ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงสุ่ม การแพร่แบบ อิโตะ (Itô diffusion ) คือคำตอบของ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มชนิดหนึ่งสมการนั้นคล้ายกับสมการลังเกวิน (Langevin equation ) ที่ใช้ในฟิสิกส์เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาคที่อยู่ภายใต้ศักยภาพใน ของเหลว หนืดการแพร่แบบอิโตะตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคิโยชิ อิโตะ (Kiyosi Itô )

การแพร่แบบอิโต ( แบบเอกรูปตามเวลา ) ในปริภูมิยูคลิดnมิติคือกระบวนการX  : [0, +∞) × Ω →  R ⁿที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, Σ,  P ) และสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มในรูปแบบ ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\textbf {R}}}^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

โดยที่Bคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในมิติmและb  :  R ⁿ  →  R ⁿและ σ :  R ⁿ  →  R ^{n × m} เป็นไปตาม เงื่อนไข ความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ตามปกติ

${\displaystyle |b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|xy|}$

สำหรับค่าคงที่C บางค่า และสำหรับทุกx , y ∈ R ⁿเงื่อนไขนี้รับประกันการมีอยู่ของคำตอบที่แข็งแกร่ง เพียงหนึ่งเดียว Xสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่กำหนดไว้ข้างต้นเวกเตอร์ฟิลด์bเรียกว่าสัมประสิทธิ์การลอยตัวของXและเมทริกซ์ฟิลด์ σ เรียกว่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของX b และ σไม่ขึ้นอยู่กับเวลา หากขึ้นอยู่กับเวลาXจะถูกเรียกว่ากระบวนการ Itô เท่านั้น ไม่ใช่การแพร่ การแพร่แบบ Itô มีคุณสมบัติที่ดีหลายประการ ซึ่งรวมถึง

• ตัวอย่างและความต่อเนื่องของเฟลเลอร์
• คุณสมบัติของมาร์คอฟ;
• คุณสมบัติของมาร์คอฟที่แข็งแกร่ง ;
• การมีอยู่ของตัวสร้างอนันต์เล็ก ;
• การมีอยู่ของตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะ ;
• สูตรของไดน์กิน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแพร่กระจายแบบอิโต (Itô diffusion) เป็นกระบวนการต่อเนื่องแบบมาร์โคเวียนอย่างเข้มข้น ซึ่งโดเมนของตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะนั้นครอบคลุม ฟังก์ชัน ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่อง ทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็นการแพร่กระจายในความหมายที่กำหนดโดยไดน์กิน (Dynkin, 1965)

การแพร่แบบอิโตXเป็นกระบวนการต่อเนื่องตัวอย่าง กล่าวคือ สำหรับการรับรู้เกือบทั้งหมดB (ω) ของสัญญาณรบกวนX (ω) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของพารามิเตอร์เวลาtกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น มี "เวอร์ชันต่อเนื่อง" ของXซึ่งเป็นกระบวนการต่อเนื่องYดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ สำหรับทุก }}t.}$

สิ่งนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์มาตรฐานสำหรับคำตอบที่แข็งแกร่งของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม

นอกจากจะเป็นกระบวนการต่อเนื่อง (ของตัวอย่าง) แล้ว การแพร่แบบอิโต (Itô diffusion ) Xยังตรงตามข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าคือต้องเป็นกระบวนการต่อเนื่องแบบเฟลเลอร์ (Feller-continuous process ) ด้วย

สำหรับ จุดx  ∈  R ⁿให้P ^xแทนกฎของXเมื่อกำหนดข้อมูลเริ่มต้นX  =  xและให้E ^xแทนค่าคาดหวังเทียบกับP ^x

ให้f  :  R ⁿ  →  Rเป็นฟังก์ชันที่วัดได้แบบบอเรลและมีขอบเขตล่างและกำหนดu  :  R ⁿ  →  R สำหรับ t  ≥ 0 ที่กำหนด ไว้ โดย

${\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}$

• ความต่อเนื่องกึ่งล่าง : ถ้าfเป็นฟังก์ชันความต่อเนื่องกึ่งล่างแล้วuก็เป็นฟังก์ชันความต่อเนื่องกึ่งล่างเช่นกัน
• ความต่อเนื่องของเฟลเลอร์: ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตและต่อเนื่อง แล้วuก็จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน

พฤติกรรมของฟังก์ชันuข้างต้นเมื่อเวลาtเปลี่ยนแปลงไปนั้น สามารถอธิบายได้ด้วยสมการย้อนกลับของ Kolmogorov สมการ Fokker–Planck เป็นต้น (ดูด้านล่าง)

การแพร่แบบอิโต (Itô diffusion ) Xมีคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งคือเป็นแบบมาร์โคเวียน (Markovian) กล่าว คือ พฤติกรรมในอนาคตของXเมื่อพิจารณาจากสิ่งที่เกิดขึ้นจนถึงเวลาtจะเหมือนกับว่ากระบวนการเริ่มต้นที่ตำแหน่งX ณ เวลา 0 การกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำของข้อความนี้จำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์เพิ่มเติมบางอย่าง:

ให้ Σ แทนการกรองตามธรรมชาติ ของ (Ω, Σ) ที่สร้างขึ้นโดยการเคลื่อนที่แบบบราวน์B : สำหรับt  ≥ 0,

${\displaystyle \Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega \ :\ 0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{ Borel}}\right\}.}$

เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าXปรับตัวเข้ากับ Σ (กล่าวคือX แต่ละตัวสามารถวัดได้ด้วย Σ ) ดังนั้นการกรองตามธรรมชาติF  =  F ^Xของ (Ω, Σ) ที่สร้างโดยXจะมีF  ⊆ Σ สำหรับแต่ละt  ≥ 0

ให้f  :  R ⁿ  →  Rเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตและสามารถวัดได้แบบบอเรล จากนั้น สำหรับทุกtและh  ≥ 0 ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่กำหนดโดยพีชคณิต σ Σ และค่าคาดหวังของกระบวนการที่ "เริ่มต้นใหม่" จากX จะเป็นไปตามคุณสมบัติของมาร์คอฟ :

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].}$

ในความเป็นจริงXก็เป็นกระบวนการมาร์คอฟที่เกี่ยวข้องกับการกรองF เช่นกัน ดังที่แสดงต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}}$

คุณสมบัติมาร์คอฟแบบเข้มข้น (Strong Markov Property) เป็นการขยายความของคุณสมบัติมาร์คอฟข้างต้น โดยที่tถูกแทนที่ด้วยเวลาสุ่มที่เหมาะสม τ : Ω → [0, +∞] ซึ่งเรียกว่าเวลาหยุด (stopping time ) ดังนั้น ตัวอย่างเช่น แทนที่จะ "เริ่มต้นใหม่" กระบวนการXที่เวลาt  = 1 เราสามารถ "เริ่มต้นใหม่" เมื่อใดก็ตามที่Xไปถึงจุดp ที่กำหนดไว้ ในR ⁿเป็น ครั้งแรก

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ให้f  :  R ⁿ  →  Rเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตและสามารถวัดได้แบบบอเรล ให้ τ เป็นเวลาหยุดโดยสัมพันธ์กับฟิลเทรชัน Σ โดยที่ τ < +∞ เกือบแน่นอนจากนั้น สำหรับทุกh  ≥ 0

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.}$

การแพร่แบบอิโตแต่ละครั้งจะมีตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย อันดับสอง ที่เรียกว่าตัวสร้างการแพร่ ตัวสร้างนี้มีประโยชน์มากในหลายๆ การใช้งานและเข้ารหัสข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับกระบวนการXในทางทฤษฎีตัวสร้างอนันต์ของการแพร่แบบอิโตXคือตัวดำเนินการAซึ่งถูกกำหนดให้กระทำกับฟังก์ชันที่เหมาะสมf  :  R ⁿ  →  Rโดย

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.}$

เซตของฟังก์ชันf ทั้งหมด ที่ลิมิตนี้มีอยู่ ณ จุดxจะถูกแทนด้วยD ( x ) ในขณะที่D แทนเซตของ ฟังก์ชัน f ทั้งหมด ที่ลิมิตนี้มีอยู่สำหรับทุกx  ∈  R ⁿสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชัน f ใดๆ ที่มี ขอบเขต จำกัดและสามารถ หาอนุพันธ์อันดับ ^สองได้ (และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่อง) จะอยู่ในD และว่า

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x),}$

หรือในแง่ของผลคูณภายในแบบเกรเดียนต์ สเกลาร์และฟรอเบนิอุ ส

${\displaystyle Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).}$

ตัวสร้างAสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐานnมิติBซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม d X  = d B นั้น กำหนดโดย

