ในพลศาสตร์ของไหลสมการแรงต้านเป็นสูตรที่ใช้คำนวณแรงต้านที่วัตถุได้รับเนื่องจากการเคลื่อนที่ผ่านของไหล ที่ล้อมรอบอย่างสมบูรณ์ สมการคือ: โดยที่ $${\displaystyle F_{\rm {d}}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,u^{2}\,c_{\rm {d}}\,A}$$

• ${\displaystyle F_{\rm {d}}}$แรงต้าน คือแรงที่มีส่วนประกอบอยู่ในทิศทางเดียวกับความเร็วของการไหล ตามคำจำกัดความ
• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นมวลของของเหลว^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle u}$คือความเร็วการไหลสัมพัทธ์กับวัตถุ
• ${\displaystyle A}$คือ พื้นที่อ้างอิงและ
• ${\displaystyle c_{\rm {d}}}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ไร้หน่วย ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตของวัตถุ

สมการนี้มาจากลอร์ดเรย์ลีย์ซึ่งเดิมทีใช้L ²แทนA (โดยที่Lเป็นมิติเชิงเส้นบางอย่าง) ^{[ 2 ]}

พื้นที่อ้างอิงAโดยทั่วไปกำหนดให้เป็นพื้นที่ของการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกของวัตถุบนระนาบที่ตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ สำหรับวัตถุที่ไม่กลวงและมีรูปร่างเรียบง่าย เช่น ทรงกลม พื้นที่นี้จะเท่ากับ พื้นที่ หน้าตัด สูงสุด สำหรับวัตถุอื่นๆ (เช่น ท่อที่กลิ้งหรือร่างกายของนักปั่นจักรยาน) Aอาจมีขนาดใหญ่กว่าพื้นที่หน้าตัดใดๆ ตามระนาบใดๆ ที่ตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่อย่างมากปีกเครื่องบินใช้กำลังสองของความยาวคอร์ดเป็นพื้นที่อ้างอิง เนื่องจากคอร์ดของปีกเครื่องบินมักกำหนดไว้ที่ความยาว 1 ดังนั้นพื้นที่อ้างอิงจึงเท่ากับ 1 เครื่องบินใช้พื้นที่ปีก (หรือพื้นที่ใบพัด) เป็นพื้นที่อ้างอิง ซึ่งทำให้เปรียบเทียบกับแรงยกได้ง่ายเรือเหาะและวัตถุหมุนรอบแกนใช้สัมประสิทธิ์แรงต้านเชิงปริมาตร โดยที่พื้นที่อ้างอิงคือกำลังสองของรากที่สามของปริมาตรของเรือเหาะ บางครั้งอาจมีการกำหนดพื้นที่อ้างอิงที่แตกต่างกันสำหรับวัตถุเดียวกัน ในกรณีเช่นนี้ จะต้องระบุสัมประสิทธิ์แรงต้านที่สอดคล้องกับพื้นที่ที่แตกต่างกันเหล่านี้ด้วย

ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านถูกกำหนดร่วมกับการเลือกพื้นที่อ้างอิง และครอบคลุมทั้งแรงเสียดทานผิวและแรงต้านรูปทรงถ้าของเหลวมีค่าเท่ากับของเหลวค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านจะขึ้นอยู่กับเลขเรย์โนลด์แต่ถ้าก๊าซมีค่าเท่ากับก๊าซ ค่าสัมประสิทธิ์แรง ต้านจะขึ้นอยู่กับทั้งเลขเรย์โนลด์และเลข มัค${\displaystyle c_{\rm {d}}}$${\displaystyle c_{\rm {d}}}$${\displaystyle c_{\rm {d}}}$

สำหรับ วัตถุที่มีมุมแหลมคมเช่น ทรงกระบอกสี่เหลี่ยมและแผ่นที่วางขวางทิศทางการไหล สมการนี้ใช้ได้โดยมีสัมประสิทธิ์แรงต้านเป็นค่าคงที่เมื่อเลขเรย์โนลด์มากกว่า 1000 ^{[ 3 ]}สำหรับวัตถุเรียบ เช่น ทรงกระบอก สัมประสิทธิ์แรงต้านอาจเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญจนถึงเลขเรย์โนลด์สูงถึง 10 ⁷ (สิบล้าน) ^{[ 4 ]}

