ในทางคณิตศาสตร์เทนเซอร์คือวัตถุทางพีชคณิตที่อธิบาย ความสัมพันธ์ เชิงเส้นหลายตัวแปรระหว่างเซตของวัตถุทางพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์เทนเซอร์อาจแมปส์ระหว่างวัตถุต่างๆ เช่นเวกเตอร์สเกลาร์และแม้แต่เทนเซอร์อื่นๆ มีเทนเซอร์หลายประเภท รวมถึงสเกลาร์และเวกเตอร์ (ซึ่งเป็นเทนเซอร์ที่ง่ายที่สุด) เวก เตอร์คู่การแมปเชิงเส้นหลายตัวแปรระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ และแม้แต่การดำเนินการบางอย่าง เช่นผลคูณดอท เทนเซอร์ถูกนิยามโดยไม่ขึ้นอยู่กับฐาน ใดๆ แม้ว่ามักจะอ้างถึงส่วนประกอบของมันในฐานที่เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดเฉพาะ ส่วนประกอบเหล่านั้นก่อตัวเป็นอาร์เรย์ ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นเมทริกซ์มิติ สูง

เทนเซอร์มีความสำคัญในวิชาฟิสิกส์เพราะเป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่กระชับสำหรับการกำหนดและแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ในสาขาต่างๆ เช่นกลศาสตร์ ( ความเค้นความยืดหยุ่นกลศาสตร์ควอนตัมกลศาสตร์ของไหล โมเมนต์ความเฉื่อยฯลฯ ) ไฟฟ้าพลศาสตร์ ( เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า เท นเซอร์แม็กซ์เวลล์สภาพยอมทางไฟฟ้าความไวต่อสนามแม่เหล็กฯลฯ) และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ( เทนเซอร์พลังงาน-ความเค้นเทนเซอร์ความโค้งฯลฯ) ในการใช้งาน มักพบสถานการณ์ที่เทนเซอร์ที่แตกต่างกันสามารถเกิดขึ้นได้ในแต่ละจุดของวัตถุ ตัวอย่างเช่น ความเค้นภายในวัตถุอาจแตกต่างกันไปในแต่ละตำแหน่ง กลุ่มของเทนเซอร์ที่เปลี่ยนแปลงไปตามพื้นที่ในลักษณะนี้เรียกว่าสนามเทนเซอร์ในบางสาขา สนามเทนเซอร์พบได้ทั่วไปจนมักเรียกง่ายๆ ว่า "เทนเซอร์"

Tullio Levi-CivitaและGregorio Ricci-Curbastroได้เผยแพร่เทนเซอร์ในปี พ.ศ. 2443 โดยสานต่องานก่อนหน้าของBernhard Riemann , Elwin Bruno Christoffelและคนอื่นๆ ในฐานะส่วนหนึ่งของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์แนวคิดนี้ทำให้สามารถกำหนดสูตรทางเลือกของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ภายใน ของแมนิโฟลด์ในรูปแบบของเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์ได้^{[ 1 ]}

แม้จะดูแตกต่างกัน แต่แนวทางต่างๆ ในการนิยามเทนเซอร์นั้น อธิบายแนวคิดทางเรขาคณิตเดียวกัน โดยใช้ภาษาที่แตกต่างกันและในระดับนามธรรมที่แตกต่างกัน

เทนเซอร์อาจถูกแทนด้วยอาร์เรย์ (ซึ่งอาจมีหลายมิติ) เช่นเดียวกับเวกเตอร์ใน ปริภูมิ nมิติที่ถูกแทนด้วยอาร์เรย์หนึ่งมิติที่ มี nส่วนประกอบโดยสัมพันธ์กับฐาน ที่กำหนด เทนเซอร์ใดๆ ที่สัมพันธ์กับฐานจะถูกแทนด้วยอาร์เรย์หลายมิติ ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการเชิงเส้นจะถูกแทนในฐานด้วยอาร์เรย์สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติขนาดn × nตัวเลขในอาร์เรย์หลายมิตินี้เรียกว่าส่วนประกอบหรือองค์ประกอบของเทนเซอร์ โดยจะถูกแทนด้วยดัชนีที่แสดงตำแหน่งในอาร์เรย์ เป็นตัวห้อยและตัวยกตามหลังชื่อสัญลักษณ์ของเทนเซอร์ ตัวอย่างเช่น ส่วนประกอบของเทนเซอร์ อันดับ 2 Tอาจแทนด้วยT _ij โดยที่iและjเป็นดัชนีที่ไล่จาก1ถึงnหรืออาจแทนด้วยT^ฉัน_เจการแสดงดัชนีเป็นตัวยกหรือตัวห้อยนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการแปลงของเทนเซอร์ ซึ่งจะอธิบายต่อไป ดังนั้นในขณะที่T _ijและT^ฉัน_เจทั้งสองสามารถแสดงได้ในรูป เมทริกซ์ขนาด n x nและมีความสัมพันธ์กันในเชิงตัวเลขผ่านการสลับดัชนีความแตกต่างในกฎการแปลงของพวกมันบ่งชี้ว่าการนำทั้งสองมาบวกกันนั้นไม่เหมาะสม

จำนวนดัชนีทั้งหมด ( m ) ที่จำเป็นในการระบุส่วนประกอบแต่ละส่วนได้อย่างเฉพาะเจาะจงนั้นเท่ากับมิติหรือจำนวนวิธีของอาร์เรย์ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมเทนเซอร์จึงบางครั้งเรียกว่า อาร์เรย์มิติ mหรือ อาร์เรย์วิธี mจำนวนดัชนีทั้งหมดเรียกอีกอย่างว่าลำดับระดับหรืออันดับของเทนเซอร์^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} แม้ว่าคำว่า " อันดับ " โดยทั่วไปจะมีความหมายอื่นในบริบทของเมทริกซ์และเทนเซอร์ ก็ตาม

เช่นเดียวกับที่ส่วนประกอบของเวกเตอร์เปลี่ยนแปลงไปเมื่อเราเปลี่ยนฐานของปริภูมิเวกเตอร์ ส่วนประกอบของเทนเซอร์ก็เปลี่ยนแปลงไปภายใต้การแปลงดังกล่าวเช่นกัน เทนเซอร์แต่ละประเภทมีกฎการแปลงที่อธิบายรายละเอียดว่าส่วนประกอบของเทนเซอร์ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงฐาน อย่างไร ส่วนประกอบของเวกเตอร์สามารถตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงฐาน ได้สองวิธีที่แตกต่างกัน (ดูความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์ ) โดยที่เวกเตอร์ฐาน ใหม่ จะแสดงในรูปของเวกเตอร์ฐานเดิมดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {\หมวก {e}} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}$

ในที่นี้R ^j _iคือค่าของเมทริกซ์การเปลี่ยนฐาน และในนิพจน์ขวาสุด เครื่องหมาย ผลรวมถูกละเว้น: นี่คือแบบแผนผลรวมของไอน์สไตน์ซึ่ง จะใช้ตลอดบทความนี้^{[หมายเหตุ 1 ]} ส่วนประกอบv ⁱของเวกเตอร์คอลัมน์vแปลงกับเมทริกซ์ผกผันR

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

โดยที่เครื่องหมายหมวกหมายถึงส่วนประกอบในฐานใหม่ นี่เรียกว่า กฎการแปลง แบบคอนทราเว เรียนต์ เนื่องจากส่วนประกอบของเวกเตอร์จะแปลงโดยผกผันของการเปลี่ยนฐาน ในทางตรงกันข้าม ส่วนประกอบw _iของโคเวกเตอร์ (หรือเวกเตอร์แถว) wจะแปลงด้วยเมทริกซ์Rเอง

${\displaystyle {\hat {w}__{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

