ลูกตุ้มกลับหัวคือลูกตุ้มที่มีจุดศูนย์กลางมวลอยู่เหนือ จุด หมุนมันไม่เสถียรและจะล้มลงหากไม่มีความช่วยเหลือเพิ่มเติม สามารถแขวนมันไว้ในตำแหน่งกลับหัวได้อย่างเสถียรโดยใช้ระบบควบคุมเพื่อตรวจสอบมุมของเสาและเคลื่อนจุดหมุนกลับไปในแนวนอนใต้จุดศูนย์กลางมวลเมื่อมันเริ่มล้มลง เพื่อรักษาสมดุล ลูกตุ้มกลับหัวเป็นปัญหาคลาสสิกในพลศาสตร์และทฤษฎีการควบคุมและใช้เป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับการทดสอบกลยุทธ์การควบคุม มักจะนำไปใช้โดยติดตั้งจุดหมุนบนรถเข็นที่สามารถเคลื่อนที่ในแนวนอนภายใต้การควบคุมของระบบเซอร์โวอิเล็กทรอนิกส์ดังแสดงในรูปภาพ ซึ่งเรียกว่าอุปกรณ์รถเข็นและเสา^{[ 1 ]}การใช้งานส่วนใหญ่จำกัดลูกตุ้มไว้ที่ 1 องศาอิสระโดยการยึดเสาเข้ากับแกนหมุนในขณะที่ลูกตุ้มปกติจะเสถียรเมื่อห้อยลง ลูกตุ้มกลับหัวนั้นไม่เสถียรโดยเนื้อแท้ และต้องรักษาสมดุลอย่างแข็งขันเพื่อให้ตั้งตรงอยู่ได้ การกระทำนี้สามารถทำได้โดยการออกแรงบิดที่จุดหมุน การเคลื่อนจุดหมุนในแนวนอนเป็นส่วนหนึ่งของ ระบบ ป้อนกลับการเปลี่ยนอัตราการหมุนของมวลที่ติดตั้งบนลูกตุ้มบนแกนขนานกับแกนหมุนและทำให้เกิดแรงบิดสุทธิบนลูกตุ้ม หรือโดยการแกว่งจุดหมุนในแนวดิ่ง การสาธิตง่ายๆ ของการเคลื่อนจุดหมุนในระบบป้อนกลับทำได้โดยการทรงตัวด้ามไม้กวาดที่คว่ำอยู่บนปลายนิ้ว

ลูกตุ้มกลับหัวแบบที่สองคือเครื่องวัดความเอียงสำหรับโครงสร้างสูง ซึ่งประกอบด้วยลวดที่ยึดติดกับฐานรากและต่อกับลูกลอยในสระน้ำมันที่ด้านบนของโครงสร้าง โดยมีอุปกรณ์สำหรับวัดการเคลื่อนที่ของตำแหน่งที่เป็นกลางของลูกลอยออกจากตำแหน่งเดิม

ลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มห้อยอยู่ตรงใต้จุด หมุน จะอยู่ใน จุด สมดุลที่เสถียรซึ่งลูกตุ้มจะอยู่นิ่งเนื่องจากไม่มีแรงบิดกระทำต่อลูกตุ้ม หากลูกตุ้มเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งนี้ จะเกิดแรงบิดดึงกลับที่ทำให้มันกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มอยู่ในตำแหน่งกลับหัว โดยวางอยู่บนแท่งแข็งที่อยู่เหนือจุดหมุนโดยตรง ทำมุม 180° จากตำแหน่งสมดุลที่เสถียร จะอยู่ใน จุด สมดุลที่ไม่เสถียรณ จุดนี้ ไม่มีแรงบิดกระทำต่อลูกตุ้มอีกเช่นกัน แต่การเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งนี้เพียงเล็กน้อยจะทำให้เกิดแรงบิดจากแรงโน้มถ่วงกระทำต่อลูกตุ้ม ทำให้มันเร่งตัวออกจากจุดสมดุลและล้มลง

