การหมุนในทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่มีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิตการหมุนใดๆ ก็ตามเป็นการเคลื่อนที่ ของ ปริภูมิหนึ่งๆ ที่รักษา จุดอย่างน้อยหนึ่ง จุดไว้ ตัวอย่างเช่น การหมุนสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งรอบจุดคงที่ได้ การหมุนสามารถมีเครื่องหมายได้ (เช่นเดียวกับเครื่องหมายของมุม ) การหมุนตามเข็มนาฬิกาจะมีขนาดเป็นลบ ดังนั้นการหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะมีขนาดเป็นบวก การหมุนแตกต่างจากการเคลื่อนที่ประเภทอื่นๆ เช่นการเลื่อนซึ่งไม่มีจุดคงที่ และการสะท้อน (ระนาบ)ซึ่งแต่ละอย่างมีระนาบ( n − 1)มิติ ทั้งหมด ของจุดคงที่ในปริภูมิnมิติ

ในทางคณิตศาสตร์ การหมุนคือแผนที่การหมุนทั้งหมดรอบจุดคงที่ก่อให้เกิดกลุ่มภายใต้การประกอบที่เรียกว่ากลุ่มการหมุน (ของปริภูมิเฉพาะ) แต่ในกลศาสตร์และโดยทั่วไปในฟิสิกส์แนวคิดนี้มักเข้าใจเป็นการแปลงพิกัด (ที่สำคัญคือการแปลงฐานตั้งฉาก ) เพราะสำหรับการเคลื่อนที่ใดๆ ของวัตถุจะมีการแปลงผกผันซึ่งหากนำไปใช้กับกรอบอ้างอิงจะทำให้วัตถุอยู่ที่พิกัดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ในสองมิติ การหมุนวัตถุ ตาม เข็มนาฬิการอบจุดโดยที่แกนคงที่เทียบเท่ากับการหมุนแกนทวนเข็มนาฬิการอบจุดเดียวกันในขณะที่วัตถุยังคงอยู่กับที่ การหมุนสองประเภทนี้เรียกว่าการแปลงแบบแอคทีฟและแบบพาสซีฟ^{[ 1 ] [ 2 ]}

กลุ่มการหมุนเป็น กลุ่ม การหมุนแบบลี (Lie group ) รอบจุด คงที่จุด หนึ่ง จุดคงที่หรือศูนย์กลาง (ทั่วไป) นี้ เรียกว่าศูนย์กลางการหมุนและโดยปกติจะระบุเป็นจุดกำเนิดกลุ่มการหมุนเป็นตัวรักษาเสถียรภาพจุดในกลุ่มการเคลื่อนที่ ที่กว้าง กว่า (ซึ่งรักษาทิศทางไว้)

สำหรับการหมุนรอบหนึ่งๆ:

• แกนการหมุนเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดคงที่ ซึ่งมีอยู่เฉพาะในกรณีที่n = 3เท่านั้น
• ระนาบการหมุนเป็นระนาบที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน ต่างจากแกนหมุน จุดบนระนาบการหมุนไม่ได้คงที่ แกนหมุน (ถ้ามี) และระนาบการหมุนจะตั้งฉากกัน

การแทนการหมุนคือรูปแบบเฉพาะอย่างหนึ่ง ไม่ว่าจะเป็นพีชคณิตหรือเรขาคณิต ที่ใช้ในการกำหนดพารามิเตอร์ของแผนที่การหมุน ความหมายนี้ตรงกันข้ามกับความหมายในทฤษฎีกลุ่มใน บางแง่

การหมุนของปริภูมิจุด (เชิงเส้นตรง) และ ปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ได้มีความแตกต่างกันอย่างชัดเจนเสมอไป บางครั้งการหมุนของปริภูมิจุดก็ถูกเรียกว่าการหมุนเชิงเส้นตรง (แม้ว่าคำนี้จะทำให้เข้าใจผิดได้) ในขณะที่การหมุนของปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าการหมุนเวกเตอร์ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในบทความด้านล่าง