นี่เรียกว่า กฎการแปลง แบบโคแวเรียนต์ (covariant transformation law) เพราะส่วนประกอบของโคเวกเตอร์จะถูกแปลงโดยเมทริกซ์เดียวกันกับเมทริกซ์การเปลี่ยนฐาน (change of basis matrix) ส่วนประกอบของเทนเซอร์ทั่วไปจะถูกแปลงโดยการผสมผสานระหว่างการแปลงแบบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ (contravariant transformations) โดยมีกฎการแปลงหนึ่งกฎสำหรับแต่ละดัชนี หากเมทริกซ์การแปลงของดัชนีเป็นเมทริกซ์ผกผันของการแปลงฐาน ดัชนีนั้นจะเรียกว่าคอนทราแวเรียนต์ (contravariant) และโดยทั่วไปจะใช้ตัวยก (superscript) แทน หากเมทริกซ์การแปลงของดัชนีคือการแปลงฐานเอง ดัชนีนั้นจะเรียกว่าโคแวเรียน ต์ (covariant ) และใช้ตัวห้อย (subscript) แทน

ตัวอย่างง่ายๆ เช่น เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นเทียบกับฐาน คือ อาร์เรย์สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แปลงรูปภายใต้การเปลี่ยนเมทริกซ์ฐาน โดยสำหรับแต่ละรายการในเมทริกซ์ กฎการแปลงนี้มีรูปแบบดังนั้นเทนเซอร์ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจะมีดัชนีโคแวเรียนต์หนึ่งตัวและดัชนีคอนทราแวเรียนต์หนึ่งตัว: มันเป็นประเภท (1,1) ${\displaystyle T}$${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$

การรวมกันของส่วนประกอบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ที่มีดัชนีเดียวกัน ช่วยให้เราสามารถแสดงค่าคงที่ทางเรขาคณิตได้ ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์เป็นวัตถุเดียวกันในระบบพิกัดที่แตกต่างกัน สามารถแสดงได้ด้วยสมการต่อไปนี้ โดยใช้สูตรที่กำหนดไว้ข้างต้น:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$,

โดยที่Kronecker deltaทำหน้าที่คล้ายกับเมทริกซ์เอกลักษณ์และมีผลในการเปลี่ยนชื่อดัชนี (จากjเป็นkในตัวอย่างนี้) สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติหลายประการของสัญกรณ์ส่วนประกอบ ได้แก่ ความสามารถในการจัดเรียงเทอมใหม่ได้ตามต้องการ ( สมบัติการสลับที่ ) ความจำเป็นในการใช้ดัชนีที่แตกต่างกันเมื่อทำงานกับวัตถุหลายชิ้นในนิพจน์เดียวกัน ความสามารถในการเปลี่ยนชื่อดัชนี และลักษณะที่เทนเซอร์แบบ contravariant และ covariant รวมกันเพื่อให้ทุกอินสแตนซ์ของเมทริกซ์การแปลงและเมทริกซ์ผกผันหักล้างกัน ทำให้สามารถมองเห็นนิพจน์เช่นนี้ได้ทันทีว่าเหมือนกันทางเรขาคณิตในระบบพิกัดทั้งหมด ${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$

ในทำนองเดียวกัน ตัวดำเนินการเชิงเส้น เมื่อมองในฐานะวัตถุทางเรขาคณิต จะไม่ขึ้นอยู่กับฐานจริง ๆ มันเป็นเพียงแผนที่เชิงเส้นที่รับเวกเตอร์เป็นอาร์กิวเมนต์และสร้างเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง กฎการแปลงสำหรับวิธีที่เมทริกซ์ของส่วนประกอบของตัวดำเนินการเชิงเส้นเปลี่ยนแปลงไปตามฐานนั้นสอดคล้องกับกฎการแปลงสำหรับเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์ ดังนั้นการกระทำของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์จึงแสดงในพิกัดเป็นผลคูณเมทริกซ์ของการแสดงพิกัดที่เกี่ยวข้อง นั่นคือ ส่วนประกอบจะกำหนดโดย ส่วนประกอบเหล่านี้แปลงแบบคอนทราเวเรียนต์ เนื่องจาก ${\displaystyle (Tv)^{i}}$${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

กฎการแปลงสำหรับเทนเซอร์อันดับp + qที่มี ดัชนีคอนทราแวเรียนต์ p ตัวและ ดัชนีโคแวเรียนต์ qตัว จึงกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

ในที่นี้ ดัชนีที่มีเครื่องหมายไพรม์กำกับแสดงถึงส่วนประกอบในพิกัดใหม่ และดัชนีที่ไม่มีเครื่องหมายไพรม์กำกับแสดงถึงส่วนประกอบในพิกัดเดิม เทนเซอร์ดังกล่าวเรียกว่ามีลำดับหรือประเภท( p , q )คำว่า "ลำดับ" "ประเภท" "อันดับ" "ค่าคงที่" และ "ดีกรี" บางครั้งถูกใช้เพื่ออธิบายแนวคิดเดียวกัน ในที่นี้ คำว่า "ลำดับ" หรือ "ลำดับรวม" จะใช้สำหรับมิติรวมของอาร์เรย์ (หรือการขยายความในคำจำกัดความอื่นๆ) คือp + qในตัวอย่างก่อนหน้านี้ และคำว่า "ประเภท" สำหรับคู่ที่ระบุจำนวนดัชนีคอนทราแวเรียนต์และโคแวเรียนต์ เทนเซอร์ประเภท( p , q )เรียกสั้นๆ ว่า ( p , q ) -เทนเซอร์

การอภิปรายนี้เป็นแรงจูงใจให้เกิดคำจำกัดความอย่างเป็นทางการดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

นิยาม เทนเซอร์ชนิด ( p , q ) คือการกำหนดค่าให้กับอาร์เรย์หลายมิติ

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

สำหรับแต่ละฐานf = ( e ₁ , ..., e _n )ของ ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ โดยที่หากเราใช้การเปลี่ยนฐาน

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

ดังนั้นอาร์เรย์หลายมิติจึงเป็นไปตามกฎการแปลง

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

นิยามของเทนเซอร์ในฐานะอาร์เรย์หลายมิติที่สอดคล้องกับกฎการแปลงนั้นสืบย้อนไปถึงงานของริชชี^{[ 1 ]}

นิยามที่เทียบเท่ากันของเทนเซอร์ใช้การแสดงแทนของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปมีการกระทำของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปบนเซตของฐานเรียงลำดับ ทั้งหมด ของปริภูมิเวกเตอร์n มิติ ถ้า เป็นฐานเรียงลำดับ และเป็นเมทริกซ์ผกผันได้ การกระทำจะกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

ให้Fเป็นเซตของฐานเรียงลำดับทั้งหมด แล้วFเป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับ GL( n ) ให้Wเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และให้เป็นการแทน GL( n ) บนW (นั่นคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ) แล้วเทนเซอร์ชนิดเป็นแผนที่สมมาตรความสมมาตรในที่นี้หมายความว่า ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T:F\to W}$

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

เมื่อเป็นการแสดงเทนเซอร์ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป จะให้คำจำกัดความของเทนเซอร์ตามปกติเป็นอาร์เรย์หลายมิติ คำจำกัดความนี้มักใช้เพื่ออธิบายเทนเซอร์บนแมนิโฟลด์^{[ 7 ]}และสามารถขยายไปยังกลุ่มอื่นได้อย่างง่ายดาย^{[ 5 ]}${\displaystyle \rho }$

