สามารถแสดงได้ว่า ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$$${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

โดยที่คือโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มรอบจุดหมุนคือมวลรวมของลูกตุ้ม และคือระยะห่างระหว่างจุดหมุนกับศูนย์กลางมวลเมื่อแทนนิพจน์นี้ลงใน (1) ข้างต้น คาบของลูกตุ้มประกอบจะกำหนดโดย สำหรับการแกว่งที่เล็กพอ^{[ 18 ]}${\displaystyle I_{O}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

ตัวอย่างเช่น แท่งแข็งสม่ำเสมอที่มีความยาวเท่ากับ t และหมุนรอบปลายด้านหนึ่งจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับσ² จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่กึ่งกลางของแท่ง ดังนั้น σ² เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการข้างต้นจะได้σ² = σ² ซึ่งแสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มแท่งแข็งมีคาบการแกว่งเท่ากับลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีความยาวเป็นสองในสามของแท่งแข็ง ${\displaystyle \ell }$${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$

ในปี ค.ศ. 1673 Christiaan Huygensได้พิสูจน์ว่าจุดหมุนและจุดศูนย์กลางการแกว่งสามารถสลับกันได้^{[ 19 ]} ซึ่งหมายความว่าหากลูกตุ้มใดๆ ถูกพลิกกลับหัวและแกว่งจากจุดหมุนที่ตั้งอยู่ที่จุดศูนย์กลางการแกว่งเดิม มันจะมีคาบเท่าเดิม และจุดศูนย์กลางการแกว่งใหม่จะอยู่ที่จุดหมุนเดิม ในปี ค.ศ. 1817 Henry Katerได้ใช้แนวคิดนี้เพื่อสร้างลูกตุ้มแบบกลับทิศได้ชนิดหนึ่ง ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อลูกตุ้ม Katerเพื่อการวัดความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่ดีขึ้น

ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ในด้านระบบพลวัตลูกตุ้มคู่หรือที่รู้จักกันในชื่อลูกตุ้มอลหม่าน คือลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มอีกอันติดอยู่ที่ปลาย ทำให้เกิดระบบทางกายภาพ ที่เรียบง่าย ซึ่งแสดงพฤติกรรมพลวัต ที่หลากหลาย และมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก [ ^{20 ] การ}เคลื่อนที่ของลูกตุ้มคู่ถูกควบคุมโดยชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ที่เชื่อมโยงกัน และเป็นแบบ อลหม่าน

หนึ่งในการใช้งานลูกตุ้มที่รู้จักกันในยุคแรกสุดคือ อุปกรณ์ วัดแผ่นดินไหว ในศตวรรษที่ 1 ของนักวิทยาศาสตร์ชาวจีนสมัยราชวงศ์ฮั่น จางเหิง^{[ 21 ]}หน้าที่ของมันคือการแกว่งและกระตุ้นคันโยกชุดหนึ่งหลังจากถูกรบกวนจากการสั่นสะเทือนของแผ่นดินไหวที่อยู่ไกลออกไป^{[ 22 ]} เมื่อปล่อยโดยคันโยก ลูกบอลขนาดเล็กจะตกลงมาจากอุปกรณ์รูปทรงโถลงไปในปากคางคกโลหะ 8 อันด้านล่าง ซึ่งอยู่ที่ 8 ทิศทางของเข็มทิศ เพื่อแสดงทิศทางที่แผ่นดินไหวตั้งอยู่^{[ 22 ]}

แหล่งข้อมูลหลายแห่ง^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}อ้างว่านักดาราศาสตร์ชาวอียิปต์ในศตวรรษที่ 10 ชื่อIbn Yunusใช้ลูกตุ้มในการวัดเวลา แต่ความเข้าใจผิดนี้เกิดขึ้นในปี 1684 โดยนักประวัติศาสตร์ชาวอังกฤษEdward Bernard ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

ในช่วงยุคเรเนสซองส์ ลูกตุ้มขนาดใหญ่ที่ใช้มือสูบถูกใช้เป็นแหล่งพลังงานสำหรับเครื่องจักรแบบลูกสูบด้วยมือ เช่น เลื่อย เครื่องเป่าลม และปั๊ม^{[ 31 ]}

กาลิเลโอ กาลิเลอีนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลีเป็นคนแรกที่ศึกษาคุณสมบัติของลูกตุ้ม เริ่มต้นราวปี ค.ศ. 1602 ^{[ 32 ]}ความสนใจในลูกตุ้มที่บันทึกไว้ครั้งแรกของกาลิเลโอเกิดขึ้นราวปี ค.ศ. 1588 ในบันทึกที่ตีพิมพ์หลังมรณกรรมของเขาชื่อOn Motion [ ^{33 ] [ 34 ] ซึ่ง}เขาสังเกตว่าวัตถุที่หนักกว่าจะแกว่งไปมาได้นานกว่าวัตถุที่เบากว่า รายงานการวิจัยเชิงทดลองที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของเขาอยู่ในจดหมายถึง Guido Ubaldo dal Monte จากเมืองปาดัว ลงวันที่ 29 พฤศจิกายน ค.ศ. 1602 ^{[ 35 ]}วินเซนโซ วิเวียนีนักเขียนชีวประวัติและลูกศิษย์ของเขาอ้างว่าความสนใจของเขาเกิดขึ้นราวปี ค.ศ. 1582 จากการแกว่งของโคมระย้าในมหาวิหารปิซา [ ^{36 ] [ 37 ] กา}ลิเลโอค้นพบคุณสมบัติที่สำคัญที่ทำให้ลูกตุ้มมีประโยชน์ในฐานะเครื่องบอกเวลา เรียกว่า ไอโซโครนิสม์ คาบการแกว่งของลูกตุ้มนั้นแทบจะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดหรือความกว้างของการแกว่งเลย^{[ 38 ]}เขายังพบว่าคาบการแกว่งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม และเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของความยาวของลูกตุ้ม เขาใช้ลูกตุ้มแกว่งอิสระเป็นครั้งแรกในการจับเวลาแบบง่ายๆซานโตริโอ ซานโตริในปี ค.ศ. 1602 ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ที่ใช้วัดชีพจร ของผู้ป่วย โดยใช้ความยาวของลูกตุ้ม ซึ่งเรียกว่า พัลซิโลเจียม [ ^{39 ] ใน}ปี ค.ศ. 1641 กาลิเลโอได้บอกแบบกลไกให้ลูกชายของเขาวินเซนโซเพื่อทำให้ลูกตุ้มแกว่ง ซึ่งได้รับการอธิบายว่าเป็นนาฬิกาลูกตุ้มเรือนแรก^{[ 38 ]}วินเซนโซเริ่มสร้าง แต่ยังสร้างไม่เสร็จเมื่อเขาเสียชีวิตในปี ค.ศ. 1649 ^{[ 40 ]}

นาฬิกาลูกตุ้มเรือนแรก

ในปี ค.ศ. 1656 นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์Christiaan Huygens ได้สร้าง นาฬิกาลูกตุ้มเรือนแรก[ ^{41 ] นี่} เป็นการปรับปรุงครั้งใหญ่เมื่อเทียบกับนาฬิกาเชิงกลที่มีอยู่เดิม ความแม่นยำสูงสุดของนาฬิกาเชิงกลได้รับการปรับปรุงจากความคลาดเคลื่อนประมาณ 15 นาทีต่อวัน เหลือเพียงประมาณ 15 วินาทีต่อวัน^{[ 42 ]} นาฬิกาลูกตุ้มแพร่หลายไปทั่วยุโรปเนื่องจากนาฬิกาที่มีอยู่เดิมได้รับการดัดแปลงให้ใช้ลูกตุ้ม^{[ 43 ]}

โรเบิร์ต ฮุกนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษศึกษาลูกตุ้มทรงกรวยราวปี ค.ศ. 1666 ซึ่งประกอบด้วยลูกตุ้มที่แกว่งได้อย่างอิสระในสองมิติ โดยลูกตุ้มหมุนเป็นวงกลมหรือวงรี^{[ 44 ]} เขาใช้การเคลื่อนที่ของอุปกรณ์นี้เป็นแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่ในวงโคจรของดาวเคราะห์[ ^{45 ] ฮุ}กเสนอแนะแก่ไอแซค นิวตันในปี ค.ศ. 1679 ว่าส่วนประกอบของการเคลื่อนที่ในวงโคจรประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบเฉื่อยตามทิศทางสัมผัสบวกกับการเคลื่อนที่แบบดึงดูดในทิศทางรัศมี ซึ่งมีส่วนสำคัญในการกำหนดกฎแรงโน้มถ่วงสากลของ นิวตัน ^{[ 46 ] [ 47 ]}โรเบิร์ต ฮุก ยังเป็นผู้เสนอแนะตั้งแต่ปี ค.ศ. 1666 ว่าลูกตุ้มสามารถใช้ในการวัดแรงโน้มถ่วงได้^{[ 44 ]}

ระหว่างการเดินทางสำรวจเมืองกาเยนน์ประเทศเฟรนช์เกียนาในปี ค.ศ. 1671 ฌอง ริเชอร์พบว่านาฬิกาแบบลูกตุ้ม นั้น มีขนาด 2+เวลาในกาเยนน์ช้ากว่าในปารีสวันละ 1/2 นาทีจากนี้เขาจึงสรุปได้ว่าแรงโน้มถ่วงในกาเยนน์นั้นต่ำกว่า ^{[ 48 ] [ 49 ]} ในปี ค.ศ. 1687ไอแซค นิวตันในหนังสือ Principia Mathematicaได้แสดงให้เห็นว่าสาเหตุเป็นเพราะโลกไม่ได้เป็นทรงกลมที่แท้จริง แต่เป็นทรงรี เล็กน้อย (แบนที่ขั้วโลก) อันเนื่องมาจากแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจากการหมุนของโลก ทำให้แรงโน้มถ่วงเพิ่มขึ้นตามละติจูด [ ^{50 ] ลูกตุ้ม} แบบพกพาเริ่มถูกนำไปใช้ในการเดินทางไปยังดินแดนที่ห่างไกล ในฐานะเครื่องวัดแรงโน้ม ถ่วงที่มีความแม่นยำ เพื่อวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วงณ จุดต่างๆ บนโลก ซึ่งในที่สุดก็ส่งผลให้ได้แบบจำลองรูปร่างของโลกที่ ^{แม่นยำ [ 51 ]}

ในปี ค.ศ. 1673 17 ปีหลังจากที่เขาประดิษฐ์นาฬิกาลูกตุ้มChristiaan Huygensได้ตีพิมพ์ทฤษฎีลูกตุ้มของเขาHorologium Oscillatorium sive de motu pendulorum [ ^{52 ] [ 53 ] Marin} MersenneและRené Descartesได้ค้นพบเมื่อราวปี ค.ศ. 1636 ว่าลูกตุ้มไม่ได้มีจังหวะคงที่อย่างแท้จริง คาบเวลาของมันเพิ่มขึ้นเล็กน้อยตามแอมพลิจูด^{[ 54 ]} Huygens วิเคราะห์ปัญหานี้โดยการกำหนดเส้นโค้งที่วัตถุต้องเคลื่อนที่ตามเพื่อให้ตกลงมาด้วยแรงโน้มถ่วงไปยังจุดเดียวกันในช่วงเวลาเดียวกัน โดยไม่คำนึงถึงจุดเริ่มต้น ซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งเทาโทโครนด้วยวิธีการที่ซับซ้อนซึ่งเป็นการใช้แคลคูลัส ในยุคแรกๆ เขาแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งนี้เป็นไซคลอยด์แทนที่จะเป็นส่วนโค้งวงกลมของลูกตุ้ม^{[ 55 ]}ยืนยันว่าลูกตุ้มไม่ได้มีจังหวะคงที่ และการสังเกตเรื่องจังหวะคงที่ของกาลิเลโอมีความแม่นยำเฉพาะกับการแกว่งเล็กๆ เท่านั้น^{[ 56 ]} Huygens ยังแก้ปัญหาเรื่องวิธีการคำนวณคาบของลูกตุ้มที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ (เรียกว่าลูกตุ้มแบบผสม ) โดยค้นพบจุดศูนย์กลางการแกว่งและความสามารถในการสลับตำแหน่งกับจุดหมุน^{[ 57 ]}

กลไกนาฬิกาที่มีอยู่เดิม คือกลไกหลบหนีแบบเวอร์จทำให้ลูกตุ้มแกว่งเป็นวงกว้างมากถึงประมาณ 100° ^{[ 58 ]}ฮุยเกนส์แสดงให้เห็นว่านี่เป็นสาเหตุของความไม่แม่นยำ ทำให้คาบเวลาแปรผันไปตามการเปลี่ยนแปลงของแอมพลิจูดที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในแรงขับเคลื่อนของนาฬิกา^{[ 59 ]} เพื่อให้คาบเวลาคงที่ ฮุยเกนส์ได้ติดตั้งตัวนำโลหะรูปไซคลอยด์ไว้ข้างจุดหมุนในนาฬิกาของเขา ซึ่งจำกัดเชือกแขวนและบังคับให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งไซคลอยด์ (ดูลูกตุ้มไซคลอยด์ ) ^{[ 60 ]} วิธีแก้ปัญหานี้ไม่ได้พิสูจน์ว่าใช้งานได้จริงเท่ากับการจำกัดการแกว่งของลูกตุ้มให้เป็นมุมเล็กๆ เพียงไม่กี่องศา การตระหนักว่าการแกว่งเล็กๆ เท่านั้นที่คงที่ ได้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนากลไกหลบหนีแบบแองเคอร์ราวปี 1670 ซึ่งลดการแกว่งของลูกตุ้มในนาฬิกาเหลือเพียง 4°–6° ^{[ 58 ] [ 61 ]}สิ่งนี้กลายเป็นกลไกการปล่อยมาตรฐานที่ใช้ในนาฬิกาลูกตุ้ม

