ในทางคณิตศาสตร์กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค (Ornstein–Uhlenbeck process)เป็นกระบวนการสุ่มที่มีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์การเงิน วิทยาศาสตร์กายภาพ และชีววิทยาเชิงวิวัฒนาการการประยุกต์ใช้ดั้งเดิมในฟิสิกส์คือการใช้เป็นแบบจำลองสำหรับความเร็วของอนุภาคบราวน์ ที่มีมวลภาย ใต้อิทธิพลของแรงเสียดทาน ชื่อของกระบวนการ นี้ตั้งตามชื่อของเลียวนาร์ ด ออร์นสไตน์ (Leonard Ornstein)และจอร์จ ยูจีน อูห์เลนเบ็ค (George Eugene Uhlenbeck )

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck เป็นกระบวนการ Gauss–Markov แบบอยู่ตัว ซึ่งหมายความว่าเป็นกระบวนการ GaussianกระบวนการMarkovและเป็นเนื้อเดียวกันตามเวลา อันที่จริง เป็นกระบวนการที่ไม่ใช่แบบธรรมดาเพียงกระบวนการเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสามนี้ โดยอนุญาตให้มีการแปลงเชิงเส้นของตัวแปรพื้นที่และเวลา^{[ 1 ]}เมื่อเวลาผ่านไป กระบวนการมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนเข้าหาฟังก์ชันค่าเฉลี่ย กระบวนการดังกล่าวเรียกว่า การกลับสู่ ค่าเฉลี่ย

กระบวนการนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการดัดแปลงการเดินแบบสุ่มในเวลาต่อเนื่องหรือกระบวนการ Wienerซึ่งคุณสมบัติของกระบวนการได้ถูกเปลี่ยนแปลงเพื่อให้มีแนวโน้มที่การเดินจะเคลื่อนกลับไปยังตำแหน่งศูนย์กลาง โดยมีแรงดึงดูดมากขึ้นเมื่อกระบวนการอยู่ห่างจากศูนย์กลางมากขึ้น กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นอนาล็อกในเวลาต่อเนื่องของกระบวนการ AR(1)ใน เวลาไม่ต่อเนื่อง

กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค${\displaystyle x_{t}}$ถูกกำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม ต่อไปนี้ :

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

ที่ไหน${\displaystyle \theta >0}$และ${\displaystyle \sigma >0}$เป็นพารามิเตอร์และ${\displaystyle W_{t}}$แสดงถึงกระบวนการWiener ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

บางครั้งอาจมีการเพิ่มคำศัพท์เพิ่มเติม:

${\displaystyle dx_{t}=-\theta (x_{t}-\mu )\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

ที่ไหน${\displaystyle \mu }$เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าค่าเฉลี่ย (ระยะยาว) กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck บางครั้งก็เขียนในรูปสมการ Langevinในรูปแบบ

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

ที่ไหน${\displaystyle \eta (t)}$หรือที่รู้จักกันในชื่อเสียงรบกวนสีขาวทำหน้าที่แทนอนุพันธ์ที่คาดการณ์ไว้${\displaystyle dW_{t}/dt}$ของกระบวนการ Wiener ^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม${\displaystyle dW_{t}/dt}$ไม่มีอยู่จริงเพราะกระบวนการ Wiener ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ใดเลย^{[ 6 ]}ดังนั้นสมการ Langevin จึงมีความหมายก็ต่อเมื่อตีความในเชิงการกระจายเท่านั้น ในสาขาฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ มันเป็นการแสดงแทนทั่วไปสำหรับกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck และสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่คล้ายกันโดยปริยายถือว่าเทอมเสียงรบกวนเป็นอนุพันธ์ของการแทรกสอดที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ (เช่น Fourier) ของกระบวนการ Wiener

กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็คสามารถอธิบายได้ในรูปของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นเช่นกัน${\displaystyle P(x,t)}$ซึ่งระบุความน่าจะเป็นของการพบกระบวนการในสถานะนั้น${\displaystyle x}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$[ ^{5 ]}ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการฟอกเกอร์-พลัง^ค์

