ในวิศวกรรมการบินและอวกาศโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาที่เกี่ยวข้องกับยานอวกาศการหมุนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นวิธีการคำนวณการแก้ไขการบังคับเลี้ยว (เรียกว่าการหมุน ) โดยการหมุนยานอวกาศรอบ แกนคงที่ หนึ่งแกนหรือแกนหมุน^{[ 1 ]} โดยทั่วไปแล้ววิธีนี้จะสอดคล้องกับวิธีที่เร็วที่สุดและมีประสิทธิภาพที่สุดในการเข้าถึงทิศทางเป้าหมายที่ต้องการ เนื่องจากมีเพียงเฟสการเร่งความเร็วหนึ่งเฟสและเฟสการเบรกหนึ่งเฟสสำหรับอัตราเชิงมุม หากแกนคงที่นี้ไม่ใช่แกนหลักจะต้องใช้แรงบิดที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเพื่อบังคับให้ยานอวกาศหมุนตามที่ต้องการนอกจากนี้ยังต้องชดเชย ผลกระทบของ ไจโรสโคปของล้อโมเมนตัม ด้วย

การที่การหมุนดังกล่าวมีอยู่จริงนั้น สอดคล้องกับผลลัพธ์หลักประการหนึ่งของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของตัวดำเนินการหมุนอย่าง แม่นยำ กล่าวคือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (ที่เป็นจำนวนจริงเพียงตัวเดียว) ของตัวดำเนินการหมุนที่สอดคล้องกับการปรับทิศทางใหม่ที่ต้องการนั้นคือแกนนี้

เมื่อทราบทิศทางปัจจุบันของยานและทิศทางที่ต้องการของยานในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แล้ว แกนการหมุนที่จำเป็นและมุมการหมุนที่สอดคล้องกันเพื่อให้ได้ทิศทางใหม่จะถูกกำหนดโดยการคำนวณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ ตัวดำเนิน การ หมุน

อนุญาต

${\displaystyle {\hat {x}}\ ,\ {\hat {y}}\ ,\ {\hat {z}}}$

ให้ เป็นระบบอ้างอิงคงที่สำหรับยานอวกาศที่ทรงตัวด้วย 3 แกนทิศทางเริ่มต้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {b}}}$

${\displaystyle {\hat {z}}={\hat {c}}.}$

เราต้องการหาแกนที่สัมพันธ์กับตัวยานอวกาศ

${\displaystyle {\hat {r}}=r_{x}\cdot {\hat {x}}+r_{y}\cdot {\hat {y}}+r_{z}\cdot {\hat {z}}}$

และมุมการหมุนที่ทำให้หลังจากการหมุนด้วยมุมนั้นแล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {d}}}$

${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {e}}}$

${\displaystyle {\hat {z}}={\hat {f}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\hat {d}}\ ,\ {\hat {e}}\ ,\ {\hat {f}}}$

คือทิศทางเป้าหมายใหม่

ในรูปแบบเวกเตอร์ หมายความว่า

${\displaystyle {\hat {d}}=r_{a}\cdot {\hat {r}}+\cos \alpha \cdot ({\hat {a}}-r_{a}\cdot {\hat {r}})+\sin \alpha \cdot {\hat {r}}\times {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}=r_{b}\cdot {\hat {r}}+\cos \alpha \cdot ({\hat {b}}-r_{b}\cdot {\hat {r}})+\sin \alpha \cdot {\hat {r}}\times {\hat {b}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}=r_{c}\cdot {\hat {r}}+\cos \alpha \cdot ({\hat {c}}-r_{c}\cdot {\hat {r}})+\sin \alpha \cdot {\hat {r}}\times {\hat {c}}.}$

ในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้นหมายความว่าเราต้องการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 1 สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\hat {a}}\longrightarrow {\hat {d}}}$

