ลูกตุ้มฟุรุตะหรือลูกตุ้มกลับหัวแบบหมุน ประกอบด้วยแขนขับเคลื่อนที่หมุนในระนาบแนวนอน และลูกตุ้มที่ติดอยู่กับแขนนั้นซึ่งสามารถหมุนได้อย่างอิสระในระนาบแนวตั้ง ลูกตุ้มนี้ถูกคิดค้นขึ้นในปี 1992 ที่สถาบันเทคโนโลยีโตเกียวโดย คัตสึฮิสะ ฟุรุตะ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}และเพื่อนร่วมงานของเขา มันเป็นตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์แบบไม่เชิงเส้นที่ซับซ้อนซึ่งน่าสนใจในทฤษฎีระบบควบคุมลูกตุ้มนี้มี การควบคุม ที่ไม่สมบูรณ์และไม่เชิงเส้น อย่างมาก เนื่องจากแรงโน้มถ่วงและการเชื่อมโยงที่เกิดจาก แรง โคริโอลิสและแรงสู่ศูนย์กลางนับตั้งแต่นั้นมา มีเอกสารและวิทยานิพนธ์หลายสิบฉบับ หรืออาจเป็นหลายร้อยฉบับ ที่ใช้ระบบนี้เพื่อสาธิตกฎการควบคุมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} ระบบนี้ยังเป็นหัวข้อของตำราสองเล่มอีกด้วย^{[ 8 ] [ 9 ]}

แม้ว่าระบบจะได้รับความสนใจอย่างมาก แต่มีสิ่งพิมพ์เพียงไม่กี่ฉบับที่สามารถหา (หรือใช้) พลวัตทั้งหมดได้สำเร็จ ผู้เขียนหลายคน^{[ 3 ] [ 8 ]}พิจารณาเฉพาะความเฉื่อยของการหมุนของลูกตุ้มสำหรับแกนหลักเพียงแกนเดียว (หรือละเลยไปโดยสิ้นเชิง^{[ 9 ]} ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เทนเซอร์ความเฉื่อยมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงองค์ประกอบเดียว (หรือไม่มีเลย) และเทอมแนวทแยงสองเทอมที่เหลือเป็นศูนย์ เป็นไปได้ที่จะพบระบบลูกตุ้มที่โมเมนต์ความเฉื่อยในหนึ่งในสามแกนหลักมีค่าประมาณศูนย์ แต่ไม่ใช่สอง

ผู้เขียนบางท่าน^{[ 2 ] [ 4 ] [ 6 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}ได้พิจารณาลูกตุ้มสมมาตรที่เรียวบาง โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนหลักสองแกนเท่ากัน และโมเมนต์ความเฉื่อยที่เหลือเป็นศูนย์ จากเอกสารหลายสิบฉบับที่สำรวจสำหรับวิกิพีเดียนี้ พบว่ามีเพียงเอกสารการประชุม^{[ 13 ]}และเอกสารวารสาร^{[ 14 ]} เพียงฉบับเดียวเท่านั้น ที่รวมเงื่อนไขความเฉื่อยหลักทั้งสามของลูกตุ้มไว้ เอกสารทั้งสองฉบับใช้สูตรลากรางจ์แต่แต่ละฉบับมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย (สันนิษฐานว่าเป็นข้อผิดพลาดในการพิมพ์)

สมการการเคลื่อนที่ที่นำเสนอในที่นี้เป็นส่วนหนึ่งจากบทความ^{[ 15 ]}เกี่ยวกับพลศาสตร์ของลูกตุ้มฟุรุตะที่พัฒนาที่มหาวิทยาลัยแอดิเลด

พิจารณาลูกตุ้มกลับหัวแบบหมุนที่ติดตั้งกับมอเตอร์กระแสตรงดังแสดงในรูปที่ 1 มอเตอร์กระแสตรงใช้ในการสร้างแรงบิดให้กับแขนที่ 1 ข้อต่อระหว่างแขนที่ 1 และแขนที่ 2 ไม่ได้ถูกขับเคลื่อน แต่สามารถหมุนได้อย่างอิสระ แขนทั้งสองมีความยาว และ แขนทั้งสองมีมวล และ ซึ่งอยู่ที่ และ ตามลำดับ โดยที่ คือความยาวจากจุดหมุนของแขนไปยังจุดศูนย์กลางมวลแขนทั้งสองมีเทนเซอร์ความเฉื่อย และ(รอบจุดศูนย์กลางมวลของแขนตามลำดับ) ข้อต่อหมุนแต่ละข้อมีการหน่วงแบบหนืดด้วยสัมประสิทธิ์การหน่วง และ โดยที่ คือการหน่วงที่เกิดจากแบริ่งของมอเตอร์ และ คือการหน่วงที่เกิดจากข้อต่อแบบหมุดระหว่างแขนที่ 1 และแขนที่ 2 ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {J}__{1}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {J}__{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

ระบบพิกัดมือขวาถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดอินพุต สถานะ และระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 1 และ 2 แกนพิกัดของแขน 1 และแขน 2 เป็นแกนหลักที่ทำให้เทนเซอร์ความเฉื่อยเป็นแนวทแยง

มุมการหมุนของแขนที่ 1, , วัดในระนาบแนวนอน โดยทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (เมื่อมองจากด้านบน) ถือเป็นค่าบวก มุมการหมุนของแขนที่ 2, , วัดในระนาบแนวตั้ง โดยทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (เมื่อมองจากด้านหน้า) ถือเป็นค่าบวก เมื่อแขนห้อยลงในตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{2}=0}$

