ในการวิเคราะห์เทนเซอร์ เทนเซอร์ แบบผสมคือเทนเซอร์ที่ไม่เป็นทั้งแบบโคแวเรียนต์ อย่างเคร่งครัด หรือแบบคอนทราแวเรียนต์ อย่างเคร่งครัด กล่าวคือ อย่างน้อยหนึ่งในดัชนีของเทนเซอร์แบบผสมจะเป็นตัวห้อย (โคแวเรียนต์) และอย่างน้อยหนึ่งในดัชนีจะเป็นตัวยก (คอนทราแวเรียนต์)

เทนเซอร์แบบผสมชนิดหรือวาเลนซ์ หรือเขียนอีกแบบว่า "ชนิด ( M , N )" โดยที่M > 0 และN > 0 คือเทนเซอร์ที่มี ดัชนีคอนทราแวเรียนต์ M ตัวและ ดัชนีโคแวเรียนต์ Nตัว เทนเซอร์ดังกล่าวสามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่แปลงทูเปิล ( M + N ) ของ วันฟอร์ม M ตัวและเวกเตอร์N ตัว ไปเป็นสเกลาร์ ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$

พิจารณาเทนเซอร์แปดตัวที่เกี่ยวข้องกันดังต่อไปนี้: ตัวแรกเป็นแบบโคแวเรียนต์ ตัวสุดท้ายเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์ และตัวที่เหลือเป็นแบบผสม ในเชิงสัญลักษณ์ เทนเซอร์เหล่านี้แตกต่างกันโดยค่าโคแวเรียนต์/คอนทราแวเรียนต์ของดัชนี ดัชนีคอนทราแวเรียนต์ที่กำหนดของเทนเซอร์สามารถลดค่าได้โดยใช้เทนเซอร์เมตริกg _μνและดัชนีโคแวเรียนต์ที่กำหนดสามารถเพิ่มค่าได้โดยใช้เทนเซอร์เมตริกผกผันg ^μνดังนั้นg _μνจึงเรียกว่าตัวดำเนินการลดค่าดัชนีและg ^μν เรียกว่า ตัว ดำเนิน การ เพิ่มค่าดัชนี$${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

โดยทั่วไป เทนเซอร์เมตริกโคแวเรียนต์ เมื่อทำการหดตัวกับเทนเซอร์ประเภท ( M , N ) จะได้เทนเซอร์ประเภท ( M − 1, N + 1) ในขณะที่เทนเซอร์ผกผันคอนทราแวเรียนต์ เมื่อทำการหดตัวกับเทนเซอร์ประเภท ( M , N ) จะได้เทนเซอร์ประเภท ( M + 1, N − 1)

ตัวอย่างเช่น เทนเซอร์แบบผสมประเภท (1, 2) สามารถได้มาจากการยกดัชนีของเทนเซอร์แบบโคแวเรียนต์ประเภท (0, 3) โดยที่เป็นเทนเซอร์เดียวกันกับเนื่องจาก Kronecker δทำหน้าที่เหมือนเมทริกซ์เอกลักษณ์ในที่นี้ $${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$$

เช่นเดียวกัน, $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$$$${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$$$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

การยกกำลังดัชนีของเมตริกเทนเซอร์นั้นเทียบเท่ากับการหดตัวของเมตริกเทนเซอร์นั้นกับเมตริกเทนเซอร์ผกผันของมัน ซึ่งจะได้ค่า เดลต้าของโครเนกเกอร์ดังนั้น เมตริกเทนเซอร์แบบผสมใดๆ ก็จะมีค่าเท่ากับเดลต้าของโครเนกเกอร์ ซึ่งก็จะเป็นแบบผสมเช่นกัน $${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$$

• ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์
• สัญกรณ์ของไอน์สไตน์
• แคลคูลัสริชชี
• เทนเซอร์ (นิยามภายใน)
• เทนเซอร์สองจุด

• อินเด็กซ์ ยิมนาสติกส์ วูล์ฟแรม อัลฟา