ในฟิสิกส์และดาราศาสตร์กรอบอ้างอิง (หรือกรอบอ้างอิง ) คือ ระบบพิกัดนามธรรมซึ่งมีการระบุจุดกำเนิดทิศทางและมาตราส่วนในพื้นที่ทางกายภาพโดยอิงจากชุดของจุดอ้างอิงซึ่งกำหนดเป็นจุดทางเรขาคณิตที่ มีการระบุ ตำแหน่งทั้งทางคณิตศาสตร์ (ด้วยค่าพิกัดเชิงตัวเลข) และทางกายภาพ (ระบุด้วยเครื่องหมายตามธรรมเนียม) ^{[ 1 ]} กรณีพิเศษที่สำคัญคือกรอบอ้างอิงเฉื่อยซึ่งเป็นกรอบที่อยู่กับที่หรือเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ

สำหรับมิติn นั้น จุดอ้างอิง n + 1จุดก็เพียงพอที่จะกำหนดกรอบอ้างอิงได้อย่างสมบูรณ์ โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนแบบสี่เหลี่ยม กรอบอ้างอิงสามารถกำหนดได้โดยใช้จุดอ้างอิงที่จุดกำเนิดและจุดอ้างอิงที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะหนึ่งหน่วยตามแนว แกน พิกัดทั้งn แกน

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์กรอบอ้างอิงถูกใช้เพื่อระบุความสัมพันธ์ระหว่างผู้สังเกตการณ์ ที่เคลื่อนที่ กับปรากฏการณ์ที่กำลังสังเกต ในบริบทนี้ คำดังกล่าวจึงมักกลายเป็นกรอบอ้างอิงการสังเกต (หรือกรอบอ้างอิงการสังเกต ) ซึ่งหมายความว่าผู้สังเกตการณ์อยู่นิ่งในกรอบนั้น แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องอยู่ที่จุดกำเนิดก็ตาม กรอบอ้างอิงเชิงสัมพัทธภาพรวมถึง (หรือบ่งชี้) เวลาพิกัดซึ่งไม่เท่ากันในกรอบอ้างอิงที่แตกต่างกันซึ่งเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน สถานการณ์จึงแตกต่างจากทฤษฎีสัมพัทธภาพของกาลิเลโอซึ่งเวลาพิกัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดนั้นโดยพื้นฐานแล้วเท่ากัน

ความจำเป็นในการแยกแยะความหมายต่างๆ ของ "กรอบอ้างอิง" ทำให้เกิดคำศัพท์ที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น บางครั้งประเภทของระบบพิกัดจะถูกเพิ่มเข้ามาเป็นตัวดัดแปลง เช่นกรอบอ้างอิงแบบคาร์ทีเซียน บางครั้ง สถานะของการเคลื่อนที่ก็ถูกเน้น เช่นกรอบอ้างอิงแบบหมุนบางครั้งวิธีการแปลงเป็นกรอบที่ถือว่าเกี่ยวข้องก็ถูกเน้น เช่นกรอบอ้างอิงแบบกาลิเลียนบางครั้งกรอบจะถูกแยกแยะตามขนาดของการสังเกต เช่นกรอบอ้างอิงแบบมหภาคและจุลภาค^{[ 2 ]}

ในบทความนี้ คำว่ากรอบอ้างอิงการสังเกตถูกใช้เมื่อเน้นที่สถานะของการเคลื่อนที่มากกว่าการเลือกพิกัดหรือลักษณะของการสังเกตหรืออุปกรณ์การสังเกต ในแง่นี้ กรอบอ้างอิงการสังเกตช่วยให้สามารถศึกษาผลกระทบของการเคลื่อนที่ต่อระบบพิกัดทั้งหมดที่สามารถกำหนดให้กับกรอบนี้ได้ ในทางกลับกันระบบพิกัดอาจถูกนำมาใช้เพื่อวัตถุประสงค์หลายอย่างที่สถานะของการเคลื่อนที่ไม่ได้เป็นประเด็นหลัก ตัวอย่างเช่น อาจมีการนำระบบพิกัดมาใช้เพื่อใช้ประโยชน์จากสมมาตรของระบบ ในมุมมองที่กว้างขึ้น การกำหนดปัญหาหลายอย่างในฟิสิกส์ใช้พิกัดทั่วไปโหมดปกติหรือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ซึ่งเกี่ยวข้องกับอวกาศและเวลาโดยอ้อมเท่านั้น ดูเหมือนว่าจะเป็นประโยชน์ที่จะแยกแง่มุมต่างๆ ของกรอบอ้างอิงสำหรับการอภิปรายด้านล่าง ดังนั้นเราจึงถือว่ากรอบอ้างอิงการสังเกต ระบบพิกัด และอุปกรณ์การสังเกตเป็นแนวคิดที่เป็นอิสระ โดยแยกไว้ดังนี้:

• กรอบอ้างอิง (เช่นกรอบอ้างอิงเฉื่อยหรือกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย ) เป็นแนวคิดทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับสถานะของการเคลื่อนที่
• ระบบพิกัดเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเทียบเท่ากับการเลือกภาษาที่ใช้ในการอธิบายการสังเกต^{[ 3 ]}ด้วยเหตุนี้ ผู้สังเกตในกรอบอ้างอิงการสังเกตสามารถเลือกใช้ระบบพิกัดใดก็ได้ (คาร์ทีเซียน ขั้ว เส้นโค้ง ทั่วไป ...) เพื่ออธิบายการสังเกตที่ทำขึ้นจากกรอบอ้างอิงนั้น การเปลี่ยนแปลงในการเลือกใช้ระบบพิกัดนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงสถานะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกต และดังนั้นจึงไม่ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงใน กรอบ อ้างอิงการสังเกต ของผู้สังเกต มุมมองนี้สามารถพบได้ในที่อื่นเช่นกัน^{[ 4 ]}ซึ่งไม่ได้หมายความว่าระบบพิกัดบางระบบอาจเป็นตัวเลือกที่ดีกว่าสำหรับการสังเกตบางอย่างมากกว่าระบบอื่นๆ

• การเลือกสิ่งที่จะวัดและเครื่องมือสังเกตการณ์ที่ใช้เป็นเรื่องที่แยกต่างหากจากสถานะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกตการณ์และการเลือกใช้ระบบพิกัด

^[ก]

แม้ว่าคำว่า "ระบบพิกัด" มักถูกใช้ (โดยเฉพาะโดยนักฟิสิกส์) ในความหมายที่ไม่ใช่เชิงเทคนิค แต่ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ระบบพิกัด" ก็มีความหมายที่ชัดเจน และบางครั้งนักฟิสิกส์ก็หมายถึงความหมายนั้นด้วยเช่นกัน

ระบบพิกัดในทางคณิตศาสตร์เป็นแง่มุมหนึ่งของเรขาคณิตหรือพีชคณิต [ ^{9 ] [ 10 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นคุณสมบัติของแมนิโฟลด์ (ตัวอย่างเช่น ในฟิสิกส์พื้นที่การกำหนดค่าหรือพื้นที่เฟส ) ^{[ 11 ] [ 12 ]}พิกัดของจุดrใน พื้นที่ nมิติเป็นเพียงเซตเรียงลำดับของ^{ตัวเลข} n ^ตัว : ^{[ 13 ]} [ ^{14 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].}$

ใน ปริภูมิ Banachทั่วไปตัวเลขเหล่านี้อาจเป็น (ตัวอย่างเช่น) สัมประสิทธิ์ในการขยายฟังก์ชัน เช่นอนุกรมฟูริเยร์ในปัญหาทางฟิสิกส์ ตัวเลขเหล่านี้อาจเป็น พิกัด ปริภูมิเวลาหรือ แอมพลิจูด โหมดปกติในการออกแบบหุ่นยนต์ ตัวเลขเหล่า นี้อาจเป็นมุมของการหมุนสัมพัทธ์ การกระจัดเชิงเส้น หรือการเสียรูปของข้อต่อ [ ^{15 ] ใน}ที่นี้เราจะถือว่าพิกัดเหล่านี้สามารถเชื่อมโยงกับ ระบบ พิกัดคาร์ทีเซียน ได้ ด้วยชุดฟังก์ชัน:

${\displaystyle x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,}$

โดยที่x , y , zฯลฯคือ พิกัดคาร์ทีเซียน nตัวของจุดนั้น เมื่อกำหนดฟังก์ชันเหล่านี้แล้วพื้นผิวพิกัดจะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ดังต่อไป นี้ :

${\displaystyle x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.}$

จุดตัดของพื้นผิวเหล่านี้กำหนดเส้นพิกัดณ จุดที่เลือกใดๆ เส้นสัมผัสของเส้นพิกัดที่ตัดกัน ณ จุดนั้นจะกำหนดชุดเวกเตอร์ฐาน { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } ณ จุดนั้น นั่นคือ: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,}$