ในช่วงศตวรรษที่ 18 และ 19 บทบาทของ นาฬิกาลูกตุ้มในฐานะเครื่องบอกเวลาที่แม่นยำที่สุดได้กระตุ้นให้เกิดการวิจัยเชิงปฏิบัติมากมายเพื่อปรับปรุงลูกตุ้ม พบว่าแหล่งที่มาหลักของข้อผิดพลาดคือแท่งลูกตุ้มขยายและหดตัวตามการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิแวดล้อม ทำให้คาบการแกว่งเปลี่ยนไป^{[ 8 ] [ 62 ]} ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขด้วยการประดิษฐ์ลูกตุ้มที่ชดเชยอุณหภูมิ ลูกตุ้มปรอทในปี 1721 ^{[ 63 ]}และลูกตุ้มตะแกรงเหล็กในปี 1726 ซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาดในนาฬิกาลูกตุ้มที่มีความแม่นยำเหลือเพียงไม่กี่วินาทีต่อสัปดาห์^{[ 60 ]}

ความแม่นยำของการวัดแรงโน้มถ่วงด้วยลูกตุ้มนั้นถูกจำกัดด้วยความยากลำบากในการหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางการแกว่งฮอยเกนส์ค้นพบในปี ค.ศ. 1673 ว่าลูกตุ้มจะมีคาบเท่ากันเมื่อแขวนจากจุดศูนย์กลางการแกว่งกับเมื่อแขวนจากจุดหมุน^{[ 19 ]}และระยะห่างระหว่างสองจุดนั้นเท่ากับความยาวของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงแบบง่ายที่มีคาบเดียวกัน^{[ 16 ]} ในปี ค.ศ. 1818 กัปตันเฮนรี เคเตอร์ ชาวอังกฤษ ได้ประดิษฐ์ลูกตุ้มเคเตอร์ แบบกลับทิศได้ ^{[ 64 ]}ซึ่งใช้หลักการนี้ ทำให้สามารถวัดแรงโน้มถ่วงได้อย่างแม่นยำมาก ตลอดศตวรรษต่อมา ลูกตุ้มแบบกลับทิศได้เป็นวิธีการมาตรฐานในการวัดความเร่งโน้มถ่วงสัมบูรณ์

ในปี ค.ศ. 1851 ฌอง แบร์นาร์ด เลอง ฟูโกต์ได้แสดงให้เห็นว่าระนาบการแกว่งของลูกตุ้ม เช่นเดียว กับไจ โรสโคปมีแนวโน้มที่จะคงที่โดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนที่ของจุดหมุน และสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อสาธิตการ หมุนของโลกได้ เขาแขวนลูกตุ้มที่แกว่งได้อย่างอิสระในสองมิติ (ต่อมาได้ชื่อว่าลูกตุ้มฟูโกต์ ) จากโดมของปองเตองในปารีส ความยาวของเชือกคือ 67 เมตร (220 ฟุต) เมื่อลูกตุ้มเริ่มเคลื่อนที่ ระนาบการแกว่งถูกสังเกตว่า หมุน รอบ 360° ตามเข็มนาฬิกาในเวลาประมาณ 32 ชั่วโมง^{[ 65 ]} นี่เป็นการสาธิตการหมุนของโลกครั้งแรกที่ไม่ขึ้นอยู่กับการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์^{[ 66 ]}และเกิด "ความคลั่งไคล้ลูกตุ้ม" ขึ้น เนื่องจากลูกตุ้มฟูโกต์ถูกนำไปจัดแสดงในหลายเมืองและดึงดูดฝูงชนจำนวนมาก^{[ 67 ] [ 68 ]}

ประมาณปี 1900 วัสดุ ที่มีการขยายตัวทางความร้อนต่ำเริ่มถูกนำมาใช้สำหรับแท่งลูกตุ้มในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดและเครื่องมืออื่นๆ โดยเริ่มจากอินวาร์ซึ่งเป็นโลหะผสมเหล็กนิกเกิล และต่อมาคือควอตซ์หลอมซึ่งทำให้การชดเชยอุณหภูมิเป็นเรื่องง่าย^{[ 69 ]} ลูกตุ้มที่มีความแม่นยำจะถูกบรรจุไว้ในถังความดันต่ำ ซึ่งรักษาความดันอากาศให้คงที่เพื่อป้องกันการเปลี่ยนแปลงของคาบเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของ แรง ลอยตัว ของลูกตุ้มอันเนื่อง มาจากการเปลี่ยนแปลง ของ ความดันบรรยากาศ^{[ 69 ]} นาฬิกาลูกตุ้มที่ดีที่สุดมีความแม่นยำประมาณหนึ่งวินาทีต่อปี^{[ 70 ] [ 71 ]}

ความแม่นยำในการบอกเวลาของลูกตุ้มถูกแซงหน้าโดยออสซิลเลเตอร์คริสตัลควอตซ์ ที่คิดค้นขึ้นในปี พ.ศ. 2464 และนาฬิกาควอตซ์ที่คิดค้นขึ้นในปี พ.ศ. 2460 ได้เข้ามาแทนที่นาฬิกาลูกตุ้มในฐานะเครื่องบอกเวลาที่ดีที่สุดในโลก^{[ 2 ]} นาฬิกาลูกตุ้มถูกใช้เป็นมาตรฐานเวลาจนถึงสงครามโลกครั้งที่ 2 แม้ว่าหน่วยงานบริการเวลาของฝรั่งเศสจะยังคงใช้นาฬิกาลูกตุ้มในชุดมาตรฐานเวลาอย่างเป็นทางการจนถึงปี พ.ศ. 2497 ^{[ 72 ]}เครื่องวัดความโน้มถ่วง แบบลูกตุ้มถูกแทนที่ด้วยเครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบ "ตกอิสระ" ในช่วงทศวรรษ พ.ศ. 2493 ^{[ 73 ]}แต่เครื่องมือลูกตุ้มยังคงถูกใช้ต่อไปจนถึงทศวรรษ พ.ศ. 2513

เป็นเวลากว่า 300 ปี นับตั้งแต่การค้นพบราวปี ค.ศ. 1582 จนกระทั่งมีการพัฒนานาฬิกาควอตซ์ในช่วงทศวรรษ ค.ศ. 1930 ลูกตุ้มเป็นมาตรฐานของโลกสำหรับการบอกเวลาที่แม่นยำ^{[ 2 ] [ 74 ]} นอกจากลูกตุ้มนาฬิกาแล้วลูกตุ้มวินาที แบบแกว่งอิสระ ยังถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในฐานะตัวจับเวลาที่แม่นยำในการทดลองทางวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 และ 18 ลูกตุ้มต้องการความเสถียรทางกลสูง การเปลี่ยนแปลงความยาวเพียง 0.02% หรือ 0.2 มม. ในลูกตุ้มนาฬิกาตั้งพื้น จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดหนึ่งนาทีต่อสัปดาห์^{[ 75 ]}

ลูกตุ้มนาฬิกา

ลูกตุ้มนาฬิกาตั้งพื้น (นาฬิกาคุณปู่)

ลูกตุ้มประดับตกแต่งในนาฬิกาแบบฝรั่งเศสสไตล์กงตัวส์

ลูกตุ้มปรอท

ลูกตุ้มกริดไอรอน

ลูกตุ้มเอลลิคอตต์ ลูกตุ้มอีกประเภทหนึ่งที่ชดเชยอุณหภูมิ

ลูกตุ้ม อินวาร์ในถังแรงดันต่ำในนาฬิกาควบคุมรีฟเลอร์ซึ่งใช้เป็นมาตรฐานเวลาของสหรัฐอเมริกาตั้งแต่ปี 1909 ถึง 1929

ลูกตุ้มและกลไกปล่อยพลังงานจากนาฬิกาตั้งพื้น

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการทำงานของกลไกปล่อยวิถีแบบแองเคอร์ซึ่งเป็นหนึ่งในกลไกปล่อยวิถีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในนาฬิกาลูกตุ้ม

ลูกตุ้มในนาฬิกา (ดูตัวอย่างทางด้านขวา) มักทำจากตุ้มน้ำหนักหรือลูกตุ้ม(b) ที่แขวนด้วยแท่งไม้หรือโลหะ(a) [ ^{8 ] [ 76 ] เพื่อ} ลดแรงต้านอากาศ (ซึ่งเป็นสาเหตุหลักของการสูญเสียพลังงานในนาฬิกาที่มีความแม่นยำ) ^{[ 77 ]} โดยทั่วไปลูกตุ้มจะเป็นแผ่นเรียบที่มีหน้าตัดเป็นรูปเลนส์ แม้ว่าในนาฬิกาโบราณมักจะมีการแกะสลักหรือตกแต่งเฉพาะสำหรับนาฬิกาแต่ละประเภท ในนาฬิกาคุณภาพสูง ลูกตุ้มจะมีน้ำหนักมากที่สุดเท่าที่ระบบแขวนจะรับได้และกลไกจะขับเคลื่อนได้ เนื่องจากจะช่วยปรับปรุงการควบคุมนาฬิกา (ดูความแม่นยำด้านล่าง) น้ำหนักทั่วไปสำหรับ ลูกตุ้ม วินาทีคือ 15 ปอนด์ (6.8 กก.) ^{[ 78 ]} แทนที่จะแขวนจากจุดหมุน ลูกตุ้มนาฬิกามักจะได้รับการรองรับด้วย สปริง ตรงสั้น(d) ที่ทำจากริบบิ้นโลหะที่ยืดหยุ่นได้ วิธีนี้ช่วยหลีกเลี่ยงแรงเสียดทานและ 'การเล่น' ที่เกิดจากจุดหมุน และแรงดัดเล็กน้อยของสปริงจะช่วยเสริม แรงคืนตัวของลูกตุ้มนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดจะมีแกนหมุนเป็นใบมีดคล้ายมีดวางอยู่บนแผ่นหินอาเกต แรงกระตุ้นที่ทำให้ลูกตุ้มแกว่งไปมานั้นมาจากแขนที่ห้อยอยู่ด้านหลังลูกตุ้มเรียกว่าครัทช์ ( e)ซึ่งปลายมีลักษณะเป็นง่าม ( f) โดยง่ามของง่ามจะโอบรอบแกนลูกตุ้ม ครัทช์จะถูกผลักไปมาโดย กลไกหลบหนีของนาฬิกา( g,h )

ทุกครั้งที่ลูกตุ้มแกว่งผ่านตำแหน่งศูนย์กลาง มันจะปล่อยฟันเฟืองของล้อหลบหนี(g) ออกมาหนึ่งซี่ แรงจาก สปริงหลักของนาฬิกา หรือตุ้มน้ำหนักที่แขวนจากรอก จะถูกส่งผ่าน ชุดเฟืองของนาฬิกาทำให้ล้อหมุน และฟันเฟืองจะกดกับแผ่นรับ แรง (h) แผ่นใดแผ่นหนึ่ง ทำให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ไปข้างหน้าเป็นระยะสั้นๆ ล้อของนาฬิกาซึ่งต่อกับล้อหลบหนี จะเคลื่อนที่ไปข้างหน้าเป็นระยะคงที่ทุกครั้งที่ลูกตุ้มแกว่ง ทำให้เข็มนาฬิกาเคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยอัตราคงที่

ลูกตุ้มมักมีวิธีการปรับคาบเวลา โดยปกติจะใช้ตัวปรับ(c)ใต้ลูกตุ้มซึ่งจะเลื่อนขึ้นหรือลงบนแกน^{[ 8 ] [ 79 ]} การเลื่อนลูกตุ้มขึ้นจะทำให้ความยาวของลูกตุ้มลดลง ส่งผลให้ลูกตุ้มแกว่งเร็วขึ้นและนาฬิกาเดินเร็วขึ้น นาฬิกาที่มีความแม่นยำบางเรือนมีตุ้มน้ำหนักเสริมขนาดเล็กบนแกนเกลียวที่ลูกตุ้ม เพื่อให้สามารถปรับละเอียดขึ้นได้นาฬิกาหอคอยและนาฬิกาที่มีความแม่นยำบางเรือนใช้ถาดที่ติดอยู่ใกล้กับจุดกึ่งกลางของแกนลูกตุ้ม ซึ่งสามารถเพิ่มหรือถอดตุ้มน้ำหนักขนาดเล็กได้ วิธีนี้จะเปลี่ยนจุดศูนย์กลางของการแกว่งและช่วยให้สามารถปรับอัตราได้โดยไม่ต้องหยุดนาฬิกา^{[ 80 ] [ 81 ]}

ลูกตุ้มจะต้องแขวนจากฐานรองที่แข็งแรง^{[ 8 ] [ 82 ]} ในระหว่างการทำงาน ความยืดหยุ่นใดๆ จะทำให้ฐานรองแกว่งเล็กน้อยจนมองไม่เห็น ซึ่งจะรบกวนคาบเวลาของนาฬิกา ส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาด นาฬิกาลูกตุ้มควรติดแน่นกับผนังที่แข็งแรง

ความยาวของลูกตุ้มที่พบได้บ่อยที่สุดในนาฬิกาคุณภาพสูง ซึ่งมักใช้ในนาฬิกาตั้งพื้นคือลูกตุ้มวินาทียาวประมาณ 1 เมตร (39 นิ้ว) ในนาฬิกาตั้งโต๊ะจะใช้ลูกตุ้มครึ่งวินาที ยาว 25 เซนติเมตร (9.8 นิ้ว) หรือสั้นกว่านั้น มีเพียงนาฬิกาหอคอย ขนาดใหญ่ไม่กี่เรือนเท่านั้น ที่ใช้ลูกตุ้มที่ยาวกว่า เช่น ลูกตุ้ม 1.5 วินาที ยาว 2.25 เมตร (7.4 ฟุต) หรือบางครั้งก็ใช้ลูกตุ้มสองวินาที ยาว 4 เมตร (13 ฟุต) ^{[ 8 ] [ 83 ]}ซึ่งใช้ในบิ๊กเบน^{[ 84 ]}

แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดในลูกตุ้มยุคแรกคือการเปลี่ยนแปลงความยาวเล็กน้อยเนื่องจากการขยายตัวและการหดตัวทางความร้อนของแท่งลูกตุ้มเมื่ออุณหภูมิแวดล้อมเปลี่ยนแปลง^{[ 85 ]} การค้นพบนี้เกิดขึ้นเมื่อผู้คนสังเกตเห็นว่านาฬิกาลูกตุ้มเดินช้าลงในฤดูร้อน มากถึงหนึ่งนาทีต่อสัปดาห์^{[ 62 ] [ 86 ]} (หนึ่งในคนแรกคือGodefroy Wendelinตามที่ Huygens รายงานในปี 1658) ^{[ 87 ]} การขยายตัวทางความร้อนของแท่งลูกตุ้มได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยJean Picardในปี 1669 ^{[ 88 ] [ 89 ]}ลูกตุ้มที่มีแท่งเหล็กจะขยายตัวประมาณ 11.3 ส่วนต่อล้าน (ppm) ทุกๆ การเพิ่มขึ้นขององศาเซลเซียส ทำให้เสียเวลาประมาณ 0.27 วินาทีต่อวันสำหรับการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิทุกๆ 1 องศาเซลเซียส หรือ 9 วินาทีต่อวันสำหรับการเปลี่ยนแปลง 33 °C (59 °F) แท่งไม้จะขยายตัวน้อยกว่า โดยจะคลาดเคลื่อนเพียงประมาณ 6 วินาทีต่อวันสำหรับการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ 33 องศาเซลเซียส (59 องศาฟาเรนไฮต์) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมนาฬิกาคุณภาพสูงจึงมักใช้แท่งลูกตุ้มที่ทำจากไม้ ไม้จะต้องถูกเคลือบเงาเพื่อป้องกันไอน้ำเข้าไป เนื่องจากความชื้นที่เปลี่ยนแปลงก็ส่งผลต่อความยาวของแท่งไม้ด้วย

อุปกรณ์ชิ้นแรกที่ใช้ชดเชยข้อผิดพลาดนี้คือลูกตุ้มปรอท ซึ่งคิดค้นโดยGeorge Graham ^{[ 63 ]}ในปี 1721 ^{[ 8 ] [ 86 ]} โลหะเหลวปรอทจะขยายตัวตามปริมาตรเมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น ในลูกตุ้มปรอท น้ำหนักของลูกตุ้ม (bob) คือภาชนะบรรจุปรอท เมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ก้านลูกตุ้มจะยาวขึ้น แต่ปรอทก็จะขยายตัวและระดับพื้นผิวของปรอทจะสูงขึ้นเล็กน้อยในภาชนะ ทำให้จุดศูนย์กลางมวลของปรอท เคลื่อน เข้าใกล้จุดหมุนของลูกตุ้มมากขึ้น การใช้ความสูงของปรอทในภาชนะที่ถูกต้องจะทำให้ผลกระทบทั้งสองนี้หักล้างกัน ทำให้จุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มและคาบการแกว่งไม่เปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิ ข้อเสียเปรียบหลักคือเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนแปลง ก้านลูกตุ้มจะปรับอุณหภูมิให้เข้ากับอุณหภูมิใหม่ได้อย่างรวดเร็ว แต่ปรอทอาจใช้เวลาหนึ่งหรือสองวันในการปรับอุณหภูมิให้เข้ากับอุณหภูมิใหม่ ทำให้ความเร็วในการแกว่งเบี่ยงเบนไปในช่วงเวลานั้น^{[ 90 ]} เพื่อปรับปรุงการปรับตัวทางความร้อน มักใช้ภาชนะบางๆ หลายใบที่ทำจากโลหะ ลูกตุ้มปรอทเป็นมาตรฐานที่ใช้ในนาฬิกาควบคุมความแม่นยำจนถึงศตวรรษที่ 20 ^{[ 91 ]}

ลูกตุ้มชดเชยที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือลูกตุ้มตะแกรงเหล็กซึ่งคิดค้นขึ้นในปี ค.ศ. 1726 โดยจอห์น แฮร์ริสัน [ ^{8 ] [ 86 ] [ 90 ] ลูกตุ้ม} นี้ประกอบด้วยแท่งโลหะสองชนิดสลับกัน ชนิดหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อน ( CTE ) ต่ำกว่า คือเหล็กและอีกชนิดหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อนสูงกว่า คือสังกะสีหรือทองเหลืองแท่งโลหะเหล่านี้เชื่อมต่อกันด้วยโครง ดังแสดงในภาพวาดทางด้านขวา เพื่อให้การเพิ่มความยาวของแท่งสังกะสีดันลูกตุ้มขึ้น ทำให้ลูกตุ้มสั้นลง เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น แท่งเหล็กที่มีค่าการขยายตัวต่ำจะทำให้ลูกตุ้มยาวขึ้น ในขณะที่แท่งสังกะสีที่มีค่าการขยายตัวสูงจะทำให้ลูกตุ้มสั้นลง โดยการทำแท่งโลหะให้มีความยาวที่ถูกต้อง การขยายตัวที่มากกว่าของสังกะสีจะหักล้างกับการขยายตัวของแท่งเหล็กซึ่งมีความยาวรวมกันมากกว่า และลูกตุ้มจะมีความยาวเท่าเดิมเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนแปลง

ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กผสมสังกะสีทำจากแท่ง 5 แท่ง แต่การขยายตัวทางความร้อนของทองเหลืองใกล้เคียงกับเหล็กมากกว่า ดังนั้นลูกตุ้มตะแกรงเหล็กผสมทองเหลืองจึงมักต้องใช้แท่ง 9 แท่ง ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กปรับตัวเข้ากับการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิได้เร็วกว่าลูกตุ้มปรอท แต่นักวิทยาศาสตร์พบว่าแรงเสียดทานของแท่งที่เลื่อนในรูบนกรอบทำให้ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กปรับตัวในลักษณะการกระโดดเล็กๆ หลายครั้ง^{[ 90 ]}ในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูง สิ่งนี้ทำให้จังหวะของนาฬิกาเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันในแต่ละการกระโดด ต่อมาพบว่าสังกะสีมีแนวโน้มที่จะเกิดการคืบด้วยเหตุผลเหล่านี้ ลูกตุ้มปรอทจึงถูกใช้ในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุด แต่ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กถูกใช้ในนาฬิกาควบคุมคุณภาพ

ลูกตุ้มนาฬิกาแบบตะแกรงเหล็กกลายเป็นสัญลักษณ์ของคุณภาพที่ดี จนถึงทุกวันนี้ ลูกตุ้มนาฬิกาทั่วไปหลายรุ่นยังมีตะแกรงเหล็ก "จำลอง" ที่ใช้เป็นของตกแต่ง ซึ่งไม่มีฟังก์ชันชดเชยอุณหภูมิแต่อย่างใด

ประมาณปี 1900 มีการพัฒนาวัสดุที่มีการขยายตัวทางความร้อนต่ำ ซึ่งสามารถใช้เป็นแท่งลูกตุ้มเพื่อลดความจำเป็นในการชดเชยอุณหภูมิที่ซับซ้อน^{[ 8 ] [ 86 ]}วัสดุเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงเพียงไม่กี่เรือนก่อนที่ลูกตุ้มจะล้าสมัยในฐานะมาตรฐานเวลา ในปี 1896 Charles Édouard Guillaumeได้คิดค้นโลหะผสมเหล็กนิกเกิลInvarซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อนประมาณ0.9  ppm /°C (0.5 ppm/°F ) ส่งผลให้ความคลาดเคลื่อนของอุณหภูมิลูกตุ้มเกิน 22 °C (71 °F) เพียง 1.3 วินาทีต่อวัน และความคลาดเคลื่อนที่เหลืออยู่นี้สามารถชดเชยให้เป็นศูนย์ได้ด้วยอะลูมิเนียมเพียงไม่กี่เซนติเมตรใต้ลูกตุ้ม^{[ 2 ] [ 90 ]} (สามารถเห็นได้ในภาพนาฬิกา Riefler ด้านบน) ลูกตุ้มอินวาร์ถูกนำมาใช้ครั้งแรกในปี 1898 ในนาฬิกาควบคุม Riefler ^{[ 92 ]} ซึ่งมีความแม่นยำ 15 มิลลิวินาทีต่อวัน สปริงแขวนที่ทำจากอีลินวาร์ ถูกใช้เพื่อขจัดความแปรผันของอุณหภูมิของ แรงคืนตัวของสปริงบนลูกตุ้ม ต่อมา มีการใช้ ควอตซ์หลอมซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อนต่ำกว่า วัสดุเหล่านี้เป็นวัสดุที่เลือกใช้สำหรับลูกตุ้มที่มีความแม่นยำสูงในปัจจุบัน^{[ 93 ]}

ผลกระทบของอากาศโดยรอบต่อลูกตุ้มที่กำลังเคลื่อนที่นั้นซับซ้อนและต้องใช้กลศาสตร์ของไหลในการคำนวณอย่างแม่นยำ แต่โดยทั่วไปแล้วอิทธิพลของอากาศต่อคาบเวลาสามารถอธิบายได้ด้วยผลกระทบสามประการ: ^{[ 69 ] [ 94 ]}

• ตามหลักการของอาร์คิมิดีสน้ำหนักสุทธิของลูกตุ้มจะลดลงเนื่องจากแรงลอยตัวของอากาศที่มันแทนที่ ในขณะที่มวล ( ความเฉื่อย ) ยังคงเท่าเดิม ทำให้ความเร่งของลูกตุ้มลดลงระหว่างการแกว่ง และคาบการแกว่งเพิ่มขึ้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความดันอากาศและความหนาแน่นของลูกตุ้ม แต่ไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของลูกตุ้ม
• ลูกตุ้มจะพาอากาศปริมาณหนึ่งไปด้วยขณะที่มันแกว่ง และมวลของอากาศนี้จะเพิ่มแรงเฉื่อยของลูกตุ้ม ทำให้ความเร่งลดลงและคาบการแกว่งเพิ่มขึ้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทั้งความหนาแน่นและรูปร่างของอากาศ
• แรงต้านอากาศเนื่องจากความหนืดทำให้ความเร็วของลูกตุ้มลดลง ซึ่งมีผลกระทบต่อคาบเวลาเพียงเล็กน้อย แต่จะทำให้พลังงานสูญเสียไป ส่งผลให้แอมพลิจูดลดลง และทำให้ค่า Q ของลูกตุ้มลดลง ส่งผลให้ต้องใช้แรงขับจากกลไกของนาฬิกามากขึ้นเพื่อให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ต่อไป ซึ่งจะทำให้คาบเวลาเกิดการรบกวนมากขึ้น

การเพิ่มขึ้นของความดันบรรยากาศทำให้คาบการแกว่งของลูกตุ้มเพิ่มขึ้นเล็กน้อยเนื่องจากผลกระทบสองประการแรก ประมาณ 0.11 วินาทีต่อวันต่อกิโลปาสคาล (0.37 วินาทีต่อวันต่อนิ้วปรอท ; 0.015 วินาทีต่อวันต่อทอร์ ) ^{[ 69 ]}นักวิจัยที่ใช้ลูกตุ้มในการวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วงต้องแก้ไขคาบการแกว่งสำหรับความดันอากาศที่ระดับความสูงของการวัด โดยคำนวณคาบการแกว่งที่เทียบเท่าของลูกตุ้มที่แกว่งในสุญญากาศ นาฬิกาลูกตุ้มถูกใช้งานครั้งแรกในถังความดันคงที่โดย Friedrich Tiede ในปี 1865 ที่หอดูดาวเบอร์ลิน^{[ 95 ] [ 96 ]}และในปี 1900 นาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดถูกติดตั้งในถังที่รักษาความดันให้คงที่เพื่อขจัดความเปลี่ยนแปลงของความดันบรรยากาศ หรืออีกทางหนึ่ง ในบางกรณี กลไก บารอมิเตอร์แบบแอนเนอรอยด์ ขนาดเล็ก ที่ติดอยู่กับลูกตุ้มจะชดเชยผลกระทบนี้

ลูกตุ้มนาฬิกาได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของความเร่งโน้มถ่วง ซึ่งแตกต่างกันได้มากถึง 0.5% ในสถานที่ต่างๆ บนโลก ดังนั้นนาฬิกาลูกตุ้มที่มีความแม่นยำสูงจึงต้องได้รับการปรับเทียบใหม่หลังจากเคลื่อนย้าย แม้แต่การเคลื่อนย้ายนาฬิกาลูกตุ้มไปไว้บนยอดตึกสูงก็อาจทำให้เวลาคลาดเคลื่อนได้เนื่องจากการลดลงของแรงโน้มถ่วง

องค์ประกอบการบอกเวลาในนาฬิกาทุกเรือน ซึ่งรวมถึงลูกตุ้มล้อสมดุลผลึกควอตซ์ที่ใช้ในนาฬิกาควอตซ์และแม้แต่อะตอมที่สั่นในนาฬิกาอะตอมในทางฟิสิกส์เรียกว่าตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกเหตุผลที่ใช้ตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกในนาฬิกาคือพวกมันสั่นหรือแกว่งที่ ความถี่หรือ คาบเรโซแนนซ์เฉพาะ และต้านทานการแกว่งที่อัตราอื่น อย่างไรก็ตาม ความถี่เรโซแนนซ์ไม่ได้ 'คม' อย่างไม่มีที่สิ้นสุด รอบความถี่เรโซแนนซ์จะมีแถบความถี่ (หรือคาบ) ตามธรรมชาติที่แคบ เรียกว่าความกว้างของเรโซแนนซ์หรือแบนด์วิดท์ซึ่งตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกจะแกว่ง^{[ 97 ] [ 98 ]} ในนาฬิกา ความถี่จริงของลูกตุ้มอาจเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มภายในความกว้างของเรโซแนนซ์นี้เพื่อตอบสนองต่อการรบกวน แต่ที่ความถี่นอกแถบนี้ นาฬิกาจะไม่ทำงานเลย ความกว้างของการสั่นพ้องถูกกำหนดโดยการหน่วงซึ่งก็คือ การสูญเสียพลังงานเนื่องจากแรงเสียด ทานต่อการแกว่งแต่ละครั้งของลูกตุ้ม