เพื่อรักษาเสถียรภาพของลูกตุ้มในตำแหน่งกลับหัวนี้สามารถใช้ระบบควบคุมป้อนกลับ ได้ ซึ่งจะตรวจสอบมุมของลูกตุ้มและเคลื่อนตำแหน่งของจุดหมุนไปด้านข้างเมื่อลูกตุ้มเริ่มล้มลง เพื่อรักษาสมดุล ลูกตุ้มกลับหัวเป็นปัญหาคลาสสิกใน พลศาสตร์และทฤษฎีการควบคุมและถูกใช้กันอย่างแพร่หลายเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับการทดสอบอัลกอริธึมควบคุม ( ตัวควบคุม PID , การแสดงสถานะในปริภูมิ , เครือข่ายประสาทเทียม , การควบคุมแบบฟัซซี , อัลกอริ ธึมทางพันธุกรรมฯลฯ) รูปแบบต่างๆ ของปัญหานี้รวมถึงการเชื่อมโยงหลายจุด ทำให้สามารถควบคุมการเคลื่อนที่ของรถเข็นได้ในขณะที่รักษาลูกตุ้มไว้ และการรักษาสมดุลของระบบรถเข็น-ลูกตุ้มบนกระดานหก ลูกตุ้มกลับหัวมีความเกี่ยวข้องกับการนำทางจรวดหรือขีปนาวุธซึ่งจุดศูนย์ถ่วงอยู่ด้านหลังจุดศูนย์ถ่วง ทำให้เกิดความไม่เสถียรทางอากาศพลศาสตร์^{[ 2 ]}ความเข้าใจเกี่ยวกับปัญหาที่คล้ายกันนี้สามารถแสดงได้ด้วยหุ่นยนต์อย่างง่ายในรูปแบบของรถเข็นทรงตัว การทรงตัวไม้กวาดที่คว่ำลงบนปลายนิ้วเป็นเพียงการสาธิตง่ายๆ และปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วด้วยยานพาหนะส่วนบุคคลที่ ทรงตัวได้เอง เช่นSegway PT , โฮเวอร์บอร์ดที่ทรงตัวได้เองและจักรยานล้อเดียวที่ทรงตัวได้เอง

อีกวิธีหนึ่งที่ลูกตุ้มกลับหัวอาจมีเสถียรภาพได้โดยไม่ต้องใช้กลไกป้อนกลับหรือควบคุมใดๆ คือการแกว่งจุดหมุนขึ้นลงอย่างรวดเร็ว วิธีนี้เรียกว่าลูกตุ้มของ Kapitzaหากการแกว่งมีความแรงเพียงพอ (ในแง่ของความเร่งและแอมพลิจูด) ลูกตุ้มกลับหัวก็สามารถฟื้นตัวจากการรบกวนได้อย่างน่าทึ่งในลักษณะที่ขัดกับสัญชาตญาณ หากจุดขับเคลื่อนเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มจะถูกอธิบายโดย สมการ ของMathieu ^{[ 3 ]}

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มกลับหัวขึ้นอยู่กับข้อจำกัดต่างๆ ที่กำหนดให้กับการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ลูกตุ้มกลับหัวสามารถสร้างขึ้นได้ในรูปแบบต่างๆ ซึ่งส่งผลให้มีสมการการเคลื่อนที่หลายแบบที่อธิบายพฤติกรรมของลูกตุ้ม

ในกรณีที่จุดหมุนของลูกตุ้มอยู่กับที่ในอวกาศ สมการการเคลื่อนที่จะคล้ายกับสมการของลูกตุ้มที่ไม่กลับหัว สมการการเคลื่อนที่ด้านล่างนี้ถือว่าไม่มีแรงเสียดทานหรือแรงต้านการเคลื่อนที่ใดๆ แท่งโลหะแข็งและไม่มีมวล และจำกัดการเคลื่อนที่ เฉพาะใน 2 มิติ