สมการนี้เข้าใจได้ง่ายกว่าในสถานการณ์ในอุดมคติที่ของเหลวทั้งหมดพุ่งชนพื้นที่อ้างอิงและหยุดนิ่งอย่างสมบูรณ์ ทำให้เกิดแรงดันหยุดนิ่งทั่วทั้งพื้นที่ ไม่มีวัตถุจริงใดที่สอดคล้องกับพฤติกรรมนี้อย่างแม่นยำคืออัตราส่วนของแรงต้านของวัตถุจริงใดๆ ต่อแรงต้านของวัตถุในอุดมคติ ในทางปฏิบัติ วัตถุที่มีพื้นผิวขรุขระและไม่มีรูปทรงตามหลักอากาศพลศาสตร์ (วัตถุทื่อ) จะมีค่าประมาณ 1 มากหรือน้อย วัตถุที่มีพื้นผิวเรียบกว่าจะมีค่าต่ำกว่ามากสมการนี้มีความแม่นยำ – มันเพียงแค่ให้คำจำกัดความของ( สัมประสิทธิ์แรงต้าน ) ซึ่งแปรผันตามเลขเรย์โนลด์และหาได้จากการทดลอง ${\displaystyle c_{\rm {d}}}$${\displaystyle c_{\rm {d}}}$${\displaystyle c_{\rm {d}}}$${\displaystyle c_{\rm {d}}}$

สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษคือการพึ่งพาความเร็วการไหล ซึ่งหมายความว่าแรงต้านของของเหลวจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของความเร็วการไหล ตัวอย่างเช่น เมื่อความเร็วการไหลเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ไม่เพียงแต่ของเหลวจะกระทบด้วยความเร็วการไหลเป็นสองเท่าเท่านั้น แต่ยังมีมวลของของเหลวที่กระทบต่อวินาทีเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าด้วย ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมต่อเวลา กล่าวคือแรงที่ได้รับ จะเพิ่มขึ้นเป็นสี่เท่า ซึ่งแตกต่างจากแรงเสียดทานแบบไดนามิก ของของแข็งกับของแข็ง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วแทบไม่มีความขึ้นอยู่กับความเร็วเลย ${\displaystyle u^{2}}$

แรงต้านสามารถระบุได้อีกอย่างหนึ่งว่า โดย ที่P _Dคือความดันที่ของเหลวกระทำต่อพื้นที่Aในที่นี้ ความดันP _Dหมายถึงความดันพลวัตเนื่องจากพลังงานจลน์ของของเหลวที่มีความเร็วการไหลสัมพัทธ์uซึ่งกำหนดในรูปแบบที่คล้ายกับสมการพลังงานจลน์: $${\displaystyle F_{\rm {d}}\propto P_{\rm {D}}A}$$$${\displaystyle P_{\rm {D}}={\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$$

เนื่องจากอากาศเป็นก๊าซและดังนั้นจึงเป็นของเหลว เราจึงสามารถหาอนุพันธ์ของสมการแรงต้านได้โดยใช้สมการของเบอร์นูลลีและสมการ ความดัน พื้นฐาน

${\displaystyle P={\frac {D}{A}}\ลูกศรขวา D=PA}$

จากสมการของเบอร์นูลลี${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h}$

เมื่อรวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน คุณจะได้${\displaystyle D=({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h)A}$

จากนั้นจึงใส่ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านซึ่งคำนึงถึงพารามิเตอร์อื่นๆ ด้วย และได้มาจากการทดลองเช่นกัน ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h)AC}$ และคุณก็จะได้สมการแรงต้าน แต่คุณอาจสังเกตเห็นว่ามันแตกต่างจากสมการที่คุณแสดงไว้ข้างต้น เพราะมันแตกต่างกันจริงๆ สมการนี้มีส่วนประกอบเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งส่วน: นี่เป็นเพราะโดยปกติแล้วความแตกต่างของความสูง ∆h มักถูกละเลย เนื่องจากกล่าวกันว่ามันเล็กน้อยมากเมื่อเทียบกับสิ่งที่ส่วนอื่นของสมการให้เรา ${\displaystyle +\rho g\Delta h}$