การวัดความต้านทานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกต่อการรบกวนคาบการสั่นของมันคือพารามิเตอร์ไร้มิติที่เรียกว่าแฟกเตอร์Qซึ่งเท่ากับความถี่เรโซแนนซ์หารด้วยความกว้างของเรโซแนนซ์^{[ 98 ] [ 99 ]} ยิ่งค่าQ สูง ความกว้างของเรโซแนนซ์ก็จะยิ่งน้อยลง และความถี่หรือคาบของออสซิลเลเตอร์ก็จะยิ่งคงที่มากขึ้นสำหรับการรบกวนที่กำหนด^{[ 100 ]} ส่วนกลับของค่า Q จะเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับความแม่นยำสูงสุดที่ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสามารถทำได้ในฐานะมาตรฐานเวลา^{[ 101 ]}

ค่าQเกี่ยวข้องกับระยะเวลาที่การแกว่งของตัวสั่นจะหยุดลง ค่าQของลูกตุ้มสามารถวัดได้โดยการนับจำนวนรอบการแกว่งที่ทำให้แอมพลิจูดของการแกว่งของลูกตุ้มลดลงเหลือ 1/ e = 36.8% ของการแกว่งเริ่มต้น แล้วคูณด้วยπ

ในนาฬิกา ลูกตุ้มต้องได้รับการผลักจากกลไก ของนาฬิกา เพื่อให้แกว่งต่อไป เพื่อชดเชยพลังงานที่ลูกตุ้มสูญเสียไปเนื่องจากแรงเสียดทาน แรงผลักเหล่านี้ ซึ่งเกิดจากกลไกที่เรียกว่าตัวปล่อยกลไก (escapement ) เป็นแหล่งรบกวนหลักของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ค่าQเท่ากับ 2π คูณด้วยพลังงานที่เก็บไว้ในลูกตุ้ม หารด้วยพลังงานที่สูญเสียไปเนื่องจากแรงเสียดทานในแต่ละรอบการแกว่ง ซึ่งเท่ากับพลังงานที่ตัวปล่อยกลไกเพิ่มเข้าไปในแต่ละรอบ จะเห็นได้ว่ายิ่งสัดส่วนของพลังงานของลูกตุ้มที่สูญเสียไปเนื่องจากแรงเสียดทานน้อยลงเท่าใด พลังงานที่ต้องเพิ่มเข้าไปก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น การรบกวนจากตัวปล่อยกลไกก็จะยิ่งน้อยลง ลูกตุ้มก็จะยิ่ง "เป็นอิสระ" จากกลไกของนาฬิกามากขึ้น และคาบการแกว่งของมันก็จะยิ่งคงที่มากขึ้น ค่าQของลูกตุ้มคำนวณได้จากสูตร: โดยที่Mคือมวลของลูกตุ้ม, ω = 2 π / Tคือความถี่เชิงมุมของการแกว่งของลูกตุ้ม และ Γ คือแรงเสียดทาน หน่วงที่กระทำ ต่อลูกตุ้มต่อหน่วยความเร็ว $${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$

ωถูกกำหนดโดยคาบการแกว่งของลูกตุ้ม และMถูกจำกัดโดยความสามารถในการรับน้ำหนักและความแข็งแกร่งของระบบแขวน ดังนั้นQของลูกตุ้มนาฬิกาจึงเพิ่มขึ้นโดยการลดการสูญเสียแรงเสียดทาน (Γ) ลูกตุ้มที่มีความแม่นยำสูงจะถูกแขวนไว้บนจุดหมุนที่มีแรงเสียดทานต่ำซึ่งประกอบด้วยขอบ 'มีด' รูปสามเหลี่ยมที่วางอยู่บนแผ่นอะเกต ประมาณ 99% ของการสูญเสียพลังงานในลูกตุ้มที่แกว่งอย่างอิสระเกิดจากแรงเสียดทานของอากาศ ดังนั้นการติดตั้งลูกตุ้มในถังสุญญากาศสามารถเพิ่มQและความแม่นยำได้ถึง 100 เท่า^{[ 102 ]}

ค่าQของลูกตุ้มมีตั้งแต่หลายพันในนาฬิกาธรรมดาไปจนถึงหลายแสนสำหรับลูกตุ้มควบคุมความแม่นยำที่แกว่งในสุญญากาศ^{[ 103 ]} นาฬิกาลูกตุ้มคุณภาพดีสำหรับใช้ในบ้านอาจมีค่า Qเท่ากับ 10,000 และความแม่นยำ 10 วินาทีต่อเดือน นาฬิกาลูกตุ้มที่ผลิตในเชิงพาณิชย์ที่มีความแม่นยำที่สุดคือนาฬิกาลูกตุ้มอิสระ Shortt-Synchronomeซึ่งคิดค้นขึ้นในปี 1921 ^{[ 2 ] [ 70 ] [ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]} ลูกตุ้ม หลัก Invar ที่แกว่งในถังสุญญากาศมีค่า Qเท่ากับ 110,000 ^{[ 103 ]}และอัตราความผิดพลาดประมาณหนึ่งวินาทีต่อปี^{[ 70 ]}

ค่า Q ของพวกมันที่ 10 ³ –10 ⁵ เป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้ลูกตุ้มเป็นเครื่องบอกเวลาที่แม่นยำกว่าล้อสมดุลในนาฬิกาที่มีค่า Qประมาณ 100–300 แต่มีความแม่นยำน้อยกว่าผลึกควอตซ์ในนาฬิกาควอตซ์ที่มีค่า Q 10 ⁵ –10 ^{6 [ 2 ] [ 103 ]}

ลูกตุ้มนาฬิกา (ต่างจากผลึกควอตซ์เป็นต้น) มีค่าQ ต่ำพอสมควร ทำให้การรบกวนที่เกิดจากแรงกระตุ้นเพื่อให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่นั้น โดยทั่วไปแล้วเป็นปัจจัยจำกัดความแม่นยำในการบอกเวลา ดังนั้น การออกแบบ กลไกการ ปล่อยแรงกระตุ้น (escapement ) ซึ่งทำหน้าที่ให้แรงกระตุ้นเหล่านี้ จึงมีผลอย่างมากต่อความแม่นยำของลูกตุ้มนาฬิกา หากแรงกระตุ้นที่กลไกการปล่อยแรงกระตุ้นส่งให้ลูกตุ้มในแต่ละรอบการแกว่งนั้นเหมือนกันทุกประการ การตอบสนองของลูกตุ้มก็จะเหมือนกัน และคาบการแกว่งก็จะคงที่ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากความผันผวนแบบสุ่มที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของแรงอันเนื่องมาจากแรงเสียดทานของตัวป้อนแรงในนาฬิกา การเปลี่ยนแปลงของการหล่อลื่น และการเปลี่ยนแปลงของแรงบิดที่เกิดจากแหล่งพลังงานของนาฬิกาขณะที่นาฬิกาเดินลง ทำให้แรงกระตุ้นที่กลไกการปล่อยแรงกระตุ้นนั้นแปรผันไป

หากการเปลี่ยนแปลงของแรงในกลไกการปล่อยลูกตุ้มทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในความกว้างของการแกว่ง (แอมพลิจูด) ของลูกตุ้ม ก็จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในคาบเวลาเช่นกัน เนื่องจาก (ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น) ลูกตุ้มที่มีการแกว่งจำกัดจะไม่เป็นไอโซโครนัสอย่างสมบูรณ์ ดังนั้น เป้าหมายของการออกแบบกลไกการปล่อยลูกตุ้มแบบดั้งเดิมคือการใช้แรงด้วยรูปแบบที่เหมาะสม และ ณ จุดที่ถูกต้องในรอบการแกว่งของลูกตุ้ม เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงของแรงไม่มีผลต่อแอมพลิจูดของลูกตุ้ม นี่เรียกว่ากลไกการปล่อยลูกตุ้มแบบไอโซโครนัส

ช่างทำนาฬิการู้มานานหลายศตวรรษแล้วว่าผลกระทบที่รบกวนของแรงขับของกลไกหลบหนีต่อคาบของลูกตุ้มจะน้อยที่สุดหากให้เป็นแรงกระตุ้นสั้นๆ ขณะที่ลูกตุ้มผ่านตำแหน่งสมดุล ล่าง ^{[ 2 ]} หากแรงกระตุ้นเกิดขึ้นก่อนที่ลูกตุ้มจะถึงด้านล่าง ในระหว่างการแกว่งลง จะมีผลทำให้คาบตามธรรมชาติของลูกตุ้มสั้นลง ดังนั้น การ เพิ่มแรงขับจะทำให้คาบลดลง หากแรงกระตุ้นเกิดขึ้นหลังจากที่ลูกตุ้มถึงด้านล่าง ในระหว่างการแกว่งขึ้น จะทำให้คาบยาวขึ้น ดังนั้นการเพิ่มแรงขับจะทำให้คาบของลูกตุ้มเพิ่มขึ้น ในปี ค.ศ. 1826 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษจอร์จ แอร์รีได้พิสูจน์สิ่งนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาพิสูจน์ว่าหากลูกตุ้มถูกขับเคลื่อนด้วยแรงกระตุ้นที่สมมาตรเกี่ยวกับตำแหน่งสมดุลล่าง คาบของลูกตุ้มจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของแรงขับ^{[ 107 ]} กลไกการปล่อยที่แม่นยำที่สุด เช่นกลไกเดดบีทสามารถตอบสนองเงื่อนไขนี้ได้โดยประมาณ^{[ 108 ]}

การมีอยู่ของความเร่งโน้มถ่วงgในสมการคาบ (1) สำหรับลูกตุ้มหมายความว่าความเร่งโน้มถ่วงเฉพาะที่ของโลกสามารถคำนวณได้จากคาบของลูกตุ้ม ดังนั้นลูกตุ้มจึงสามารถใช้เป็นเครื่องวัดความโน้มถ่วงเพื่อวัดความโน้มถ่วง เฉพาะที่ ซึ่งแปรผันมากกว่า 0.5% ทั่วพื้นผิวโลก^{[ 109 ] [หมายเหตุ 2 ]}ลูกตุ้มในนาฬิกาถูกรบกวนโดยแรงผลักที่ได้รับจากกลไกของนาฬิกา ดังนั้นจึงมีการใช้ลูกตุ้มที่แกว่งอย่างอิสระ และเป็นเครื่องมือมาตรฐานของการวัดความโน้มถ่วงจนถึงช่วงทศวรรษ 1930

ความแตกต่างระหว่างลูกตุ้มนาฬิกาและลูกตุ้มเครื่องวัดแรงโน้มถ่วงคือ ในการวัดแรงโน้มถ่วง จำเป็นต้องวัดทั้งความยาวและคาบการแกว่งของลูกตุ้ม คาบการแกว่งของลูกตุ้มที่แกว่งอย่างอิสระสามารถหาได้อย่างแม่นยำมากโดยการเปรียบเทียบการแกว่งของลูกตุ้มกับนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงซึ่งได้รับการปรับให้รักษาเวลาที่ถูกต้องโดยการเคลื่อนผ่านของดวงดาวเหนือศีรษะ ในการวัดในยุคแรกๆ จะมีการแขวนน้ำหนักบนเชือกไว้ด้านหน้าลูกตุ้มนาฬิกา และปรับความยาวของเชือกจนกระทั่งลูกตุ้มทั้งสองแกว่งพร้อมกันอย่างแม่นยำ จากนั้นจึงวัดความยาวของเชือก จากความยาวและคาบการแกว่งสามารถคำนวณค่า g ได้จากสมการ (1)

ลูกตุ้มวินาทีซึ่งเป็นลูกตุ้มที่มีคาบการแกว่งสองวินาที กล่าวคือ การแกว่งแต่ละครั้งใช้เวลาหนึ่งวินาที ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวัดแรงโน้มถ่วง เนื่องจากสามารถวัดคาบการแกว่งได้ง่ายโดยการเปรียบเทียบกับนาฬิกาควบคุม ความแม่นยำสูง ซึ่งทุกเรือนมีลูกตุ้มวินาที ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 ความยาวของลูกตุ้มวินาทีกลายเป็นมาตรวัดมาตรฐานของความเร่งโน้มถ่วง ณ สถานที่ใดสถานที่หนึ่ง ภายในปี 1700 ความยาวของลูกตุ้มวินาทีได้รับการวัดด้วยความแม่นยำระดับต่ำกว่ามิลลิเมตรในหลายเมืองในยุโรป สำหรับลูกตุ้มวินาที ค่าgจะแปรผันตรงกับความยาวของมัน: $${\displaystyle g\propto L.}$$