ข้อเสียของการกำหนดเทนเซอร์โดยใช้แนวทางอาร์เรย์หลายมิติคือ ไม่ปรากฏชัดจากคำจำกัดความว่าวัตถุที่กำหนดนั้นเป็นอิสระจากฐานอย่างแท้จริง ดังที่คาดหวังจากวัตถุทางเรขาคณิตโดยเนื้อแท้ แม้ว่าจะสามารถแสดงได้ว่ากฎการแปลงรับประกันความเป็นอิสระจากฐาน แต่บางครั้งก็ต้องการคำจำกัดความที่เป็นธรรมชาติมากกว่า แนวทางหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือการกำหนดเทนเซอร์โดยสัมพันธ์กับปริภูมิเวกเตอร์คงที่ (มิติจำกัด) Vซึ่งมักจะถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เฉพาะที่มีความสำคัญทางเรขาคณิตบางอย่าง เช่นปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์^{[ 8 ]} ในแนวทางนี้ เทนเซอร์ ประเภท( p , q ) Tถูกกำหนดให้เป็นแผนที่ หลายเชิงเส้น

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

โดยที่V ^∗คือปริภูมิคู่ ที่สอดคล้องกัน ของโคเวกเตอร์ ซึ่งเป็นเชิงเส้นในแต่ละอาร์กิวเมนต์ ข้างต้นถือว่าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริง ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$โดยทั่วไปแล้วVสามารถกำหนดได้เหนือฟิลด์F ใดๆ (เช่นจำนวนเชิงซ้อน ) โดยที่Fแทนที่⁠ ⁠ เป็นโคโดเมน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ของแผนที่เชิงเส้นหลายตัว

โดยการใช้แผนที่เชิงเส้นหลายตัวT ชนิด ( p , q )กับฐาน { e _j } สำหรับVและโคฐานมาตรฐาน { ε ⁱ } สำหรับV ^∗

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

สามารถสร้างอาร์เรย์ของส่วนประกอบที่มีมิติ ( p + q ) ได้ การ เลือกฐานที่แตกต่างกันจะให้ส่วนประกอบที่แตกต่างกัน แต่เนื่องจากTเป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์ทั้งหมด ส่วนประกอบจึงสอดคล้องกับกฎการแปลงเทนเซอร์ที่ใช้ในคำจำกัดความของอาร์เรย์หลายเชิงเส้น ดังนั้น อาร์เรย์หลายมิติของส่วนประกอบของTจึงก่อตัวเป็นเทนเซอร์ตามคำจำกัดความนั้น ยิ่งไปกว่านั้น อาร์เรย์ดังกล่าวสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นส่วนประกอบของแผนที่หลายเชิงเส้นT บาง อย่าง สิ่งนี้กระตุ้นให้มองแผนที่หลายเชิงเส้นเป็นวัตถุที่แท้จริงที่อยู่เบื้องหลังเทนเซอร์

ในการมองเทนเซอร์ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นหลายตัว เป็นเรื่องปกติที่จะระบุคู่ขนานV ^∗∗ของปริมาณเวกเตอร์Vซึ่งก็คือปริมาณของฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริมาณเวกเตอร์คู่ขนานV ^∗กับปริมาณเวกเตอร์Vเสมอ จะมีแผนที่เชิงเส้นตามธรรมชาติจากVไปยังคู่ขนานของมัน ซึ่งได้มาจากการประเมินรูปแบบเชิงเส้นในV ^∗เทียบกับเวกเตอร์ในVแผนที่เชิงเส้นนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมในมิติจำกัด และมักจะสะดวกที่จะระบุVกับคู่ขนานของมัน

สำหรับการใช้งานทางคณิตศาสตร์บางอย่าง แนวทางที่เป็นนามธรรมมากขึ้นอาจมีประโยชน์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการกำหนดเทนเซอร์ในแง่ขององค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งในทางกลับกันถูกกำหนดผ่านคุณสมบัติสากลดังที่อธิบายไว้ที่นี่และที่นี่

เทนเซอร์ประเภท( p , q )ถูกกำหนดในบริบทนี้ว่าเป็นองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

ฐานv _iของVและฐานw _jของWจะสร้างฐานv _i ⊗ w _jของผลคูณเทนเซอร์V ⊗ W ขึ้นมาโดยธรรมชาติ ส่วนประกอบของเทนเซอร์Tคือสัมประสิทธิ์ของเทนเซอร์เทียบกับฐานที่ได้จากฐาน{ e _i }สำหรับVและฐานคู่{ ε ^j } ของมัน กล่าวคือ

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

โดยใช้คุณสมบัติของผลคูณเทนเซอร์ สามารถแสดงได้ว่าส่วนประกอบเหล่านี้สอดคล้องกับกฎการแปลงสำหรับเทนเซอร์ประเภท( p , q )ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ทำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเทนเซอร์ที่กำหนดในลักษณะนี้กับเทนเซอร์ที่กำหนดเป็นแผนที่เชิงเส้นหลายตัว

การจับคู่แบบ 1 ต่อ 1 นี้สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ เนื่องจากในกรณีมิติจำกัด จะมีไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกอยู่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ของมัน:

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

บรรทัดสุดท้ายใช้คุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ ซึ่งมีการจับคู่แบบ 1 ต่อ 1 ระหว่างแผนที่จากและ^{[ 11 ]}${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$

ผลคูณเทนเซอร์สามารถนิยามได้อย่างกว้างขวาง – ตัวอย่างเช่นเกี่ยวข้องกับโมดูลใดๆบนริง ในหลักการแล้ว เราสามารถนิยาม "เทนเซอร์" ได้ง่ายๆ ว่าเป็นองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ใดๆ อย่างไรก็ตาม ในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์มักสงวนคำว่าเทนเซอร์ ไว้สำหรับองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของเวกเตอร์สเปซ Vเดียวจำนวนใดๆและเวกเตอร์สเปซคู่ของมัน ดังที่กล่าวมาข้างต้น

การอภิปรายเกี่ยวกับเทนเซอร์ที่กล่าวมาข้างต้นถือว่าปริภูมิที่เกี่ยวข้องมีมิติจำกัด โดยที่ปริภูมิของเทนเซอร์ที่ได้จากการสร้างแต่ละแบบนั้นเป็น ไอโซมอร์ฟิก กันโดยธรรมชาติ^{[หมายเหตุ 2 ]} การสร้างปริภูมิของเทนเซอร์โดยอาศัยผลคูณเทนเซอร์และการแมปเชิงเส้นหลายตัวสามารถขยายไปสู่เวกเตอร์บันเดิลหรือชีฟที่สอดคล้องกันได้โดยพื้นฐานแล้วโดยไม่ต้องแก้ไข[ 12 ] สำหรับ^{ปริภูมิเวกเตอร์} มิติอนันต์ โทโพโลยีที่ไม่เท่ากันนำไปสู่แนวคิดของเทนเซอร์ที่ไม่เท่ากัน และไอโซมอร์ฟิซึมต่างๆ เหล่านี้อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้ขึ้นอยู่กับว่าเทนเซอร์หมายถึงอะไรกันแน่ (ดูผลคูณเทนเซอร์เชิงโทโพโลยี ) ในบางแอปพลิเคชัน สิ่งที่หมายถึงคือผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับกรณีมิติจำกัดมากที่สุด มุมมองที่ทันสมัยกว่าคือโครงสร้างของเทนเซอร์ในฐานะหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรเป็นตัวเข้ารหัสคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของเทนเซอร์ มากกว่าแบบจำลองเฉพาะของหมวดหมู่เหล่านั้น^{[ 13 ]}

ในการใช้งานหลายอย่าง โดยเฉพาะในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์ เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาเทนเซอร์ที่มีส่วนประกอบที่เป็นฟังก์ชันของจุดในปริภูมิ นี่คือบริบทของงานดั้งเดิมของริชชี ในศัพท์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ วัตถุดังกล่าวเรียกว่าฟิลด์เทนเซอร์ซึ่งมักเรียกง่ายๆ ว่าเทนเซอร์^{[ 1 ]}