การเคลื่อนที่ในปริภูมิยูคลิดนั้นเหมือนกับการแปลงไอโซเมตรี กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากการแปลง แต่การหมุน (แบบเหมาะสม) จะต้องรักษาโครงสร้างการวางแนวไว้ ด้วย คำว่า " การหมุนแบบไม่เหมาะสม " หมายถึงการแปลงไอโซเมตรีที่กลับทิศทาง (พลิก) การวางแนว ในภาษาของทฤษฎีกลุ่มความแตกต่างนี้แสดงออกมาเป็นการ แปลงไอโซเมตรี โดยตรงและโดยอ้อมในกลุ่มยูคลิดโดยที่แบบแรกประกอบด้วยส่วนประกอบเอกลักษณ์การเคลื่อนที่แบบยูคลิดโดยตรงใดๆ สามารถแสดงได้เป็นการประกอบกันของการหมุนรอบจุดคงที่และการเลื่อน

ในปริภูมิหนึ่งมิติมีเพียง การหมุนแบบ ไม่สำคัญ เท่านั้น ในสองมิติ จำเป็นต้องใช้เพียง มุมเดียวในการระบุการหมุนรอบจุดกำเนิด – มุมการหมุนที่ระบุองค์ประกอบของกลุ่มวงกลม (หรือที่รู้จักกันในชื่อU(1) ) การหมุนจะกระทำเพื่อหมุนวัตถุทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุมθรอบจุดกำเนิดดู รายละเอียด เพิ่มเติมด้านล่างการประกอบการหมุนจะรวมมุมของการหมุนเหล่านั้นเข้า ด้วยกัน โดยหารด้วย 1 รอบซึ่งหมายความว่าการหมุนสองมิติทั้งหมดรอบจุดเดียวกันจะสลับที่ได้การหมุนรอบ จุด ที่แตกต่างกันโดยทั่วไปจะไม่สลับที่ได้ การเคลื่อนที่โดยตรงสองมิติใดๆ จะเป็นการแปลหรือการหมุน ดูรายละเอียดเพิ่มเติม ในสมมาตรระนาบยูคลิด

การหมุนในปริภูมิสามมิติแตกต่างจากการหมุนในสองมิติในหลายประเด็นสำคัญ การหมุนในสามมิติโดยทั่วไปแล้วไม่สามารถสลับที่ได้ดังนั้นลำดับในการหมุนจึงมีความสำคัญแม้ว่าจะหมุนรอบจุดเดียวกันก็ตาม นอกจากนี้ ต่างจากกรณีสองมิติ การเคลื่อนที่โดยตรงในสามมิติในตำแหน่งทั่วไปนั้นไม่ใช่การหมุน แต่เป็นการดำเนินการแบบเกลียวการหมุนรอบจุดกำเนิดมีองศาอิสระสามองศา (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อ รูปแบบการหมุนในสามมิติ ) เท่ากับจำนวนมิติ การหมุนในสามมิติสามารถระบุได้หลายวิธี วิธีที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ได้แก่:

• มุมออยเลอร์ (ภาพด้านซ้าย) การหมุนใดๆ รอบจุดกำเนิดสามารถแสดงได้ด้วยการประกอบกันของการหมุนสามแบบ ซึ่งกำหนดเป็นการเคลื่อนที่ที่ได้จากการเปลี่ยนมุมออยเลอร์มุมหนึ่ง ในขณะที่อีกสองมุมคงที่ มุมเหล่านี้เป็น ระบบ แกนหมุนแบบผสมเนื่องจากมุมต่างๆ วัดโดยเทียบกับกรอบอ้างอิง ที่แตกต่างกัน หลายกรอบ แทนที่จะเป็นกรอบอ้างอิงเดียวที่เป็นภายนอกหรือภายในอย่างเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมแรกจะเคลื่อนเส้นของจุดตัดรอบแกนภายนอกzมุมที่สองจะหมุนรอบเส้นของจุดตัด และมุมที่สามเป็นการหมุนภายใน (การหมุนรอบแกน) รอบแกนที่ตรึงอยู่กับที่ในตัววัตถุที่เคลื่อนที่ มุมออยเลอร์มักจะใช้สัญลักษณ์α , β , γหรือφ , θ , ψการนำเสนอแบบนี้สะดวกเฉพาะสำหรับการหมุนรอบจุดคงที่เท่านั้น