• 1620 : นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษฟรานซิส เบคอนเป็นหนึ่งในคนแรกๆ ที่เสนอให้ใช้ลูกตุ้มในการวัดแรงโน้มถ่วง โดยแนะนำให้นำลูกตุ้มขึ้นไปบนภูเขาเพื่อดูว่าแรงโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงตามระดับความสูงหรือไม่^{[ 110 ]}
• ปี ค.ศ. 1644 : ก่อนที่นาฬิกาลูกตุ้มจะถูกประดิษฐ์ขึ้น บาทหลวงชาวฝรั่งเศสมาริน เมอร์เซนน์เป็นคนแรกที่กำหนดความยาวของลูกตุ้มวินาทีได้ 39.1 นิ้ว (990 มิลลิเมตร) โดยการเปรียบเทียบการแกว่งของลูกตุ้มกับเวลาที่น้ำหนักตกลงมาในระยะทางที่วัดได้ เขายังเป็นคนแรกที่ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างคาบเวลาและแอมพลิจูดของการแกว่งอีกด้วย
• 1669 : ฌอง ปิการ์ดกำหนดความยาวของลูกตุ้มวินาทีที่ปารีส โดยใช้ลูกบอลทองแดงขนาด 1 นิ้ว (25 มม.) ที่แขวนด้วยเส้นใยว่านหางจระเข้ ได้ความยาว 39.09 นิ้ว (993 มม.) ^{[ 111 ]} เขายังทำการทดลองครั้งแรกเกี่ยวกับการขยายตัวและการหดตัวของแท่งลูกตุ้มตามอุณหภูมิอีกด้วย
• 1672 : การสังเกตครั้งแรกที่แสดงว่าแรงโน้มถ่วงแตกต่างกันไปตามจุดต่างๆ บนโลก เกิดขึ้นในปี 1672 โดยฌอง ริเชอร์ซึ่งนำนาฬิกาแบบลูกตุ้มไปยังเมืองกาเยนน์ประเทศเฟรนช์เกียนาและพบว่านาฬิกาเรือนนั้นคลาดเคลื่อนไป2 องศา+วันละ 1/2 นาที ; ต้องตัดความยาวของลูกตุ้มวินาทีให้สั้นลง1+ สั้นกว่าที่ปารีส 1/4 ไลน์ (2.6 มม . ) เพื่อรักษาเวลาให้ถูกต้อง ^{[ 112 ] [ 113 ]} ในปี 1687ไอแซค นิวตันใน Principia Mathematicaแสดงให้เห็นว่านี่เป็นเพราะโลกมี รูปร่าง แบน เล็กน้อย (แบนที่ขั้วโลก) ซึ่งเกิดจากแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางของการหมุนของโลก ที่ละติจูดสูงขึ้น พื้นผิวจะอยู่ใกล้กับศูนย์กลางของโลกมากขึ้น ดังนั้นแรงโน้มถ่วงจึงเพิ่มขึ้นตามละติจูด ^{[ 113 ]} นับจากนั้นเป็นต้นมา ลูกตุ้มจึงเริ่มถูกนำไปยังดินแดนที่ห่างไกลเพื่อวัดแรงโน้มถ่วง และมีการรวบรวมตารางความยาวของลูกตุ้มวินาทีในสถานที่ต่างๆ บนโลก ในปี 1743อเล็กซิส โคลด แคลโรต์สร้างแบบจำลองไฮโดรสแตติกแรกของโลกทฤษฎีบทของแคลโรต์ [ ^{111 ] ซึ่ง}ทำให้สามารถ คำนวณ ความรีของโลกได้จากการวัดแรงโน้มถ่วง แบบจำลองรูปร่างของโลกที่แม่นยำยิ่งขึ้นจึงตามมา
• ปี ค.ศ. 1687 : นิวตันทำการทดลองกับลูกตุ้ม (ซึ่งอธิบายไว้ในหนังสือ Principia ) และพบว่าลูกตุ้มที่มีความยาวเท่ากันแต่มีตุ้มที่ทำจากวัสดุต่างกันจะมีคาบการแกว่งเท่ากัน ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อสารต่างชนิดกันนั้นเป็นสัดส่วนโดยตรงกับมวล (ความเฉื่อย) ของสารนั้น หลักการนี้เรียกว่าหลักการสมดุลซึ่งได้รับการยืนยันอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นในการทดลองในภายหลัง และกลายเป็นรากฐานที่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ใช้ ในการสร้าง ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา

• 1737 : นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ บูเกอร์ได้ทำการสังเกตการณ์ลูกตุ้มอย่างละเอียดใน เทือกเขา แอนดีสประเทศเปรู^{[ 114 ]} เขาใช้ลูกตุ้มทองแดงรูปทรงกรวยแหลมสองด้านที่แขวนด้วยเชือก ลูกตุ้มสามารถกลับด้านได้เพื่อขจัดผลกระทบจากความหนาแน่นที่ไม่สม่ำเสมอ เขาคำนวณความยาวจากจุดศูนย์กลางการแกว่งของเชือกและลูกตุ้มรวมกัน แทนที่จะใช้จุดศูนย์กลางของลูกตุ้ม เขาแก้ไขค่าการขยายตัวทางความร้อนของแท่งวัดและความดันบรรยากาศ ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับลูกตุ้มที่แกว่งในสุญญากาศ บูเกอร์แกว่งลูกตุ้มเดียวกันที่ระดับความสูงสามระดับที่แตกต่างกัน ตั้งแต่ระดับน้ำทะเลไปจนถึงยอดเขาสูงของเปรูแรงโน้มถ่วงควรลดลงตามกำลังสองผกผันของระยะทางจากศูนย์กลางของโลก บูเกอร์พบว่ามันลดลงช้ากว่า และระบุได้อย่างถูกต้องว่าแรงโน้มถ่วง 'พิเศษ' นั้นเกิดจากสนามโน้มถ่วงของที่ราบสูงเปรูขนาดใหญ่ จากความหนาแน่นของตัวอย่างหิน เขาได้คำนวณค่าประมาณของผลกระทบของที่ราบสูงต่อลูกตุ้ม และเมื่อเปรียบเทียบกับแรงโน้มถ่วงของโลก เขาจึงสามารถประมาณความหนาแน่นของโลกได้ อย่างคร่าวๆ เป็นครั้งแรก
• 1747 : แดเนียล เบอร์นูลลีแสดงวิธีแก้ไขการยืดระยะเวลาเนื่องจากมุมแกว่งθ ₀ ที่จำกัด โดยใช้การแก้ไขอันดับแรกθ ₀ ² /16 ซึ่งให้ระยะเวลาของลูกตุ้มที่มีการแกว่งน้อยมาก^{[ 114 ]}
• 1792 : เพื่อกำหนดมาตรฐานความยาวของลูกตุ้มสำหรับใช้กับระบบเมตริก ใหม่ ในปี 1792 ฌอง-ชาร์ลส์ เดอ บอร์ดาและฌอง-โดมินิก คาสสินีได้ทำการวัดลูกตุ้มวินาทีอย่างแม่นยำที่ปารีส พวกเขาใช้1+ลูกบอลแพลทินัม ขนาด1/2 นิ้ว (14 มม.) แขวนด้วยลวดเหล็กยาว 12 ฟุต (3.7 ม.) นวัตกรรมหลักของพวกเขาคือเทคนิคที่เรียกว่า "วิธีการบังเอิญ " ซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบคาบการแกว่งของลูกตุ้มได้อย่างแม่นยำ (บูเกอร์ก็เคยใช้วิธีนี้เช่นกัน) ช่วงเวลา Δtระหว่างช่วงเวลาที่ลูกตุ้มทั้งสองแกว่งพร้อมกันจะถูกจับเวลา จากนั้นจึงสามารถคำนวณความแตกต่างระหว่างคาบการแกว่ง_ของลูกตุ้ม T1และ T2 _ได้$${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• 1821 : ฟรานเชสโก คาร์ลินีทำการสังเกตการณ์ลูกตุ้มบนยอดเขาเซนิส ประเทศอิตาลี โดยใช้วิธีการที่คล้ายกับของบูเกอร์ เขาคำนวณความหนาแน่นของโลก^{[ 115 ]} เขาเปรียบเทียบการวัดของเขากับการประมาณค่าแรงโน้มถ่วง ณ ตำแหน่งของเขา โดยสมมติว่าไม่มีภูเขาอยู่ตรงนั้น ซึ่งคำนวณจากการวัดลูกตุ้มในบริเวณใกล้เคียงก่อนหน้านี้ที่ระดับน้ำทะเล การวัดของเขาแสดงให้เห็นแรงโน้มถ่วงที่ 'เกิน' ซึ่งเขาจัดสรรให้กับผลกระทบของภูเขา โดยจำลองภูเขาเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 11 ไมล์ (18 กม.) และสูง 1 ไมล์ (1.6 กม.) จากตัวอย่างหิน เขาคำนวณสนามโน้มถ่วงของมัน และประมาณความหนาแน่นของโลกที่ 4.39 เท่าของน้ำ การคำนวณใหม่ในภายหลังโดยผู้อื่นให้ค่า 4.77 และ 4.95 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนในวิธีการทางภูมิศาสตร์เหล่านี้

ความแม่นยำของการวัดแรงโน้มถ่วงในยุคแรกข้างต้นถูกจำกัดด้วยความยากลำบากในการวัดความยาวของลูกตุ้มLโดยLคือความยาวของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงแบบง่ายในอุดมคติ (อธิบายไว้ด้านบน) ซึ่งมีมวลทั้งหมดรวมอยู่ที่จุดปลายเชือก ในปี ค.ศ. 1673 ฮุยเกนส์ได้แสดงให้เห็นว่าคาบของลูกตุ้มแท่งแข็ง (เรียกว่าลูกตุ้มประกอบ ) เท่ากับคาบของลูกตุ้มแบบง่ายที่มีความยาวเท่ากับระยะห่างระหว่าง จุด หมุนและจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางการแกว่ง ซึ่ง อยู่ใต้ศูนย์กลางแรงโน้ม ถ่วง และขึ้นอยู่กับการกระจายมวลตามลูกตุ้ม แต่ไม่มีวิธีที่แม่นยำในการกำหนดศูนย์กลางการแกว่งในลูกตุ้มจริง การค้นพบของฮุยเกนส์บางครั้งเรียกว่า กฎของฮุ ยเกนส์เกี่ยวกับลูกตุ้ม (ไซคลอยด์) ^{[ 116 ]}

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว นักวิจัยยุคแรกๆ จึงประมาณค่าลูกตุ้มอย่างง่ายในอุดมคติให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยใช้ทรงกลมโลหะที่แขวนด้วยลวดหรือเชือกเบาๆ หากลวดเบาพอ จุดศูนย์กลางการแกว่งจะอยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางมวลของลูกบอล ซึ่งอยู่ที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต ลูกตุ้มแบบ "ลูกบอลและลวด" นี้ไม่แม่นยำมากนัก เพราะมันไม่ได้แกว่งเหมือนวัตถุแข็ง และความยืดหยุ่นของลวดทำให้ความยาวของลวดเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยขณะที่ลูกตุ้มแกว่ง

อย่างไรก็ตาม ฮุยเกนส์ได้พิสูจน์แล้วว่าในลูกตุ้มใดๆ จุดหมุนและจุดศูนย์กลางการแกว่งสามารถสลับกันได้^{[ 19 ]} กล่าวคือ หากลูกตุ้มถูกพลิกกลับหัวและแขวนจากจุดศูนย์กลางการแกว่ง มันจะมีคาบเท่ากับที่เคยเป็นในตำแหน่งก่อนหน้า และจุดหมุนเดิมจะกลายเป็นจุดศูนย์กลางการแกว่งใหม่

ในปี ค.ศ. 1817 เฮนรี เคเตอร์นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษและนายทหารยศกัปตันได้ตระหนักว่าหลักการของฮุยเกนส์สามารถนำมาใช้เพื่อหาความยาวของลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีคาบเวลาเดียวกันกับลูกตุ้มจริงได้^{[ 64 ]} หากสร้างลูกตุ้มโดยมีจุดหมุนปรับได้จุดที่สองอยู่ใกล้ด้านล่างเพื่อให้สามารถแขวนกลับหัวได้ และปรับจุดหมุนที่สองจนกระทั่งคาบเวลาเมื่อแขวนจากจุดหมุนทั้งสองเท่ากัน จุดหมุนที่สองจะอยู่ที่ศูนย์กลางของการแกว่ง และระยะห่างระหว่างจุดหมุนทั้งสองจะเป็นความยาวLของลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีคาบเวลาเดียวกัน

เคเตอร์สร้างลูกตุ้มแบบกลับทิศได้ ( ดูภาพวาด ) ซึ่งประกอบด้วยแท่งทองเหลืองที่มีจุดหมุนสองจุดตรงข้ามกัน ทำจากใบมีดรูปสามเหลี่ยมสั้นๆ(a)ใกล้ปลายทั้งสองข้าง สามารถแกว่งได้จากจุดหมุนใดจุดหนึ่ง โดยมีใบมีดวางอยู่บนแผ่นหินอาเกต แทนที่จะทำให้จุดหมุนจุดเดียวสามารถปรับได้ เขาติดจุดหมุนให้ห่างกันหนึ่งเมตร และปรับคาบเวลาด้วยน้ำหนักที่เคลื่อนที่ได้บนแท่งลูกตุ้ม(b,c)ในการใช้งาน ลูกตุ้มจะถูกแขวนไว้หน้านาฬิกาที่มีความแม่นยำสูง และจับเวลาคาบเวลา จากนั้นพลิกกลับหัวและจับเวลาคาบเวลาอีกครั้ง ปรับน้ำหนักด้วยสกรูปรับจนกระทั่งคาบเวลาเท่ากัน จากนั้นนำคาบเวลานี้และระยะห่างระหว่างจุดหมุนไปใส่ในสมการ (1) จะได้ค่าความเร่งโน้มถ่วงgอย่างแม่นยำมาก

