ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์แมนิโฟลด์ปัวซง (Poisson manifold ) คือแมนิโฟลด์เรียบที่มีโครงสร้างปัวซง แนวคิดของแมนิโฟลด์ปัวซงเป็นการขยายแนวคิดของ แมนิโฟลด์ซิม เพล็กติก (symplectic manifold ) ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นการขยายแนวคิดของ ปริภูมิเฟส (phase space)จากกลศาสตร์แฮมิลตัน (Hamiltonian mechanics )

โครงสร้างปัวซง ( หรือวงเล็บปัวซง ) บนแมนิโฟลด์เรียบ คือฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันเรียบบน แมนิโฟลด์เรียบ ทำให้แมนิโฟลด์เรียบนั้นกลายเป็นพีชคณิตลีที่อยู่ภายใต้กฎของไลบ์นิซ (หรือที่รู้จักกันในชื่อพีชคณิตปัวซง ) ${\displaystyle M}$$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle M}$

โครงสร้างปัวซงบนแมนิโฟลด์ได้รับการแนะนำโดยAndré Lichnerowiczในปี 1977 ^{[ 1 ]}และตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสSiméon Denis Poissonเนื่องจากปรากฏครั้งแรกในงานของเขาเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์^{[ 2 ]}

เรขาคณิตปัวซงสามารถถือได้ว่าเป็นการผสมผสานระหว่างทฤษฎีการแบ่งส่วน เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกและทฤษฎีลีแมนิโฟลด์ปัวซงสามารถแบ่งส่วนได้ แต่ละใบของการแบ่งส่วนจะมีโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติก ใบเหล่านี้เชื่อมต่อกันในแนวขวางผ่านเรขาคณิตลี^{[ 3 ]}

ในกลศาสตร์คลาสสิกปริภูมิเฟสของระบบทางกายภาพประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตำแหน่งและตัวแปรโมเมนตัมที่ระบบอนุญาต โดยธรรมชาติแล้วปริภูมิเฟสจะมีรูปแบบวงเล็บปัวซง/ซิมเพล็กติก (ดูด้านล่าง) ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดสมการแฮมิลตันและอธิบายพลวัตของระบบผ่านปริภูมิเฟสในเวลาได้

ตัวอย่างเช่น อนุภาคเดี่ยวที่เคลื่อนที่อย่างอิสระในปริภูมิยูคลิดมิติ n (กล่าวคือ มีปริภูมิการกำหนดค่าเป็น ) จะมีปริภูมิเฟสเป็นพิกัด อธิบายตำแหน่งและโมเมนตัมทั่วไปตามลำดับ ปริภูมิ ของปริมาณ ที่สังเกตได้กล่าวคือ ฟังก์ชันเรียบ บนมีคุณสมบัติการดำเนินการแบบไบนารีโดยธรรมชาติ เรียกว่าวงเล็บปัวซงซึ่งกำหนดเป็นวงเล็บดังกล่าวมีคุณสมบัติมาตรฐานของวงเล็บลีบวกกับความเข้ากันได้กับผลคูณของฟังก์ชัน กล่าวคือ เอกลักษณ์ไลบ์นิซ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง วงเล็บปัวซงบนสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้รูปแบบซิมเพล็กติก อันที่ จริง ถ้าพิจารณาฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแล้ววงเล็บปัวซงสามารถเขียนใหม่ได้เป็น${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \textstyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \textstyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}dq^{i}\wedge dp_{i}}$${\displaystyle \textstyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q^{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{p_{i}}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f}).}$

ในแง่ของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น พื้นที่การกำหนดค่าคือแมนิโฟลด์เรียบมิติและปริภูมิเฟสคือบันเดิลโคแทนเจนต์ (แมนิโฟลด์มิติ) ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วจะมีรูปแบบซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกซึ่งในพิกัดแคนอนิกจะตรงกับที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยทั่วไป ตามทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ แม นิโฟลด์ ซิมเพล็กติกใดๆ ก็ตามจะมีพิกัดพิเศษ โดยที่รูปแบบและวงเล็บจะเทียบเท่ากับรูปแบบซิมเพล็กติกและวงเล็บปัวซงของ ตามลำดับดังนั้นเรขาคณิตซิมเพล็กติกจึงเป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติในการอธิบายกลศาสตร์แฮมิลตันแบบคลาสสิก^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle T^{*}Q}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

แมนิโฟลด์ปัวซงเป็นการขยายความทั่วไปของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ซึ่งเกิดขึ้นจากการกำหนดสัจพจน์ของคุณสมบัติที่วงเล็บปัวซงบน เป็นไปตามนั้น กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น แมนิโฟลด์ปัวซงประกอบด้วยแมนิโฟลด์เรียบ(ไม่จำเป็นต้องมีมิติเป็นเลขคู่) พร้อมกับวงเล็บนามธรรมซึ่งยังคงเรียกว่าวงเล็บปัวซง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นจากรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกแต่มีคุณสมบัติทางพีชคณิตเดียวกัน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle \omega }$

เรขาคณิตปัวซงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก ตัวอย่างเช่น วงเล็บปัวซงทุกอันกำหนดการแบ่งส่วนย่อยที่มีใบซึ่งมีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกตามธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม การศึกษาเรขาคณิตปัวซงต้องใช้เทคนิคที่โดยทั่วไปไม่ได้ใช้ในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก เช่น ทฤษฎีของกลุ่มลีและพีชคณิตลี

ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างตามธรรมชาติของโครงสร้างที่ควรจะเป็นซิมเพล็กติก "ตามหลักศีลธรรม" แต่กลับไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่นผลหาร เรียบ ของแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกโดยกลุ่มที่กระทำโดยซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมคือแมนิโฟลด์ปัวซง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ซิมเพล็กติก สถานการณ์นี้จำลองกรณีของระบบทางกายภาพที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตร : ปริภูมิเฟส "ที่ลดลง" ซึ่งได้มาจากการหารปริภูมิเฟสเดิมด้วยสมมาตร โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ซิมเพล็กติกอีกต่อไป แต่เป็นปัวซง^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 3 ]}

แม้ว่าคำจำกัดความสมัยใหม่ของ Poisson manifold จะปรากฏขึ้นในช่วงปี 1970–1980 เท่านั้น^{[ 1 ]}แต่ต้นกำเนิดของมันย้อนกลับไปถึงศตวรรษที่สิบเก้า Alan Weinstein ได้สังเคราะห์ประวัติศาสตร์ช่วงต้นของเรขาคณิต Poisson ดังนี้:

"ปัวซงคิดค้นวงเล็บของเขาขึ้นมาเพื่อใช้เป็นเครื่องมือสำหรับพลศาสตร์แบบคลาสสิก จาโคบีตระหนักถึงความสำคัญของวงเล็บเหล่านี้และอธิบายคุณสมบัติทางพีชคณิตของวงเล็บเหล่านั้น และลีได้เริ่มศึกษาเรขาคณิตของวงเล็บเหล่านั้น" ^{[ 12 ]}

อันที่จริงSiméon Denis Poissonได้นำเสนอในปี 1809 ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่าวงเล็บ Poisson เพื่อให้ได้ปริมาณอินทิกรัลของการเคลื่อนที่ แบบใหม่ กล่าวคือ ปริมาณที่คงอยู่ตลอดการเคลื่อนที่^{[ 13 ]}ที่แม่นยำกว่านั้น เขาพิสูจน์ว่า ถ้าฟังก์ชันสองฟังก์ชันและเป็นอินทิกรัลของการเคลื่อนที่แล้ว จะมีฟังก์ชันที่สาม ซึ่งแทนด้วย ซึ่งเป็นอินทิกรัลของการเคลื่อนที่เช่นกัน ในการกำหนดกลศาสตร์แบบแฮมิลตันซึ่งพลวัตของระบบทางกายภาพถูกอธิบายโดยฟังก์ชันที่กำหนด(โดยปกติคือพลังงานของระบบ) อินทิกรัลของการเคลื่อนที่ก็คือฟังก์ชันที่สลับตำแหน่งแบบ Poisson กับ กล่าวคือ เช่นนั้นสิ่งที่จะกลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทของ Poissonสามารถกำหนดเป็นการคำนวณของ Poisson ใช้หลายหน้า และผลลัพธ์ของเขาถูกค้นพบใหม่และทำให้ง่ายขึ้นในอีกสองทศวรรษต่อมาโดยCarl Gustav Jacob Jacobi [ ^{14 ] [ 2 ] Jacobi}เป็นคนแรกที่ระบุคุณสมบัติทั่วไปของวงเล็บ Poisson เป็นการดำเนินการแบบไบนารี นอกจากนี้ เขายังสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวงเล็บ (ปัวซง) ของฟังก์ชันสองฟังก์ชันกับวงเล็บ (ลี)ของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียน ที่เกี่ยวข้อง กล่าว คือเพื่อที่จะปรับปรุงใหม่ (และให้การพิสูจน์ที่สั้นกว่ามาก) ทฤษฎีบทของปัวซงเกี่ยวกับปริพันธ์ของการเคลื่อนที่^{[ 15 ]}งานของจาโคบีเกี่ยวกับวงเล็บปัวซงมีอิทธิพลต่อการศึกษาบุกเบิกของโซฟัส ลีเกี่ยวกับสมมาตรของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งนำไปสู่การค้นพบกลุ่มลีและพีชคณิตลีตัวอย่างเช่น สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าโครงสร้างปัวซงเชิงเส้น (เช่น วงเล็บปัวซงบนปริภูมิเวกเตอร์ที่ส่งฟังก์ชันเชิงเส้นไปยังฟังก์ชันเชิงเส้น) สอดคล้องกับโครงสร้างพีชคณิตลีอย่างแม่นยำ ยิ่งไปกว่านั้น ความสามารถในการหาปริพันธ์ของโครงสร้างปัวซงเชิงเส้น (ดูด้านล่าง) มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความสามารถในการหาปริพันธ์ของพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มลี^{[ 16 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{f,g\}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \{f,h\}=0}$$${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$$$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$

ศตวรรษที่ 20 ได้เห็นการพัฒนาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่ แต่ในปี 1977 André Lichnerowiczได้นำเสนอโครงสร้างปัวซงเป็นวัตถุทางเรขาคณิตบนแมนิโฟลด์เรียบ^{[ 1 ]}แมนิโฟลด์ปัวซงได้รับการศึกษาเพิ่มเติมในบทความพื้นฐานในปี 1983 ของAlan Weinsteinซึ่งมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทโครงสร้างพื้นฐานหลายข้อเป็นครั้งแรก^{[ 17 ]}

ผลงานเหล่านี้มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาเรขาคณิตปัวซงในช่วงหลายทศวรรษต่อมา ซึ่งปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของตนเอง และในขณะเดียวกันก็มีความเกี่ยวพันอย่างลึกซึ้งกับสาขาอื่นๆ อีกมากมาย รวมถึงเรขาคณิตแบบไม่สลับที่ระบบอินทิกรัลทฤษฎีสนามเชิงทอพอโลยีและทฤษฎีการแทน^{[ 15 ] [ 11 ] [ 3 ]}

มีมุมมองหลักสองประการในการกำหนดโครงสร้างปัวซง: เป็นเรื่องปกติและสะดวกที่จะสลับไปมาระหว่างมุมมองทั้งสอง^{[ 1 ] [ 17 ]}

ให้เป็นแมนิโฟลด์เรียบ และให้แทนพีชคณิตจริงของฟังก์ชันค่าจริงเรียบ บนโดยการคูณถูกกำหนดแบบจุดต่อจุดวงเล็บปัวซง (หรือโครงสร้างปัวซง ) บนคือแผนที่ ทวิเชิงเส้น -${\displaystyle M}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

กำหนดโครงสร้างของพีชคณิตปัวซงบนกล่าวคือ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• สมมาตรแบบเฉียง : .${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• เอกลักษณ์ของจาโคบี : .${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• กฎของไลบ์นิซ : .${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

เงื่อนไขสองข้อแรกทำให้มั่นใจได้ว่ามีการกำหนดโครงสร้างพีชคณิตลีบนในขณะที่เงื่อนไขข้อที่สามรับประกันว่า สำหรับแต่ละแผนที่เชิงเส้นเป็นการอนุพันธ์ของพีชคณิต กล่าว คือ มันกำหนดฟิลด์เวกเตอร์ที่เรียกว่า ฟิลด์เวกเตอร์แฮมิล โท เนียนที่เชื่อมโยงกับ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle f}$

เมื่อเลือกพิกัดท้องถิ่นวงเล็บปัวซงใดๆ จะได้มาจากวงเล็บปัวซงของฟังก์ชันพิกัด ${\displaystyle (U,x^{i})}$$${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