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

โดยที่คือความเร่งเชิงมุมของลูกตุ้มคือแรงโน้มถ่วงมาตรฐานบนพื้นผิวโลกคือความยาวของลูกตุ้ม และคือการกระจัดเชิงมุมที่วัดจากตำแหน่งสมดุล ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \theta }$

เมื่อนำไปบวกทั้งสองข้าง จะมีเครื่องหมายเดียวกับพจน์ความเร่งเชิงมุม: ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

ดังนั้น ลูกตุ้มกลับหัวจึงเร่งความเร็วออกไปจากจุดสมดุลที่ไม่เสถียรในแนวตั้งไปในทิศทางที่เบี่ยงเบนไปในตอนแรก และความเร่งจะเป็นสัดส่วนผกผันกับความยาว ลูกตุ้มที่สูงกว่าจะตกลงมาช้ากว่าลูกตุ้มที่สั้นกว่า

การหาค่าโดยใช้แรงบิดและโมเมนต์ความเฉื่อย:

สมมติว่าลูกตุ้มประกอบด้วยมวลจุดหนึ่ง ซึ่งมีมวล m ติดอยู่ที่ปลายของแท่งแข็งไร้มวล ซึ่งมีความยาว l และติดอยู่กับจุดหมุนที่ปลายด้านตรงข้ามกับมวลจุดนั้น ${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell }$

แรงบิดสุทธิของระบบต้องเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยคูณด้วยความเร่งเชิงมุม:

${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

แรงบิดเนื่องจากแรงโน้มถ่วงทำให้เกิดแรงบิดสุทธิ:

${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

มุมดังกล่าววัดจากตำแหน่งสมดุลกลับ หัวที่ใด${\displaystyle \theta \ }$

สมการที่ได้:

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

โมเมนต์ความเฉื่อยของมวลจุด:

${\displaystyle I=mR^{2}}$

ในกรณีของลูกตุ้มกลับหัว รัศมีคือความ ยาว ของแท่ง${\displaystyle \ell }$

การแทนที่ใน${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

มวลและถูกแบ่งจากแต่ละด้าน ส่งผลให้: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

ลูกตุ้มกลับหัวบนรถเข็นประกอบด้วยมวลที่อยู่ด้านบนของเสาที่มีความยาวตามแนวแกนหมุนได้รอบแกนหมุนบนฐานที่เคลื่อนที่ในแนวนอน ดังแสดงในภาพประกอบด้านข้าง รถเข็นถูกจำกัดการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงและอยู่ภายใต้แรงต่างๆ ที่ส่งผลให้เกิดการเคลื่อนที่หรือขัดขวางการเคลื่อนที่ ${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell }$

หลักการสำคัญในการทำให้ลูกตุ้มกลับหัวทรงตัวได้อย่างมั่นคง สามารถสรุปได้ในเชิงคุณภาพเป็นสามขั้นตอน

1. ถ้ามุมเอียงไปทางขวา รถเข็นจะต้องเร่งความเร็วไปทางขวา และในทางกลับกัน ${\displaystyle \theta }$

2. ตำแหน่งของรถเข็นเทียบกับจุดศูนย์กลางของรางจะคงที่โดยการปรับมุมศูนย์ (ข้อผิดพลาดของมุมที่ระบบควบคุมพยายามทำให้เป็นศูนย์) เล็กน้อยตามตำแหน่งของรถเข็น กล่าวคือ มุมศูนย์จะ มี ค่าเล็กน้อย วิธีนี้ทำให้เสาเอียงเล็กน้อยไปทางจุดศูนย์กลางของรางและคงที่อยู่ที่จุดศูนย์กลางของรางซึ่งมุมเอียงจะเป็นแนวตั้งพอดี ค่าเบี่ยงเบนใดๆ ในเซ็นเซอร์วัดความเอียงหรือความลาดชันของรางที่อาจทำให้เกิดความไม่เสถียรจะถูกแปลงเป็นค่าเบี่ยงเบนตำแหน่งที่เสถียร ค่าเบี่ยงเบนที่เพิ่มเข้ามาอีกจะช่วยควบคุมตำแหน่งได้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle =\theta +kx}$${\displaystyle k}$