ในบริบทนี้มักมีการเลือกฐานพิกัด สำหรับปริภูมิ เวกเตอร์สัมผัสจากนั้นกฎการแปลงอาจแสดงออกมาในรูปของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันพิกัด

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

การกำหนดการแปลงพิกัด^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

แนวคิดของการวิเคราะห์เทนเซอร์ในภายหลังเกิดขึ้นจากผลงานของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการกำหนดสูตรได้รับอิทธิพลอย่างมากจากทฤษฎีรูปแบบพีชคณิตและตัวแปรคงที่ที่พัฒนาขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้า^{[ 14 ]} คำว่า "เทนเซอร์" เองได้รับการแนะนำในปี 1846 โดยวิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน^{[ 15 ]}เพื่ออธิบายสิ่งที่แตกต่างจากความหมายของเทนเซอร์ในปัจจุบัน^{[หมายเหตุ 3 ]}กิบบส์ได้แนะนำพีชคณิตไดอะดิกและพหุอะดิกซึ่งก็คือเทนเซอร์ในความหมายสมัยใหม่เช่นกัน^{[ 16 ]}การใช้งานร่วมสมัยได้รับการแนะนำโดยโวลเดมาร์ โวอิกต์ในปี 1898 ^{[ 17 ]}

แคลคูลัสเทนเซอร์ได้รับการพัฒนาขึ้นราวปี 1890 โดยGregorio Ricci-Curbastroภายใต้ชื่อแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์และนำเสนอครั้งแรกในปี 1892 ^{[ 18 ]} แคลคูลัสนี้เข้าถึงได้ง่ายสำหรับนักคณิตศาสตร์หลายคนด้วยการตีพิมพ์ตำราคลาสสิกในปี 1900 ของ Ricci-Curbastro และ Tullio Levi-Civita เรื่อง Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (วิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์และการประยุกต์ใช้) ^{[ 19 ]}ในสัญกรณ์ของ Ricci เขาอ้างถึง "ระบบ" ที่มีส่วนประกอบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อฟิลด์เทนเซอร์ในความหมายสมัยใหม่^{[ 16 ]}

ในศตวรรษที่ 20 หัวข้อนี้เป็นที่รู้จักในชื่อการวิเคราะห์เทนเซอร์ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้นโดยเริ่มจาก การประยุกต์ ใช้ของเฮอร์มันน์ มินคอฟสกี กับ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในปี 1908 และการพัฒนาแนวคิดเรื่องกาลอวกาศของเขา[ 20 ^]อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วยความยากลำบากจากนักเรขาคณิตมาร์เซล กรอสส์มันน์^{[ 21 ]} จากนั้นเลวี-ซิวิทาจึงเริ่มติดต่อกับไอน์สไตน์เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดที่ไอน์สไตน์ทำในการใช้การวิเคราะห์เทนเซอร์ การติดต่อนี้กินเวลาระหว่างปี 1915–1917 และมีลักษณะเป็นการเคารพซึ่งกันและกัน

ผมชื่นชมความงดงามของวิธีการคำนวณของคุณ มันคงเป็นเรื่องดีที่ได้ขี่ม้าแห่งคณิตศาสตร์ที่แท้จริงผ่านทุ่งเหล่านี้ ในขณะที่คนอย่างพวกเราต้องเดินเท้าอย่างยากลำบาก

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ถูกกำหนดขึ้นโดยใช้ภาษาของเทนเซอร์

เทนเซอร์และฟิลด์เทนเซอร์ยังพบว่ามีประโยชน์ในสาขาอื่นๆ เช่นกลศาสตร์ต่อเนื่องตัวอย่างของเทนเซอร์ที่รู้จักกันดีในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ได้แก่รูปแบบกำลังสองเช่นเทนเซอร์เมตริกและเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์พีชคณิตภายนอกของเฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ จากช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เป็นทฤษฎีเทนเซอร์เอง และมีความเป็นเรขาคณิตสูง แต่ต้องใช้เวลาระยะหนึ่งก่อนที่จะมองเห็นว่าทฤษฎีรูปแบบเชิงอนุพันธ์รวมเข้ากับแคลคูลัสเทนเซอร์ได้อย่างเป็นธรรมชาติ งานของเอลี คาร์ตันทำให้รูปแบบเชิงอนุพันธ์เป็นหนึ่งในเทนเซอร์พื้นฐานที่ใช้ในคณิตศาสตร์ และฮัสเลอร์ วิทนีย์ ทำให้ ผลคูณเทนเซอร์เป็นที่นิยม^{[ 16 ]}

ตั้งแต่ช่วงประมาณปี 1920 เป็นต้นมา ได้มีการตระหนักว่าเทนเซอร์มีบทบาทพื้นฐานในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต (เช่น ในทฤษฎีบทของ Künneth ) ^{[ 23 ]}ในทำนองเดียวกัน มีเทนเซอร์หลายประเภทที่ทำงานอยู่ในสาขาพีชคณิตนามธรรม หลายสาขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและทฤษฎีการแทนค่าพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวสามารถพัฒนาได้ในระดับทั่วไปมากกว่าสเกลาร์ที่มาจากฟิลด์ตัวอย่างเช่น สเกลาร์สามารถมาจากริงได้แต่ทฤษฎีนั้นจะมีความเป็นเรขาคณิตน้อยลง และการคำนวณจะมีความซับซ้อนทางเทคนิคมากกว่าและมีลักษณะเป็นอัลกอริทึมน้อยลง^{[ 24 ]} เทนเซอร์ได้รับการวางนัยทั่วไปภายในทฤษฎีหมวดหมู่โดยใช้แนวคิดของหมวดหมู่โมโนอิดัลตั้งแต่ช่วงปี 1960 ^{[ 25 ]}

ตัวอย่างพื้นฐานของการแมปที่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเทนเซอร์คือผลคูณดอทซึ่งแมปเวกเตอร์สองตัวไปยังสเกลาร์ ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าคือเทนเซอร์ความเค้นของโคชีTซึ่งรับเวกเตอร์หน่วยทิศทางvเป็นอินพุตและแมปไปยังเวกเตอร์ความเค้นT ^{( v )}ซึ่งเป็นแรง (ต่อหน่วยพื้นที่) ที่วัสดุกระทำบนด้านลบของระนาบตั้งฉากกับvต่อวัสดุบนด้านบวกของระนาบ ดังนั้นจึงแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองนี้ ดังแสดงในรูป (ด้านขวา) ผลคูณไขว้ซึ่งแมปเวกเตอร์สองตัวไปยังเวกเตอร์ที่สามนั้น โดยหลักแล้วไม่ใช่เทนเซอร์ เพราะมันเปลี่ยนเครื่องหมายภายใต้การแปลงที่เปลี่ยนทิศทางของระบบพิกัด อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ที่ไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์ ช่วยให้สามารถจัดการผลคูณไขว้ได้อย่างสะดวกในระบบพิกัดสามมิติที่มีทิศทางเท่ากัน ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

ตารางนี้แสดงตัวอย่างสำคัญของเทนเซอร์บนปริภูมิเวกเตอร์และฟิลด์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์ เทนเซอร์ถูกจัดประเภทตามชนิด( n , m )โดยที่nคือจำนวนดัชนีคอนทราแวเรียนต์mคือจำนวนดัชนีโคแวเรียนต์ และn + mคือลำดับทั้งหมดของเทนเซอร์ ตัวอย่างเช่นรูปแบบไบลิเนียร์ก็คือเทนเซอร์(0, 2) นั่นเอง ผลคูณภายในเป็นตัวอย่างของ เทนเซอร์ (0, 2)แต่ไม่ใช่ เทนเซอร์ (0, 2) ทุกตัว จะเป็นผลคูณภายใน ใน ช่อง (0, M )ของตารางMหมายถึงมิติของปริภูมิเวกเตอร์หรือแมนิโฟลด์พื้นฐาน เนื่องจากสำหรับแต่ละมิติของปริภูมิ จำเป็นต้องใช้ดัชนีแยกต่างหากเพื่อเลือกมิตินั้นเพื่อให้ได้เทนเซอร์แอนติสมมาตรโคแวเรียนต์สูงสุด