เคเตอร์จับเวลาการแกว่งของลูกตุ้มโดยใช้ " วิธีการบังเอิญ " และวัดระยะห่างระหว่างจุดหมุนทั้งสองด้วยไมโครมิเตอร์ หลังจากปรับแก้ค่าสำหรับแอมพลิจูดการแกว่งที่จำกัด แรงลอยตัวของลูกตุ้ม ความดันบรรยากาศและระดับความสูง และอุณหภูมิแล้ว เขาได้ค่า 39.13929 นิ้วสำหรับลูกตุ้มวินาทีที่ลอนดอน ในสุญญากาศ ที่ระดับน้ำทะเล ที่อุณหภูมิ 62 °F ความแปรผันที่มากที่สุดจากค่าเฉลี่ยของการสังเกต 12 ครั้งของเขาคือ 0.00028 นิ้ว^{[ 117 ]}ซึ่งแสดงถึงความแม่นยำของการวัดแรงโน้มถ่วงที่ 7×10 ⁻⁶ (7 mGalหรือ 70 μm/s ² ) การวัดของเคเตอร์ถูกใช้เป็นมาตรฐานความยาวอย่างเป็นทางการของสหราชอาณาจักร (ดูด้านล่าง ) ตั้งแต่ปี 1824 ถึง 1855

ลูกตุ้มแบบกลับทิศทางได้ (ในทางเทคนิคเรียกว่าลูกตุ้มแบบ "แปลงสภาพ") ซึ่งใช้หลักการของเคเตอร์ ถูกนำมาใช้ในการวัดแรงโน้มถ่วงสัมบูรณ์จนถึงทศวรรษ 1930

ความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นซึ่งเป็นไปได้ด้วยลูกตุ้มของเคเตอร์ ช่วยทำให้การวัดแรงโน้มถ่วงกลายเป็นส่วนมาตรฐานของวิชาธรณีวิทยาเนื่องจากจำเป็นต้องทราบตำแหน่งที่แน่นอน (ละติจูดและลองจิจูด) ของ "สถานี" ที่ทำการวัดแรงโน้มถ่วง การวัดแรงโน้มถ่วงจึงกลายเป็นส่วนหนึ่งของการสำรวจและมีการนำลูกตุ้มไปใช้ในการสำรวจทางธรณีวิทยา ครั้งใหญ่ ในศตวรรษที่ 18 โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสำรวจตรีโกณมิติครั้งใหญ่ของอินเดีย

• ลูกตุ้มคงที่: เคเตอร์ได้นำเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ การวัดแรงโน้ม ถ่วงสัมพัทธ์เพื่อเสริมการวัดแบบสัมบูรณ์ ที่ทำโดยลูกตุ้มของเคเตอร์ ^{[ 118 ]} การเปรียบเทียบแรงโน้มถ่วงที่จุดสองจุดที่แตกต่างกันเป็นกระบวนการที่ง่ายกว่าการวัดแบบสัมบูรณ์ด้วยวิธีของเคเตอร์ สิ่งที่จำเป็นคือการจับเวลาคาบของลูกตุ้มธรรมดา (จุดหมุนเดียว) ที่จุดแรก จากนั้นเคลื่อนย้ายลูกตุ้มไปยังจุดอื่นและจับเวลาคาบของมันที่นั่น เนื่องจากความยาวของลูกตุ้มคงที่ จาก (1) อัตราส่วนของความเร่งโน้มถ่วงจะเท่ากับส่วนกลับของอัตราส่วนของคาบยกกำลังสอง และไม่จำเป็นต้องวัดความยาวอย่างแม่นยำ ดังนั้นเมื่อวัดแรงโน้มถ่วงแบบสัมบูรณ์ที่สถานีกลางบางแห่งได้แล้ว ไม่ว่าจะด้วยวิธีของเคเตอร์หรือวิธีที่แม่นยำอื่นๆ ก็สามารถหาแรงโน้มถ่วงที่จุดอื่นๆ ได้โดยการแกว่งลูกตุ้มที่สถานีกลาง จากนั้นนำไปที่ตำแหน่งอื่นและจับเวลาการแกว่งของมันที่นั่น เคเตอร์ได้สร้างลูกตุ้ม "คงที่" ชุดหนึ่ง โดยมีจุดหมุนคมมีดเพียงจุดเดียว ซึ่งลูกตุ้มเหล่านี้ถูกนำไปยังหลายประเทศหลังจากที่ถูกแกว่งครั้งแรกที่สถานีกลาง ณหอดูดาวคิวประเทศอังกฤษ
• การทดลองในเหมืองถ่านหินของแอร์รี : เริ่มต้นในปี 1826 โดยใช้วิธีการที่คล้ายกับของบูเกอร์ นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษจอร์จ แอร์รีพยายามกำหนดความหนาแน่นของโลกโดยการวัดแรงโน้มถ่วงของลูกตุ้มที่ด้านบนและด้านล่างของเหมืองถ่านหิน^{[ 119 ] [ 120 ]} แรงโน้มถ่วงใต้พื้นผิวโลกจะลดลงแทนที่จะเพิ่มขึ้นตามความลึก เนื่องจากตามกฎของเกาส์มวลของเปลือกโลกทรงกลมเหนือจุดใต้พื้นผิวไม่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วง การทดลองในปี 1826 ถูกยกเลิกเนื่องจากน้ำท่วมเหมือง แต่ในปี 1854 เขาได้ทำการทดลองที่ได้รับการปรับปรุงที่เหมืองถ่านหินฮาร์ตัน โดยใช้ลูกตุ้มวินาทีแกว่งบนแผ่นอะเกต จับเวลาด้วยโครโนมิเตอร์ที่มีความแม่นยำสูงซึ่งซิงโครไนซ์ด้วยวงจรไฟฟ้า เขาพบว่าลูกตุ้มด้านล่างแกว่งช้ากว่า 2.24 วินาทีต่อวัน นั่นหมายความว่า ความเร่งโน้มถ่วงที่ก้นเหมือง ซึ่งอยู่ลึก 1,250 ฟุตจากพื้นผิว มีค่าน้อยกว่าที่ควรจะเป็นตามกฎกำลังสองผกผันอยู่ 1/14,000 เท่า กล่าวคือ แรงดึงดูดของเปลือกทรงกลมมีค่าเป็น 1/14,000 ของแรงดึงดูดของโลก จากตัวอย่างหินบนพื้นผิว เขาได้ประมาณมวลของเปลือกโลกทรงกลม และจากนั้นจึงประมาณได้ว่าความหนาแน่นของโลกมีค่าเป็น 6.565 เท่าของน้ำ ฟอน สเตอร์เน็คพยายามทำการทดลองซ้ำในปี 1882 แต่พบว่าผลลัพธ์ไม่สอดคล้องกัน

• ลูกตุ้ม Repsold-Bessel:การแกว่งลูกตุ้ม Kater ซ้ำๆ และปรับน้ำหนักจนกว่าคาบจะเท่ากันนั้นใช้เวลานานและมีโอกาสผิดพลาด Friedrich Besselแสดงให้เห็นในปี 1835 ว่าไม่จำเป็นต้องทำเช่นนั้น^{[ 121 ]} ตราบใดที่คาบใกล้เคียงกัน แรงโน้มถ่วงสามารถคำนวณได้จากคาบทั้งสองและจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม^{[ 122 ]} ดังนั้นลูกตุ้มแบบกลับทิศได้จึงไม่จำเป็นต้องปรับได้ อาจเป็นเพียงแท่งที่มีจุดหมุนสองจุด Bessel ยังแสดงให้เห็นว่าหากลูกตุ้มมีรูปทรงสมมาตรเกี่ยวกับจุดศูนย์กลาง แต่มีน้ำหนักภายในที่ปลายด้านหนึ่ง ข้อผิดพลาดเนื่องจากแรงต้านอากาศจะหักล้างกันได้ นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดอีกประการหนึ่งเนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางที่จำกัดของขอบมีดสามารถทำให้หักล้างกันได้หากสลับกันระหว่างการวัด เบสเซลไม่ได้สร้างลูกตุ้มแบบนั้น แต่ในปี 1864 อดอล์ฟ เรปโซลด์ ภายใต้สัญญาจ้างจากคณะกรรมการสำรวจทางภูมิศาสตร์ของสวิตเซอร์แลนด์ ได้สร้างลูกตุ้มในลักษณะเดียวกัน ลูกตุ้มของเรปโซลด์มีความยาวประมาณ 56 เซนติเมตร และมีคาบการแกว่งประมาณ3/4 วินาที มันถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางโดยหน่วยงานสำรวจทางภูมิศาสตร์ของยุโรป และใช้ร่วมกับลูกตุ้ม ของเคเตอร์ในการสำรวจของอินเดีย ลูกตุ้มประเภทเดียวกันนี้ได้รับการออกแบบโดยชาร์ลส์ เพียร์ซ และ ซี. เดฟฟอร์จส์

• เครื่องวัดความโน้มถ่วงของฟอน สเตอร์เน็คและเมนเดนฮอลล์:ในปี ค.ศ. 1887 โรเบิร์ต ฟอน สเตอร์เน็ค นักวิทยาศาสตร์ชาวออสเตรีย-ฮังการี ได้พัฒนาเครื่องวัดความโน้มถ่วงขนาดเล็กแบบลูกตุ้มที่ติดตั้งในถังสุญญากาศควบคุมอุณหภูมิเพื่อขจัดผลกระทบของอุณหภูมิและความดันอากาศ โดยใช้ "ลูกตุ้มครึ่งวินาที" ซึ่งมีคาบใกล้เคียงหนึ่งวินาที ยาวประมาณ 25 เซนติเมตร ลูกตุ้มไม่สามารถย้อนกลับได้ ดังนั้นเครื่องมือนี้จึงใช้สำหรับการวัดความโน้มถ่วงสัมพัทธ์ แต่ขนาดที่เล็กทำให้พกพาสะดวก คาบของลูกตุ้มถูกวัดโดยการสะท้อนภาพของประกายไฟที่สร้างขึ้นโดยโครโนมิเตอร์ที่มีความแม่นยำสูงจากกระจกที่ติดตั้งอยู่ด้านบนของก้านลูกตุ้ม เครื่องมือของฟอน สเตอร์เน็ค และเครื่องมือที่คล้ายกันซึ่งพัฒนาโดยโทมัส ซี. เมนเดนฮอลล์ แห่งหน่วยสำรวจชายฝั่งและธรณีวิทยาของสหรัฐอเมริกาในปี ค.ศ. 1890 ^{[ 123 ]}ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางสำหรับการสำรวจในช่วงทศวรรษ ค.ศ. 1920

ลูกตุ้มเมนเดนฮอลล์เป็นเครื่องบอกเวลาที่แม่นยำกว่านาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดในสมัยนั้น และอัลเบิร์ต เอ. มิเชลสัน ได้ใช้ลูกตุ้มนี้ ในการวัดความเร็วแสงบนภูเขาวิลสัน รัฐแคลิฟอร์เนียใน ปี พ.ศ. 2467 ^{[ 123 ]}

• เครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มคู่:ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2418 ความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นของการวัดลูกตุ้มเผยให้เห็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดอีกแหล่งหนึ่งในเครื่องมือที่มีอยู่ นั่นคือ การแกว่งของลูกตุ้มทำให้ขาตั้งสามขาที่ใช้รองรับลูกตุ้มแบบพกพาแกว่งเล็กน้อย ทำให้เกิดข้อผิดพลาด ในปี พ.ศ. 2418 Charles S Peirce คำนวณว่าการวัดความยาวของลูกตุ้มวินาทีที่ทำด้วยเครื่องมือ Repsold ต้องมีการแก้ไข 0.2 มม. เนื่องจากข้อผิดพลาดนี้^{[ 124 ]} ในปี พ.ศ. 2423 C. Defforges ใช้เครื่องวัดการรบกวนของ Michelsonเพื่อวัดการแกว่งของขาตั้งแบบไดนามิก และมีการเพิ่มเครื่องวัดการรบกวนเข้าไปในอุปกรณ์ Mendenhall มาตรฐานเพื่อคำนวณการแก้ไขการแกว่ง^{[ 125 ]} วิธีการป้องกันข้อผิดพลาดนี้ได้รับการเสนอแนะครั้งแรกในปี พ.ศ. 2420 โดย Hervé Faye และได้รับการสนับสนุนโดย Peirce, Cellérier และ Furtwangler: ติดตั้งลูกตุ้มที่เหมือนกันสองลูกบนฐานรองเดียวกัน โดยแกว่งด้วยแอมพลิจูดเดียวกัน แต่มีเฟสต่างกัน 180° การเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้ามของลูกตุ้มจะหักล้างแรงด้านข้างใดๆ บนฐานรอง แนวคิดนี้ถูกคัดค้านเนื่องจากความซับซ้อน แต่เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 20 อุปกรณ์ Von Sterneck และเครื่องมืออื่นๆ ได้รับการดัดแปลงให้แกว่งลูกตุ้มหลายลูกพร้อมกัน

• เครื่องวัดความโน้มถ่วงกัลฟ์ : หนึ่งในเครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มรุ่นสุดท้ายและแม่นยำที่สุดคืออุปกรณ์ที่พัฒนาขึ้นในปี 1929 โดยบริษัท Gulf Research and Development Co. ^{[ 126 ] [ 127 ]} อุปกรณ์นี้ใช้ลูกตุ้มสองลูกที่ทำจากควอตซ์หลอมเหลวแต่ละลูกยาว 10.7 นิ้ว (270 มม.) มีคาบการแกว่ง 0.89 วินาที แกว่งบนแกนหมุนขอบมีดไพเร็กซ์ โดยมีเฟสต่างกัน 180° ติดตั้งอยู่ในห้องสุญญากาศที่ควบคุมอุณหภูมิและความชื้นอย่างถาวร ประจุไฟฟ้าสถิตที่ตกค้างบนลูกตุ้มควอตซ์จะต้องถูกกำจัดออกโดยการนำไปสัมผัสกับเกลือกัมมันตรังสีก่อนใช้งาน คาบการแกว่งถูกตรวจจับโดยการสะท้อนลำแสงจากกระจกที่ด้านบนของลูกตุ้ม บันทึกโดยเครื่องบันทึกแผนภูมิ และเปรียบเทียบกับออสซิลเลเตอร์คริสตัล ที่มีความแม่นยำสูง ซึ่งสอบเทียบกับสัญญาณเวลาวิทยุWWVเครื่องมือนี้มีความแม่นยำภายใน (0.3–0.5)×10 ⁻⁷ (30–50 ไมโครแกลหรือ 3–5 นาโนเมตร/วินาที^² ) ^{[ 126 ]}มันถูกใช้งานจนถึงช่วงทศวรรษ 1960

เครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มสัมพัทธ์ถูกแทนที่ด้วยเครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบสปริงความยาวศูนย์ของ LaCoste ที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งคิดค้นโดยLucien LaCosteใน ปี 1934 ^{[ 123 ] เครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มสัมบูรณ์ (แบบย้อนกลับได้) ถูกแทนที่ในช่วงทศวรรษ 1950 ด้วยเครื่องวัดความโน้มถ่วง แบบ} ตกอิสระ ซึ่งน้ำหนักจะถูกปล่อยให้ตกลงมาในถังสุญญากาศและวัดความเร่งโดยใช้เครื่องวัดการรบกวน ทางแสง [ ^{73 ]}

เนื่องจากความเร่งโน้มถ่วงมีค่าคงที่ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนโลก คาบการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งจึงขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มเท่านั้น นอกจากนี้ แรงโน้มถ่วงยังเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยในสถานที่ต่างๆ คุณสมบัตินี้ทำให้บรรดานักวิทยาศาสตร์เสนอแนะให้ใช้ลูกตุ้มที่มีคาบการแกว่งที่กำหนดเป็นมาตรฐานของความยาว ตั้งแต่การค้นพบลูกตุ้มจนถึงต้น ศตวรรษที่ 19

จนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 19 ประเทศต่างๆ ใช้ต้นแบบแท่งโลหะมาตรฐานเป็นพื้นฐาน ในการวัดความยาว เช่น มาตรฐานหลาในอังกฤษที่เก็บรักษาไว้ที่รัฐสภา และมาตรฐานทัวส์ในฝรั่งเศสที่เก็บรักษาไว้ที่ปารีส แท่งโลหะเหล่านี้อาจเสียหายหรือถูกทำลายได้เมื่อเวลาผ่านไป และเนื่องจากความยากลำบากในการเปรียบเทียบต้นแบบ หน่วยเดียวกันจึงมักมีความยาวต่างกันในเมืองที่อยู่ห่างไกลกัน ทำให้เกิดโอกาสในการฉ้อโกง^{[ 128 ]} ในช่วง ยุคเรือง ปัญญานักวิทยาศาสตร์ได้โต้แย้งถึงมาตรฐานความยาวที่อิงจากคุณสมบัติบางอย่างของธรรมชาติที่สามารถกำหนดได้โดยการวัด สร้างมาตรฐานสากลที่ไม่สามารถทำลายได้ คาบการแกว่งของลูกตุ้มสามารถวัดได้อย่างแม่นยำมากโดยการจับเวลาด้วยนาฬิกาที่ตั้งตามดวงดาว มาตรฐานลูกตุ้มจึงเท่ากับการกำหนดหน่วยความยาวโดยแรงโน้มถ่วงของโลก ซึ่งคงที่ในทุกแง่มุม และวินาที ซึ่งกำหนดโดยอัตราการหมุนของโลกก็คงที่อยู่เช่นกัน แนวคิดก็คือว่า ใครก็ตามที่อยู่ได้ทุกที่บนโลก สามารถสร้างมาตรฐานนี้ขึ้นมาใหม่ได้ โดยการสร้างลูกตุ้มที่แกว่งไปตามคาบเวลาที่กำหนด และวัดความยาวของมัน

ข้อเสนอเกือบทั้งหมดอิงตามลูกตุ้มวินาทีซึ่งการแกว่งแต่ละครั้ง (ครึ่งรอบ ) ใช้เวลาหนึ่งวินาที หรือยาวประมาณหนึ่งเมตร (39 นิ้ว) เนื่องจากในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 ลูกตุ้มวินาทีได้กลายเป็นมาตรฐานในการวัดแรงโน้มถ่วง (ดูส่วนก่อนหน้า) ในศตวรรษที่ 18 ความยาวของลูกตุ้มวินาทีได้รับการวัดด้วยความแม่นยำระดับต่ำกว่ามิลลิเมตรในหลายเมืองในยุโรปและทั่วโลก

แรงดึงดูดเริ่มต้นของมาตรฐานความยาวลูกตุ้มคือความเชื่อ (โดยนักวิทยาศาสตร์ยุคแรก เช่น ฮุยเกนส์และเรน) ว่าแรงโน้มถ่วงคงที่ทั่วพื้นผิวโลก ดังนั้นลูกตุ้มที่กำหนดจะมีคาบเท่ากัน ณ จุดใด ๆ บนโลก^{[ 128 ]} ดังนั้นความยาวของลูกตุ้มมาตรฐานจึงสามารถวัดได้ ณ ตำแหน่งใด ๆ และจะไม่ผูกติดกับประเทศหรือภูมิภาคใด ๆ มันจะเป็นมาตรฐานที่เป็นประชาธิปไตยอย่างแท้จริงทั่วโลก แม้ว่าริชเชอร์จะพบในปี 1672 ว่าแรงโน้มถ่วงแปรผันไปตามจุดต่าง ๆ บนโลก แต่แนวคิดเรื่องมาตรฐานความยาวลูกตุ้มยังคงเป็นที่นิยม เพราะพบว่าแรงโน้มถ่วงแปรผันไปตามละติจูด เท่านั้น ความเร่งโน้มถ่วงเพิ่มขึ้นอย่างราบรื่นจากเส้นศูนย์สูตรไปยังขั้วโลกเนื่องจาก รูปร่าง แบนของโลก ดังนั้น ณ ละติจูดใด ๆ (เส้นตะวันออก-ตะวันตก) แรงโน้มถ่วงจึงคงที่มากพอที่ความยาวของลูกตุ้มวินาทีจะเท่ากันภายในขีดความสามารถในการวัดของศตวรรษที่ 18 ดังนั้นหน่วยความยาวจึงสามารถกำหนดได้ที่ละติจูดที่กำหนดและวัดได้ ณ จุดใด ๆ ตามละติจูดนั้น ตัวอย่างเช่น มาตรฐานลูกตุ้มที่กำหนดไว้ที่ละติจูด 45° เหนือ ซึ่งเป็นตัวเลือกที่นิยมใช้ สามารถวัดได้ในบางส่วนของฝรั่งเศส อิตาลี โครเอเชีย เซอร์เบีย โรมาเนีย รัสเซีย คาซัคสถาน จีน มองโกเลีย สหรัฐอเมริกา และแคนาดา นอกจากนี้ ยังสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้ในทุกสถานที่ที่มีการวัดความเร่งโน้มถ่วงอย่างแม่นยำ

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 การวัดลูกตุ้มที่แม่นยำยิ่งขึ้นโดยเอ็ดเวิร์ด ซาบีนและโทมัส ยังเผยให้เห็นว่าแรงโน้มถ่วง และด้วยเหตุนี้ ความยาวของลูกตุ้มมาตรฐานใดๆ จึงแปรผันไปตามลักษณะทางธรณีวิทยาในท้องถิ่น เช่น ภูเขาและหินใต้พื้นดินที่หนาแน่น^{[ 129 ]} ดังนั้น มาตรฐานความยาวลูกตุ้มจึงต้องถูกกำหนดที่จุดเดียวบนโลก และสามารถวัดได้เฉพาะที่นั่นเท่านั้น ซึ่งทำให้แนวคิดนี้ไม่น่าสนใจเท่าที่ควร และความพยายามที่จะนำมาตรฐานลูกตุ้มมาใช้จึงถูกยกเลิก

หนึ่งในผู้ที่เสนอให้กำหนดความยาวด้วยลูกตุ้มเป็นคนแรกคือนักวิทยาศาสตร์ชาวเฟลมิช ไอแซค บีคแมน^{[ 130 ]}ซึ่งในปี 1631 ได้แนะนำให้ใช้ลูกตุ้มวินาทีเป็น "มาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับทุกคน ทุกเวลา ทุกสถานที่" ^{[ 131 ]}มาริน เมอร์เซนน์ผู้ซึ่งวัดลูกตุ้มวินาทีเป็นครั้งแรกในปี 1644 ก็ได้เสนอแนวคิดนี้เช่นกัน ข้อเสนออย่างเป็นทางการครั้งแรกสำหรับมาตรฐานลูกตุ้มเกิดขึ้นโดยราชสมาคม แห่งอังกฤษ ในปี 1660 โดยได้รับการสนับสนุนจากคริสเตียน ฮุยเกนส์และโอเล โรเมอร์โดยอ้างอิงจากงานของเมอร์เซนน์^{[ 132 ]}และฮุยเกนส์ในHorologium Oscillatoriumได้เสนอ "ฟุตโหราศาสตร์" ซึ่งกำหนดไว้ที่ 1/3 ของลูกตุ้มวินาที คริสโตเฟอร์ เรนเป็นอีกหนึ่งผู้สนับสนุนในช่วงแรก แนวคิดเรื่องมาตรฐานความยาวแบบลูกตุ้มคงเป็นที่คุ้นเคยของผู้คนมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1663 แล้ว เพราะซามูเอล บัตเลอร์ได้ล้อเลียนเรื่องนี้ในHudibras : ^{[ 133 ]}

ฉันจะจัดการพวกเขาบนม้านั่งนั้น

การสั่นของลูกตุ้มนี้

จะทำให้หลาของช่างตัดเย็บทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว

ความเห็นเป็นเอกฉันท์

ในปี ค.ศ. 1671 ฌอง ปิการ์ดเสนอ "ฟุตสากล" ที่กำหนดโดยลูกตุ้มในหนังสือ Mesure de la Terre ที่ทรงอิทธิพลของเขา[ 134 ^{]กาเบ}รียล มูตงประมาณปี ค.ศ. 1670 เสนอให้กำหนดหน่วยtoiseโดยใช้ลูกตุ้มวินาทีหรือนาทีขององศาบนโลก แผนสำหรับระบบหน่วยที่สมบูรณ์โดยอิงจากลูกตุ้มได้รับการเสนอในปี ค.ศ. 1675 โดยนักปราชญ์ชาวอิตาลี ติโต ลิวิโอ บูร์ราตินี ในฝรั่งเศสในปี ค.ศ. 1747 นักภูมิศาสตร์ชาร์ลส์ มารี เดอ ลา คอนดามีน เสนอให้กำหนดความยาวโดยใช้ลูกตุ้มวินาทีที่เส้นศูนย์สูตร เนื่องจาก ณ ตำแหน่งนี้ การแกว่งของลูกตุ้มจะไม่ถูกบิดเบือนโดยการหมุนของโลกเจมส์ สเตียร์ต (ค.ศ. 1780) และจอร์จ สกิน คีธก็เป็นผู้สนับสนุนเช่นกัน

เมื่อถึงปลายศตวรรษที่ 18 เมื่อหลายประเทศกำลังปฏิรูประบบน้ำหนักและการวัด ของตน ลูกตุ้มวินาทีเป็นตัวเลือกชั้นนำสำหรับการกำหนดความยาวแบบใหม่ ซึ่งได้รับการสนับสนุนจากนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในหลายประเทศสำคัญ ในปี 1790 โทมัส เจฟเฟอร์สัน รัฐมนตรีว่าการกระทรวงต่างประเทศของสหรัฐฯ ในขณะนั้น ได้เสนอต่อสภาคองเกรสถึงระบบเมตริกแบบทศนิยมที่ครอบคลุมของสหรัฐฯ โดยอิงจากลูกตุ้มวินาทีที่ละติจูด 38° เหนือ ซึ่งเป็นละติจูดเฉลี่ยของสหรัฐอเมริกา^{[ 135 ]} ไม่มีการดำเนินการใดๆ กับข้อเสนอนี้ ในอังกฤษ ผู้สนับสนุนหลักของลูกตุ้มคือนักการเมืองจอห์น ริกส์ มิลเลอร์ [ ^{136 ] เมื่อ} ความพยายามของเขาในการส่งเสริมระบบเมตริกร่วมกันระหว่างอังกฤษ ฝรั่งเศส และอเมริกา ล้มเหลวในปี 1790 เขาจึงเสนอระบบของอังกฤษโดยอิงจากความยาวของลูกตุ้มวินาทีที่ลอนดอน มาตรฐานนี้ได้รับการยอมรับในปี 1824 (ด้านล่าง)

ในการอภิปรายก่อนที่ฝรั่งเศสจะนำระบบเมตริก มาใช้ ในปี 1791 ตัวเลือกหลักสำหรับการกำหนดหน่วยความยาวใหม่ คือเมตรคือ ลูกตุ้มวินาทีที่ละติจูด 45° เหนือ กลุ่มที่นำโดยนักการเมืองฝรั่งเศสทัลเลย์ร็องด์และนักคณิตศาสตร์อองตวน นิโคลัส การิตาต์ เดอ คอนดอร์เซต์ สนับสนุนแนวคิด นี้ นี่เป็นหนึ่งในสามตัวเลือกสุดท้ายที่ คณะกรรมการ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศส พิจารณา อย่างไรก็ตาม ในวันที่ 19 มีนาคม 1791 คณะกรรมการเลือกที่จะใช้ความยาวของเส้นเมริเดียนที่ผ่านกรุงปารีสเป็นหน่วยวัดเมตรแทน การกำหนดหน่วยเมตรโดยใช้ลูกตุ้มถูกปฏิเสธเนื่องจากค่าที่ได้มีความแปรปรวนในสถานที่ต่างๆ และเนื่องจากเป็นการกำหนดความยาวโดยใช้หน่วยเวลา (อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่ปี 1983 เมตรได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการโดยอิงจากความยาวของวินาทีและความเร็วแสง) เหตุผลเพิ่มเติมที่เป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศสหัวรุนแรงไม่ต้องการใช้หน่วยวินาที ซึ่งเป็นหน่วยดั้งเดิมและไม่ใช่ระบบทศนิยมจากระบอบเก่า เป็นพื้นฐานสำหรับระบบใหม่ของพวก เขา