3. ลูกตุ้มปกติที่เคลื่อนที่ตามจุดหมุน เช่น โหลดที่ยกโดยเครน จะมีการตอบสนองสูงสุดที่ความถี่เชิงมุมของลูกตุ้มที่เพื่อป้องกันการแกว่งที่ไม่สามารถควบคุมได้ สเปกตรัมความถี่ของการเคลื่อนที่ของจุดหมุนควรถูกลดทอนลงใกล้กับลูกตุ้มกลับหัวก็ต้องการตัวกรองลดทอนแบบเดียวกันเพื่อให้เกิดเสถียรภาพ ${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$${\displaystyle \omega _{p}}$

ผลจากการใช้กลยุทธ์การปรับมุมเป็นศูนย์ ทำให้การป้อนกลับตำแหน่งเป็นไปในเชิงบวก กล่าวคือ คำสั่งให้เคลื่อนที่ไปทางขวาอย่างกะทันหันจะทำให้รถเข็นเคลื่อนที่ไปทางซ้ายในตอนแรก ตามด้วยการเคลื่อนที่ไปทางขวาเพื่อปรับสมดุลลูกตุ้ม การปฏิสัมพันธ์ระหว่างความไม่เสถียรของลูกตุ้มและความไม่เสถียรของการป้อนกลับตำแหน่งในเชิงบวกที่ทำให้เกิดระบบที่เสถียรนั้น เป็นคุณลักษณะที่ทำให้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นปัญหาที่น่าสนใจและท้าทาย

สมการการเคลื่อนที่สามารถหาได้โดยใช้สมการของลากรางจ์เราอ้างอิงจากภาพวาดทางด้านขวา ซึ่ง θ คือมุมของลูกตุ้มที่มีความยาว θ เทียบกับทิศทางแนวตั้ง และแรงที่กระทำคือแรงโน้มถ่วงและแรงภายนอกFในทิศทาง x กำหนดให้ θ คือตำแหน่งของรถเข็น ${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x(t)}$

พลังงานจลน์ของระบบคือ: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}$

โดยที่คือความเร็วของรถเข็น และคือความเร็วของจุดมวลและ สามารถแสดงได้ในรูปของ x และโดยการเขียนความเร็วเป็นอนุพันธ์อันดับแรกของตำแหน่ง ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}.}$

การทำให้สูตรสำหรับง่ายขึ้นจะได้ดังนี้: ${\displaystyle v_{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

พลังงานจลน์มีค่าดังนี้:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

พิกัดทั่วไปของระบบคือและโดยแต่ละพิกัดมีแรงทั่วไปแรงทั่วไปบนแกนสามารถคำนวณได้จากงานเสมือน ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,}$

บนแกนนั้น แรงทั่วไปสามารถคำนวณได้ผ่านทางงานเสมือนของมันเช่นกัน ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Q_{\theta }}$

${\displaystyle Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .}$

ตามสมการของลากรองจ์สมการการเคลื่อนที่คือ:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \partial x}=F,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,}$

เมื่อแทนค่าลงในสมการเหล่านี้และทำการลดรูป จะได้สมการที่อธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มกลับหัว: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F,}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .}$

สมการเหล่านี้เป็นสมการไม่เชิงเส้น แต่เนื่องจากเป้าหมายของระบบควบคุมคือการรักษาลูกตุ้มให้อยู่ในแนวตั้ง สมการจึงสามารถทำให้เป็นเชิงเส้นได้โดยใช้จุดศูนย์กลางคือ. ${\displaystyle \theta \approx 0}$

แรงทั่วไปสามารถเขียนได้ทั้งในรูปพลังงานศักยภาพ และ${\displaystyle V_{x}}$${\displaystyle V_{\theta }}$

