ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงสุ่มสูตรของไดน์กินเป็นทฤษฎีบทที่ให้ค่าคาดหวังของฟังก์ชันเรียบ ใดๆ ที่เหมาะสม ซึ่งนำมาใช้กับกระบวนการเฟลเลอร์ณเวลาหยุดอาจมองได้ว่าเป็นการขยายความเชิงสุ่มของทฤษฎีบทพื้นฐาน (ข้อที่สอง) ของแคลคูลัส ชื่อของทฤษฎีบทนี้ตั้งตามชื่อของยูจีน ไดน์กินนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นกระบวนการ Feller ที่มีตัวสร้างอนันต์${\displaystyle A}$.เพื่อจุดหนึ่ง${\displaystyle x}$ในปริภูมิสถานะของ${\displaystyle X}$, อนุญาต${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$แสดงถึงกฎของ${\displaystyle X}$โดยพิจารณาจากข้อมูลเริ่มต้น${\displaystyle X_{0}=x}$และปล่อยให้${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}}$แสดงถึงความคาดหวังเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$จากนั้นสำหรับฟังก์ชันใดๆ${\displaystyle f}$ในขอบเขตของ${\displaystyle A}$และเวลาหยุด ใดๆ${\displaystyle \tau }$กับ${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$สูตรของ Dynkinเป็นจริง: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็น${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$การแพร่กระจายของอิโตที่มีค่า -valued แก้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.}$

เครื่องกำเนิดอนันต์เล็ก${\displaystyle A}$ของ${\displaystyle X}$ถูกกำหนดโดยการกระทำบนฐานรองรับแบบกะทัดรัด${\displaystyle C^{2}}$ฟังก์ชัน (ที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้ และอนุพันธ์อันดับสอง ต่อเนื่อง )${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$เช่น^{[ 2 ]}

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}}$

หรือเทียบเท่า^{[ 3 ]}

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

เนื่องจากเรื่องนี้${\displaystyle X}$เป็นกระบวนการ Feller สูตรของ Dynkin ใช้ได้^{[ 4 ]} ในความเป็นจริง ถ้า${\displaystyle \tau }$คือเวลาออกครั้งแรกของเซตที่มีขอบเขต${\displaystyle B\subset \mathbf {R} ^{n}}$กับ${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$ดังนั้นสูตรของ Dynkin จึงใช้ได้กับทุกกรณี${\displaystyle C^{2}}$ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$โดยไม่ต้องสมมติว่ามีการรองรับแบบกระชับ^{[ 4 ]}

สามารถใช้สูตรของ Dynkin เพื่อหาเวลาที่คาดว่าจะออกจากระบบครั้งแรกได้${\displaystyle \tau _{K}}$ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์${\displaystyle B}$จากลูกบอลที่ปิดสนิท${\displaystyle K=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:\,|x|\leq R\},}$ ซึ่งเมื่อ${\displaystyle B}$เริ่มต้นที่จุดหนึ่ง${\displaystyle a}$ภายในของ​${\displaystyle K}$กำหนดให้โดย

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}$

สิ่งนี้แสดงดังต่อไปนี้^{[ 5 ]}กำหนดค่าจำนวนเต็มjกลยุทธ์คือการใช้สูตรของ Dynkin กับ${\displaystyle X=B}$,${\displaystyle \tau =\sigma _{j}=\min\{j,\tau _{K}\}}$และได้รับการรองรับอย่างกะทัดรัด${\displaystyle f\in C^{2}}$กับ${\displaystyle f(x)=|x|^{2}}$บน${\displaystyle K}$ตัวสร้างการเคลื่อนที่แบบบราวน์คือ${\displaystyle \Delta /2}$, ที่ไหน${\displaystyle \Delta }$หมายถึงตัวดำเนินการลาปลาเซียนดังนั้น ตามสูตรของไดน์กิน

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{a}\left[f{\big (}B_{\sigma _{j}}{\big )}\right]&=f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}{\frac {1}{2}}\Delta f(B_{s})\,\mathrm {d} s\right]\\&=|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}n\,\mathrm {d} s\right]=|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}].\end{aligned}}}$

ดังนั้น สำหรับทุก ๆ${\displaystyle j}$,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}]\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}$

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle j\to +\infty }$เพื่อสรุปว่า${\displaystyle \tau _{K}=\lim _{j\to +\infty }\sigma _{j}<+\infty }$เกือบจะแน่นอนและดังนั้น ${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]=(R^{2}-|a|^{2})/n}$ ตามที่กล่าวอ้าง