แม้ว่าจะไม่ได้กำหนดโดยลูกตุ้ม แต่ความยาวสุดท้ายที่เลือกสำหรับเมตร ซึ่งเท่ากับ 10⁻⁷ ^ของส่วนโค้งเส้นเมริเดียน จากขั้วโลกถึงเส้นศูนย์สูตร นั้น ใกล้เคียงกับความยาวของลูกตุ้มวินาที (0.9937 เมตร) มาก โดยมีความคลาดเคลื่อนเพียง 0.63% แม้ว่าจะไม่มีการระบุเหตุผลสำหรับการเลือกนี้ในขณะนั้น แต่ก็อาจเป็นเพราะต้องการอำนวยความสะดวกในการใช้ลูกตุ้มวินาทีเป็นมาตรฐานรอง ดังที่ได้เสนอไว้ในเอกสารอย่างเป็นทางการ ดังนั้นหน่วยมาตรฐานความยาวของโลกสมัยใหม่จึงมีความเชื่อมโยงทางประวัติศาสตร์อย่างใกล้ชิดกับลูกตุ้มวินาทีอย่างแน่นอน

ดูเหมือนว่าสหราชอาณาจักรและเดนมาร์กจะเป็นเพียงสองประเทศที่ (ในช่วงเวลาสั้นๆ) ใช้ลูกตุ้มเป็นหน่วยวัดความยาว ในปี ค.ศ. 1821 นิ้วของเดนมาร์กถูกกำหนดให้เป็น 1/38 ของความยาวของลูกตุ้มวินาทีสุริยะเฉลี่ยที่ละติจูด 45° ที่เส้นเมริเดียนของสกาเกนที่ระดับน้ำทะเล ในสุญญากาศ^{[ 137 ] [ 138 ]} รัฐสภาอังกฤษได้ผ่านพระราชบัญญัติมาตรวัดและหน่วยวัดของจักรวรรดิในปี ค.ศ. 1824 ซึ่งเป็นการปฏิรูปมาตรฐานของอังกฤษ โดยประกาศว่าหากมาตรฐานหลา ต้นแบบ ถูกทำลาย จะสามารถกู้คืนได้โดยการกำหนดนิ้วให้มีความยาวเท่ากับความยาวของลูกตุ้มวินาทีสุริยะที่ลอนดอน ที่ระดับน้ำทะเลในสุญญากาศ ที่อุณหภูมิ 62°F เท่ากับ 39.1393 นิ้ว^{[ 139 ]} ซึ่งกลายเป็นมาตรฐานของสหรัฐอเมริกาด้วย เนื่องจากในขณะนั้นสหรัฐอเมริกาใช้หน่วยวัดของอังกฤษ อย่างไรก็ตาม เมื่อลานต้นแบบถูกทำลายไปในเหตุการณ์ไฟไหม้รัฐสภาในปี 1834ก็พิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างมันขึ้นมาใหม่ได้อย่างแม่นยำตามคำจำกัดความของลูกตุ้ม และในปี 1855 สหราชอาณาจักรจึงยกเลิกมาตรฐานลูกตุ้มและกลับไปใช้มาตรฐานต้นแบบอีกครั้ง

สัญญาณที่ใช้ลูกตุ้มในการทำงาน ซึ่งมีชื่อเรียกว่า สัญญาณ วิกแวกหรือที่รู้จักกันน้อยกว่าในชื่อ สัญญาณแม่เหล็กควบคุมทิศทาง ถูกสร้างขึ้นโดยบริษัท Magnetic Signal Company (MSC) และบริษัทอื่นๆ อีกหลายแห่งได้พัฒนาตามรอย ซึ่งเคยเป็นสัญญาณรถไฟที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย แต่ปัจจุบันเหลือเพียงไม่กี่แห่งที่ยังคงใช้งานได้ทั่วโลก โดยเฉพาะในรัฐแคลิฟอร์เนีย

ใน เครื่องวัดแผ่นดินไหวรุ่นแรกๆ จะใช้ลูกตุ้มที่มีแกนไม่ตั้งตรงแต่เกือบเป็นแนวนอนเพื่อวัดการสั่นสะเทือนของโลก ลูกตุ้มจะไม่ขยับเมื่อฐานยึดขยับ และความแตกต่างของการเคลื่อนที่นั้นจะถูกบันทึกไว้บนแผนภูมิแบบดรัม

ตามที่แม็กซิมิเลียน ชูลเลอร์ ได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก ในบทความปี 1923 ลูกตุ้มที่มีคาบการแกว่งเท่ากับคาบการโคจรของดาวเทียมสมมุติที่โคจรอยู่เหนือพื้นผิวโลก (ประมาณ 84 นาที) จะยังคงชี้ไปยังศูนย์กลางของโลกเมื่อจุดรองรับถูกเคลื่อนย้ายอย่างกะทันหัน หลักการนี้เรียกว่า การปรับจูน แบบชูลเลอร์ (Schuler tuning ) ซึ่งใช้ในระบบนำทางเฉื่อยในเรือและเครื่องบินที่ปฏิบัติการบนพื้นผิวโลก โดยไม่ได้ใช้ลูกตุ้มจริง แต่ระบบควบคุมที่รักษาเสถียรภาพของแท่นเฉื่อยที่มีไจโรสโคปจะถูกดัดแปลงเพื่อให้ตัวอุปกรณ์ทำงานราวกับว่ามันติดอยู่กับลูกตุ้มดังกล่าว ทำให้แท่นนั้นหันลงเสมอขณะที่ยานพาหนะเคลื่อนที่บนพื้นผิวโค้งของโลก

ในปี ค.ศ. 1665 ฮุยเกนส์ได้ทำการสังเกตที่น่าสนใจเกี่ยวกับนาฬิกาลูกตุ้ม เขาได้วางนาฬิกาไว้สองเรือนบนหิ้งและสังเกตว่านาฬิกาทั้งสองเรือนมีการเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม กล่าวคือ ลูกตุ้มของนาฬิกาทั้งสองเรือนแกว่งไปพร้อมกันแต่ในทิศทางตรงกันข้าม 180° เฟสต่างกัน ไม่ว่านาฬิกาทั้งสองเรือนจะเริ่มต้นอย่างไร เขาก็พบว่าในที่สุดนาฬิกาทั้งสองเรือนก็จะกลับมาอยู่ในสถานะนี้ ดังนั้นจึงเป็นการสังเกตครั้งแรกที่มีการ บันทึกไว้เกี่ยวกับออสซิลเลเตอร์แบบคู่^{[ 140 ]}

สาเหตุของพฤติกรรมนี้เกิดจากลูกตุ้มทั้งสองส่งผลกระทบต่อกันและกันผ่านการเคลื่อนไหวเล็กน้อยของแท่นวาง กระบวนการนี้เรียกว่าการเหนี่ยวนำหรือการล็อกโหมดในทางฟิสิกส์ และพบได้ในออสซิลเลเตอร์ที่เชื่อมต่อกันอื่นๆ ลูกตุ้มที่ซิงโครไนซ์กันถูกนำมาใช้ในนาฬิกาและถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในเครื่องวัดความโน้มถ่วงในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แม้ว่าฮุยเกนส์จะสังเกตเห็นการซิงโครไนซ์แบบนอกเฟสเท่านั้น แต่การวิจัยล่าสุดแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของการซิงโครไนซ์แบบในเฟส เช่นเดียวกับสถานะ "ตาย" ซึ่งนาฬิกาเรือนใดเรือนหนึ่งหรือทั้งสองเรือนหยุดทำงาน^{[ 141 ] [ 142 ]}

การเคลื่อนที่แบบลูกตุ้มปรากฏในพิธีกรรมทางศาสนาเช่นกันกระถางธูป ที่แกว่งไปมาเรียกว่า กระถางธูปหรือที่รู้จักกันในชื่อกระถางกำยานเป็นตัวอย่างของลูกตุ้ม^{[ 143 ]}ลูกตุ้มยังพบเห็นได้ในงานชุมนุมหลายแห่งในเม็กซิโกตะวันออก ซึ่งใช้เป็นเครื่องหมายบอกการเปลี่ยนระดับน้ำขึ้นน้ำลงในวันที่น้ำขึ้นสูงสุด ลูกตุ้มอาจใช้สำหรับการ หาแหล่งน้ำใต้ดิน ได้เช่นกัน

ลูกตุ้มถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาวิทยาศาสตร์ในฐานะตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์แบบฮาร์มอนิกเพื่อสอนพลศาสตร์และการเคลื่อนที่แบบสั่นการใช้งานอย่างหนึ่งคือการสาธิตกฎการอนุรักษ์พลังงาน^{[ 144 ] [ 145 ]}วัตถุหนัก เช่นลูกโบว์ลิ่ง^{[ 146 ]}หรือลูกตุ้มทำลายล้าง^{[ 144 ]}จะถูกผูกติดกับเชือก จากนั้นน้ำหนักจะถูกเคลื่อนไปในระยะไม่กี่นิ้วจากใบหน้าของอาสาสมัคร แล้วปล่อยและปล่อยให้แกว่งและกลับมา ในกรณีส่วนใหญ่ น้ำหนักจะเปลี่ยนทิศทางแล้วกลับไปยังตำแหน่งเดิม (เกือบ) เดียวกับตำแหน่งที่ปล่อยครั้งแรก — กล่าว คือห่างจากใบหน้าของอาสาสมัครเล็กน้อย — ทำให้อาสาสมัครไม่ได้รับอันตราย ในบางครั้งอาสาสมัครอาจได้รับบาดเจ็บหากอาสาสมัครไม่ยืนนิ่ง^{[ 147 ]}หรือลูกตุ้มถูกปล่อยในตอนแรกด้วยการผลัก (ดังนั้นเมื่อมันกลับมามันจะเกินตำแหน่งที่ปล่อย) การสาธิตอีกอย่างหนึ่งคือคลื่นลูกตุ้ม

มีการกล่าวอ้างว่าลูกตุ้มถูกใช้เป็นเครื่องมือทรมานและประหารชีวิตโดยศาลศาสนาสเปน^{[ 148 ]}ในศตวรรษที่ 18 ข้อกล่าวหานี้ปรากฏอยู่ในหนังสือThe history of the Inquisition of Spain ใน ปี 1826 โดย Juan Antonio Llorenteนักบวช นักประวัติศาสตร์ และนักเคลื่อนไหวเสรีนิยม ชาวสเปน ^{[ 149 ]} ลูกตุ้มที่แกว่งไปมาซึ่งมีขอบเป็นใบมีดจะค่อยๆ แกว่งลงมาหาผู้ต้องขังที่ถูกมัดจนกระทั่งบาดร่างกายของเขา^{[ 150 ]} วิธีการทรมานนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายผ่านเรื่องสั้น " The Pit and the Pendulum " ในปี 1842 โดยEdgar Allan Poeนัก เขียนชาวอเมริกัน ^{[ 151 ]}

แหล่งข้อมูลที่น่าเชื่อถือส่วนใหญ่ต่างสงสัยว่าการทรมานแบบนี้เคยถูกนำมาใช้จริงหรือไม่^{[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ] หลักฐานเดียวของการใช้การทรมานแบบนี้คือย่อหน้าหนึ่งในคำนำของหนังสือประวัติศาสตร์ปี 1826 ของลอเรนเต [ 149 ] ซึ่งเล่าถึงเรื่องเล่าต่อๆ} กันมาของ^{นักโทษคน}หนึ่งที่ได้รับการปล่อยตัวจากคุกใต้ดินของศาลศาสนาในมาดริดในปี 1820 ซึ่งอ้างว่าได้บรรยายถึงวิธีการทรมานด้วยลูกตุ้ม แหล่งข้อมูลสมัยใหม่ชี้ให้เห็นว่าเนื่องจากคำตักเตือนของพระเยซูเกี่ยวกับการนองเลือด ผู้สอบสวนจึงได้รับอนุญาตให้ใช้วิธีการทรมานที่ไม่ทำให้เลือดไหลเท่านั้น และวิธีการใช้ลูกตุ้มจะขัดกับข้อห้ามนี้ ทฤษฎีหนึ่งคือลอเรนเตอาจเข้าใจผิดเกี่ยวกับเรื่องราวที่เขาได้ยิน นักโทษกำลังกล่าวถึงการทรมานอีกรูปแบบหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในศาลศาสนา นั่นคือสตราปปาโด (การ์รูชา) ซึ่งนักโทษจะถูกมัดมือไว้ด้านหลังและถูกยกขึ้นจากพื้นด้วยเชือกที่ผูกติดกับมือ^{[ 154 ]}วิธีนี้เรียกอีกอย่างว่า "ลูกตุ้ม" เรื่องราวสยองขวัญยอดนิยมของโพและการรับรู้ของสาธารณชนเกี่ยวกับวิธีการทรมานอันโหดร้ายอื่นๆ ของศาลศาสนา ทำให้ตำนานของวิธีการทรมานอันซับซ้อนนี้ยังคงอยู่

ค่า g ที่สะท้อนจากคาบการแกว่งของลูกตุ้มจะแตกต่างกันไปในแต่ละสถานที่ แรงโน้มถ่วงแปรผันตามระยะห่างจากศูนย์กลางของโลก หรือก็คือแปรผันตามระดับความสูง หรือเนื่องจากรูปร่างของโลกเป็นทรงรี ค่า g จึงแปรผันตามละติจูด สาเหตุที่สำคัญกว่าที่ทำให้ค่า g ลดลงที่เส้นศูนย์สูตรก็คือ เส้นศูนย์สูตรหมุนรอบตัวเองหนึ่งรอบต่อวัน ดังนั้นความเร่งจากแรงโน้มถ่วงจึงถูกหักล้างบางส่วนด้วยแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่เส้นศูนย์สูตร

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับลูกตุ้มนาฬิกา