จากนั้นเราจะได้สมการแบบนี้:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}C\rho Av^{2}}$

ที่ไหน:

• คือขนาดของแรงต้านที่กระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กับของเหลว โดยของเหลวนั้นเอง ${\displaystyle D}$

• คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน ${\displaystyle C}$

• คือความหนาแน่นของของเหลว ${\displaystyle \rho }$

• คือพื้นที่หน้าตัดของร่างกายที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับของเหลว ${\displaystyle A}$

• คือขนาดของความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุและของเหลว นี่เป็นวิธีหนึ่งในการหาอนุพันธ์ของสมการที่เราสามารถใช้คำนวณแรงที่ของเหลวกระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กับมันได้ ${\displaystyle v}$

สมการแรงต้านสามารถหาได้โดยวิธีวิเคราะห์มิติ โดยมีความคลาดเคลื่อนไม่เกินค่าคงที่ ตัวคูณ ถ้าของเหลวที่เคลื่อนที่กระทบกับวัตถุ มันจะออกแรงกระทำต่อวัตถุนั้น สมมติว่าของเหลวนั้นเป็นของเหลว และตัวแปรที่เกี่ยวข้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ

• ความเร็วu ,
• ความหนาแน่นของของเหลวρ ,
• ความหนืดจลน์νของของเหลว
• ขนาดของร่างกาย ซึ่งแสดงในรูปของพื้นที่ผิวที่เปียกน้ำAและ
• แรงต้านF _d .

โดยใช้อัลกอริทึมของทฤษฎีบท Buckingham πตัวแปรทั้งห้าตัวนี้สามารถลดรูปให้เหลือเพียงสองกลุ่มที่ไม่มีมิติได้:

• สัมประสิทธิ์แรงต้าน c _dและ
• เลขเรย์โนลด์ Re.

ข้อเท็จจริงนี้จะชัดเจนขึ้นเมื่อพิจารณาแรงต้านF _dที่แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันของตัวแปรอื่นๆ ในโจทย์:

$${\displaystyle f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.}$$

รูปแบบการแสดงออกที่ค่อนข้างแปลกประหลาดนี้ถูกนำมาใช้เนื่องจากไม่ได้สมมติความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ในที่นี้f _aคือฟังก์ชันบางอย่าง (ที่ยังไม่ทราบ) ที่รับอาร์กิวเมนต์ห้าตัว ตอนนี้ด้านขวามือเป็นศูนย์ในระบบหน่วยใดๆ ดังนั้นจึงควรเป็นไปได้ที่จะแสดงความสัมพันธ์ที่อธิบายโดยf _aในรูปของกลุ่มที่ไม่มีมิติเท่านั้น

มีหลายวิธีในการรวมอาร์กิวเมนต์ทั้งห้าของf _aเพื่อสร้างกลุ่มไร้มิติ แต่ทฤษฎีบท Buckingham π ระบุว่าจะมีกลุ่มดังกล่าวสองกลุ่ม กลุ่มที่เหมาะสมที่สุดคือเลขเรย์โนลด์ ซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}}$$

และค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน ซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวแปรห้าตัวจึงสามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชันที่มีตัวแปรเพียงสองตัวได้:

$${\displaystyle f_{b}\left({\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}},{\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)=0.}$$

โดยที่f และ_bเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว กฎเดิมจึงลดรูปเหลือเพียงกฎที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขสองตัวนี้เท่านั้น

เนื่องจากตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียวในสมการข้างต้นคือแรงต้านF _dจึงสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}&=f_{c}\left({\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\\F_{\rm {d}}&={\tfrac {1}{2}}\rho Au^{2}f_{c}(\mathrm {Re} )\\c_{\rm {d}}&=f_{c}(\mathrm {Re} )\end{aligned}}}$$