• การแสดงผลแบบแกน-มุม (ดังภาพด้านขวา) ระบุมุมกับแกนที่การหมุนเกิดขึ้น สามารถมองเห็นภาพได้ง่าย มีสองรูปแบบในการแสดงผล:
  • เป็นคู่ที่ประกอบด้วยมุมและเวกเตอร์หน่วยสำหรับแกน หรือ
  • โดยเป็นเวกเตอร์แบบยุคลิดที่ได้จากการคูณมุมกับเวกเตอร์หน่วยนี้ ซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์การหมุน (แม้ว่าในทางเทคนิคแล้วมันจะเป็นเวกเตอร์เทียมก็ตาม )
• เมทริกซ์ เวอร์เซอร์ (ควอเทอร์เนียน) และ สิ่งต่างๆ ทางพีชคณิต อื่นๆ : ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ใน หัวข้อ รูปแบบพีชคณิตเชิงเส้นและหลายเชิงเส้น

การหมุนทั่วไปในสี่มิติมีจุดคงที่เพียงจุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางการหมุน และไม่มีแกนการหมุน ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ การหมุนในปริภูมิยูคลิดสี่มิติแทนที่จะเป็นเช่นนั้น การหมุนจะมีระนาบการหมุนสองระนาบที่ตั้งฉากกัน โดยแต่ละระนาบจะคงที่ในแง่ที่ว่าจุดในแต่ละระนาบจะอยู่ภายในระนาบนั้น การหมุนมีมุมการหมุนสองมุม มุมหนึ่งสำหรับแต่ละและ ω₂แล้วทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบจะหมุนผ่านมุมระหว่างω₁และมิติรอบจุดคงที่หนึ่งจุดมีอิสระหกองศา การเคลื่อนที่โดยตรงในสี่มิติในตำแหน่งทั่วไปคือการหมุนรอบจุดใดจุดหนึ่ง (เช่นเดียวกับใน มิติยูคลิด คู่ ทั้งหมด ) แต่ก็มีการดำเนินการแบบเกลียวด้วย

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในปริภูมิยูคลิดที่รักษาจุดกำเนิด ไว้ ความแตกต่างระหว่างจุดและเวกเตอร์ซึ่งมีความสำคัญในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ สามารถถูกลบล้างได้ เนื่องจากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ที่เป็นมาตรฐาน ระหว่างจุดและเวกเตอร์ตำแหน่งเช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับเรขาคณิตอื่นๆ นอกเหนือจากยูคลิดแต่ปริภูมิของมันเป็นปริภูมิเชิงเส้น ที่มี โครงสร้างเสริมดูตัวอย่างด้านล่างหรืออีกทางหนึ่ง คำอธิบายเวกเตอร์ของการหมุนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของการหมุนทางเรขาคณิตจนถึง การประกอบกับการเลื่อน กล่าวอีกนัยหนึ่ง การหมุนเวกเตอร์หนึ่งครั้งแสดงถึง การหมุนที่เทียบเท่ากันหลายครั้ง รอบจุด ทั้งหมดในปริภูมิ

การเคลื่อนที่ที่รักษาจุดกำเนิดไว้จะเหมือนกับตัวดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ที่รักษาโครงสร้างทางเรขาคณิตเดียวกัน แต่แสดงในรูปของเวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์แบบยุคลิดการแสดงออกนี้คือขนาด ของเวกเตอร์ ( นอร์มแบบยุคลิด ) ในส่วนประกอบตัวดำเนินการดังกล่าวจะแสดงด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากn × n ที่คูณกับ เวก เตอร์ คอลัมน์

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วการหมุน (ที่เหมาะสม) นั้นแตกต่างจากการเคลื่อนที่แบบจุดคงที่โดยพลการตรงที่การรักษาทิศทางของปริภูมิเวกเตอร์ ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากของการหมุนจะต้องเป็น 1 ความเป็นไปได้อื่นเพียงอย่างเดียวสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากคือ−1และผลลัพธ์นี้หมายความว่าการแปลงนั้นเป็นการสะท้อนระนาบไฮเปอร์การสะท้อนจุด (สำหรับn คี่ ) หรือการหมุนที่ไม่เหมาะสม ชนิดอื่น เมทริกซ์ของการหมุนที่เหมาะสมทั้งหมดจะประกอบกันเป็นกลุ่ม เชิงตั้งฉากพิเศษ