แรงบิดที่เซอร์โวมอเตอร์ส่งไปยังแขนที่ 1 มีค่าเป็นบวกในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (เมื่อมองจากด้านบน) ส่วนแขนที่ 2 จะได้รับแรงบิดรบกวน ซึ่งมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก (เมื่อมองจากด้านหน้า) ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$

ก่อนที่จะวิเคราะห์พลวัตของระบบ จำเป็นต้องตั้งสมมติฐานหลายประการก่อน ได้แก่:

• ถือว่าเพลาของมอเตอร์และแขนที่ 1 เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาและมีความแข็งแกร่งอนันต์
• ถือว่าแขนที่ 2 มีความแข็งอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
• แกนพิกัดของแขนที่ 1 และแขนที่ 2 เป็นแกนหลักที่ทำให้เทนเซอร์ความเฉื่อยเป็นแนวทแยง
• ถือว่าค่าความเฉื่อยของโรเตอร์มอเตอร์นั้นมีค่าน้อยมาก อย่างไรก็ตาม สามารถเพิ่มค่านี้เข้าไปในโมเมนต์ความเฉื่อยของแขนที่ 1 ได้อย่างง่ายดาย
• พิจารณาเฉพาะการหน่วงแบบหนืด เท่านั้น การหน่วงรูปแบบอื่น ๆ (เช่น การหน่วงแบบคูลอมบ์) ถูกละเลยไป แต่การเพิ่มการหน่วงเหล่านี้เข้าไปในสมการเชิงอนุพันธ์ควบคุมขั้นสุดท้ายนั้นทำได้ง่าย

สมการการเคลื่อนที่แบบไม่เชิงเส้นกำหนดโดย^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\ddot {\theta }`{1}\left(J_{1zz}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}+(J_{2yy}+m_{2}l_{2}^{2})\sin ^{2}(\theta _{2})+J_{2xx}\cos ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }__{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }__{2}^{2}+{\dot {\theta }_{1}{\dot {\theta }__{2}\sin(2\theta _{2})(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2yy}-J_{2xx})+b_{1}{\dot {\theta }}_{1}=\tau _{1}}$

และ

${\displaystyle {\ddot {\theta }__{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }__{2}(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2zz})+1/2{\dot {\theta }__{1}^{2}\sin(2\theta _{2})(-m_{2}l_{2}^{2}-J_{2yy}+J_{2xx})+b_{2}{\dot {\theta }__{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$

ลูกตุ้มฟุรุตะส่วนใหญ่มักมีแขนยาวเรียว ทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยตามแกนของแขนมีค่าน้อยมาก นอกจากนี้ แขนส่วนใหญ่ยังมี ความสมมาตรแบบหมุนทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยในแกนหลักสองแกนมีค่าเท่ากัน ดังนั้น จึงสามารถประมาณเทนเซอร์ความเฉื่อยได้ดังนี้:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}=diag[J_{1xx},J_{1yy},J_{1zz}]=diag[0,J_{1},J_{1}]}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}=diag[J_{2xx},J_{2yy},J_{2zz}]=diag[0,J_{2},J_{2}]}$

การลดรูปเพิ่มเติมทำได้โดยการแทนที่ดังต่อไปนี้ โมเมนต์ความเฉื่อยรวมของแขนที่ 1 รอบจุดหมุน (โดยใช้ทฤษฎีแกนขนาน ) คือโมเมนต์ความเฉื่อยรวมของแขนที่ 2 รอบจุดหมุนคือสุดท้าย กำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยรวมที่โรเตอร์มอเตอร์ประสบเมื่อลูกตุ้ม (แขนที่ 2) อยู่ในตำแหน่งสมดุล (ห้อยลงในแนวดิ่ง) คือ ${\displaystyle {\hat {J_{1}}}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}}$${\displaystyle {\hat {J_{2}}}=J_{2}+m_{2}l_{2}^{2}}$${\displaystyle {\hat {J_{0}}}={\hat {J}}_{1}+m_{2}L_{1}^{2}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}}$

การแทนที่คำจำกัดความก่อนหน้านี้ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ที่ควบคุมจะทำให้ได้รูปแบบที่กระชับยิ่งขึ้น

${\displaystyle {\ddot {\theta }__{1}\left({\hat {J_{0}}}+{\hat {J_{2}}}\sin ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }__{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }__{2}^{2}+{\dot {\theta }__{1}{\dot {\theta }__{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{1}{\dot {\theta }__{1}=\เทา _{1}}$

และ

${\displaystyle {\ddot {\theta }__{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}{\hat {J_{2}}}-1/2{\dot {\theta }__{1}^{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{2}{\dot {\theta }__{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$

• ลูกตุ้มกลับหัว
• ลูกตุ้มกลับหัวคู่
• ลูกตุ้มล้อเฉื่อย
• จักรยานล้อเดียวทรงตัวได้เอง

• เกี่ยวกับพลศาสตร์ของลูกตุ้มฟุรุตะ
• ลูกตุ้มของฟุรุตะ: แบบจำลองไม่เชิงเส้นแบบอนุรักษ์นิยมสำหรับทฤษฎีและการปฏิบัติ
• การวิเคราะห์พลวัตของลูกตุ้มฟุรุตะที่เอียง

• มหาวิทยาลัยแอดิเลดเก็บถาวรเมื่อวันที่ 22 สิงหาคม 2554 ที่Wayback Machine
• มหาวิทยาลัยโทรอนโต
• มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโอไฮโอเก็บถาวรเมื่อวันที่ 5 กันยายน 2008 ที่Wayback Machine
• ตัวอย่างลูกตุ้มหมุนกลับหัว