${\displaystyle {\hat {b}}\longrightarrow {\hat {e}}}$

${\displaystyle {\hat {c}}\longrightarrow {\hat {f}}}$

ซึ่งสัมพันธ์กับ

${\displaystyle {\hat {a}}\ ,\ {\hat {b}}\ ,\ {\hat {c}}}$

ระบบพิกัดมีเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\langle {\hat {d}}|{\hat {a}}\rangle &\langle {\hat {e}}|{\hat {a}}\rangle &\langle {\hat {f}}|{\hat {a}}\rangle \\\langle {\hat {d}}|{\hat {b}}\rangle &\langle {\hat {e}}|{\hat {b}}\rangle &\langle {\hat {f}}|{\hat {b}}\rangle \\\langle {\hat {d}}|{\hat {c}}\rangle &\langle {\hat {e}}|{\hat {c}}\rangle &\langle {\hat {f}}|{\hat {c}}\rangle \end{bmatrix}}}$

เนื่องจากนี่คือเมทริกซ์ของตัวดำเนินการหมุนที่สัมพันธ์กับระบบเวกเตอร์ฐานค่าลักษณะเฉพาะจึงสามารถหาได้ด้วยอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ใน " ตัวดำเนินการหมุน (ปริภูมิเวกเตอร์) " ${\displaystyle {\hat {a}}\ ,\ {\hat {b}}\ ,\ {\hat {c}}}$

เมื่อใช้สัญลักษณ์ตามที่ใช้ในที่นี้ จะได้ดังนี้:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\langle {\hat {d}}|{\hat {a}}\rangle +\langle {\hat {e}}|{\hat {b}}\rangle +\langle {\hat {f}}|{\hat {c}}\rangle -1}{2}}}$

${\displaystyle r_{a}=\langle {\hat {f}}|{\hat {b}}\rangle -\langle {\hat {e}}|{\hat {c}}\rangle }$

${\displaystyle r_{b}=\langle {\hat {d}}|{\hat {c}}\rangle -\langle {\hat {f}}|{\hat {a}}\rangle }$

${\displaystyle r_{c}=\langle {\hat {e}}|{\hat {a}}\rangle -\langle {\hat {d}}|{\hat {b}}\rangle }$

${\displaystyle |{\bar {r}}|={\sqrt {{r_{a}}^{2}+{r_{b}}^{2}+{r_{c}}^{2}}}}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {|{\bar {r}}|}{2}}}$

มุมการหมุนคือ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arg} (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

โดยที่ " " คืออาร์กิวเมนต์เชิงขั้วของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับฟังก์ชันATAN2(y,x) (หรือในรูปแบบความแม่นยำสองเท่า DATAN2(y,x)) ที่มีอยู่ในภาษาโปรแกรมFORTRANเป็นต้น ${\displaystyle \operatorname {arg} (x\ ,\ y)}$${\displaystyle (\ x\ ,\ y\ )}$

ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในช่วงดังกล่าว ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 0\leq \alpha \leq \pi }$

ถ้าเช่นนั้นเวกเตอร์การหมุน (หน่วย) ที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงคือ: ${\displaystyle 0<\alpha <\pi }$${\displaystyle |{\bar {r}}|>0}$

${\displaystyle {\hat {r}}={\frac {\bar {r}}{|{\bar {r}}|}}}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle \langle {\hat {d}}|{\hat {a}}\rangle +\langle {\hat {e}}|{\hat {b}}\rangle +\langle {\hat {f}}|{\hat {c}}\rangle }$

คือร่องรอยของเมทริกซ์ที่กำหนดโดยการแมปเชิงเส้นตั้งฉาก และส่วนประกอบของ " เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ " นั้นคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการหมุน กล่าวคือ

${\displaystyle {\hat {r}}=r_{x}\cdot {\hat {x}}(t)+r_{y}\cdot {\hat {y}}(t)+r_{z}\cdot {\hat {z}}(t)=r_{x}\cdot {\hat {a}}+r_{y}\cdot {\hat {b}}+r_{z}\cdot {\hat {c}}=r_{x}\cdot {\hat {d}}+r_{y}\cdot {\hat {e}}+r_{z}\cdot {\hat {f}}}$

โดยจะเคลื่อนที่ไปตามเวลาในระหว่างการเคลื่อนตัวของวัตถุ ${\displaystyle {\hat {x}}\ ,\ {\hat {y}}\ ,\ {\hat {z}}}$${\displaystyle t}$

• ตัวดำเนินการหมุน (ปริภูมิเวกเตอร์)
• สเลว (ยานอวกาศ)