${\displaystyle Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x)}$,

กล่าวคือA  = Δ/2 โดยที่ Δ แทนตัวดำเนินการลาปลาส

ตัวสร้างถูกใช้ในการกำหนดสูตรสมการย้อนกลับของ Kolmogorov โดยสัญชาตญาณ สมการนี้บอกเราว่าค่าที่คาดหวังของสถิติเรียบใดๆ ของXเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป: มันต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย บางอย่าง ซึ่งเวลาtและตำแหน่งเริ่มต้นxเป็นตัวแปรอิสระ กล่าวคือ ถ้าf  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) มีขอบเขตจำกัดและu  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  Rถูกกำหนดโดย

${\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}$

ดังนั้นu ( t ,  x ) จึงสามารถหาอนุพันธ์เทียบกับt ได้ , u ( t , ·) ∈  D สำหรับทุกtและuสอดคล้องกับสมการอนุพันธ์ย่อย ต่อไปนี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมการย้อนกลับของ Kolmogorov :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

สมการฟอกเกอร์-พลังค์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการไปข้างหน้าของโคลโมโกรอฟ ) ในแง่หนึ่งเป็น " ตัวผกผัน " ของสมการย้อนกลับ และบอกเราว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็น ของX เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปtให้ ρ( t , ·) เป็นความหนาแน่นของX เทียบกับ การ วัด แบบเลเบสบนR ⁿกล่าวคือ สำหรับเซตที่วัดได้แบบบอเรลใดๆS  ⊆  R ⁿ

${\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\,\mathrm {d} x.}$

ให้A ^∗แทนเมทริกซ์ผกผันเฮอร์มิเชียนของA (โดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในL ² ) จากนั้น เมื่อกำหนดตำแหน่งเริ่มต้นX ที่มีความหนาแน่น ρ ที่กำหนดไว้ ρ( t ,  x ) สามารถหาอนุพันธ์ได้เทียบกับt , ρ( t , ·) ∈  D สำหรับทุกtและ ρ สอดคล้องกับสมการอนุพันธ์ย่อยต่อไปนี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมการฟอกเกอร์-พลังค์ :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

สูตร Feynman–Kac เป็นการขยายความที่มีประโยชน์ของสมการย้อนกลับของ Kolmogorov อีกครั้งfอยู่ในC ² ( R ⁿ ;  R ) และมีส่วนรองรับแบบกระชับ และq  :  R ⁿ  →  Rถือว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขตล่าง กำหนดฟังก์ชันv  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  Rโดย

${\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].}$

สูตร ของเฟย์นแมน-คาคระบุว่าvสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าw  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  Rเป็นC ¹ในเวลา, C ²ในอวกาศ, มีขอบเขตบนK  ×  R ⁿ สำหรับ Kกระชับทั้งหมดและสอดคล้องกับสมการอนุพันธ์ย่อยข้างต้นแล้วwจะต้องเป็นvตามที่กำหนดไว้ข้างต้น

สม การย้อนกลับของ Kolmogorov เป็นกรณีพิเศษของสูตร Feynman–Kac ซึ่งq ( x ) = 0 สำหรับทุกx  ∈  R ⁿ

ตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะของการแพร่กระจายแบบอิโตXคือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตัวสร้าง แต่มีความเป็นทั่วไปมากกว่าเล็กน้อย เหมาะสำหรับปัญหาบางอย่าง เช่น ในการแก้ปัญหาของดิริชเลต์

ตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะ ของการแพร่กระจายแบบอิโตXถูกกำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},}$

โดยที่เซตUก่อให้เกิดลำดับของเซตเปิดU ที่ลดลงจนถึงจุดxในความหมายที่ว่า

${\displaystyle U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ and }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},}$

และ

${\displaystyle \tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}}$

คือเวลาออกครั้งแรกจากUสำหรับXหมายถึงเซตของฟังก์ชัน f ทั้งหมดที่ลิมิตนี้มีอยู่สำหรับx  ∈  R ⁿ ทั้งหมด และลำดับ { U } ทั้งหมด ถ้าE ^x [τ ] = +∞ สำหรับเซตเปิดU ทั้งหมดที่ ประกอบด้วยxให้กำหนด ${\displaystyle D_{\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=0.}$

ตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะและตัวสร้างอนันต์มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด และยังสอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันจำนวนมาก สามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}}$

และนั่น

${\displaystyle Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ for all }}f\in D_{A}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวสร้างและตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะจะสอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันC ² f ทั้งหมด ซึ่งในกรณีนี้

