ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปฟิลด์เฟรม (เรียกอีกอย่างว่าเทตระดหรือเวียร์เบน ) คือเซตของฟิลด์เวกเตอร์แบบจุดต่อจุด ตั้งฉาก กัน สี่ฟิลด์ โดยหนึ่ง ฟิลด์เป็นแบบ ไทม์ไลค์และอีก สามฟิลด์เป็นแบบสเป ซไลค์ ซึ่ง กำหนดไว้บนแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์ที่ตีความทางกายภาพว่าเป็นแบบจำลองของปริภูมิเวลาฟิลด์เวกเตอร์หน่วย แบบ ไทม์ไลค์มักจะใช้สัญลักษณ์และฟิลด์เวกเตอร์หน่วยแบบสเปซไลค์ทั้งสาม จะใช้สัญลักษณ์ ปริมาณ เทนเซอร์ทั้งหมดที่กำหนดบนแมนิโฟลด์สามารถแสดงได้โดยใช้ฟิลด์เฟรมและฟิลด์โคเฟรม คู่ ของมัน${\displaystyle {\vec {e}__{0}}$${\displaystyle {\vec {e}__{1},{\vec {e}__{2},\,{\vec {e}__{3}}$

ฟิลด์เฟรมได้รับการแนะนำเข้าสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในปี พ.ศ. 2461 ^{[ 1 ]}และโดยเฮอร์มันน์ เวย์ลในปี พ.ศ. 2462 ^{[ 2 ]}

สัญลักษณ์ดัชนีสำหรับเททราดอธิบายไว้ในหัวข้อเททราด (สัญลักษณ์ดัชนี )

กรอบอ้างอิงของแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์จะสอดคล้องกับกลุ่มผู้สังเกตการณ์ในอุดมคติที่ฝังตัวอยู่ในปริภูมิเวลาที่กำหนดเสมอเส้นโค้งอินทิกรัลของสนามเวกเตอร์หน่วยแบบไทม์ไลค์คือเวิลด์ไลน์ของผู้สังเกตการณ์เหล่านี้ และในแต่ละเหตุการณ์ตามเวิลด์ไลน์ที่กำหนด สนามเวกเตอร์หน่วยแบบสเปซไลค์ทั้งสามจะระบุไตรแอดเชิงพื้นที่ที่ผู้สังเกตการณ์พกพา ไตรแอดนี้อาจคิดได้ว่าเป็นการกำหนดแกนพิกัดเชิงพื้นที่ของกรอบอ้างอิงห้องปฏิบัติการ เฉพาะที่ ซึ่งใช้ได้ใกล้กับเวิลด์ไลน์ของผู้สังเกตการณ์มาก

โดยทั่วไป เส้นทางการเคลื่อนที่ของตัวสังเกตการณ์เหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นทางการเคลื่อนที่แบบจีโอเดสิกที่ คงที่ตลอดเวลา หากเส้นทางการเคลื่อนที่ใดๆ เบี่ยงเบนออกจากเส้นทางการเคลื่อนที่แบบจีโอเดสิกในบางบริเวณ เราสามารถคิดว่าตัวสังเกตการณ์เหล่านั้นเป็นอนุภาคทดสอบที่เร่งความเร็วโดยใช้เครื่องยนต์จรวดในอุดมคติที่มีแรงขับเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ความเร่งหรืออีกทางหนึ่ง หากตัวสังเกตการณ์ของเราติดอยู่กับอนุภาคเล็กๆ ในลูกบอลของไหลที่อยู่ในสมดุลอุทกสถิตอนุภาคเล็กๆ นี้โดยทั่วไปจะถูกเร่งออกไปด้านนอกด้วยผลสุทธิของความดันที่ยึดลูกบอลของไหลไว้ต้านแรงดึงดูดของแรงโน้มถ่วงของมันเอง ความเป็นไปได้อื่นๆ ได้แก่ ตัวสังเกตการณ์ที่ติดอยู่กับอนุภาคทดสอบที่มีประจุอิสระในสารละลายสุญญากาศไฟฟ้าซึ่งแน่นอนว่าจะถูกเร่งความเร็วด้วยแรงลอเรนซ์หรือตัวสังเกตการณ์ที่ติดอยู่กับ อนุภาคทดสอบ ที่หมุนอยู่ซึ่งอาจถูกเร่งความเร็วด้วยแรงระหว่างการหมุน

สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่าเฟรมเป็นวัตถุทางเรขาคณิตกล่าวคือ ฟิลด์เวกเตอร์มีความหมาย (ในแมนิโฟลด์เรียบ) โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกใช้แผนภูมิพิกัดและ (ในแมนิโฟลด์ลอเรนซ์) แนวคิดเรื่องความเป็นตั้งฉากและความยาวก็เช่นกัน ดังนั้น เช่นเดียวกับฟิลด์เวกเตอร์และปริมาณทางเรขาคณิตอื่นๆ ฟิลด์เฟรมสามารถแสดงได้ในแผนภูมิพิกัดต่างๆ การคำนวณส่วนประกอบของปริมาณเทนเซอร์โดยสัมพันธ์กับเฟรมที่กำหนด จะให้ ผลลัพธ์ เดียวกัน เสมอ ไม่ว่าแผนภูมิพิกัดใดจะถูกใช้ในการแทนเฟรมก็ตาม

ฟิลด์เหล่านี้จำเป็นสำหรับการเขียน สมการ Dirac ในปริภูมิ เวลา โค้ง

ในการเขียนกรอบพิกัดจำเป็นต้องเลือกแผนภูมิพิกัด บนแมนิโฟลด์ลอเรนซ์ จากนั้น เวกเตอร์ฟิลด์ทุกตัวบนแมนิโฟลด์สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฟิลด์ ฐานพิกัด ทั้งสี่ :

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

ในที่นี้ใช้หลักการรวมผลแบบไอน์สไตน์ และถือว่าสนามเวกเตอร์เป็นตัวดำเนิน การเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง และส่วนประกอบมักเรียกว่าส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์ซึ่งเป็นไปตามหลักการสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับส่วนต่างๆของบันเดิลสัมผัสสัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับสนามเวกเตอร์ฐานพิกัดที่ใช้กันทั่วไปมีดังนี้${\displaystyle X^{\mu }}$${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ฟิลด์ในกรอบอ้างอิงสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\vec {e}__{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

ในการ "ออกแบบ" กรอบนั้น จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าเวกเตอร์ทั้งสี่ตั้งฉากกันทุกจุด โดยใช้ เมตริก ที่กำหนดให้

ตำราสมัยใหม่มักใช้สัญลักษณ์แทนด้วยและหรือแทนซึ่งทำให้สามารถใช้เทคนิคที่ชาญฉลาดในการเขียนเมตริกของปริภูมิเวลาเป็นผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สัมผัสพิกัดได้: ${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle {\vec {e}__{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\otimes \mathbf {g} _{\nu }}$

และเมตริกมินคอฟสกีในปริภูมิราบเรียบเป็นผลคูณของแกมมา:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\otimes \gamma _{b}}$

การเลือกใช้สัญลักษณ์นี้เป็นการผสมผสานโดยเจตนาให้เหมือนกับสัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับเมทริกซ์ของ Diracซึ่งทำให้ สามารถมองสัญลักษณ์นี้ ได้ไม่เพียงแต่ในฐานะเวกเตอร์เท่านั้น แต่ยังเป็นองค์ประกอบของพีชคณิต นั่นคือพีชคณิตของปริภูมิเวลาหากใช้ได้อย่างเหมาะสม จะช่วยลดความซับซ้อนของสัญลักษณ์ที่ใช้ในการเขียนการเชื่อมต่อสปินได้ ${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$

เมื่อมีการนำลายเซ็นมาใช้แล้ว โดยหลักการทวิภาวะ เวกเตอร์ทุกตัวในฐานจะมีโคเวกเตอร์ คู่ ในโคฐาน และในทางกลับกัน ดังนั้นฟิลด์เฟรมทุกฟิลด์จึงสัมพันธ์กับฟิลด์โคเฟรม ที่ไม่ซ้ำกัน และในทางกลับกัน ฟิลด์โคเฟรมคือเซตของส่วนตัดตั้งฉากสี่ส่วนของมัด โคแทนเจนต์