แรงทั่วไป	พลังงานศักยภาพ
${\displaystyle Q_{x}=F}$	${\displaystyle V_{x}=\int _{t_{0}}^{t}F{\dot {x}}\ {\rm {d}}t}$
${\displaystyle Q_{\theta }=mgl\sin \theta }$	${\displaystyle V_{\theta }=mgl\cos \theta }$

ตามหลักการของดาเลมเบิร์ตแรงทั่วไปและพลังงานศักยภาพมีความเกี่ยวข้องกัน:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

อย่างไรก็ตาม ในบางสถานการณ์ พลังงานศักยภาพไม่สามารถเข้าถึงได้ มีเพียงแรงทั่วไปเท่านั้นที่สามารถใช้ได้

หลังจากได้Lagrangian แล้ว เรายังสามารถใช้สมการ Euler–Lagrangeเพื่อหาค่าสมการการเคลื่อนที่ได้อีกด้วย: ${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0}$.

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือว่าจะรวมแรงทั่วไปเข้ากับพลังงานศักยภาพหรือเขียนออกมาอย่างชัดเจนเหมือนทางด้านขวา ซึ่งทั้งหมดจะนำไปสู่สมการเดียวกันในท้ายที่สุด ${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle Q_{j}}$

บ่อยครั้ง การใช้กฎข้อที่สองของนิวตันแทนสมการของลากรองจ์ จะมีประโยชน์มากกว่า เพราะสมการของนิวตันให้ค่าแรงปฏิกิริยาที่จุดต่อระหว่างลูกตุ้มกับรถเข็น สมการเหล่านี้ทำให้เกิดสมการสองสมการสำหรับแต่ละวัตถุ คือ สมการหนึ่งในทิศทาง x และอีกสมการหนึ่งในทิศทาง y สมการการเคลื่อนที่ของรถเข็นแสดงไว้ด้านล่าง โดยด้านซ้ายมือคือผลรวมของแรงที่กระทำต่อวัตถุ และด้านขวามือคือความเร่ง

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

ในสมการข้างต้นและคือแรงปฏิกิริยาที่จุดต่อคือแรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่กระทำต่อรถเข็น สมการที่สองนี้ขึ้นอยู่กับแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่งเท่านั้น ดังนั้นสมการนี้จึงสามารถใช้หาค่าแรงปฏิกิริยาตั้งฉากได้ ส่วนสมการแรกสามารถใช้หาค่าแรงปฏิกิริยาในแนวนอนได้ เพื่อให้สมการการเคลื่อนที่สมบูรณ์ จำเป็นต้องคำนวณความเร่งของมวลจุดที่ติดอยู่กับลูกตุ้ม ตำแหน่งของมวลจุดสามารถระบุได้ในพิกัดเฉื่อยดังนี้ ${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle R_{y}}$${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

การหาอนุพันธ์อันดับสองจะได้เวกเตอร์ความเร่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

จากนั้น โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน เราสามารถเขียนสมการสองสมการในทิศทาง x และทิศทาง y ได้ โปรดสังเกตว่าแรงปฏิกิริยามีค่าเป็นบวกเมื่อกระทำต่อลูกตุ้ม และมีค่าเป็นลบเมื่อกระทำต่อรถเข็น นี่เป็นผลมาจากกฎข้อที่สามของนิวตัน

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

สมการแรกช่วยให้สามารถคำนวณแรงปฏิกิริยาในแนวนอนได้อีกวิธีหนึ่ง ในกรณีที่ไม่ทราบแรงที่กระทำ สมการที่สองสามารถใช้เพื่อหาแรงปฏิกิริยาในแนวตั้ง สมการการเคลื่อนที่แรกได้มาจากการแทนค่าลงในซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