ดังนั้นแรงจึงเป็นเพียง⁠1/2ρ A u ² คูณด้วยฟังก์ชัน f _cบางอย่าง (ซึ่งยังไม่ทราบ) ของเลขเรย์โนลด์ Re – ซึ่งเป็นระบบที่ง่ายกว่าฟังก์ชันห้าตัวแปรดั้งเดิมที่ให้ไว้ข้างต้น มาก

ดังนั้น การวิเคราะห์มิติจึงทำให้ปัญหาที่ซับซ้อนมาก (การพยายามกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันที่มีตัวแปรห้าตัว) กลายเป็นปัญหาที่ง่ายขึ้นมาก นั่นคือ การกำหนดแรงต้านเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเพียงตัวเดียว ซึ่งก็คือเลขเรย์โนลด์

ถ้าของไหลเป็นแก๊ส คุณสมบัติบางอย่างของแก๊สจะมีอิทธิพลต่อแรงต้าน และต้องนำคุณสมบัติเหล่านั้นมาพิจารณาด้วย คุณสมบัติเหล่านั้นโดยทั่วไปถือเป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส และอัตราส่วนของความร้อนจำเพาะ คุณสมบัติทั้งสองนี้เป็นตัวกำหนดความเร็วเสียงในแก๊สที่อุณหภูมิที่กำหนด ทฤษฎีบทบัคกิงแฮมพายนำไปสู่กลุ่มไร้มิติที่สาม คือ อัตราส่วนของความเร็วสัมพัทธ์ต่อความเร็วเสียง ซึ่งเรียกว่าเลขมัคดังนั้น เมื่อวัตถุเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับแก๊ส สัมประสิทธิ์แรงต้านจะแปรผันตามเลขมัคและเลขเรย์โนลด์

การวิเคราะห์นี้ยังให้ข้อมูลอื่นๆ เพิ่มเติมโดยไม่มีค่าใช้จ่ายอีกด้วย กล่าวคือ การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่า หากปัจจัยอื่นๆ คงที่ แรงต้านจะแปรผันตรงกับความหนาแน่นของของเหลว ข้อมูลประเภทนี้มักมีค่าอย่างยิ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระยะเริ่มต้นของโครงการวิจัย

เพื่อกำหนดความสัมพันธ์ของเลขเรย์โนลด์เชิงประจักษ์ แทนที่จะทดลองกับวัตถุขนาดใหญ่ที่มีของเหลวไหลเร็ว (เช่น เครื่องบินขนาดจริงในอุโมงค์ลม ) เราอาจทดลองโดยใช้แบบจำลองขนาดเล็กในกระแสการไหลที่มีความเร็วสูงกว่าก็ได้ เนื่องจากระบบทั้งสองนี้มีความคล้ายคลึงกันโดยมีเลขเรย์โนลด์เท่ากัน หากไม่สามารถบรรลุเลขเรย์โนลด์และเลขมัคเดียวกันได้โดยใช้กระแสการไหลที่มีความเร็วสูงกว่า อาจเป็นประโยชน์ที่จะใช้ของเหลวที่มีความหนาแน่นมากกว่าหรือความหนืดต่ำกว่า^{[ 5 ]}

• แรงต้านอากาศพลศาสตร์
• มุมปะทะ
• สมการโมริสัน
• กฎไซน์กำลังสองของนิวตันเกี่ยวกับแรงต้านอากาศ
• การหยุดชะงัก (การบิน)
• ความเร็วปลาย

• Batchelor, GK (1967). บทนำสู่พลศาสตร์ของไหล . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-66396-2.
• ฮันท์ลีย์, เอชอี (1967). การวิเคราะห์มิติ . โดเวอร์. LOC 67-17978.
• เบนสัน, ทอม. "วัตถุตกที่มีแรงต้านอากาศ" . สหรัฐอเมริกา: นาซา. สืบค้นเมื่อ9 มิถุนายน 2022 .
• เบนสัน, ทอม. "สมการแรงต้าน" . สหรัฐอเมริกา: นาซา. สืบค้นเมื่อ9 มิถุนายน 2022 .