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถระบุ เมตริกเทนเซอร์ได้โดยการเขียนโคเฟรมในรูปของฐานพิกัด และกำหนดว่าเมตริกเทนเซอร์มีค่าดังนี้

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

โดยที่หมายถึงผลคูณเทนเซอร์นี่เป็นเพียงวิธีพูดที่ดูหรูหรากว่าในการบอกว่าโคเฟรมนั้นเป็นออร์โทนอร์มอลไม่ว่าจะใช้เพื่อหาเทนเซอร์เมตริกหลังจากเขียนเฟรมลงไป (และส่งไปยังโคเฟรมคู่) หรือเริ่มต้นด้วยเทนเซอร์เมตริกและใช้เพื่อตรวจสอบว่าเฟรมนั้นได้มาด้วยวิธีอื่น ก็ต้องเป็นจริงเสมอ ${\displaystyle \otimes }$

ฟิลด์เวียร์เบน (vierbein field ) มีดัชนีสองประเภท ได้แก่ดัชนีที่ระบุพิกัดปริภูมิเวลาทั่วไป และดัชนีที่ระบุปริภูมิเวลาลอเรนซ์เฉพาะที่ หรือพิกัดห้องปฏิบัติการเฉพาะที่ ${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle a\,}$

ฟิลด์เวียร์เบนหรือฟิลด์เฟรมสามารถถือได้ว่าเป็น "รากที่สองของเมทริกซ์" ของเทนเซอร์เมตริกเนื่องจากในฐานพิกัด ${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

เมตริก Lorentzอยู่ที่ไหน${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

ดัชนีลอเรนซ์เฉพาะที่จะถูกยกขึ้นและลดลงด้วยเมตริกลอเรนซ์ในลักษณะเดียวกับที่พิกัดปริภูมิเวลาทั่วไปถูกยกขึ้นและลดลงด้วยเทนเซอร์เมตริก ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

ฟิลด์เวียร์เบนช่วยให้สามารถแปลงระหว่างปริภูมิเวลาและดัชนีลอเรนซ์เฉพาะที่ได้ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

สนามเวียร์ไบน์เองก็สามารถถูกควบคุมได้ในลักษณะเดียวกัน:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, เนื่องจาก${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

และสิ่งเหล่านี้สามารถผสมผสานกันได้

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

ตัวอย่างเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย: สามารถผสมผสานปริภูมิเวลาและพิกัดลอเรนซ์ท้องถิ่นเข้าด้วยกันได้:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

พิกัดลอเรนซ์เฉพาะที่นั้นมีการแปลงที่แตกต่างจากพิกัดปริภูมิเวลาทั่วไป ภายใต้การแปลงพิกัดทั่วไป เราจะได้ว่า:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

ขณะที่อยู่ภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ในระดับท้องถิ่น เราพบว่า:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

เวกเตอร์ฐานพิกัดมีคุณสมบัติพิเศษคือวงเล็บลี แบบคู่ของพวกมัน เป็นศูนย์ ยกเว้นในบริเวณที่ราบเรียบเฉพาะที่ วงเล็บลีอย่างน้อยบางส่วนของสนามเวกเตอร์จากกรอบอ้างอิงจะไม่เป็นศูนย์ ภาระที่จำเป็นในการคำนวณด้วยเวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นที่ยอมรับได้ เนื่องจากส่วนประกอบของวัตถุเทนเซอร์ที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิง (แต่ไม่ใช่ที่สัมพันธ์กับฐานพิกัด) มีการตีความโดยตรงในแง่ของการวัดที่ทำโดยกลุ่มผู้สังเกตการณ์ในอุดมคติที่สอดคล้องกับกรอบอ้างอิงนั้น