ซึ่งสามารถปรับให้มีความยาวเท่ากับหนึ่งหน่วยได้ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดู ที่ พิกัด โค้ง

พื้นผิวพิกัด เส้นพิกัด และเวกเตอร์ฐานเป็นส่วนประกอบของระบบพิกัด^{[ 17 ]}ถ้าเวกเตอร์ฐานตั้งฉากกันที่ทุกจุด ระบบพิกัดนั้นจะเป็น ระบบพิกัด ตั้ง ฉาก

ลักษณะสำคัญของระบบพิกัดคือเทนเซอร์เมตริกg _ikซึ่งกำหนดความยาวส่วนโค้งdsในระบบพิกัดตามพิกัดของมัน: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle (ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},}$

โดยที่ดัชนีที่ซ้ำกันจะถูกรวมเข้าด้วยกัน

ดังที่เห็นได้จากข้อสังเกตเหล่านี้ ระบบพิกัดเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระบบสัจพจน์ไม่มีความเชื่อมโยงที่จำเป็นระหว่างระบบพิกัดกับการเคลื่อนที่ทางกายภาพ (หรือแง่มุมอื่นใดของความเป็นจริง) อย่างไรก็ตาม ระบบพิกัดสามารถรวมเวลาเป็นพิกัดได้ และสามารถใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ได้ ดังนั้นการแปลงลอเรนซ์และ การแปลงกาลิเลียน จึง อาจมองได้ว่าเป็นการแปลงพิกัด

กรอบอ้างอิงการสังเกตซึ่งมักเรียกว่ากรอบอ้างอิงทางกายภาพกรอบอ้างอิงหรือเรียกง่ายๆ ว่ากรอบเป็นแนวคิดทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับผู้สังเกตและสถานะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกต ในที่นี้เรายึดถือมุมมองที่แสดงโดย Kumar และ Barve: กรอบอ้างอิงการสังเกตมีลักษณะเฉพาะด้วยสถานะการเคลื่อนที่เท่านั้น [ ^{19 ] อย่างไรก็ตาม}ยังไม่มีความเห็นพ้องต้องกันในประเด็นนี้ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษบางครั้งมีการแยกแยะระหว่างผู้สังเกตและกรอบตามมุมมองนี้กรอบคือผู้สังเกตบวกกับโครงข่ายพิกัดที่สร้างขึ้นให้เป็น เซต เวกเตอร์เชิงพื้นที่แบบมือขวาตั้งฉากกับเวกเตอร์เชิงเวลา ดู Doran ^{[ 20 ]}มุมมองที่จำกัดนี้ไม่ได้ใช้ในที่นี้ และไม่ได้ถูกนำมาใช้โดยทั่วไปแม้แต่ในการอภิปราย เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ^{[ 21 ] [ 22 ]}ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปการใช้ระบบพิกัดทั่วไปเป็นเรื่องปกติ (ดูตัวอย่างเช่น วิธีแก้ปัญหา Schwarzschildสำหรับสนามโน้มถ่วงภายนอกทรงกลมที่แยกตัว^{[ 23 ]} )

กรอบอ้างอิงการสังเกตมีสองประเภท ได้แก่กรอบอ้างอิงเฉื่อยและกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อยกรอบอ้างอิงเฉื่อยถูกนิยามว่าเป็นกรอบที่กฎทางฟิสิกส์ทั้งหมดอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษกรอบเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงลอเรนซ์ซึ่งมีพารามิเตอร์เป็นความเร็วในกลศาสตร์นิวตัน คำนิยามที่จำกัดกว่านั้นต้องการเพียงแค่ว่ากฎข้อแรกของนิวตันเป็นจริง กล่าวคือ กรอบอ้างอิงเฉื่อยของนิวตันคือกรอบที่อนุภาคอิสระเคลื่อนที่ในเส้นตรงด้วยความเร็ว คงที่ หรือหยุดนิ่ง กรอบเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงกาลิเลียน การแปลงสัมพัทธภาพและการแปลงนิวตันเหล่านี้แสดงอยู่ในปริภูมิที่มีมิติทั่วไปในรูปของการแสดงแทนของกลุ่มปวงกาเรและกลุ่มกาลิเลียน