เช่นเดียวกับในสองมิติ เมทริกซ์สามารถใช้หมุนจุด( x , y , z )ไปยังจุด( x′ , y′ , z′ )ได้ โดยเมทริกซ์ที่ใช้เป็นเมทริกซ์ ขนาด 3 × 3

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

ค่านี้จะถูกคูณด้วยเวกเตอร์ที่แสดงถึงจุดนั้นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

เซตของเมทริกซ์ที่เหมาะสมทั้งหมดพร้อมกับการดำเนินการคูณเมทริกซ์คือกลุ่มการหมุน SO(3)เมทริกซ์A เป็นสมาชิกของ กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษสามมิติSO(3)นั่นคือเป็นเมทริกซ์ออร์โธโกนอลที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ1 การที่เป็นเมทริกซ์ออร์โธโกนอลหมายความว่าแถวของมันเป็นเซตของเวกเตอร์หน่วย ออร์โธโกนอล (ดังนั้นจึงเป็นฐานออร์โทนอร์มอล ) เช่นเดียวกับคอลัมน์ ทำให้ง่ายต่อการสังเกตและตรวจสอบว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์การหมุนที่ถูกต้องหรือไม่

มุมออยเลอร์และการแสดงมุม ตามที่กล่าวมาข้างต้นสามารถแปลงเป็นเมทริกซ์การหมุนได้อย่างง่ายดาย

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงการหมุนของเวกเตอร์ยูคลิดสามมิติคือควอเทอร์เนียน ซึ่งจะอธิบายต่อไป

ควอเทอร์เนียนหน่วยหรือเวอร์เซอร์ในบางแง่ เป็นวิธีการแสดงการหมุนสามมิติที่เข้าใจยากที่สุด พวกมันไม่ใช่ตัวอย่างสามมิติของวิธีการทั่วไป พวกมันมีขนาดกะทัดรัดกว่าเมทริกซ์และใช้งานง่ายกว่าวิธีการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นจึงมักเป็นที่นิยมใช้ในแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริง

เวอร์เซอร์ (หรือเรียกว่าควอเทอร์เนียนการหมุน ) ประกอบด้วยจำนวนจริงสี่จำนวน โดยมีข้อจำกัดว่าค่าบรรทัดฐานของควอเทอร์เนียนต้องเป็น 1 ข้อจำกัดนี้จำกัดระดับความเป็นอิสระของควอเทอร์เนียนไว้ที่สามตามที่ต้องการ แตกต่างจากเมทริกซ์และจำนวนเชิงซ้อนตรงที่ต้องมีการคูณสองครั้ง:

${\displaystyle \mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},}$

โดยที่qคือเวกเตอร์ผกผัน, q ⁻¹คือ เวกเตอร์ ผกผัน ของมัน และxคือเวกเตอร์ที่ถือว่าเป็นควอเทอร์เนียนที่มีส่วนส เกลาร์เป็นศูนย์ ควอเทอ ร์เนียนนี้สามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบเวกเตอร์การหมุนของมุมแกนได้โดยใช้แผนที่เอกซ์โปเนนเชียลเหนือควอเทอร์เนียน

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},}$

โดยที่vคือเวกเตอร์การหมุนซึ่งถือว่าเป็นควอเทอร์เนียน

การคูณด้วยเวอร์เซอร์เพียงครั้งเดียวไม่ว่าจะเป็นซ้ายหรือขวาก็คือการหมุนเช่นกัน แต่เป็นการหมุนในสี่มิติ การหมุนสี่มิติใดๆ รอบจุดกำเนิด สามารถแทนได้ด้วยการคูณควอเทอร์เนียนสองครั้ง คือครั้งหนึ่งไปทางซ้ายและอีกครั้งไปทางขวา โดยใช้ควอเทอร์เนียนหน่วย สองตัว ที่แตกต่างกัน

โดยทั่วไปแล้ว การหมุนพิกัดในมิติใดๆ จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก เซตของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากทั้งหมดใน มิติ nซึ่งอธิบายการหมุนที่เหมาะสม (ดีเทอร์มิแนนต์ = +1) เมื่อรวมกับการดำเนินการคูณเมทริกซ์ จะก่อให้เกิดกลุ่ม เชิงตั้งฉากพิเศษSO( n )