เวกเตอร์ฐานพิกัดอาจเป็นศูนย์ซึ่งตามนิยามแล้วไม่สามารถเกิดขึ้นได้กับเวกเตอร์เฟรม

กรอบอ้างอิง บางกรอบนั้นดีกว่ากรอบอ้างอิงอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน สภาวะ สุญญากาศหรือสุญญากาศไฟฟ้าประสบการณ์ทางกายภาพของผู้สังเกตการณ์เฉื่อย (ผู้ที่ไม่รู้สึกถึงแรงใดๆ) อาจมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ การกำหนดลักษณะทางคณิตศาสตร์ของกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นง่ายมาก กล่าวคือเส้นโค้งปริพันธ์ ของ สนามเวกเตอร์หน่วยเวลาต้องกำหนดความสอดคล้อง ของเส้นทาง จีโอเดสิก หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ความเร่งของมันต้องเป็นศูนย์

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}__{0}}\,{\vec {e}__{0}=0}$

นอกจากนี้ ยังมักเป็นที่พึงปรารถนาที่จะต้องแน่ใจว่าไตรภาคเชิงพื้นที่ที่ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนถืออยู่นั้นไม่หมุนในกรณีนี้ ไตรภาคดังกล่าวสามารถมองได้ว่ามีเสถียรภาพด้วย ไจโรสโคป เกณฑ์สำหรับ กรอบ อ้างอิงเฉื่อยที่ไม่หมุน (NSI)นั้นง่ายมากอีกประการหนึ่ง:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}__{0}}\,{\vec {e}__{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

นี่หมายความว่า เมื่อเราเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางชีวิตของผู้สังเกตการณ์แต่ละคน สามเหลี่ยมเชิงพื้นที่ของพวกเขาก็จะถูกเคลื่อนย้ายแบบขนานกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ไม่หมุนมีสถานะพิเศษในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เพราะมันใกล้เคียงที่สุดเท่าที่เราจะทำได้ในแมนิโฟลด์ลอเรนซ์โค้งกับกรอบอ้างอิงลอเรนซ์ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (ซึ่งเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ไม่หมุนพิเศษในสุญญากาศมิงโกวสกี )

โดยทั่วไปแล้ว หากความเร่งของผู้สังเกตการณ์ของเราไม่เป็นศูนย์เราสามารถแทนที่อนุพันธ์ร่วมแปรได้${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}__{0}}\,{\vec {e}__{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}__{0}}\,{\vec {e}__{j},\;j=1\dots 3}$

โดยใช้ ค่าอนุพันธ์เฟอร์มิ-วอล์กเกอร์ (ที่ฉายภาพในเชิงพื้นที่) เพื่อ กำหนดกรอบอ้างอิงที่ไม่หมุน

เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์ เราสามารถหาฟิลด์เฟรมได้มากมายนับไม่ถ้วน แม้ว่าเราจะต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติม เช่น การเคลื่อนที่แบบเฉื่อยก็ตาม อย่างไรก็ตาม ฟิลด์เฟรมที่กำหนดอาจถูกกำหนดไว้บนแมนิโฟลด์เพียงบางส่วนเท่านั้น

จะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งหากเราพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างโดยละเอียด ลองพิจารณาสุญญากาศ Schwarzschild ที่มีชื่อเสียง ซึ่งจำลองปริภูมิเวลาภายนอกวัตถุมวลมากที่แยกตัวอยู่โดดเดี่ยว ไม่หมุน และมีสมมาตรทรงกลม เช่น ดาวฤกษ์ ในตำราส่วนใหญ่ เราจะพบเมตริกเทนเซอร์ที่เขียนในรูปของแผนภูมิทรงกลมเชิงขั้วแบบคงที่ ดังนี้:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น เทนเซอร์เมตริกสามารถขยายได้โดยสัมพันธ์กับโคบาซิสพิกัดดังนี้

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

สามารถอ่านโคเฟรมจากนิพจน์นี้ได้:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

เพื่อตรวจสอบว่าโคเฟรมนี้สอดคล้องกับเทนเซอร์เมตริก Schwarzschild จริงๆ หรือไม่ เพียงแค่เสียบโคเฟรมนี้เข้าไปใน

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

เฟรมคู่คือโคเฟรมผกผันดังต่อไปนี้: (เฟรมคู่ยังถูกสลับตำแหน่งเพื่อให้ดัชนีท้องถิ่นอยู่ในตำแหน่งเดิม)

${\displaystyle {\vec {e}__{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}__{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}__{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\บางส่วน _{\phi }}$