การเพิ่มดัชนีบน เทนเซอร์ ( n , m )จะสร้าง เทนเซอร์ ( n + 1, m − 1)ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ในแนวทแยงลงและไปทางซ้ายบนตาราง ในทำนองเดียวกัน การลดดัชนีจะสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ในแนวทแยงขึ้นและไปทางขวาบนตาราง การหดตัวของดัชนีบนกับดัชนีล่างของ เทนเซอร์ ( n , m )จะสร้าง เทนเซอร์ ( n − 1, m − 1)ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ในแนวทแยงขึ้นและไปทางซ้ายบนตาราง

ทิศทางถูกกำหนดโดยชุดเวกเตอร์ที่เรียงลำดับแล้ว

การวางแนวกลับด้านหมายถึงการปฏิเสธผลลัพธ์ภายนอก

การตีความทางเรขาคณิตขององค์ประกอบเกรดnในพีชคณิตภายนอก จริง สำหรับn = 0 (จุดที่มีเครื่องหมาย), 1 (ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง หรือเวกเตอร์), 2 (องค์ประกอบระนาบที่มีทิศทาง), 3 (ปริมาตรที่มีทิศทาง) ผลคูณภายนอกของ เวกเตอร์ nสามารถมองเห็นได้เป็นรูปทรงn มิติใดๆ (เช่น n - parallelotope , n - ellipsoid ) โดยมีขนาด ( ปริมาตรหลายมิติ ) และทิศทางที่กำหนดโดย ขอบเขต n − 1มิติและด้านที่เป็นส่วนภายใน^{[ 27 ] [ 28 ]}

โดยสมมติว่ามีฐานเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง เช่น กรอบพิกัดในปริภูมิแวดล้อม เทนเซอร์สามารถแสดงได้ในรูปของอาร์เรย์หลายมิติ ที่มีการจัดระเบียบ ของค่าตัวเลขโดยสัมพันธ์กับฐานเฉพาะนี้ การเปลี่ยนฐานจะแปลงค่าในอาร์เรย์ในลักษณะเฉพาะที่ทำให้สามารถกำหนดเทนเซอร์เป็นวัตถุที่ยึดมั่นในพฤติกรรมการแปลงนี้ได้ ตัวอย่างเช่น มีค่าคงที่ของเทนเซอร์ที่ต้องคงอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงฐานใดๆ ทำให้เฉพาะอาร์เรย์หลายมิติของตัวเลขบางชุดเท่านั้นที่เป็นเทนเซอร์เปรียบเทียบกับอาร์เรย์ที่แสดงถึงสิ่งที่ไม่ใช่เทนเซอร์ เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายภายใต้การแปลงที่เปลี่ยนทิศทาง ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

เนื่องจากส่วนประกอบของเวกเตอร์และเวกเตอร์คู่ของมันมีการเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกันภายใต้การเปลี่ยนแปลงของฐานคู่ จึงมีกฎการแปลงแบบโคแวเรียนต์และ/หรือคอนทราแวเรียนต์ที่เชื่อมโยงอาร์เรย์ ซึ่งแทนเทนเซอร์โดยสัมพันธ์กับฐานหนึ่งและโดยสัมพันธ์กับอีกฐานหนึ่ง จำนวนของเวกเตอร์: n ( ดัชนี คอนทราแว เรียนต์ ) และเวกเตอร์คู่: m ( ดัชนี โคแวเรียนต์ ) ในอินพุตและเอาต์พุตของเทนเซอร์จะเป็นตัวกำหนดประเภท (หรือวาเลนซ์ ) ของเทนเซอร์ ซึ่งเป็นคู่ของจำนวนธรรมชาติ( n , m )ที่กำหนดรูปแบบที่แน่นอนของกฎการแปลงอันดับของเทนเซอร์คือผลรวมของตัวเลขทั้งสองนี้

ลำดับ (รวมถึงระดับหรือ)อันดับ (rank ) ของเทนเซอร์จึงเป็นผลรวมของอันดับของอาร์กิวเมนต์บวกกับอันดับของเทนเซอร์ที่ได้ นี่คือมิติของอาร์เรย์ของตัวเลขที่จำเป็นในการแสดงเทนเซอร์โดยสัมพันธ์กับฐานเฉพาะ หรือเทียบเท่ากับจำนวนดัชนีที่จำเป็นในการกำหนดป้ายกำกับให้กับแต่ละองค์ประกอบในอาร์เรย์นั้น ตัวอย่างเช่น ในฐานคงที่ แผนที่เชิงเส้นมาตรฐานที่แมปเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์ จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ (อาร์เรย์ 2 มิติ) ดังนั้นจึงเป็นเทนเซอร์อันดับ 2 เวกเตอร์อย่างง่ายสามารถแทนด้วยอาร์เรย์ 1 มิติ ดังนั้นจึงเป็นเทนเซอร์อันดับ 1 สเกลาร์เป็นตัวเลขอย่างง่าย ดังนั้นจึงเป็นเทนเซอร์อันดับ 0 ด้วยวิธีนี้ เทนเซอร์ที่แสดงผลคูณสเกลาร์ ซึ่งรับเวกเตอร์สองตัวและได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ จะมีอันดับ2 + 0 = 2เช่นเดียวกับเทนเซอร์ความเครียด ซึ่งรับเวกเตอร์หนึ่งตัวและส่งคืนอีกตัวหนึ่ง1 + 1 =2 สัญลักษณ์-symbol ซึ่งแปลงเวกเตอร์สองตัวเป็นเวกเตอร์ตัวเดียว จะมีลำดับเป็น2 + 1 = 3${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

กลุ่มของเทนเซอร์บนปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ของมันก่อให้เกิดพีชคณิตเทนเซอร์ซึ่งช่วยให้สามารถคูณเทนเซอร์ใดๆ ได้ การประยุกต์ใช้เทนเซอร์อันดับ2 อย่างง่าย ซึ่งสามารถแทนด้วยเมทริกซ์จัตุรัส สามารถแก้ไขได้โดยการจัดเรียงเวกเตอร์สลับตำแหน่งอย่างชาญฉลาดและโดยการใช้กฎการคูณเมทริกซ์ แต่ผลคูณเทนเซอร์ไม่ควรสับสนกับสิ่งนี้

มีระบบสัญลักษณ์หลายระบบที่ใช้ในการอธิบายเทนเซอร์และทำการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเทนเซอร์เหล่านั้น

แคลคูลัสริชชีเป็นรูปแบบและสัญลักษณ์สมัยใหม่สำหรับดัชนีเทนเซอร์ ซึ่งบ่งชี้ถึงผล คูณ ภายในและภายนอกความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันผลรวมของส่วนประกอบเทนเซอร์สมมาตรและ ปฏิสมมาตร และอนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์ร่วมแปร

หลักการบวกแบบไอน์สไตน์ ไม่ต้องเขียน เครื่องหมายบวก ทำให้การบวกเป็นไป โดยปริยายสัญลักษณ์ดัชนีที่ซ้ำกันจะถูกบวกเข้าด้วยกัน: ถ้าดัชนีiถูกใช้สองครั้งในเทอมใดเทอมหนึ่งของนิพจน์เทนเซอร์ หมายความว่าเทอมนั้นจะต้องถูกบวกสำหรับทุกiสามารถบวกคู่ดัชนีที่แตกต่างกันหลายคู่ด้วยวิธีนี้ได้

สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรสเป็นสัญกรณ์แบบแผนภาพที่แทนที่สัญลักษณ์ของเทนเซอร์ด้วยรูปทรง และแทนที่ดัชนีด้วยเส้นและเส้นโค้ง สัญกรณ์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบพื้นฐาน และไม่จำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์สำหรับดัชนี

สัญกรณ์ดัชนีเชิงนามธรรมเป็นวิธีการเขียนเทนเซอร์โดยที่ดัชนีจะไม่ถูกมองว่าเป็นตัวเลขอีกต่อไป แต่เป็นค่าที่ไม่แน่นอนสัญกรณ์นี้รวบรวมความสามารถในการแสดงออกของดัชนีและความเป็นอิสระจากฐานของสัญกรณ์ที่ไม่ใช้ดัชนี

การวิเคราะห์เทนเซอร์โดยไม่ใช้ส่วนประกอบใดๆนั้น ใช้สัญลักษณ์ที่เน้นว่าเทนเซอร์ไม่ขึ้นอยู่กับฐานใดๆ และถูกนิยามโดยใช้ผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์

มีการดำเนินการหลายอย่างกับเทนเซอร์ที่ให้ผลลัพธ์เป็นเทนเซอร์อีกตัวหนึ่ง คุณสมบัติเชิงเส้นของเทนเซอร์บ่งชี้ว่าเทนเซอร์สองตัวที่มีประเภทเดียวกันสามารถบวกกันได้ และเทนเซอร์สามารถคูณด้วยสเกลาร์ได้ โดยให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกับการปรับขนาดของเวกเตอร์สำหรับส่วนประกอบ การดำเนินการเหล่านี้จะทำทีละส่วนประกอบ การดำเนินการเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงประเภทของเทนเซอร์ แต่ก็มีการดำเนินการบางอย่างที่ให้ผลลัพธ์เป็นเทนเซอร์ประเภทที่แตกต่างกันด้วย

ผลคูณเทนเซอร์รับเทนเซอร์สองตัวคือSและTแล้วสร้างเทนเซอร์ใหม่S ⊗ Tซึ่งมีอันดับเป็นผลรวมของอันดับของเทนเซอร์เดิม เมื่ออธิบายในรูปของแผนที่เชิงเส้นหลายตัว ผลคูณเทนเซอร์จะคูณเทนเซอร์ทั้งสองเข้าด้วยกัน ซึ่งจะสร้างแผนที่ที่เป็นเชิงเส้นในทุกตัวแปรอีกครั้ง สำหรับส่วนประกอบ ผลที่ได้คือการคูณส่วนประกอบของเทนเซอร์อินพุตทั้งสองแบบเป็นคู่ๆ เช่น ถ้าSเป็นชนิด( l , k )และTเป็นชนิด( n , m )แล้ว ผลคูณเทนเซอร์S ⊗ Tจะ มีชนิด( l + n , k + m )$${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$$${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$

การหดตัวของเทนเซอร์ (Tensor contraction ) คือการดำเนินการที่ลดเทนเซอร์ชนิด( n , m )ให้เป็นเทนเซอร์ชนิด( n − 1, m − 1)ซึ่งเทรซ (trace)เป็นกรณีพิเศษ การดำเนินการนี้จะลดลำดับโดยรวมของเทนเซอร์ลงสอง การดำเนินการนี้ทำได้โดยการรวมส่วนประกอบที่มีดัชนีคอนทราเวเรียนต์ที่กำหนดไว้ตัวหนึ่งเหมือนกับดัชนีโคเวเรียนต์ที่กำหนดไว้ตัวหนึ่ง เพื่อสร้างส่วนประกอบใหม่ ส่วนประกอบที่มีดัชนีทั้งสองแตกต่างกันจะถูกทิ้งไป ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์(1, 1)สามารถหดตัวเป็นสเกลาร์ได้โดยใช้ โดยที่การรวมนั้นเป็นไปโดยปริยาย เมื่อ เทนเซอร์ (1, 1)ถูกตีความว่าเป็นแผนที่เชิงเส้น การดำเนินการนี้เรียกว่าเทรซ (trace ) ${\displaystyle T_{i}^{j}}$${\displaystyle T_{i}^{i}}$

โดยทั่วไปแล้ว การหดตัวมักใช้ร่วมกับผลคูณเทนเซอร์เพื่อหดตัวดัชนีจากแต่ละเทนเซอร์

การหดตัวนี้สามารถเข้าใจได้โดยใช้คำจำกัดความของเทนเซอร์ว่าเป็นองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของสำเนาของปริภูมิVกับปริภูมิV ^*โดยการแยกเทนเซอร์ออกเป็นผลรวมเชิงเส้นของเทนเซอร์อย่างง่ายก่อน แล้วจึงนำตัวประกอบจากV ^* ไปใช้ กับตัวประกอบจากVตัวอย่างเช่น เทนเซอร์สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้น ${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

การหดตัวของTในช่องแรกและช่องสุดท้ายจึงเป็นเวกเตอร์

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

ในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณภายใน (หรือที่เรียกว่าเมตริก ) gคำว่าการหด ตัว (contraction ) ใช้สำหรับการลบดัชนีแบบคอนทราแวเรียนต์สองตัวหรือดัชนีแบบโคแวเรียนต์สองตัวโดยการสร้างร่องรอย (trace) กับเทนเซอร์เมตริกหรือส่วนกลับของมัน ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์(2, 0)สามารถหดตัวเป็นสเกลาร์ได้โดย(โดยยังคงใช้หลักการบวก) ${\displaystyle T^{ij}}$${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$

เมื่อปริภูมิเวกเตอร์มีรูปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพ (หรือเทนเซอร์เมตริกตามที่มักเรียกในบริบทนี้) สามารถกำหนดการดำเนินการที่แปลงดัชนีผกผัน (บน) เป็นดัชนีร่วมแปร (ล่าง) และในทางกลับกันได้ เทนเซอร์เมตริกเป็นเทนเซอร์ (สมมาตร) ( 0, 2)ดังนั้นจึงสามารถยุบดัชนีบนของเทนเซอร์กับดัชนีล่างตัวใดตัวหนึ่งของเทนเซอร์เมตริกในผลคูณได้ ซึ่งจะสร้างเทนเซอร์ใหม่ที่มีโครงสร้างดัชนีเหมือนกับเทนเซอร์ก่อนหน้า แต่ดัชนีล่างมักจะแสดงอยู่ในตำแหน่งเดียวกับดัชนีบนที่ยุบ การดำเนินการนี้เป็นที่รู้จักกันดีในเชิงภาพว่าเป็นการลด ดัชนี

ในทางกลับกัน สามารถกำหนดการดำเนินการผกผันได้ และเรียกว่าการยกดัชนีซึ่งเทียบเท่ากับการหดตัวที่คล้ายกันบนผลคูณกับ เทนเซอร์ (2, 0) เทนเซอร์เมตริกผกผันนี้มีส่วนประกอบที่เป็นเมทริกซ์ผกผันของส่วนประกอบของเทนเซอร์เมตริก