ตรงกันข้ามกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยคือกรอบอ้างอิงที่ต้องใช้แรงสมมติเพื่ออธิบายการสังเกตการณ์ ตัวอย่างเช่น กรอบอ้างอิงการสังเกตการณ์ที่อยู่ตรงกลาง ณ จุดหนึ่งบนพื้นผิวโลก กรอบอ้างอิงนี้โคจรอยู่รอบศูนย์กลางของโลก ซึ่งทำให้เกิดแรงสมมติที่เรียกว่าแรงโคริโอลิสแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและแรงโน้มถ่วง (แรงทั้งหมดนี้รวมถึงแรงโน้มถ่วงจะหายไปในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แท้จริง ซึ่งเป็นกรอบอ้างอิงของการตกอย่างอิสระ)

อีกแง่มุมหนึ่งของกรอบอ้างอิงคือบทบาทของอุปกรณ์วัด (เช่น นาฬิกาและแท่งวัด) ที่ติดอยู่กับกรอบอ้างอิง (ดูคำกล่าวของนอร์ตันข้างต้น) ประเด็นนี้ไม่ได้กล่าวถึงในบทความนี้ และมีความน่าสนใจเป็นพิเศษในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างผู้สังเกตและการวัดยังคงอยู่ระหว่างการอภิปราย (ดูปัญหาการวัด )

ในการทดลองทางฟิสิกส์ กรอบอ้างอิงที่อุปกรณ์วัดในห้องปฏิบัติการอยู่นิ่งมักเรียกว่ากรอบห้องปฏิบัติการหรือเรียกสั้นๆ ว่า "กรอบห้องปฏิบัติการ" ตัวอย่างเช่น กรอบที่เครื่องตรวจจับสำหรับเครื่องเร่งอนุภาคอยู่นิ่ง กรอบห้องปฏิบัติการในการทดลองบางอย่างเป็นกรอบเฉื่อย แต่ไม่จำเป็นเสมอไป (ตัวอย่างเช่น ห้องปฏิบัติการบนพื้นผิวโลกในการทดลองทางฟิสิกส์หลายๆ ครั้งไม่ใช่กรอบเฉื่อย) ในการทดลองฟิสิกส์อนุภาค มักเป็นประโยชน์ที่จะแปลงพลังงานและโมเมนตัมของอนุภาคจากกรอบห้องปฏิบัติการที่ทำการวัด ไปยังกรอบศูนย์กลางโมเมนตัม "กรอบ COM" ซึ่งบางครั้งการคำนวณจะง่ายขึ้น เนื่องจากพลังงานจลน์ทั้งหมดที่ยังคงอยู่ในกรอบ COM อาจถูกนำไปใช้สร้างอนุภาคใหม่ได้

ในส่วนนี้ อาจสังเกตได้ว่า นาฬิกาและแท่งที่มักใช้ในการอธิบายอุปกรณ์การวัดของผู้สังเกตการณ์ในเชิงความคิด ในทางปฏิบัติจะถูกแทนที่ด้วยการวัดทาง อ้อมที่ซับซ้อนกว่ามาก ซึ่งเชื่อมโยงกับธรรมชาติของสุญญากาศและใช้นาฬิกาอะตอมที่ทำงานตามแบบจำลองมาตรฐานและต้องได้รับการแก้ไขสำหรับการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วง^{[ 24 ]} ( ดูวินาทีเมตรและกิโลกรัม)

ในความเป็นจริง ไอน์สไตน์รู้สึกว่านาฬิกาและแท่งเป็นเพียงอุปกรณ์วัดที่สะดวกเท่านั้น และควรถูกแทนที่ด้วยสิ่งที่เป็นพื้นฐานมากกว่า เช่น อะตอมและโมเลกุล^{[ 25 ]}

การอภิปรายนี้ขยายออกไปนอกเหนือระบบพิกัดกาลอวกาศแบบง่ายๆ โดยBradingและ Castellani ^{[ 26 ]}การขยายไปสู่ระบบพิกัดโดยใช้พิกัดทั่วไปเป็นพื้นฐานของสูตรแฮมิลโทเนียนและลากรางจ์^{[ 27 ]}ของทฤษฎีสนามควอนตัม กลศาสตร์สัมพัทธภาพแบบคลาสสิกและแรงโน้มถ่วงควอนตัม^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

• กรอบอ้างอิงภาคพื้นดินระหว่างประเทศ
• กรอบอ้างอิงท้องฟ้าสากล
• ในกลศาสตร์ของไหลการกำหนดลักษณะสนามการไหลแบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์

เฟรมอื่นๆ

• สนามเฟรมในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• กรอบเคลื่อนที่ในวิชาคณิตศาสตร์