จากการตรวจสอบ สมการนี้เหมือนกับผลลัพธ์จากวิธีของลากรองจ์ทุกประการ เพื่อให้ได้สมการที่สอง สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มจะต้องถูกเติมด้วยเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับลูกตุ้มตลอดเวลา ซึ่งโดยทั่วไปจะเรียกว่าพิกัด x ของกรอบอ้างอิงของวัตถุ ในระบบพิกัดเฉื่อย เวกเตอร์นี้สามารถเขียนได้โดยใช้การแปลงพิกัด 2 มิติอย่างง่าย

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่เขียนในรูปเวกเตอร์คือ. เมื่อทำการดอททั้งสองข้างจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ทางด้านซ้าย (โปรดทราบว่าการสลับแถวและคอลัมน์มีผลเหมือนกับการดอทโปรดักต์ ) ${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

ในสมการข้างต้น ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบของแรงปฏิกิริยาในกรอบอ้างอิงของวัตถุและส่วนประกอบของแรงปฏิกิริยาในกรอบอ้างอิงเฉื่อยถูกนำมาใช้ สมมติฐานที่ว่าแท่งที่เชื่อมต่อจุดมวลกับรถเข็นนั้นไม่มีมวล หมายความว่าแท่งนี้ไม่สามารถถ่ายโอนน้ำหนักใดๆ ในทิศทางตั้งฉากกับแท่งได้ ดังนั้น ส่วนประกอบของแรงปฏิกิริยาในกรอบอ้างอิงเฉื่อยจึงสามารถเขียนได้ง่ายๆ ว่าซึ่งหมายความว่าแท่งสามารถถ่ายโอนน้ำหนักได้เฉพาะตามแนวแกนของแท่งเท่านั้น สิ่งนี้ทำให้เกิดสมการอีกสมการหนึ่งที่สามารถใช้หาค่าแรงดึงในแท่งได้: ${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

ด้านขวาของสมการคำนวณได้ในทำนองเดียวกันโดยการหาค่าจุดร่วมกับความเร่งของลูกตุ้ม ผลลัพธ์ (หลังจากลดรูปบางส่วน) แสดงไว้ด้านล่าง ${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

เมื่อรวมด้านซ้ายกับด้านขวาแล้วหารด้วย m จะได้

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

ซึ่งก็เหมือนกับผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีของลากรองจ์อีกเช่นกัน ข้อดีของการใช้วิธีของนิวตันคือ แรงปฏิกิริยาทั้งหมดจะปรากฏให้เห็น ทำให้มั่นใจได้ว่าไม่มีสิ่งใดเสียหาย

สำหรับการพิสูจน์สมการการเคลื่อนที่จากกฎข้อที่สองของนิวตัน ดังที่กล่าวมาข้างต้น โดยใช้ Symbolic Math Toolbox ^{[ 4 ]}และเอกสารอ้างอิงในนั้น

การทำให้ลูกตุ้มกลับหัวมีเสถียรภาพได้กลายเป็นความท้าทายทางวิศวกรรมทั่วไปสำหรับนักวิจัย^{[ 5 ]}ลูกตุ้มกลับหัวบนรถเข็นมีหลายรูปแบบ ตั้งแต่แท่งบนรถเข็นไปจนถึงลูกตุ้มกลับหัวแบบหลายส่วนบนรถเข็น อีกรูปแบบหนึ่งคือการวางแท่งหรือแท่งแบบหลายส่วนบนปลายของชุดประกอบที่หมุนได้ ในทั้งสองแบบ (รถเข็นและระบบหมุน) ลูกตุ้มกลับหัวสามารถตกลงมาได้เฉพาะในระนาบเท่านั้น ลูกตุ้มกลับหัวในโครงการเหล่านี้อาจต้องรักษาสมดุลหลังจากถึงตำแหน่งสมดุลแล้ว หรืออาจรักษาสมดุลได้ด้วยตัวเอง อีกแพลตฟอร์มหนึ่งคือลูกตุ้มกลับหัวทรงตัวแบบสองล้อ แพลตฟอร์มสองล้อนี้มีความสามารถในการหมุนอยู่กับที่ ทำให้มีความคล่องตัวสูง^{[ 6 ]}อีกรูปแบบหนึ่งคือการทรงตัวบนจุดเดียวลูกข่างหมุน จักรยาน ล้อเดียวหรือลูกตุ้มกลับหัวบนลูกบอลทรงกลม ล้วนทรงตัวบนจุดเดียว