กลศาสตร์ต่อเนื่องเป็นตัวอย่างที่สำคัญความเครียดภายในวัตถุแข็งหรือของเหลว^{[ 29 ]}อธิบายได้ด้วยสนามเทนเซอร์เทนเซอร์ความเครียดและเทนเซอร์ความเค้น ต่างก็เป็นสนามเทนเซอร์อันดับสอง และมีความสัมพันธ์กันในวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้นทั่วไปโดยสนาม เทนเซอร์ความยืดหยุ่นอันดับสี่โดยละเอียด เทนเซอร์ที่วัดความเครียดในวัตถุแข็ง 3 มิติมีส่วนประกอบที่สามารถแสดงได้อย่างสะดวกเป็นอาร์เรย์ 3 × 3 หน้าทั้งสามของส่วนปริมาตรขนาดเล็กรูปทรงลูกบาศก์ของวัตถุแข็งแต่ละด้านอยู่ภายใต้แรงที่กำหนด แรงนั้นมีเวกเตอร์ส่วนประกอบสามตัวเช่นกัน ดังนั้นจึงต้องใช้ส่วนประกอบ 3 × 3 หรือ 9 ตัวเพื่ออธิบายความเครียดที่ส่วนขนาดเล็กรูปทรงลูกบาศก์นี้ ภายในขอบเขตของวัตถุแข็งนี้มีมวลทั้งหมดของปริมาณความเครียดที่แปรผัน ซึ่งแต่ละปริมาณต้องใช้ 9 ปริมาณในการอธิบาย ดังนั้นจึงต้องใช้เทนเซอร์อันดับสอง

หาก เลือกองค์ประกอบพื้นผิวเฉพาะ ภายในวัสดุ วัสดุด้านหนึ่งของพื้นผิวจะออกแรงกระทำต่ออีกด้านหนึ่ง โดยทั่วไป แรงนี้จะไม่ตั้งฉากกับพื้นผิว แต่จะขึ้นอยู่กับทิศทางของพื้นผิวในลักษณะเชิงเส้น ซึ่งอธิบายได้ด้วยเทนเซอร์ ชนิด(2, 0)ในทฤษฎีความยืดหยุ่นเชิงเส้นหรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือฟิลด์เทนเซอร์ชนิด(2, 0)เนื่องจากความเค้นอาจแตกต่างกันไปในแต่ละจุด

การใช้งานทั่วไปได้แก่:

• เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า (หรือเทนเซอร์ฟาราเดย์) ในแม่เหล็กไฟฟ้า
• เทนเซอร์การเปลี่ยนรูปจำกัดสำหรับอธิบายการเปลี่ยนรูป และเทนเซอร์ความเครียดสำหรับความเครียดในกลศาสตร์ต่อเนื่อง
• ค่าสภาพยอมทาง ไฟฟ้า และความไวต่อไฟฟ้าเป็นเทนเซอร์ในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
• เทนเซอร์สี่มิติในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (เช่นเทนเซอร์พลังงาน-ความเครียด ) ใช้ในการแสดงการไหลของโมเมนตัม
• ตัวดำเนินการเทนเซอร์ทรงกลมคือฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม ควอนตัม ในพิกัดทรงกลม
• เทนเซอร์การแพร่ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการถ่ายภาพเทนเซอร์การแพร่แสดงถึงอัตราการแพร่ในสภาพแวดล้อมทางชีวภาพ
• กลศาสตร์ควอนตัมและการคำนวณควอนตัมใช้ผลคูณเทนเซอร์ในการรวมสถานะควอนตัม

แนวคิดของเทนเซอร์อันดับสองมักถูกเข้าใจผิดว่าเหมือนกับเมทริกซ์ อย่างไรก็ตาม เทนเซอร์อันดับสูงกว่านั้นสามารถรวบรวมแนวคิดที่สำคัญในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมได้ ดังที่ได้แสดงให้เห็นอย่างต่อเนื่องในหลายสาขาที่พัฒนาขึ้น ตัวอย่างเช่น ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้าน การมองเห็น เทนเซอร์ไตรโฟกัสได้ขยายแนวคิดของ เมทริก ซ์ พื้นฐาน

สาขาวิชาทัศนศาสตร์ไม่เชิงเส้นศึกษาการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของการโพลาไรเซชัน ของวัสดุ ภายใต้สนามไฟฟ้าที่รุนแรง คลื่นโพลาไรเซชันที่เกิดขึ้นมีความสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้า ที่สร้างขึ้น ผ่านเทนเซอร์ความไวไม่เชิงเส้น หากโพลาไรเซชันPไม่เป็นสัดส่วนเชิงเส้นกับสนามไฟฟ้าEตัวกลางนั้นจะเรียกว่าไม่เชิงเส้นโดยประมาณที่ดี (สำหรับสนามที่อ่อนมากพอ โดยสมมติว่าไม่มีโมเมนต์ไดโพลถาวรอยู่) Pจะกำหนดโดยอนุกรมเทย์เลอร์ในEซึ่งสัมประสิทธิ์คือความไวไม่เชิงเส้น:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

นี่คือค่าความไวเชิงเส้นซึ่งให้ผลของ Pockelsและ การสร้างฮาร์มอนิกที่สองและให้ผลของ Kerrการขยายนี้แสดงให้เห็นถึงวิธีที่เทนเซอร์ลำดับสูงเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในเนื้อหา ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

คุณสมบัติของเทนเซอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแยกส่วนประกอบเทนเซอร์ทำให้สามารถนำไปใช้ในด้านการเรียนรู้ของเครื่องจักรเพื่อฝังข้อมูลที่มีมิติสูงขึ้นในโครงข่ายประสาทเทียมได้ แนวคิดของเทนเซอร์ในที่นี้แตกต่างอย่างมากจากแนวคิดในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ในแง่ที่ว่าเทนเซอร์นั้นเหมือนกับอาร์เรย์หลายมิติ ในเชิงนามธรรม เทนเซอร์เป็นส่วนหนึ่งของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิ ซึ่งแต่ละปริภูมิมีฐานคงที่ และมิติของปริภูมิปัจจัยอาจแตกต่างกันได้ ดังนั้น ตัวอย่างของเทนเซอร์ในบริบทนี้คือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่นเดียวกับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสองแกน คือแกนแนวนอนและแกนแนวตั้งเพื่อระบุตำแหน่งของแต่ละรายการ เทนเซอร์ทั่วไปจะมีจำนวนแกนเท่ากับจำนวนปัจจัยในผลคูณเทนเซอร์ที่มันเป็นส่วนหนึ่ง และรายการของเทนเซอร์เรียกว่าทูเปิลของจำนวนเต็ม โดยทั่วไปแล้ว แกนต่างๆ จะมีมิติที่แตกต่างกัน

ปริภูมิเวกเตอร์ของผลคูณเทนเซอร์ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน และบางครั้งองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ทั่วไปดังกล่าวเรียกว่า "เทนเซอร์" ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของปริภูมิผลคูณเทนเซอร์V ⊗ Wเป็น "เทนเซอร์" อันดับสองในความหมายทั่วไปนี้^{[ 30 ]}และเทนเซอร์อันดับdอาจถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ที่แตกต่างกันd เช่นกัน ^{[ 31 ]} เทนเซอร์ ประเภท( n , m )ในความหมายที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ยังเป็นเทนเซอร์อันดับn + mในความหมายทั่วไปนี้ด้วย แนวคิดของผลคูณเทนเซอร์สามารถขยายไปยังโมดูลใดๆบนริงได้

แนวคิดของเทนเซอร์สามารถขยายไปสู่ มิติอนันต์ได้หลายวิธีตัวอย่างเช่น วิธีหนึ่งคือผ่านผลคูณเทนเซอร์ของ ปริภูมิ ฮิลเบิร์ต [ ^{32 ] อีก} วิธีหนึ่งในการขยายแนวคิดของเทนเซอร์ ซึ่งเป็นเรื่องปกติในการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นคือผ่านคำจำกัดความของแผนที่หลายเชิงเส้นโดยแทนที่จะใช้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดและปริภูมิคู่พีชคณิต ของมัน จะใช้ ปริภูมิบานาคมิติอนันต์และปริภูมิคู่ต่อเนื่องของมัน[ 33 ^{]ดังนั้นเท} นเซอร์จึงดำรงอยู่ตามธรรมชาติบนแมนิโฟลด์บานาค^{[ 34 ]}และแมนิโฟลด์เฟรเชต์