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

ข้างต้น ตัวสร้าง (และด้วยเหตุนี้ ตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะ) ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์บนR ⁿถูกคำนวณได้เป็น⁠1/2Δโดยที่ Δ แทนตัวดำเนินการลาปลาส ตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะนี้มีประโยชน์ในการกำหนดการเคลื่อนที่แบบบราวน์บนแมนิโฟลด์รีมันน์มิติm ( M ,  g ): การเคลื่อนที่แบบบราวน์บนMถูกนิยามให้เป็นการแพร่กระจายบนMซึ่งตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะในพิกัดท้องถิ่นx , 1 ≤  i  ≤  mกำหนดโดย${\displaystyle {\mathcal {A}}}$1/2⁠ Δ โดยที่ Δ คือตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามีที่กำหนดในพิกัดท้องถิ่นโดย

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

โดยที่ [ g ^ij ] = [ g ] ⁻¹ในความหมายของเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส

โดยทั่วไป ตัวสร้างAของการแพร่กระจายแบบอิโตXไม่ใช่ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตอย่างไรก็ตาม หากลบตัวคูณบวกของตัวดำเนินการเอกลักษณ์IออกจากAตัวดำเนินการที่ได้จะผกผันได้ ตัวผกผันของตัวดำเนินการนี้สามารถแสดงในรูปของXเองได้โดยใช้ตัวดำเนินการ รีโซลเวน ต์

สำหรับ α > 0 ตัวดำเนินการแก้ไขR ซึ่งกระทำกับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขตg  :  R ⁿ  →  Rจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].}$

สามารถแสดงได้โดยใช้ความต่อเนื่องของเฟลเลอร์ของการแพร่กระจายXว่าR gเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขต นอกจากนี้R และ α I  −  Aยังเป็นตัวดำเนินการผกผันซึ่งกันและกัน ด้วย

• ถ้าf  :  R ⁿ  →  Rเป็นC ²ที่มีขอบเขตจำกัด แล้วสำหรับทุก α > 0

${\displaystyle R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;}$

• ถ้าg  :  R ⁿ  →  Rเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตและต่อเนื่อง แล้วR gอยู่ในD และสำหรับทุก α > 0

${\displaystyle (\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.}$

บางครั้งจำเป็นต้องหามาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับการแพร่กระจายแบบอิโตXกล่าวคือ มาตรวัดบนR ⁿที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ "การไหล" ของXกล่าวคือ ถ้าX มีการกระจายตามมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง μ แล้วX ก็จะมีการกระจายตาม μ เช่นกัน สำหรับt  ≥ 0 ใดๆ สมการฟอกเกอร์-พลังค์เสนอวิธีการหามาตรวัดดังกล่าว อย่างน้อยที่สุดถ้ามันมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ρ คือ ถ้าX มีการกระจายตามมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง μ ที่มีความหนาแน่น ρ แล้ว ความหนาแน่น ρ( t , ·) ของX จะไม่เปลี่ยนแปลงตามtดังนั้น ρ( t , ·) = ρ และดังนั้น ρ จะต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (ที่ไม่ขึ้นกับเวลา)

${\displaystyle A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

นี่แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงอย่างหนึ่งระหว่างการวิเคราะห์เชิงสุ่มและการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ในทางกลับกัน สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสองที่กำหนดในรูปแบบ Λ f  = 0 อาจยากที่จะแก้โดยตรง แต่ถ้า Λ =  A ^∗สำหรับการแพร่กระจายแบบอิโตX บางตัว และมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยนสำหรับXนั้นคำนวณได้ง่าย ความหนาแน่นของมาตรวัดนั้นจะให้คำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

การวัดค่าคงที่นั้นคำนวณได้ค่อนข้างง่ายเมื่อกระบวนการXเป็นการไหลของเกรเดียนต์แบบสุ่มในรูปแบบ

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

โดยที่ β > 0 ทำหน้าที่เป็นอุณหภูมิผกผันและ Ψ :  R ⁿ  →  Rเป็นศักยภาพสเกลาร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความเรียบและการเติบโตที่เหมาะสม ในกรณีนี้ สมการฟอกเกอร์-พลังค์มีคำตอบคงที่ที่ไม่ซ้ำกัน ρ (กล่าวคือXมีมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ซ้ำกัน μ ที่มีความหนาแน่น ρ ) และกำหนดโดยการกระจายของกิบบส์ :

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),}$

โดยที่ฟังก์ชันการแบ่งส่วนZกำหนดโดย

${\displaystyle Z=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.}$

ยิ่งไปกว่านั้น ความหนาแน่น ρ ยังสอดคล้องกับหลักการแปรผัน กล่าว คือ มันทำให้ ฟังก์ชันพลังงานอิสระFที่กำหนดโดย มีค่าต่ำสุดเหนือความหนาแน่นความน่าจะเป็น ρ ทั้งหมดบนR ⁿ

${\displaystyle F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}$

ที่ไหน

${\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}$

ทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันพลังงาน และ

${\displaystyle S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x}$

คือค่าลบของฟังก์ชันเอนโทรปีของ Gibbs-Boltzmann แม้ว่าศักยภาพ Ψ จะไม่เหมาะสมเพียงพอสำหรับฟังก์ชันการแบ่งส่วนZและการวัด Gibbs μ ที่จะกำหนดได้ พลังงานอิสระF [ρ( t , ·)] ก็ยังคงมีความหมายสำหรับทุกเวลาt  ≥ 0 โดยมีเงื่อนไขว่าเงื่อนไขเริ่มต้นมีF [ρ(0, ·)] < +∞ ฟังก์ชันพลังงานอิสระFนั้นแท้จริงแล้วคือฟังก์ชัน Lyapunovสำหรับสมการ Fokker–Planck: F [ρ( t , ·)] จะต้องลดลงเมื่อtเพิ่มขึ้น ดังนั้นF จึง เป็นฟังก์ชันHสำหรับพลวัต X

พิจารณากระบวนการ Ornstein-Uhlenbeck XบนR ⁿที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

โดยที่m  ∈  R ⁿและ β, κ > 0 เป็นค่าคงที่ที่กำหนด ในกรณีนี้ ศักย์ Ψ จะกำหนดโดย

${\displaystyle \Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},}$

ดังนั้น มาตรวัดไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับXจึงเป็นมาตรวัดแบบเกาส์เซียนที่มีความหนาแน่น ρ ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right)}$.

โดยหลักการแล้ว สำหรับค่า t ที่มากX t จะการกระจายแบบปกติ โดยประมาณ โดยมีค่าเฉลี่ยmและความแปรปรวน (βκ) ⁻¹สามารถตีความนิพจน์สำหรับความแปรปรวนได้ดังนี้: ค่า κ ที่มากหมายความว่าบ่อศักย์ Ψ มี "ด้านที่ชันมาก" ดังนั้นX จึงไม่น่าจะเคลื่อนที่ไปไกลจากจุดต่ำสุดของ Ψ ที่mในทำนองเดียวกัน ค่า β ที่มากหมายความว่าระบบค่อนข้าง "เย็น" โดยมีสัญญาณรบกวนน้อย ดังนั้นX จึงไม่น่าจะเคลื่อนที่ไปไกลจากm เช่น กัน

โดยทั่วไปแล้ว การแพร่กระจายแบบอิโตXไม่ใช่มาร์ติงเกลอย่างไรก็ตาม สำหรับf  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) ใดๆ ที่มีขอบเขตจำกัด กระบวนการM  : [0, +∞) × Ω →  Rที่กำหนดโดย

${\displaystyle M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,}$

โดยที่Aคือตัวสร้างของXและ F* คือมาร์ติงเกลที่เกี่ยวข้องกับการกรองตามธรรมชาติF ของ (Ω, Σ) โดยXการพิสูจน์นั้นค่อนข้างง่าย: มันเป็นผลมาจากนิพจน์ปกติของการกระทำของตัวสร้างบนฟังก์ชันf ที่เรียบพอ และทฤษฎีบทของอิโต ( กฎลูกโซ่ สุ่ม ) ว่า

${\displaystyle f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.}$

เนื่องจากอินทิกรัลของอิโตเป็นมาร์ติงเกลโดยสัมพันธ์กับฟิลเทรชันธรรมชาติ Σ ∗ (Ω, Σ) โดยBสำหรับt  >  s

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.}$

ดังนั้น ตามความจำเป็น

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},}$

เนื่องจากM สามารถวัดได้ ด้วยF

สูตรของ Dynkin ซึ่งตั้งชื่อตามEugene Dynkinให้ค่าที่คาดหวังของสถิติเรียบใดๆ ที่เหมาะสมของการแพร่แบบ Itô X (ที่มีตัวสร้างA ) ณ เวลาหยุด กล่าวคือ ถ้า τ เป็นเวลาหยุดที่มีE ^x [τ] < +∞ และf  :  R ⁿ  →  Rเป็นC ²ที่มีขอบเขตจำกัด แล้ว