ไบเวกเตอร์ปัวซงบนแมนิโฟลด์เรียบคือฟิลด์โพลีเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้นโดยที่ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma \left(\bigwedge ^{2}TM\right)}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

แสดงถึงวงเล็บ Schouten–Nijenhuisบนฟิลด์มัลติเวกเตอร์ การเลือกพิกัดท้องถิ่นไบเวกเตอร์ปัวซงใดๆ จะกำหนดโดยสำหรับฟังก์ชันเรียบแบบสมมาตรเฉียง บน${\displaystyle (U,x^{i})}$$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i<j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \pi ^{ij}}$${\displaystyle U}$

ให้เป็นวงเล็บสมมาตรเฉียงเชิงเส้นคู่ (เรียกว่า "วงเล็บเกือบลี") ที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ จากนั้นฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ดังนี้สำหรับฟิลด์ไบเวกเตอร์เรียบที่ไม่ซ้ำกันในทางกลับกัน สำหรับฟิลด์ไบเวกเตอร์เรียบใดๆบนสูตรเดียวกันนี้จะกำหนดวงเล็บเกือบลีที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซโดยอัตโนมัติ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle \{f,g\}}$$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

ฟิลด์ไบเวกเตอร์ หรือวงเล็บ Lie เกือบที่สอดคล้องกัน เรียกว่าโครงสร้าง Poisson เกือบโครงสร้าง Poisson เกือบเป็น Poisson ถ้าเงื่อนไขการบูรณาการที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของจาโคบี (ดังนั้นจึงเป็นวงเล็บปัวซง)
• ${\displaystyle \pi }$ตรงตามเงื่อนไข(ดังนั้นจึงเป็นไบเวกเตอร์ปัวซง)${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• แผนที่นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี กล่าวคือ ฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนเป็นไปตามเงื่อนไข;${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• กราฟกำหนดโครงสร้าง Dirac ^{กล่าว}คือ ซับบันเดิล Lagrangian ซึ่งปิดภายใต้วงเล็บ Courant มาตรฐาน [ ^{18 ]}${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi ):=\{\pi (\alpha ,\cdot )+\alpha \}\subset TM\oplus T^{*}M}$${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

นิยามของโครงสร้างปัวซงสำหรับ แมนิโฟลด์เรียบ จริงสามารถปรับใช้กับกรณีเชิงซ้อนได้เช่นกัน

แมนิโฟลด์ปัวซงโฮโลมอร์ ฟิก คือแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ซึ่งชีฟของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกคือชีฟของพีชคณิตปัวซง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟิลด์ไบเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกบนแมนิโฟลด์ เชิงซ้อน คือส่วนตัดที่ดังนั้นโครงสร้างปัวซงโฮโลมอร์ฟิกบน จึงเป็นฟิลด์ไบเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกที่สอดคล้องกับสมการ แมนิโฟลด์ปัวซงโฮโลมอร์ฟิกสามารถระบุลักษณะได้ในแง่ของโครงสร้างปัวซง-ไนเยนฮุยส์เช่นกัน^{[ 19 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{M}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

ผลลัพธ์มากมายสำหรับโครงสร้างปัวซงจริง เช่น เกี่ยวกับความสามารถในการบูรณาการ ขยายไปถึงโครงสร้างโฮโลมอร์ฟิกด้วย^{[ 20 ] [ 21 ]}

โครงสร้าง Poisson แบบโฮโลมอร์ฟิกปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในบริบทของโครงสร้างเชิงซ้อนทั่วไป : ในระดับท้องถิ่น แมนิโฟลด์เชิงซ้อนทั่วไปใดๆ เป็นผลคูณของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกและแมนิโฟลด์ Poisson แบบโฮโลมอร์ฟิก^{[ 22 ]}

แมนิโฟลด์ปัวซงจะถูกแบ่งส่วนตามธรรมชาติเป็นแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกที่ ฝังตัวอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งอาจมีมิติที่แตกต่างกัน เรียกว่าใบซิมเพล็กติกใบเหล่านี้เกิดขึ้นเป็นซับแมนิโฟลด์อินทิกรัลสูงสุดของการกระจายเอกฐานที่สามารถอินทิเกรตได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งครอบคลุมโดยฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียน^{[ 17 ]}

โปรดจำไว้ว่าฟิลด์ไบเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเฉียง ดังนั้น ภาพจึงประกอบด้วยค่าของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนทั้งหมดที่ประเมินค่า ณ ทุกจุด ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle {X_{f}}(x)}$${\displaystyle x\in M}$

อันดับของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งคืออันดับของฟังก์ชันเชิงเส้นที่เหนี่ยวนำจุดหนึ่งเรียกว่า จุด ปกติสำหรับโครงสร้างปัวซงบนก็ต่อเมื่ออันดับของฟังก์ชันนั้นคงที่ในบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของ จุดนั้น มิฉะนั้นจะเรียกว่าจุดเอกฐาน จุดปกติก่อตัวเป็นเซตย่อยแบบเปิดและหนาแน่นเมื่อฟังก์ชันมีอันดับคงที่ โครงสร้างปัวซงจะเรียกว่า โครงสร้าง ปกติตัวอย่างของโครงสร้างปัวซงปกติ ได้แก่ โครงสร้างที่ไม่สำคัญและโครงสร้างที่ไม่เสื่อมสภาพ (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$${\displaystyle \pi }$

สำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงปกติ ภาพที่ได้จะเป็นการกระจายแบบปกติและตรวจสอบได้ง่ายว่ามันเป็นการกระจายแบบผกผัน ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุสจึงสามารถแบ่งส่วนออกเป็นใบได้ ยิ่งไปกว่านั้น ไบเวกเตอร์ปัวซงยังจำกัดตัวได้อย่างดีบนแต่ละใบ ซึ่งทำให้ใบเหล่านั้นกลายเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle M}$

สำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงที่ไม่ปกติ สถานการณ์จะซับซ้อนกว่า เนื่องจากฟังก์ชันการกระจายมีความเอกฐาน กล่าวคือ ปริภูมิย่อยของเวกเตอร์มีมิติที่แตกต่างกัน ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$

ส่วนย่อยอินทิกรัลสำหรับคือส่วนย่อยที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุก ส่วนย่อย อินทิกรัลของ เป็นส่วนย่อยที่ฝังตัวอย่างสม่ำเสมอโดยอัตโนมัติ และส่วนย่อยอินทิกรัลสูงสุดของเรียกว่า ใบของ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$${\displaystyle S\subseteq M}$${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