เมทริกซ์มักใช้สำหรับการแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการแปลงจุดจำนวนมาก เนื่องจากเมทริกซ์เป็นตัวแทนโดยตรงของตัวดำเนินการเชิงเส้นการหมุนที่แสดงในรูปแบบอื่นมักจะถูกแปลงเป็นเมทริกซ์ก่อนนำไปใช้ สามารถขยายเมทริกซ์เพื่อแสดงการหมุนและการแปลงพร้อมกันได้โดยใช้พิกัดเอกพันธุ์การแปลงเชิงโปรเจ คทีฟ แสดงด้วย เมทริกซ์ 4 × 4เมทริกซ์เหล่านี้ไม่ใช่เมทริกซ์การหมุน แต่การแปลงที่แสดงการหมุนแบบยุคลิดจะมี เมทริกซ์การหมุน 3 × 3อยู่ที่มุมบนซ้าย

ข้อเสียเปรียบหลักของเมทริกซ์คือ การคำนวณและการดำเนินการคำนวณมีค่าใช้จ่ายสูงกว่า นอกจากนี้ ในการคำนวณที่ความไม่เสถียรทางตัวเลขเป็นสิ่งที่น่ากังวล เมทริกซ์อาจมีแนวโน้มที่จะเกิดความไม่เสถียรได้ง่ายกว่า ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณเพื่อฟื้นฟูความเป็นออร์โทนอร์มอลซึ่งมีค่าใช้จ่ายสูงสำหรับเมทริกซ์ และต้องทำบ่อยขึ้น

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น มี รูปแบบการหมุน พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว อยู่สามแบบ ได้แก่ แบบหนึ่งใช้U(1) หรือจำนวนเชิงซ้อนสำหรับสองมิติ และอีกสองแบบใช้เวอร์เซอร์ หรือควอเทอร์เนียนสำหรับสามและสี่มิติ

โดยทั่วไป (แม้แต่สำหรับเวกเตอร์ที่มี รูปแบบกำลังสองของมินคอฟสกีที่ไม่ใช่แบบยุคลิด) การหมุนของปริภูมิเวกเตอร์สามารถแสดงได้ใน รูป ของไบเวกเตอร์รูปแบบนี้ใช้ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตและโดยทั่วไปแล้ว ในการแสดงกลุ่มลีใน พีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ในกรณีของฟอร์มกำลังสองแบบยุคลิดที่เป็นบวกแน่นอนกลุ่มปกคลุม สองชั้น ของกลุ่มไอโซเมตรีเรียกว่ากลุ่มสปินซึ่งสามารถอธิบายได้อย่างสะดวกโดยใช้พีชคณิตคลิฟฟอร์ด ควอเทอร์เนียนหน่วยให้กลุ่ม ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$

ในเรขาคณิตทรงกลมการเคลื่อนที่โดยตรงของทรงกลมn มิติ (ตัวอย่างของเรขาคณิตวงรี ) จะเหมือนกับการหมุนของปริภูมิยุค ลิดมิติ ( n + 1) รอบจุดกำเนิด ( SO( n + 1) ) สำหรับn ที่เป็นจำนวนคี่ การเคลื่อนที่ส่วนใหญ่เหล่านี้ไม่มีจุดคงที่บน ทรงกลม nมิติ และโดยเคร่งครัดแล้วไม่ใช่การหมุนของทรงกลมการเคลื่อนที่ดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าการแปลแบบคลิฟฟอร์ด การหมุนรอบจุดคงที่ในเรขาคณิตวงรีและ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกไม่แตกต่างจาก การหมุนรอบจุดคงที่ใน เรขาคณิตยุคลิด

เรขาคณิตเชิงอัฟฟินและเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟไม่มีแนวคิดเรื่องการหมุนที่ชัดเจน

ในทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษการหมุนสามารถขยายความได้ โดยสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการหมุนในปริภูมิสี่มิติ หรือปริภูมิเวลาซึ่งประกอบด้วยมิติของปริภูมิสามมิติและมิติของเวลาหนึ่งมิติ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ปริภูมินี้เรียกว่าปริภูมิมินคอฟสกีและการหมุนสี่มิติที่เรียกว่าการแปลงลอเรนซ์ นั้น มีความหมายเชิงฟิสิกส์ การแปลงเหล่านี้รักษารูปแบบกำลังสองที่เรียกว่าช่วงเวลาของปริภูมิเวลาไว้