(เครื่องหมายบวกบนแกน 3 แสดงว่าเป็นการชี้ไปยังอนาคต ) นี่คือกรอบอ้างอิงที่จำลองประสบการณ์ของผู้สังเกตการณ์แบบคงที่ซึ่งใช้เครื่องยนต์จรวดเพื่อ"ลอยตัว" เหนือวัตถุขนาดใหญ่แรงขับที่พวกเขาต้องการเพื่อรักษาระตำแหน่งนั้นกำหนดโดยขนาดของเวกเตอร์ความเร่ง ${\displaystyle \sigma ^{0}}$${\displaystyle {\vec {e}__{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}__{0}}{\vec {e}__{0}={\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}__{1}}$

กรอบอ้างอิง นี้ชี้ออกไปด้านนอกในแนวรัศมี เนื่องจากผู้สังเกตการณ์จำเป็นต้องเร่งความเร็วออกห่างจากวัตถุเพื่อหลีกเลี่ยงการตกลงไปหาวัตถุนั้น ในทางกลับกัน อนุพันธ์เฟอร์มิที่ฉายลงบนระนาบของเวกเตอร์ฐานเชิงพื้นที่ (เทียบกับ) มีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นกรอบอ้างอิงนี้จึงไม่หมุน ${\displaystyle {\vec {e}__{0}}$

ขณะนี้สามารถคำนวณส่วนประกอบของปริมาณเทนเซอร์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิงของเราและกรอบอ้างอิงคู่ขนานได้แล้ว

ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงสำหรับผู้สังเกตการณ์แบบคงที่ของเราถูกกำหนดโดยใช้สัญกรณ์เทนเซอร์ (สำหรับฐานพิกัด) ดังนี้

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

โดยที่เราเขียนเพื่อหลีกเลี่ยงการทำให้สัญลักษณ์ดูรก ส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวเมื่อเทียบกับโคเฟรมของเรากลับกลายเป็น... ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

ส่วนประกอบฐานพิกัดที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(หมายเหตุสั้นๆ เกี่ยวกับสัญลักษณ์: ผู้เขียนหลายท่านมักใช้เครื่องหมายแคเร็ต (^) เหนือ ดัชนี เชิงนามธรรมที่อ้างถึงเฟรม เมื่อเขียนส่วนประกอบเฉพาะจะสะดวกกว่าหากใช้ 0, 1, 2, 3 แทนส่วนประกอบของเฟรม และใช้ 3 แทนส่วนประกอบของพิกัดเนื่องจากนิพจน์เช่น 3 นั้นไม่มีความหมายในรูปสมการเทนเซอร์จึงไม่น่าจะเกิดความสับสน) ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

เปรียบเทียบกับเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลง ของแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน ซึ่งเป็นส่วนที่ไม่มีร่องรอยของ เมทริกซ์เฮ สเซียนของศักย์โน้มถ่วงโดยใช้สัญกรณ์เทนเซอร์สำหรับสนามเทนเซอร์ ที่กำหนดบน ปริภูมิยูคลิดสามมิติสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

ผู้อ่านอาจต้องการคำนวณค่านี้ซ้ำ (โปรดสังเกตว่าพจน์ร่องรอยจะหายไปอย่างสมบูรณ์เมื่อ U เป็นฮาร์มอนิก) และเปรียบเทียบผลลัพธ์กับวิธีการพื้นฐานต่อไปนี้: เราสามารถเปรียบเทียบแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อผู้สังเกตการณ์สองคนที่อยู่ใกล้กันซึ่งอยู่บนเส้นรัศมีเดียวกันได้:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

เนื่องจากในการอธิบายเทนเซอร์ เรากำลังพูดถึงพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวเราจึงเก็บเฉพาะพจน์อันดับแรกเท่านั้น ดังนั้นในทำนองเดียวกัน เราสามารถเปรียบเทียบแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อผู้สังเกตการณ์สองคนที่อยู่ใกล้กันซึ่งอยู่บนทรงกลมเดียวกันได้โดยใช้ตรีโกณมิติเบื้องต้นและการประมาณมุมเล็ก เราพบว่าเวกเตอร์ของแรงแตกต่างกันด้วยเวกเตอร์สัมผัสกับทรงกลมซึ่งมีขนาด ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