ยิ่งไปกว่านั้น ใบแต่ละใบมีรูปแบบซิมเพล็กติกตามธรรมชาติซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขสำหรับทุกและในทำนองเดียวกัน เราจึงเรียกใบซิมเพล็กติกของ ว่านอกจากนี้ ทั้งปริภูมิของจุดปกติและส่วนเติมเต็มของปริภูมินั้นเต็มไปด้วยใบซิมเพล็กติก ดังนั้นใบซิมเพล็กติกอาจเป็นแบบปกติหรือแบบเอกพจน์ก็ได้ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$

เพื่อแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของใบซิมเพล็กติกในกรณีที่ไม่ปกติด้วย สามารถใช้ทฤษฎีบทการแยกของไวน์สไตน์ (หรือทฤษฎีบทดาร์บูซ์-ไวน์สไตน์) ^{[ 17 ]}ซึ่งระบุว่าแมนิโฟลด์ปัวซงใดๆจะแยกออกในระดับท้องถิ่นรอบจุดหนึ่งเป็นผลคูณของแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกและซับแมนิโฟลด์ปัวซงตามขวางที่หายไปที่ จุดนั้น กล่าวคือ ถ้าจะมีพิกัดท้องถิ่นที่ทำให้ไบเวกเตอร์ปัวซงแยกออกเป็นผลรวม โดยที่สังเกตว่าเมื่ออันดับของมีค่าสูงสุด (เช่น โครงสร้างปัวซงไม่เสื่อมสภาพ ดังนั้น ) จะได้ ทฤษฎีบทดาร์บูซ์ แบบคลาสสิก สำหรับโครงสร้างซิมเพล็กติก กลับคืนมา${\displaystyle (M^{n},\pi )}$${\displaystyle x_{0}\in M}$${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n=2k}$

ทุกแมนิโฟลด์มีโครงสร้างปัวซงแบบไม่สำคัญซึ่งอธิบายได้เทียบเท่ากับโดยไบเวกเตอร์ ดังนั้น ทุกจุดของจึงเป็นใบซิมเพล็กติกมิติศูนย์ ${\displaystyle M}$$${\displaystyle \{f,g\}=0\quad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),}$$${\displaystyle \pi =0}$${\displaystyle M}$

ฟิลด์ไบเวกเตอร์เรียกว่าไม่เสื่อมสภาพ (nondegenerate)ถ้าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิล ฟิลด์ไบเวกเตอร์ปัวซงที่ไม่เสื่อมสภาพนั้นแท้จริงแล้วก็คือแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก (symplectic manifold ) นั่นเอง${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$${\displaystyle (M,\omega )}$

อันที่จริง มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟิลด์ไบเวกเตอร์ที่ไม่เสื่อมสภาพและ2-ฟอร์มที่ไม่เสื่อมสภาพซึ่งกำหนดโดย โดยที่ถูกเข้ารหัสโดยไอโซมอร์ฟิซึมทางดนตรียิ่งไปกว่านั้นจะเป็นปัวซงก็ต่อเมื่อปิด ในกรณีเช่นนั้น วงเล็บ จะกลายเป็นวงเล็บปัวซง แบบแคนอนิก จากกลศาสตร์แฮมิลตัน: โครงสร้างปัวซงที่ไม่เสื่อมสภาพบน แมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกันจะมีใบซิมเพล็กติกเพียงใบเดียว นั่นคือตัวมันเอง ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,v\mapsto \omega (v,\cdot )}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{g},X_{f}).}$$${\displaystyle M}$

พิจารณาปริภูมิที่มีพิกัดแล้วฟิลด์ไบเวกเตอร์จะเป็นโครงสร้างปัวซงซึ่ง "แทบจะไม่เสื่อมสภาพในทุกที่" แท้จริงแล้ว ซับแมนิโฟลด์แบบเปิดเป็นใบซิมเพล็กติกมิติพร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติกในขณะที่ซับแมนิโฟลด์มิติประกอบด้วยใบมิติ อื่นๆ ซึ่งเป็นการตัดกันของ กับเซตระดับของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle (x,y,p_{i},q^{i})}$$${\displaystyle \pi :=y{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \{y\neq 0\}\subseteq M}$${\displaystyle 2n}$$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{y}}dx\wedge dy+\sum _{i=1}^{n-1}dq^{i}\wedge dp_{i},}$$${\displaystyle (2n-1)}$${\displaystyle Z:=\{y=0\}\subseteq M}$${\displaystyle (2n-2)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle x}$

นี่เป็นกรณีเฉพาะของคลาสพิเศษของแมนิโฟลด์ปัวซงที่เรียกว่าล็อกซิมเพล็กติกหรือบีซิมเพล็กติก ซึ่งมี "เอกฐานเชิงลอการิทึม" กระจุกตัวอยู่ตามซับแมนิโฟลด์ที่มีมิติร่วม 1 (เรียกอีกอย่างว่าตำแหน่งเอกฐานของ ) แต่ไม่เสื่อม สภาพนอก^{[ 23 ]}${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle Z\subseteq M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle Z}$

โครงสร้างปัวซงบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าเชิงเส้นเมื่อวงเล็บของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชันยังคงเป็นเชิงเส้น ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle V}$

กลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นนั้น แท้จริงแล้วตรงกับกลุ่มของพีชคณิตลี (หรือพีชคณิตลีคู่ขนาน) อันที่จริงแล้วพีชคณิตลีคู่ขนานที่มีมิติจำกัดใดๆจะมีวงเล็บปัวซงเชิงเส้น ซึ่งในเอกสารทางวิชาการรู้จักกันในชื่อโครงสร้าง Lie-Poisson, Kirillov-Poisson หรือ KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ): โดยที่และอนุพันธ์ถูกตีความว่าเป็นองค์ประกอบของคู่ขนานหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์คู่ปัวซงสามารถแสดงได้ในระดับท้องถิ่นเป็น โดยที่เป็นพิกัดบนและเป็นค่าคงที่โครงสร้าง ที่เกี่ยวข้อง ของในทางกลับกัน โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นใดๆบนจะต้องอยู่ในรูปแบบนี้ กล่าวคือ มีโครงสร้างพีชคณิตลีตามธรรมชาติที่เหนี่ยวนำบน ซึ่งวงเล็บ Lie-Poisson ของโครงสร้างนั้นจะคืนค่ากลับมาเป็น ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$$${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle c_{k}^{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