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

สูตรของ Dynkin สามารถใช้คำนวณสถิติที่มีประโยชน์มากมายเกี่ยวกับเวลาหยุดได้ ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่แบบบราวน์แบบแคนอนิกบนเส้นจำนวนจริงที่เริ่มต้นที่ 0 จะออกจากช่วง (− R , + R ) ที่เวลาสุ่ม τ ด้วยค่าที่คาดหวัง

${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.}$

สูตรของ Dynkin ให้ข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมของXณ เวลาหยุดโดยทั่วไป สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการกระจายตัวของXณเวลาที่เกิดการเปลี่ยนแปลงสามารถศึกษาการวัดแบบฮาร์มอนิกของกระบวนการได้

ในหลายสถานการณ์ การรู้ว่าการแพร่กระจายแบบอิโต (Itô diffusion) Xจะออกจากเซตที่วัดได้H  ⊆  R ⁿ เป็นครั้งแรกเมื่อใดก็เพียงพอแล้ว กล่าวคือ เราต้องการศึกษาเวลาที่ออกจากเซตเป็นครั้งแรก

${\displaystyle \tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.}$

บางครั้งเราอาจต้องการทราบการกระจายของจุดที่Xออกจากเซตด้วย ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่แบบบราวน์แบบแคนอนิกBบนเส้นจำนวนจริงที่เริ่มต้นที่ 0 จะออกจากช่วง (−1, 1) ที่ −1 ด้วยความน่าจะเป็น⁠1/2และที่ 1 ด้วยความน่าจะเป็น1/2ดังนั้นB จึงมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในเซต {−1, 1}

โดยทั่วไป ถ้าGถูกฝังอย่างกะทัดรัดภายในR ⁿแล้วการวัดฮาร์มอนิก (หรือการกระจายการกระทบ ) ของXบนขอบเขต ∂ GของGคือการวัด μ ^xที่กำหนดโดย

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]}$

สำหรับx  ∈  GและF  ⊆ ∂ G

เมื่อกลับมาพิจารณาตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบบราวน์ก่อนหน้านี้ เราสามารถแสดงได้ว่า ถ้าBเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในR ⁿโดยเริ่มต้นที่x  ∈  R ⁿและD  ⊂  R ⁿเป็นทรงกลมเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่xแล้ว การวัดแบบฮาร์มอนิกของBบน ∂ Dจะไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้ การหมุนทั้งหมดของDรอบxและจะตรงกับการวัดพื้นผิว แบบนอร์มาไลซ์ บน∂ D

การวัดฮาร์มอนิกเป็นไปตามคุณสมบัติค่าเฉลี่ย ที่น่าสนใจ : ถ้าf  :  R ⁿ  →  Rเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตและสามารถวัดได้แบบบอเรล และ φ กำหนดโดย

${\displaystyle \varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],}$

ดังนั้น สำหรับเซตบอเรลทั้งหมดG ⊂⊂  H  และ x ∈  G  ทั้งหมด

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).}$

คุณสมบัติค่าเฉลี่ยมีประโยชน์อย่างมากในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยโดยใช้กระบวนการสุ่ม

ให้Aเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ย่อยบนโดเมนD  ⊆  R ⁿและให้Xเป็นการแพร่กระจายแบบ Itô โดยมีAเป็นตัวสร้าง ตามสัญชาตญาณแล้ว การวัดแบบกรีนของเซตโบเรลHคือความยาวเวลาที่คาดหวังที่Xอยู่ในHก่อนที่จะออกจากโดเมนDนั่นคือการวัดแบบกรีนของXเทียบกับDที่xซึ่งเขียนแทนด้วยG ( x , ·) ถูกกำหนดสำหรับเซตโบเรลH  ⊆  R ⁿโดย

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

หรือสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขตf  :  D  →  Rโดย

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

ชื่อ "มาตรวัดกรีน" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าXเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์แล้ว

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

โดยที่G ( x ,  y ) คือฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการ1/2Δบน โดเมนD

สมมติว่าE ^x [τ ] < +∞ สำหรับทุกx  ∈  Dแล้วสูตรของกรีนจะเป็นจริงสำหรับทุกf  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) ที่มีขอบเขตจำกัด:

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าส่วนรองรับของfถูกฝังอยู่ในD อย่าง กะทัดรัด

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

• กระบวนการแพร่กระจาย