โดยใช้การประมาณมุมเล็ก เราได้ละเลยพจน์ลำดับทั้งหมดดังนั้นส่วนประกอบสัมผัสจึงเป็นในที่นี้ เรากำลังอ้างอิงถึงกรอบอ้างอิงที่ชัดเจนซึ่งได้มาจากแผนภูมิทรงกลมเชิงขั้วสำหรับปริภูมิยุคลิดสามมิติของเรา: ${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

เห็นได้ชัดว่า ส่วนประกอบพิกัดที่คำนวณไว้ข้างต้นนั้นไม่ได้ปรับขนาดอย่างถูกต้อง ดังนั้นจึงไม่สามารถสอดคล้องกับสิ่งที่ผู้สังเกตจะวัดได้ แม้แต่โดยประมาณ (โดยบังเอิญ ส่วนประกอบเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงแบบนิวตันนั้นตรงกับส่วนประกอบเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงแบบสัมพัทธภาพที่เราเขียนไว้ข้างต้นอย่างแม่นยำ) ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

ในการหาเฟรมเฉื่อย เราสามารถเร่งความเร็วเฟรมคงที่ของเราไปในทิศทางหนึ่งด้วยพารามิเตอร์การเร่งความเร็วที่ไม่ทราบค่า (ขึ้นอยู่กับพิกัดรัศมี) คำนวณเวกเตอร์ความเร่งของเฟรมใหม่ที่ไม่ทราบค่า ตั้งค่านี้ให้เท่ากับศูนย์ และแก้หาพารามิเตอร์การเร่งความเร็วที่ไม่ทราบค่า ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเฟรมที่เราสามารถใช้ศึกษาประสบการณ์ทางกายภาพของผู้สังเกตการณ์ที่ตกลงมาอย่างอิสระและในแนวรัศมีเข้าหาวัตถุมวลมาก โดยการเลือกค่าคงที่การอินทิเกรตอย่างเหมาะสม เราจะได้เฟรมของผู้สังเกตการณ์แบบเลอแมตร์ซึ่งตกลงมาจากหยุดนิ่งที่ระยะอนันต์ในอวกาศ (วลีนี้อาจฟังดูไม่สมเหตุสมผล แต่ผู้อ่านคงเข้าใจความหมายของเราได้โดยไม่ยาก) ในแผนภูมิทรงกลมขั้วโลกคงที่ เฟรมนี้ได้มาจากพิกัดเลอแมตร์และสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

โปรดสังเกตว่า และ"เอนเข้าด้านใน" ซึ่งก็ควรจะเป็นเช่นนั้น เนื่องจากเส้นโค้งอินทิกรัลของมันคือเส้นโค้งจีโอเดสิกแบบไทม์ไลค์ที่แสดงถึงเส้นทางโลกของ ผู้สังเกตการณ์ ที่กำลังตกลงมาอันที่จริง เนื่องจากอนุพันธ์ร่วมแปรของเวกเตอร์ฐานทั้งสี่ (ที่คำนวณเทียบกับ) มีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ กรอบอ้างอิงใหม่ของเราจึงเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ไม่หมุน ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

หากวัตถุมวลมากของเราเป็น หลุมดำ (ที่ไม่หมุน) จริงๆเราอาจต้องการติดตามประสบการณ์ของผู้สังเกตการณ์เลอแมตร์ขณะที่พวกเขาตกลงไปผ่านขอบฟ้าเหตุการณ์ที่เนื่องจากพิกัดทรงกลมขั้วโลกแบบคงที่นั้นมีจุดเอกฐานของพิกัดที่ขอบฟ้า เราจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนไปใช้แผนภูมิพิกัดที่เหมาะสมกว่า ทางเลือกที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดพิกัดเวลาใหม่โดย ${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

นี่คือแผนภูมิ Painlevé องค์ประกอบเส้นใหม่คือ

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

เมื่อพิจารณาจากแผนภูมิ Painlevé กรอบ Lemaître คือ

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

โปรดสังเกตว่าสามเหลี่ยมเชิงพื้นที่ของพวกมันมีลักษณะเหมือนกับกรอบของปริภูมิยูคลิดสามมิติที่เราได้กล่าวถึงข้างต้น (เมื่อเราคำนวณเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงแบบนิวตัน) แท้จริงแล้วส่วนตัดเชิงพื้นที่ นั้น กลับกลายเป็นสมมาตรเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิดสามมิติแบบแบนราบ! (นี่เป็นคุณสมบัติที่น่าทึ่งและค่อนข้างพิเศษของสุญญากาศชวาร์ซชิลด์ ปริภูมิเวลาส่วนใหญ่ไม่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนตัดเชิงพื้นที่แบบแบนราบได้) ${\displaystyle T=T_{0}}$

เทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงที่คำนวณโดยอ้างอิงจากผู้สังเกตการณ์ของเลอแมตร์คือ

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

โดยที่เราเขียนแบบนี้เพื่อหลีกเลี่ยงการทำให้สัญลักษณ์ดูรก นี่คือเทนเซอร์ที่แตกต่างจากที่เราได้มาข้างต้น เพราะมันถูกกำหนดโดยใช้ตระกูลผู้สังเกตการณ์ที่แตกต่างกันอย่างไรก็ตาม ส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของมันดูคุ้นเคย: (นี่เป็นคุณสมบัติพิเศษอีกอย่างหนึ่งของสุญญากาศ Schwarzschild) ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

โปรดสังเกตว่าไม่มีวิธีใดที่จะกำหนดผู้สังเกตการณ์แบบคงที่บนหรือภายในขอบฟ้าเหตุการณ์ได้เลย ในทางกลับกัน ผู้สังเกตการณ์ของเลอแมตร์ก็ไม่ได้ถูกกำหนดไว้บนพื้นที่ภายนอก ทั้งหมด ที่ครอบคลุมโดยแผนภูมิทรงกลมเชิงขั้วแบบคงที่เช่นกัน ดังนั้นในตัวอย่างเหล่านี้ ทั้งกรอบเลอแมตร์และกรอบแบบคงที่จึงไม่ได้ถูกกำหนดไว้บนแมนิโฟลด์ทั้งหมด

ในทำนองเดียวกันกับที่เราค้นพบผู้สังเกตการณ์ของเลอแมตร์ เราสามารถเร่งกรอบอ้างอิงคงที่ของเราไปในทิศทางด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่ระบุ (ขึ้นอยู่กับพิกัดรัศมี) คำนวณเวกเตอร์ความเร่ง และกำหนดให้เวกเตอร์นี้มีค่าเป็นศูนย์ในระนาบเส้นศูนย์สูตร กรอบอ้างอิงฮากิฮาระใหม่นี้อธิบายประสบการณ์ทางกายภาพของผู้สังเกตการณ์ในวงโคจรวงกลมที่เสถียร รอบวัตถุมวลมากของเรา เห็นได้ชัดว่านักดาราศาสตร์ ยูสุเกะ ฮากิฮาระ เป็นผู้กล่าวถึงกรอบ อ้างอิง นี้เป็นครั้งแรก${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$

ในแผนภูมิทรงกลมเชิงขั้วแบบคงที่ กรอบฮากิฮาระคือ

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

ซึ่งในระนาบเส้นศูนย์สูตรจะกลายเป็น

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

เทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงซึ่งปรากฏว่ากำหนดโดย (ในระนาบเส้นศูนย์สูตร) ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

ดังนั้น เมื่อเปรียบเทียบกับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่กับที่ ณ รัศมีพิกัดที่กำหนด ผู้สังเกตการณ์แบบฮากิฮาระที่โคจรเป็นวงกลม อย่างมั่นคง ณ รัศมีพิกัดเดียวกัน จะวัดแรงดึงดูดตามแนวรัศมี ซึ่งมีขนาด ใหญ่ขึ้น เล็กน้อย และ แรงดึงดูดตามแนว ขวางซึ่งไม่เป็นแบบไอโซโทรปิกอีกต่อไป (แต่จะมีขนาดใหญ่ขึ้นเล็กน้อยในทิศทางตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่)

โปรดทราบว่ากรอบฮากิฮาระถูกกำหนดไว้เฉพาะในบริเวณเท่านั้นเนื่องจากวงโคจรวงกลมที่เสถียรมีอยู่เฉพาะในบริเวณนี้เท่านั้นดังนั้นจึงไม่ควรใช้กรอบนี้ภายในบริเวณนี้ ${\displaystyle r>3m}$${\displaystyle r>6m}$

การคำนวณอนุพันธ์เฟอร์มิแสดงให้เห็นว่าสนามเฟรมที่เพิ่งกำหนดไปนั้นหมุนรอบเฟรมที่เสถียรด้วยไจโรสโคป เหตุผลหลักนั้นสังเกตได้ง่าย: ในเฟรมนี้ ผู้สังเกตการณ์ฮากิฮาระแต่ละคนจะรักษาเวกเตอร์เชิงพื้นที่ของตนให้อยู่ในแนวรัศมีดังนั้นจึงหมุนรอบขณะที่ผู้สังเกตการณ์โคจรไปรอบวัตถุมวลมากตรงกลาง อย่างไรก็ตาม หลังจากแก้ไขการสังเกตการณ์นี้แล้ว การหมุนควงเล็กน้อยของแกนหมุนของไจโรสโคปที่ผู้สังเกตการณ์ฮากิฮาระถืออยู่ยังคงหลงเหลืออยู่ นี่คือ ปรากฏการณ์ การหมุนควงของเดอ ซิทเทอร์ (เรียกอีกอย่างว่า ปรากฏการณ์ การหมุนควงทางธรณีวิทยา ) ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

บทความนี้มุ่งเน้นไปที่การประยุกต์ใช้เฟรมกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งการตีความทางกายภาพของเฟรม ในที่นี้เราจะสรุปแนวคิดทั่วไปอย่างคร่าวๆ ในแมนิโฟลด์แบบรีมันน์หรือ แมนิ โฟลด์แบบซูโดรีมันน์nมิติ ฟิลด์ เฟรมคือเซตของฟิลด์เวกเตอร์ ตั้งฉากกัน ซึ่งเป็นฐานสำหรับปริภูมิสัมผัสที่แต่ละจุดในแมนิโฟลด์ สิ่งนี้เป็นไปได้ทั่วโลกในลักษณะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อแมนิโฟลด์สามารถทำให้ขนานได้ดังที่กล่าวมาแล้ว เฟรมสามารถระบุได้ในแง่ของฐานพิกัดที่กำหนด และในบริเวณที่ไม่ราบเรียบ วงเล็บ Lie แบบคู่บางส่วนของเฟรมจะไม่เป็นศูนย์

อันที่จริงแล้ว เมื่อกำหนดปริภูมิผลคูณภายใน ใดๆ เราสามารถกำหนดปริภูมิใหม่ที่ประกอบด้วยคู่ของฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับ ได้การนำโครงสร้างนี้ไปใช้กับปริภูมิสัมผัสแต่ละปริภูมิจะให้บันเดิลเฟรม เชิงตั้งฉากปกติ ของแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์ และฟิลด์เฟรมคือส่วนตัดของบันเดิลนี้ โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถพิจารณาบันเดิลเฟรมที่เกี่ยวข้องกับบันเดิลเวกเตอร์ ใดๆ หรือแม้แต่บันเดิ ลไฟเบอร์หลักใดๆ ก็ได้ สัญกรณ์จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยเนื่องจากยากที่จะหลีกเลี่ยงการแยกแยะระหว่างดัชนีที่อ้างถึงฐานและดัชนีที่อ้างถึงไฟเบอร์ ผู้เขียนหลายคนพูดถึงส่วนประกอบภายในเมื่ออ้างถึงส่วนประกอบที่มีดัชนีโดยไฟเบอร์ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

• คำตอบที่แน่นอนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• จอร์จส์ เลอแมตร์
• คาร์ล ชวาร์ซชิลด์
• เฟรมเคลื่อนที่
• พอล ปาเนเลเว
• รูปแบบเทตระด
• ยูสุเกะ ฮากิฮาระ