ลูกตุ้มกลับหัวที่จุดหมุนแกว่งขึ้นลงอย่างรวดเร็วสามารถทรงตัวอยู่ในตำแหน่งกลับหัวได้ นี่เรียกว่าลูกตุ้มของคาปิตซาตามชื่อของนักฟิสิกส์ชาวรัสเซียปิโอตร์ คาปิตซาผู้ซึ่งวิเคราะห์มันเป็นครั้งแรก สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่เชื่อมต่อกับฐานที่ไม่มีมวลและแกว่งไปมานั้นได้มาในลักษณะเดียวกับลูกตุ้มบนรถเข็น ตำแหน่งของมวลจุดจะกำหนดโดย:

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

และสามารถหาความเร็วได้โดยการหาอนุพันธ์อันดับแรกของตำแหน่ง:

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

ลากรางเจียนสำหรับระบบนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

และสมการการเคลื่อนที่ได้มาจาก:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

ส่งผลให้:

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

ถ้าyแทนการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้คือ: ${\displaystyle y=A\sin \omega t}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

สมการนี้ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิดที่เรียบง่าย แต่สามารถสำรวจได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น สมการของ Mathieu สามารถประมาณค่าได้อย่างใกล้เคียง เมื่อแอมพลิจูดของการแกว่งมีขนาดเล็ก การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มจะตั้งตรงเมื่อการแกว่งเร็ว กราฟแรกแสดงให้เห็นว่าเมื่อการแกว่งช้า ลูกตุ้มจะล้มลงอย่างรวดเร็วเมื่อถูกรบกวนจากตำแหน่งตั้งตรง มุมจะเกิน 90° ในเวลาไม่นาน ซึ่งหมายความว่าลูกตุ้มได้ตกลงพื้นแล้ว หาก เป็นการแกว่งเร็ว ลูกตุ้มสามารถรักษาเสถียรภาพรอบตำแหน่งแนวตั้งได้ กราฟที่สองแสดงให้เห็นว่าเมื่อถูกรบกวนจากตำแหน่งแนวตั้ง ลูกตุ้มจะเริ่มแกว่งรอบตำแหน่งแนวตั้ง ( ) การเบี่ยงเบนจากตำแหน่งแนวตั้งยังคงมีขนาดเล็ก และลูกตุ้มจะไม่ล้มลง ${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta =0}$

อาจกล่าวได้ว่าตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุดของลูกตุ้มกลับหัวที่ทรงตัวได้คือมนุษย์คนที่ยืนตัวตรงเปรียบเสมือนลูกตุ้มกลับหัวโดยมีเท้าเป็นจุดหมุน และหากไม่มีการปรับกล้ามเนื้อเล็กๆ น้อยๆ อย่างต่อเนื่องก็จะล้มลง ระบบประสาทของมนุษย์มีระบบควบคุมป้อนกลับ โดยไม่รู้ตัว นั่น คือความรู้สึกสมดุลหรือปฏิกิริยาการทรงตัวซึ่งใช้ ข้อมูล จากการรับรู้ตำแหน่งจากดวงตา กล้ามเนื้อ และข้อต่อ และข้อมูลจากการรับรู้ทิศทางจากระบบการทรงตัว ซึ่งประกอบด้วย ท่อครึ่งวงกลมสาม ท่อ ในหูชั้นในและ อวัยวะ โอโทลิธ สองอัน เพื่อทำการปรับกล้ามเนื้อโครงร่างเล็กๆ น้อยๆ อย่างต่อเนื่องเพื่อให้เรายืนตัวตรงได้ การเดิน การวิ่ง หรือการทรงตัวบนขาข้างเดียวทำให้ระบบนี้ต้องทำงานหนักขึ้น โรคบางชนิดและการมึนเมาจากการดื่มแอลกอฮอล์หรือยาเสพติดอาจรบกวนปฏิกิริยานี้ ทำให้เกิดอาการเวียนศีรษะและเสียสมดุลไม่สามารถยืนตัวตรงได้การทดสอบความสามารถในการขับขี่ที่ตำรวจใช้ทดสอบผู้ขับขี่ว่าอยู่ภายใต้อิทธิพลของแอลกอฮอล์หรือยาเสพติดหรือไม่นั้น จะทดสอบปฏิกิริยานี้ว่าบกพร่องหรือไม่