หากการหมุนของปริภูมิ Minkowski อยู่ในระนาบคล้ายปริภูมิ การหมุนนี้จะเหมือนกับการหมุนเชิงพื้นที่ในปริภูมิยุคลิด ในทางตรงกันข้าม การหมุนในระนาบที่ครอบคลุมโดยมิติคล้ายปริภูมิและมิติคล้ายเวลาคือการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกและหากระนาบนี้มีแกนเวลาของกรอบอ้างอิง จะเรียกว่า "การเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์" การแปลงเหล่านี้แสดงให้เห็นถึง ลักษณะ แบบซูโด- ยุคลิด ของปริภูมิ Minkowski การหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกบางครั้งถูกอธิบายว่าเป็น " การแมปแบบบีบอัด " และมักปรากฏในแผนภาพ Minkowskiที่แสดงภาพเรขาคณิตแบบซูโด-ยุคลิดมิติ (1 + 1) บนภาพวาดระนาบ การศึกษาสัมพัทธภาพเกี่ยวข้องกับกลุ่มลอเรนซ์ที่สร้างขึ้นโดยการหมุนเชิงพื้นที่และการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิก^{[ 4 ]}

ในขณะที่ การหมุน SO(3)ในฟิสิกส์และดาราศาสตร์ สอดคล้องกับการหมุนของทรงกลมท้องฟ้าในฐานะ ทรง กลม 2 มิติในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ การแปลงลอเรนซ์จากSO(3;1) ⁺เหนี่ยวนำให้เกิด การแปลง คอนฟอร์มอลของทรงกลมท้องฟ้า ซึ่งเป็นกลุ่มการแปลงทรงกลมที่กว้างกว่าที่เรียกว่าการแปลงโมเบียส

การหมุนกำหนดสมมาตร ที่สำคัญหลายประเภท : สมมาตรแบบหมุนคือความไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการหมุนแบบใดแบบหนึ่งสมมาตรแบบวงกลมคือ ความไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการหมุนทุกแบบรอบแกนคงที่

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การหมุนแบบยุคลิดถูกนำไปใช้กับพลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในฟิสิกส์ (เช่นแคลคูลัสเวกเตอร์ ) นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน ดูการหมุนสำหรับรายละเอียดทางฟิสิกส์เพิ่มเติม การหมุนแบบยุคลิด และโดยทั่วไปแล้ว สมมาตรลอเรนซ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นถือว่าเป็นกฎสมมาตรของธรรมชาติในทางตรงกันข้ามสมมาตรแบบสะท้อนไม่ใช่กฎสมมาตรที่แม่นยำของธรรมชาติ

เมท ริกซ์ค่า เชิงซ้อนที่คล้ายกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉากจริงคือเมทริกซ์เอกภาพ ซึ่งแสดงถึงการหมุนในปริภูมิเชิงซ้อน เซตของเมทริกซ์เอกภาพทั้งหมดในมิติn ที่กำหนด จะก่อตัวเป็นกลุ่มเอกภาพที่มีดีกรีnและกลุ่มย่อยที่แสดงถึงการหมุนที่เหมาะสม (การหมุนที่รักษาทิศทางของปริภูมิ) คือกลุ่มเอกภาพพิเศษที่มีดีกรีnการหมุนเชิงซ้อนเหล่านี้มีความสำคัญในบริบทของสปินเนอร์องค์ประกอบของถูกใช้เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ การหมุนแบบยุคลิด สามมิติ (ดูด้านบน ) เช่นเดียวกับการแปลงสปิน ที่เกี่ยวข้อง (ดูทฤษฎีการแสดงแทนของ SU(2) ) ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

• แกนหลักของเครื่องบิน
• การเปลี่ยนฐาน
• แผนภูมิบน SO(3)
• การหมุนและการสะท้อนในสองมิติ
• คอร์ดิค
• เมทริกซ์การหมุนขนาดเล็กมาก
• การหมุนที่ไม่สมเหตุสมผล
• การวางแนว (เรขาคณิต)
• สูตรการหมุนเวียนของโรดริเกส
• การหมุนของแกน
• กระแสน้ำวน