ใบซิมเพล็กติกของโครงสร้าง Lie-Poisson บนคือวงโคจรของการกระทำร่วมของบนตัวอย่างเช่น สำหรับ ที่มีฐานมาตรฐาน โครงสร้าง Lie-Poisson บนจะถูกระบุด้วยและการแบ่งส่วนซิมเพล็กติกของมันถูกระบุด้วยการแบ่งส่วนโดยทรงกลมศูนย์กลางร่วมใน(ใบเอกฐานเพียงใบเดียวคือจุดกำเนิด) ในทางกลับกัน สำหรับที่มีฐานมาตรฐาน โครงสร้าง Lie-Poisson บนจะถูกระบุด้วยและการแบ่งส่วนซิมเพล็กติกของมันถูกระบุด้วยการแบ่งส่วนโดยไฮเปอร์โบโลอิด ศูนย์กลางร่วม และพื้นผิวรูปกรวยใน(ใบเอกฐานเพียงใบเดียวคือจุดกำเนิดอีกครั้ง) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}+y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}-y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถสรุปได้ดังนี้ โครงสร้างปัวซงบนปริภูมิทั้งหมดของเวกเตอร์บันเดิลเรียกว่าเป็นเชิงเส้นตามไฟเบอร์เมื่อวงเล็บของฟังก์ชันเรียบสองฟังก์ชันซึ่งการจำกัดบนไฟเบอร์เป็นเชิงเส้น ยังคงเป็นเชิงเส้นเมื่อจำกัดบนไฟเบอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟิลด์ไบเวกเตอร์ปัวซงจะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับใดๆโดยที่คือการคูณสเกลาร์ ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle m_{t}:E\to E}$${\displaystyle v\mapsto tv}$

คลาสของเวกเตอร์บันเดิลที่มีโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นนั้นตรงกับคลาสของ (คู่ของ) พีชคณิตลีอันที่จริง คู่ของพีชคณิตลีใดๆจะมีวงเล็บปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์^{[ 24 ]}ซึ่งกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดย โดยที่คือการประเมิน โดย หรือ เทียบเท่ากัน ไบเวกเตอร์ปัวซงสามารถแสดงได้ในระดับท้องถิ่นเป็น โดยที่คือพิกัดรอบจุดคือพิกัดไฟเบอร์บนคู่กับเฟรมท้องถิ่นของและและคือฟังก์ชันโครงสร้างของกล่าวคือ ฟังก์ชันเรียบที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสอดคล้องกับ ในทางกลับกัน โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ใดๆบน จะต้องอยู่ในรูปแบบนี้ กล่าวคือ มีโครงสร้างพีชคณิตลีตามธรรมชาติที่เหนี่ยวนำบน ซึ่งวงเล็บปัวซงลี จะกู้คืน^{[ 25 ]}${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle (A,\rho ,[\cdot ,\cdot ])}$$${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle y_{a}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B_{a}^{i}}$${\displaystyle C_{ab}^{c}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A:=E^{*}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

ถ้าสามารถหาปริพันธ์ได้กับกลุ่มลี (Lie groupoid ) ใบซิมเพล็กติกของคือส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของวงโคจรของกลุ่มโคแทนเจนต์ (cotangent groupoid ) โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดวงโคจรแอลเจบรอยด์ ( algebroid orbit)ใดๆภาพของบันเดิลโคแทนเจนต์ (cotangent bundle) ผ่านคู่ขนานของแผนที่จุดยึด (anchor map) จะเป็นใบซิมเพล็กติก ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$${\displaystyle \rho ^{*}:T^{*}M\to A^{*}}$

สำหรับโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบหนึ่ง จะได้โครงสร้างปัวซงเชิงเส้น ในขณะที่โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ไวส์ คือโครงสร้างที่ไม่เสื่อมสภาพ ซึ่งกำหนดโดยโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกของกลุ่มโคแทนเจนต์โดยทั่วไปแล้ว โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ไวส์ใดๆ บนที่ไม่เสื่อมสภาพ จะสมสัณฐานกับรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกบน ${\displaystyle M=\{*\}}$${\displaystyle A=TM}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle TM\to M}$${\displaystyle T^{*}M}$

• ฟิลด์ไบเวกเตอร์คงที่ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์จะเป็นโครงสร้างปัวซงโดยอัตโนมัติ อันที่จริง พจน์ทั้งสามในตัวสร้างจาโคเบียเตอร์เป็นศูนย์ทั้งหมด โดยเป็นวงเล็บที่มีฟังก์ชันคงที่
• ฟิลด์ไบเวกเตอร์ใดๆ บนแมนิโฟลด์ 2 มิติจะเป็นโครงสร้างปัวซงโดยอัตโนมัติ อันที่จริงแล้วมันคือฟิลด์เวกเตอร์ 3 มิติ ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เสมอในมิติ 2${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• เมื่อกำหนดสนามไบเวกเตอร์ปัวซงใดๆบนแมนิโฟลด์ 3 มิติสนามไบเวกเตอร์สำหรับทุกค่าจะเป็นสนามปัวซงโดยอัตโนมัติ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle f\pi }$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• ผลคูณคาร์ทีเซียน ของแมนิโฟลด์ปัวซงสองตัวจะได้เป็นแมนิโฟลด์ปัวซงอีกตัวหนึ่ง${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• ให้ เป็นการ แบ่งชั้น (ปกติ) ที่มีมิติบนและเป็นรูปแบบสองมิติแบบปิดที่มีการแบ่งชั้น ซึ่งกำลังไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย สิ่งนี้กำหนดโครงสร้างปัวซงปกติบน ได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยกำหนดให้ใบซิมเพล็กติกของเป็นใบของที่มีรูปแบบซิมเพล็กติกที่เหนี่ยวนำ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \omega ^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega |_{S}}$
• ให้เป็นกลุ่มลีที่กระทำบนแมนิโฟลด์ปัวซงและ โดยที่วงเล็บปัวซงของฟังก์ชัน -อินวาเรียนต์บนเป็น-อินวาเรียนต์ ถ้าการกระทำนั้นเป็นอิสระและเหมาะสมแมนิโฟลด์ผลหารจะได้รับโครงสร้างปัวซงจาก(กล่าวคือ เป็นแมนิโฟลด์เดียวที่การแทรกเป็นแผนที่ปัวซง)${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M/G}$${\displaystyle \pi _{M/G}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