ตัวอย่างง่ายๆ ได้แก่ การทรงตัวไม้กวาดหรือไม้บรรทัดด้วยมือ

ลูกตุ้มกลับหัวถูกนำมาใช้ในอุปกรณ์ต่างๆ และการพยายามรักษาสมดุลของลูกตุ้มกลับหัวถือเป็นปัญหาทางวิศวกรรมที่ไม่เหมือนใครสำหรับนักวิจัย^{[ 7 ]}ลูกตุ้มกลับหัวเป็นส่วนประกอบสำคัญในการออกแบบเครื่องวัดแผ่นดินไหว รุ่นแรกๆ หลายเครื่อง เนื่องจากความไม่เสถียรโดยธรรมชาติ ส่งผลให้เกิดการตอบสนองที่วัดได้ต่อการรบกวนใดๆ^{[ 8 ]}

แบบจำลองลูกตุ้มกลับหัวถูกนำมาใช้ในยานพาหนะส่วนบุคคล รุ่นใหม่บางรุ่น เช่นสกูตเตอร์ทรงตัว สองล้อและ จักรยานไฟฟ้าล้อเดียว อุปกรณ์เหล่านี้มีความไม่เสถียรทางจลศาสตร์และใช้ ระบบเซอร์โวป้อนกลับทางอิเล็กทรอนิกส์เพื่อรักษาสมดุลให้อยู่ในแนวตั้ง

การแกว่งลูกตุ้มบนรถเข็นให้กลายเป็นสถานะลูกตุ้มกลับหัวถือเป็นปัญหา/เกณฑ์มาตรฐานการควบคุมที่เหมาะสม แบบดั้งเดิม ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• ลูกตุ้มกลับหัวคู่
• ลูกตุ้มล้อเฉื่อย
• ลูกตุ้มฟุรุตะ
• ไอบอท
• หุ่นยนต์ฮิวมานอยด์
• บอลบอท

• แฟรงคลินและคณะ (2005). การควบคุมแบบป้อนกลับของระบบไดนามิกเล่ม 5, เพรนทิส ฮอลล์. ISBN 0-13-149930-0

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับลูกตุ้มกลับหัว

• YouTube - ลูกตุ้มกลับหัว - สาธิตครั้งที่ 3
• YouTube - ลูกตุ้มกลับหัว
• YouTube - ลูกตุ้มคู่บนรถเข็น
• YouTube - ลูกตุ้มสามอันบนรถเข็น
• การจำลองพลวัตของลูกตุ้มกลับหัวบนฐานที่แกว่งไปมา เก็บถาวรเมื่อ 13 กันยายน 2019 ที่Wayback Machine
• ลูกตุ้มกลับหัว: การวิเคราะห์ การออกแบบ และการนำไปใช้งาน
• การควบคุมการแกว่งขึ้นและการรักษาเสถียรภาพแบบไม่เชิงเส้นของระบบลูกตุ้มกลับหัว
• การควบคุมแบบฟัซซีเพื่อรักษาเสถียรภาพของระบบลูกตุ้มกลับหัว
• บทความในบล็อกเกี่ยวกับลูกตุ้มกลับหัว พร้อมโค้ด Python
• สมการการเคลื่อนที่สำหรับงานควบคุมรถเข็นและเสา