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}((x-\mu )P)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

ที่ไหน${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นพาราโบลาซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยเทคนิคต่างๆ มากมาย ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันกรีน${\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})}$เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ย${\displaystyle x_{0}e^{-\theta (t-t_{0})}+\mu (1-e^{-\theta (t-t_{0})})}$และความแปรปรวน${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t_{0})}\right)}$:

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t_{0})})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x_{0}e^{-\theta (t-t_{0})}-\mu (1-e^{-\theta (t-t_{0})}))^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t_{0})}}}\right]}$

นี่แสดงถึงความน่าจะเป็นของสถานะนั้น${\displaystyle x}$เกิดขึ้น ณ เวลา${\displaystyle t}$สถานะเริ่มต้นที่กำหนด${\displaystyle x_{0}}$ในเวลานั้น${\displaystyle t_{0}<t}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})}$คือคำตอบของสมการฟอกเกอร์-พลังค์พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle P(x,t_{0})=\delta (x-x_{0})}$.

โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีค่าเฉพาะค่าหนึ่ง${\displaystyle x_{0}}$ค่าเฉลี่ยคือ

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

และค่าความแปรปรวนร่วมคือ

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

สำหรับกระบวนการที่อยู่กับที่ (ไม่มีเงื่อนไข) ค่าเฉลี่ยของ${\displaystyle x_{t}}$เป็น${\displaystyle \mu }$และความแปรปรวนร่วมของ${\displaystyle x_{s}}$และ${\displaystyle x_{t}}$เป็น${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}$.

กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็คเป็นตัวอย่างของกระบวนการเกาส์เซียนที่มีความแปรปรวนจำกัดและมีการกระจายความน่าจะเป็นแบบคงที่ ซึ่งแตกต่างจากกระบวนการไวเนอร์ความแตกต่างระหว่างสองกระบวนการนี้อยู่ที่พจน์ "การเปลี่ยนแปลง" สำหรับกระบวนการไวเนอร์ พจน์การเปลี่ยนแปลงจะมีค่าคงที่ ในขณะที่สำหรับกระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค พจน์การเปลี่ยนแปลงจะขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบันของกระบวนการ: ถ้าค่าปัจจุบันของกระบวนการน้อยกว่าค่าเฉลี่ย (ระยะยาว) การเปลี่ยนแปลงจะเป็นบวก ถ้าค่าปัจจุบันของกระบวนการมากกว่าค่าเฉลี่ย (ระยะยาว) การเปลี่ยนแปลงจะเป็นลบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยทำหน้าที่เป็นระดับสมดุลสำหรับกระบวนการ นี่คือที่มาของชื่อที่สื่อความหมายของกระบวนการนี้ว่า "การกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย"

โดยใช้ข้อมูลที่สุ่มตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาที่มีความกว้าง${\displaystyle t}$ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับพารามิเตอร์ของกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck นั้นเป็นค่าปกติเชิงอะซิมโทติกของค่าจริง^{[ 9 ]}กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

เพื่อจำลองกระบวนการ OU ในเชิงตัวเลขโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน${\displaystyle \Sigma }$และเวลาสัมพันธ์${\displaystyle \tau =1/\Theta }$วิธีหนึ่งคือการใช้สูตรผลต่างจำกัด

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \nu _{i}}$เป็นจำนวนสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าความแปรปรวนเป็นหนึ่ง โดยสุ่มอย่างอิสระในแต่ละช่วงเวลา${\displaystyle dt}$[ ^{10 ]​}

กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็คสามารถตีความได้ว่าเป็นขีดจำกัดการปรับขนาดของกระบวนการแบบไม่ต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกับที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นขีดจำกัดการปรับขนาดของการเดินแบบสุ่มลองพิจารณาโถที่บรรจุสิ่งของบางอย่าง${\displaystyle n}$ลูกบอลสีดำและสีขาว ในแต่ละขั้นตอนจะสุ่มเลือกหนึ่งลูกบอลและแทนที่ด้วยลูกบอลสีตรงข้าม ให้${\displaystyle X_{k}}$เป็นจำนวนลูกบอลสีดำในโถหลังจากนั้น${\displaystyle k}$ขั้นตอน จากนั้น${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ในทางกฎหมายแล้ว สอดคล้องกับกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ดังนี้${\displaystyle n}$มีแนวโน้มเข้าสู่ค่า อนันต์ มาร์ค แคคได้ผลลัพธ์นี้^{[ 11 ]}

ในเชิงอนุมาน เราอาจได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้

อนุญาต${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$และเราจะได้รับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มที่${\displaystyle n\to \infty }$ขีดจำกัด ขั้นแรกให้หาค่าอนุมาน $${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$ ด้วยวิธีนี้ เราสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$ซึ่งปรากฏว่า${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$และ${\displaystyle \Delta t}$ดังนั้น ณ${\displaystyle n\to \infty }$ขีดจำกัด เรามี${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$พร้อมด้วยวิธีแก้ปัญหา (โดยสมมติว่า${\displaystyle X_{0}}$(การกระจายตัวเป็นแบบปกติมาตรฐาน)${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$.

เป็นไปได้ที่จะกำหนดกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ที่ขับเคลื่อนด้วย Lévyซึ่งกระบวนการขับเคลื่อนพื้นหลังเป็นกระบวนการ Lévyแทนที่จะเป็นกระบวนการ Wiener: ^{[ 25 ] [ 26 ]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

ในที่นี้ อนุพันธ์ของกระบวนการไวเนอร์${\displaystyle W_{t}}$ได้ถูกแทนที่ด้วยอนุพันธ์ของกระบวนการเลวี${\displaystyle L_{t}}$.

นอกจากนี้ ในด้านการเงิน กระบวนการสุ่ม (stochastic processes) ถูกนำมาใช้ โดยที่ความผันผวนจะเพิ่มขึ้นเมื่อค่าของ มีขนาดใหญ่ขึ้น${\displaystyle X}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งกระบวนการ CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) ^{[ 27 ]}โดยแทนที่เทอมความผันผวนด้วย${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$สามารถหาคำตอบได้ในรูปแบบปิดสำหรับ${\displaystyle \gamma =1}$รวมถึงสำหรับ${\displaystyle \gamma =0}$ซึ่งสอดคล้องกับกระบวนการ OU แบบดั้งเดิม อีกกรณีพิเศษคือ${\displaystyle \gamma =1/2}$ซึ่งสอดคล้องกับแบบจำลอง Cox–Ingersoll–Ross (แบบจำลอง CIR)

• แคลคูลัสเชิงสุ่ม
• กระบวนการไวเนอร์
• กระบวนการเกาส์เซียน
• การเงินเชิงคณิตศาสตร์
• แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยของวา ซิเชค
• แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
• การแพร่กระจาย
• ทฤษฎีความผันผวน-การกระจายพลังงาน
• สมการไคลน์-เครเมอร์ส

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค

• ชุดเครื่องมือสำหรับกระบวนการสุ่มเพื่อการบริหารความเสี่ยงโดย ดามิอาโน บริโก, อันโตนิโอ ดาเลสซานโดร, มัทธิอัส นอยเกบาวเออร์ และ ฟาเรส ทริกิ
• การจำลองและการปรับเทียบกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeckโดย MA van den Berg
• การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของกระบวนการที่กลับสู่ค่าเฉลี่ยโดย โฮเซ่ คาร์ลอส การ์เซีย ฟรังโก
• "แอปพลิเคชันเว็บแบบโต้ตอบ: กระบวนการสุ่มที่ใช้ในด้านการเงินเชิงปริมาณ"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-09-20 เรียกดูเมื่อ2015-07-03