กลุ่มโคฮอโมโลยีปัวซง ของแมนิโฟลด์ปัวซงคือกลุ่มโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์โคเชนโดยที่ตัวดำเนินการคือวงเล็บ Schouten-Nijenhuis ที่มี สังเกตว่าลำดับดังกล่าวสามารถกำหนดได้สำหรับทุกไบเวกเตอร์บนเงื่อนไข นี้ เทียบเท่ากับ กล่าวคือเป็นปัวซง^{[ 1 ]}${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$$${\displaystyle \ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}$$${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$${\displaystyle (M,\pi )}$

โดยใช้มอร์ฟิซึม จะได้มอร์ฟิซึมจากคอมเพล็กซ์เดอแรมไปยังคอมเพล็กซ์ปัวซงซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ในกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ สิ่งนี้จะกลายเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ดังนั้นโคโฮโมโลยีปัวซงของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกจึงสามารถกู้คืน โคโฮโมโลยีเดอแรมได้ อย่างสมบูรณ์${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )}$

การคำนวณโคฮอโมโลยีปัวซงนั้นทำได้ยากโดยทั่วไป แต่กลุ่มที่มีดีกรีต่ำนั้นมีข้อมูลทางเรขาคณิตที่สำคัญเกี่ยวกับโครงสร้างปัวซงอยู่:

• ${\displaystyle H^{0}(M,\pi )}$คือปริภูมิของฟังก์ชัน Casimirซึ่งก็คือฟังก์ชันเรียบที่สลับตำแหน่งแบบ Poisson กับฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมด (หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันเรียบที่มีค่าคงที่บนใบซิมเพล็กติก)
• ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$คือปริภูมิของสนามเวกเตอร์ปัวซง มอดูลสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียน
• ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$คือปริภูมิของการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเล็กน้อยของโครงสร้างปัวซง โดยไม่นับรวมการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเล็กน้อย
• ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$คือพื้นที่ของสิ่งกีดขวางที่จะขยายการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเล็กน้อยไปสู่การเปลี่ยนแปลงรูปทรงที่แท้จริง

คลาสโมดูลาร์ของแมนิโฟลด์ปัวซงเป็นคลาสในกลุ่มโคฮอโมโลยีปัวซงกลุ่มแรก: สำหรับแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ มันคืออุปสรรคต่อการมีอยู่ของรูปแบบปริมาตรที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การไหลของแฮมิลโทเนียน^{[ 26 ]}ได้รับการแนะนำโดย Koszul ^{[ 27 ]}และ Weinstein ^{[ 28 ]}

โปรดจำไว้ว่าไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์เทียบกับรูปแบบปริมาตรที่กำหนดคือฟังก์ชัน ที่นิยามโดย สนาม เวกเตอร์มอดูลาร์ของ แมนิโฟลด์ปัวซง ที่สามารถ กำหนดทิศทางได้ เทียบกับรูปแบบปริมาตรคือสนามเวกเตอร์ที่นิยามโดยไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียน: ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle \textstyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{\lambda }}$${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$

ฟิลด์เวกเตอร์แบบโมดูลาร์คือโคไซเคิลปัวซง 1 กล่าวคือ มันสอดคล้องกับเงื่อนไขนอกจากนี้ เมื่อกำหนดรูปแบบปริมาตรสองรูปแบบคือ และผลต่างจะเป็นฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียน ดังนั้น ชั้นโคฮอโมโลยีปัวซงจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกรูปแบบปริมาตรเริ่มต้นและเรียกว่าชั้นโมดูลาร์ของแมนิโฟลด์ปัวซง ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$${\displaystyle \lambda }$

แมนิโฟลด์ปัวซงที่สามารถกำหนดทิศทางได้เรียกว่ายูนิโมดูลาร์ถ้าคลาสโมดูลาร์ของมันเป็นศูนย์ โปรดสังเกตว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีฟอร์มปริมาตรอยู่จริงที่ทำให้ฟิลด์เวกเตอร์โมดูลาร์เป็นศูนย์ กล่าวคือสำหรับทุก ๆ; กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การไหลของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนใด ๆ ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{\lambda }}$${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$

• โครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกเป็นแบบยูนิโมดูลาร์เสมอ เนื่องจากรูปแบบของลิอูวิลล์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนทั้งหมด
• สำหรับโครงสร้างปัวซงเชิงเส้น คลาสโมดูลาร์คืออักขระโมดูลาร์อนันต์ของเนื่องจากฟิลด์เวกเตอร์โมดูลาร์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดเลเบสมาตรฐานบนคือฟิลด์เวกเตอร์คงที่บนดังนั้น จึงเป็น unimodular ในฐานะแมนิโฟลด์ปัวซงก็ต่อเมื่อเป็นunimodularในฐานะพีชคณิตลี^{[ 29 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$
• สำหรับโครงสร้างปัวซงปกติ คลาสโมดูลาร์จะเกี่ยวข้องกับคลาสรีบของโฟลิเอชันซิมเพล็กติกพื้นฐาน (องค์ประกอบของกลุ่มโคฮอโมโลยีแบบใบไม้แรก ซึ่งขัดขวางการมีอยู่ของรูปแบบปกติของปริมาตรที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยฟิลด์เวกเตอร์ที่สัมผัสกับโฟลิเอชัน) ^{[ 30 ]}

การสร้างคลาสโมดูลาร์สามารถขยายไปยังแมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ง่ายๆ โดยการแทนที่รูปแบบปริมาตรด้วยความหนาแน่น^{[ 28 ]}

โคฮอโมโลยีปัวซงได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2520 โดย Lichnerowicz เอง^{[ 1 ]}หนึ่งทศวรรษต่อมาBrylinskiได้แนะนำทฤษฎีโฮโมโลยีสำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงโดยใช้ตัวดำเนินการ^{[ 31 ]}${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$

ผลลัพธ์หลายประการได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความสัมพันธ์ระหว่าง Poisson homology และ cohomology ^{[ 32 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับ Poisson manifold unimodular ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ Poisson homology จะกลายเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ Poisson cohomology: สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดย Xu ^{[ 33 ]}และ Evans-Lu-Weinstein ^{[ 29 ]}

แผนที่เรียบระหว่างแมนิโฟลด์ปัวซงเรียกว่า...${\displaystyle \varphi :M\to N}$แผนที่ปัวซงหากเคารพโครงสร้างปัวซง กล่าวคือ เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง (เปรียบเทียบกับคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันของโครงสร้างปัวซงข้างต้น):

• วงเล็บปัวซงและสอดคล้องกับฟังก์ชันเรียบ ทุกฟังก์ชัน${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{M}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{N}}$${\displaystyle {\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(N)}$
• ฟิลด์ไบเวกเตอร์และมีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ;${\displaystyle \pi _{M}}$${\displaystyle \pi _{N}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}}$

• เวกเตอร์ฟิลด์แฮมิลโทเนียนที่เชื่อมโยงกับฟังก์ชันเรียบทุกฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ;${\displaystyle H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }}$
• อนุพันธ์คือการแปลง Dirac ไปข้างหน้า^{[ 18 ]}${\displaystyle d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))}$

แผนที่แอนตี้ปัวซง ( Anti -Poisson map)เป็นไปตามเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกันโดยมีเครื่องหมายลบอยู่ด้านหนึ่ง

แมนิโฟลด์ปัวซงเป็นวัตถุของหมวดหมู่โดยมีแผนที่ปัวซงเป็นมอร์ฟิซึม ถ้าแผนที่ปัวซงเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมด้วย เราจะเรียกว่าปัวซง-ดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึม ${\displaystyle {\mathfrak {Poiss}}}$${\displaystyle \varphi :M\to N}$${\displaystyle \varphi }$

• เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ปัวซงแบบผลคูณแล้วการฉายภาพเชิงแคนอนิกสำหรับจะเป็นแผนที่ปัวซง${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$${\displaystyle i\in \{0,1\}}$
• เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ปัวซงแล้วการรวมใบซิมเพล็กติกหรือเซตเปิดเข้าไปในแมนิโฟลด์ปัวซงจะเป็นแผนที่ปัวซง${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle M}$
• เมื่อกำหนดพีชคณิตลีสองตัวคือและการแปลงแบบคู่ของโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีใดๆจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ปัวซงระหว่างโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นของทั้ง สอง${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• เมื่อกำหนด Lie algebroid สองตัวคือ และการแปลงแบบคู่ของ Lie algebroid ใดๆบนเอกลักษณ์จะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ปัวซงระหว่างโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ของทั้งสองตัว${\displaystyle A\to M}$${\displaystyle B\to M}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$

ควรสังเกตว่าแนวคิดของแผนที่ปัวซงนั้นแตกต่างโดยพื้นฐานจากแผนที่ซิมเพล็กติกตัวอย่างเช่น ด้วยโครงสร้างซิมเพล็กติกมาตรฐาน จะไม่มีแผนที่ปัวซงในขณะที่แผนที่ซิมเพล็กติกมีอยู่มากมาย โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกสองตัวและและแผนที่เรียบถ้าเป็นแผนที่ปัวซง มันจะต้องเป็นการส่งแบบซับเมอร์ชัน ในขณะที่ถ้าเป็นแผนที่ซิมเพล็กติก มันจะต้องเป็นการส่งแบบอินเมอร์ชัน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

แมนิโฟลด์ปัวซงใดๆ ก็ตามจะเหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างของพีชคณิตลีบนบันเดิลโคแทนเจนต์ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตโคแทนเจนต์^{[ 24 ]}แผนที่แองเคอร์กำหนดโดยในขณะที่วงเล็บลีบนถูกกำหนดเป็นแนวคิดหลายอย่างที่กำหนดไว้สำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงสามารถตีความได้ผ่านพีชคณิตลีของมัน: ${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle T^{*}M\to M}$${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)}$$${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).}$$${\displaystyle T^{*}M}$

• การเรียงตัวแบบซิมเพล็กติกเป็นการเรียงตัวแบบปกติ (เอกพจน์) ที่เกิดจากจุดยึดของแอลเจบรอยด์ของลี
• ใบซิมเพล็กติกคือวงโคจรของแอลเจบรอยด์ของลี
• โครงสร้างปัวซงบนนั้นจะมีความสม่ำเสมออย่างแม่นยำก็ต่อเมื่อพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องเป็นเช่นนั้น${\displaystyle M}$${\displaystyle T^{*}M}$
• กลุ่มโคฮอโมโลยีปัวซงจะสอดคล้องกับกลุ่มโคฮอโมโลยีพีชคณิตลีที่มีสัมประสิทธิ์ในการแสดงแทนแบบไม่สำคัญ${\displaystyle T^{*}M}$
• คลาสโมดูลาร์ของแมนิโฟลด์ปัวซงตรงกับคลาสโมดูลา ร์ของพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้อง^{[ 29 ]}${\displaystyle T^{*}M}$

สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือต้องสังเกตว่า Lie algebroid ไม่สามารถรวมเข้ากับ Lie groupoid ได้เสมอไป^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}${\displaystyle T^{*}M}$

เอกลุ่มซิมเพล็กติกคือกลุ่มลี พร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติกซึ่งเป็นแบบทวีคูณด้วย กล่าวคือ เป็นไปตามความเข้ากันได้ทางพีชคณิตต่อไปนี้กับการคูณกลุ่ม:เทียบเท่ากัน กราฟของถูกขอให้เป็นซับแมนิโฟลด์ลากรางจ์ของในบรรดาผลที่ตามมาหลายประการ มิติของจะเป็นสองเท่าของมิติของ โดยอัตโนมัติแนวคิดของกลุ่มซิมเพล็กติกได้รับการแนะนำในช่วงปลายทศวรรษ 1980 โดยผู้เขียนหลายคนอย่างอิสระ ^{[ 34 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 24 ]}${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$${\displaystyle m}$${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle M}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานระบุว่าพื้นที่ฐานของกลุ่มซิมเพล็กติกใดๆ ยอมรับโครงสร้างปัวซงที่ไม่ซ้ำกันโดยที่แผนที่ต้นทางและแผนที่เป้าหมายเป็นแผนที่ปัวซงและแผนที่แอนติปัวซงตามลำดับ ยิ่งไปกว่านั้น พีชคณิตลีมีความสมมาตรกับพีชคณิตโคแทนเจนต์ที่เกี่ยวข้องกับแมนิโฟลด์ปัวซง[ ^{39 ] ใน}ทางกลับกัน หากมัดโคแทนเจนต์ของแมนิโฟลด์ปัวซงสามารถอินทิเกรตได้ (ในฐานะพีชคณิตลี) การอินทิเกรตที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ของมัน จะเป็นกลุ่มซิมเพล็กติกโดยอัตโนมัติ^{[ 40 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$

ดังนั้น ปัญหาเรื่องความสามารถในการหาปริพันธ์สำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงจึงประกอบด้วยการค้นหากลุ่มลี (เชิงซิมเพล็กติก) ที่สามารถหาปริพันธ์ของพีชคณิตโคแทนเจนต์ได้ เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น โครงสร้างปัวซงจะเรียกว่าสามารถหาปริพันธ์ได้

แม้ว่าแมนิโฟลด์ปัวซงใดๆ จะยอมรับการบูรณาการเฉพาะที่ (เช่น ซิมเพล็กติกกรุปอยด์ที่การคูณถูกกำหนดเฉพาะที่) ^{[ 39 ]}แต่ก็มีอุปสรรคทางโทโพโลยีทั่วไปต่อความสามารถในการบูรณาการ ซึ่งมาจากทฤษฎีความสามารถในการบูรณาการสำหรับลีแอลเจบรอยด์^{[ 41 ]}ผู้สมัครสำหรับซิมเพล็กติกกรุปอยด์ที่บูรณาการแมนิโฟลด์ปัวซงใดๆเรียกว่าปัวซงโฮโมโทปีกรุปอยด์และเป็นเพียงซิมเพล็กติกกรุปอยด์ Ševera-Weinstein ^{[ 42 ] [ 41 ]}ของโคแทนเจนต์แอลเจบรอยด์ซึ่งประกอบด้วยผลหารของปริภูมิบานาคของเส้นทาง คลาสพิเศษ ในโดยความสัมพันธ์ที่เทียบเท่าที่เหมาะสม หรือเทียบเท่า สามารถอธิบายได้ว่าเป็น ผลหารซิมเพล็กติกมิติอนันต์^{[ 35 ]}${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle T^{*}M\to M}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$

• โครงสร้างปัวซงแบบไม่สำคัญนั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอ โดยที่กรุปอยด์เชิงซิมเพล็กติกคือกลุ่มของกลุ่มอาเบเลียน (แบบบวก) ที่มีโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิก${\displaystyle (M,0)}$${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$
• โครงสร้างปัวซงที่ไม่เสื่อมสภาพบน นั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอ โดยที่กลุ่มซิมเพล็กติกคือกลุ่มคู่พร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติก(สำหรับ)${\displaystyle M}$${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$
• โครงสร้าง Lie-Poisson บน นั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอ โดยที่กลุ่มซิมเพล็กติกเป็นกลุ่มแอ็กชัน ( ร่วมผกผัน ) สำหรับกลุ่ม Lie ที่รวมพร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกของ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$
• โครงสร้าง Lie-Poisson บนสามารถหาปริพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อ Lie algebroid สามารถหาปริพันธ์ได้กับ Lie groupoid โดยที่ symplectic groupoid คือ cotangent groupoid ที่มีรูปแบบ symplectic แบบแคนอนิก${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A\to M}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

การสร้างซิมเพล็กติกแบบสมบูรณ์บนแมนิโฟลด์ปัวซง M ประกอบด้วยแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกพร้อมกับแผนที่ปัวซงซึ่งเป็นการฝังแบบทั่วถึง กล่าวโดยคร่าวๆ บทบาทของการสร้างซิมเพล็กติกคือการ "กำจัดจุดเอกฐาน" ของแมนิโฟลด์ปัวซงที่ซับซ้อน (เสื่อมสภาพ) โดยการเปลี่ยนไปสู่แมนิโฟลด์ที่ใหญ่กว่าแต่เรียบง่ายกว่า (ไม่เสื่อมสภาพ) ${\displaystyle (P,\omega )}$${\displaystyle \phi :(P,\omega )\to (M,\pi )}$

การรับรู้เชิงซิมเพล็กติกเรียกว่าสมบูรณ์หากสำหรับฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่สมบูรณ์ ใดๆ ฟิลด์เวกเตอร์นั้นก็สมบูรณ์เช่นกัน ในขณะที่การรับรู้เชิงซิมเพล็กติกมีอยู่เสมอสำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงทุกตัว (และมีบทพิสูจน์ที่แตกต่างกันหลายแบบ) ^{[ 17 ] [ 38 ] [ 43 ]}แต่การรับรู้ที่สมบูรณ์นั้นไม่มี และการมีอยู่ของการรับรู้เหล่านี้มีบทบาทพื้นฐานในปัญหาความสามารถในการหาปริพันธ์สำหรับแมนิโฟลด์ปัวซง อันที่จริง การใช้อุปสรรคทางโทโพโลยีต่อความสามารถในการหาปริพันธ์ของพีชคณิตลี สามารถแสดงได้ว่าแมนิโฟลด์ปัวซงสามารถหาปริพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อมันยอมรับการรับรู้เชิงซิมเพล็กติกที่สมบูรณ์^{[ 36 ]}ข้อเท็จจริงนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงมากขึ้น โดยไม่ต้องใช้อุปสรรคของ Crainic-Fernandes ^{[ 44 ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle X_{H}}$${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$

ซับแมนิโฟลด์ปัวซงของคือซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวพร้อมกับโครงสร้างปัวซงโดยที่แผนที่การฝังตัวเป็นแผนที่ปัวซง^{[ 17 ]}หรืออีกทางหนึ่ง สามารถกำหนดเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้: ^{[ 45 ]}${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle N\subseteq M}$${\displaystyle \pi _{N}}$${\displaystyle (N,\pi _{N})\hookrightarrow (M,\pi )}$

• ภาพของสิ่งนั้นอยู่ภายในสำหรับทุกๆ;${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }:T_{x}^{*}M\to T_{x}M,\alpha \mapsto \pi _{x}(\alpha ,\cdot )}$${\displaystyle T_{x}N}$${\displaystyle x\in N}$
• ค่า-ตั้งฉากจะหายไป โดยที่หมายถึงตัวทำลายล้างของ;${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (TN)^{\perp _{\pi }}:=\pi ^{\#}(TN^{\circ })}$${\displaystyle TN^{\circ }\subseteq T^{*}N}$${\displaystyle TN}$
• เวกเตอร์ฟิลด์แฮมิลโทเนียนทุกตัวสำหรับ จะเป็น เวก เตอร์ สัมผัสกับ${\displaystyle X_{f}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle N}$