สมมติว่าตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันเติมเต็มR ³โดยที่ความหนาแน่นของตัวกลางนั้นอธิบายได้ด้วยค่าสเกลาร์ เดียว ρในหน่วย kg⋅m ⁻³มวลในหน่วยกิโลกรัมของบริเวณΩจะได้จากการคูณρด้วยปริมาตรของบริเวณΩหรือเทียบเท่ากับการอินทิเกรตค่าคงที่ρเหนือบริเวณนั้น:

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

โดยที่พิกัดคาร์ทีเซียนx , y , zมีหน่วยเป็นเมตร (m ) หากเปลี่ยนหน่วยความยาวเป็นเซนติเมตร (cm ) ค่าตัวเลขของฟังก์ชันพิกัดจะต้องถูกปรับขนาดใหม่ด้วยตัวคูณ 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

ค่าตัวเลขของความหนาแน่นρจะต้องแปลงด้วย100 ⁻³ m ³ /cm ³เพื่อชดเชย ดังนั้นค่าตัวเลขของมวลในหน่วยกิโลกรัมจึงยังคงได้มาจากการหาปริพันธ์ของดังนั้น(ในหน่วยkg⋅cm ⁻³ ) ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$

โดยทั่วไปแล้ว หากพิกัดคาร์ทีเซียนx , y , zเกิดการแปลงเชิงเส้น ค่าตัวเลขของความหนาแน่นρจะต้องเปลี่ยนแปลงไปตามปัจจัยผกผันของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของการแปลงพิกัด เพื่อให้ปริพันธ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง โดยใช้สูตรการเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการอินทิเกรต ปริมาณดังกล่าวที่เปลี่ยนแปลงไปตามปัจจัยผกผันของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของแผนที่การเปลี่ยนพิกัด เรียกว่าความหนาแน่นสเกลาร์ในการจำลองความหนาแน่นที่ไม่คงที่ρจะเป็นฟังก์ชันของตัวแปรx , y , z ( ฟิลด์สเกลาร์ ) และภายใต้การเปลี่ยนพิกัดแบบโค้ง มันจะเปลี่ยนแปลงไปตามปัจจัยผกผันของ จาโคเบียนของการเปลี่ยนพิกัด สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายที่แท้จริง โปรดดูที่ ความหนาแน่นบนแมนิโฟลด์

ความหนาแน่นของเทนเซอร์จะแปลงเหมือนเทนเซอร์ภายใต้การเปลี่ยนพิกัด ยกเว้นว่ามันจะรับปัจจัยของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของการเปลี่ยนพิกัดเพิ่มเติมด้วย: ^{[ 35 ]}

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

ในที่นี้wเรียกว่าน้ำหนัก โดยทั่วไป เทนเซอร์ใดๆ ที่คูณด้วยกำลังของฟังก์ชันนี้หรือค่าสัมบูรณ์ของมันเรียกว่าความหนาแน่นเทนเซอร์ หรือเทนเซอร์ถ่วงน้ำหนัก^{[ 36 ] [ 37 ]}ตัวอย่างของความหนาแน่นเทนเซอร์คือความหนาแน่นกระแสของแม่เหล็กไฟฟ้า

ภายใต้การแปลงเชิงอัฟฟินของพิกัด เทนเซอร์จะแปลงโดยส่วนเชิงเส้นของการแปลงนั้นเอง (หรือส่วนกลับ) บนแต่ละดัชนี สิ่งเหล่านี้มาจากตัวแทนเชิงตรรกะของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป แต่นี่ไม่ใช่กฎการแปลงเชิงเส้นทั่วไปที่สุดที่วัตถุดังกล่าวอาจมีได้: ความหนาแน่นของเทนเซอร์ไม่ใช่เชิงตรรกะ แต่ยังคงเป็น ตัวแทน กึ่งง่ายการแปลงอีกประเภทหนึ่งมาจากตัวแทนเชิงลอการิทึมของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งเป็นตัวแทนที่ลดรูปได้แต่ไม่ใช่ตัวแทนกึ่งง่าย^{[ 38 ]}ประกอบด้วย( x , y ) ∈ R ²พร้อมกฎการแปลง

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

กฎการแปลงสำหรับเทนเซอร์มีพฤติกรรมเหมือนฟังก์ชันบนหมวดหมู่ของระบบพิกัดที่ยอมรับได้ ภายใต้การแปลงเชิงเส้นทั่วไป (หรือการแปลงอื่นๆ ภายในคลาสบางคลาส เช่นดิฟเฟอเรนเชียลแบบโลคอล ) ซึ่งทำให้เทนเซอร์เป็นกรณีพิเศษของวัตถุทางเรขาคณิต ในความหมายทางเทคนิคที่ว่ามันเป็นฟังก์ชันของระบบพิกัดที่แปลงแบบฟังก์ชันภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัด^{[ 39 ]} ตัวอย่างของวัตถุที่ปฏิบัติตามกฎการแปลงประเภททั่วไปมากขึ้น ได้แก่เจ็ตและโดยทั่วไปยิ่งกว่านั้น คือบันเดิ ลธรรมชาติ^{[ 40 ] [ 41 ]}

เมื่อเปลี่ยนจากฐานออร์โทนอร์มอล หนึ่ง (เรียกว่าเฟรม ) ไปยังอีกฐานหนึ่งโดยการหมุน ส่วนประกอบของเทนเซอร์จะแปลงไปตามการหมุนนั้น การแปลงนี้ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ใช้ผ่านพื้นที่ของเฟรม อย่างไรก็ตาม พื้นที่ของเฟรมไม่ได้เชื่อมต่อกันอย่างง่าย (ดูการพันกันของทิศทางและกลอุบายแผ่น ): มีเส้นทางต่อเนื่องในพื้นที่ของเฟรมที่มีการกำหนดค่าเริ่มต้นและสิ้นสุดเหมือนกันซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนรูปไปเป็นอีกแบบหนึ่งได้ เป็นไปได้ที่จะแนบค่าคงที่แบบไม่ต่อเนื่องเพิ่มเติมให้กับแต่ละเฟรมที่รวมการพึ่งพาเส้นทางนี้ และซึ่ง (ในระดับท้องถิ่น) มีค่าเป็น ±1 ^{[ 42 ]} สปินเนอร์เป็นวัตถุที่แปลงเหมือนเทนเซอร์ภายใต้การหมุนในเฟรม นอกเหนือจากเครื่องหมายที่เป็นไปได้ซึ่งกำหนดโดยค่าของค่าคงที่แบบไม่ต่อเนื่องนี้^{[ 43 ] [ 44 ]}

สปินเนอร์เป็นองค์ประกอบของการแสดงแทนสปินของกลุ่มการหมุน ในขณะที่เทนเซอร์เป็นองค์ประกอบของการแสดงแทนเทนเซอร์ ของกลุ่มนั้น กลุ่มคลาสสิกอื่นๆมีการแสดงแทนเทนเซอร์ และดังนั้นจึงมีเทนเซอร์ที่เข้ากันได้กับกลุ่มนั้นด้วย แต่กลุ่มคลาสสิกที่ไม่กระชับทั้งหมดมีการแสดงแทนเอกภาพมิติอนันต์ด้วยเช่นกัน

• คำจำกัดความของคำว่าtensorในพจนานุกรม Wiktionary
• ประเภทข้อมูลอาร์เรย์สำหรับการจัดเก็บและการจัดการเทนเซอร์
• บิเทนเซอร์

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเทนเซอร์