ในฟิสิกส์คลาสสิกและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษกรอบอ้างอิงเฉื่อย (หรือเรียกว่าปริภูมิเฉื่อยหรือกรอบอ้างอิงกาลิเลียน ) คือกรอบอ้างอิงที่วัตถุแสดงความเฉื่อยกล่าวคือ วัตถุจะคงอยู่ในสภาพหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิง จนกว่าจะมีแรงภายนอกมากระทำ ในกรอบอ้างอิงเช่นนี้ สามารถสังเกตกฎของธรรมชาติได้โดยไม่จำเป็นต้องแก้ไขความเร่ง

กรอบอ้างอิงทั้งหมดที่มีความเร่งเป็นศูนย์จะอยู่ในสถานะของการเคลื่อนที่เชิงเส้นตรง คงที่ (การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง) เมื่อเทียบกับกันและกัน ในกรอบดังกล่าว วัตถุที่มีแรงสุทธิเป็นศูนย์กระทำต่อมัน จะถูกรับรู้ว่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว คงที่ หรือเทียบเท่ากับกฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตัน [ ^{1 ] กรอบ}ดังกล่าวเรียกว่ากรอบเฉื่อย นักฟิสิกส์บางคน เช่นไอแซค นิวตันเดิมทีคิดว่ากรอบหนึ่งในนั้นเป็นกรอบสัมบูรณ์ ซึ่งก็คือกรอบที่ประมาณได้จากดาวฤกษ์คงที่อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่จำเป็นสำหรับคำจำกัดความ และปัจจุบันเป็นที่ทราบกันแล้วว่าดาวฤกษ์เหล่านั้นกำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กัน

ตามหลักการสัมพัทธภาพพิเศษกฎทางฟิสิกส์ทั้งหมดจะมีลักษณะเหมือนกันในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทุกกรอบ และไม่มีกรอบอ้างอิงเฉื่อยใดเหนือกว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นการวัดวัตถุในกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งสามารถแปลงเป็นการวัดในอีกกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งได้โดยการแปลงอย่างง่าย — การแปลงแบบกาลิเลียนในฟิสิกส์แบบนิวตันหรือการแปลงแบบลอเรนซ์ (รวมกับการเลื่อน) ในสัมพัทธภาพพิเศษ การ แปลงเหล่านี้จะตรงกันโดยประมาณเมื่อความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงต่ำ แต่จะแตกต่างกันเมื่อความเร็วสัมพัทธ์เข้าใกล้ความเร็ว แสง

ในทางตรงกันข้ามกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยจะมีความเร่ง ในกรอบดังกล่าว ปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางกายภาพจะแตกต่างกันไปตามความเร่งของกรอบนั้นเมื่อเทียบกับกรอบเฉื่อย เมื่อมองจากมุมมองของกลศาสตร์คลาสสิกและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษแรงทางกายภาพปกติที่เกิดจากปฏิสัมพันธ์ของวัตถุจะต้องได้รับการเสริมด้วยแรงเสมือนที่เกิดจากความเฉื่อย^{[ 2 ] [ 3 ]} เมื่อมองจากมุมมองของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแรงเสมือน (เช่น แรงเฉื่อย) จะถูกนำมาประกอบกับการเคลื่อนที่แบบจีโอเดสิกในปริภูมิเวลา

เนื่องจากการหมุนของโลกพื้นผิวโลกจึงไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อยผลกระทบของโคริโอลิสสามารถเบี่ยงเบนการเคลื่อนที่บางรูปแบบเมื่อมองจากโลกและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจะลดแรงโน้มถ่วง ที่มีประสิทธิภาพ ที่เส้นศูนย์สูตรอย่างไรก็ตาม สำหรับการใช้งานหลายอย่าง โลกก็เป็นตัวแทน ที่เหมาะสม ของกรอบอ้างอิงเฉื่อย

การเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถอธิบายได้ก็ต่อเมื่อเปรียบเทียบกับสิ่งอื่น เช่น วัตถุอื่น ผู้สังเกตการณ์ หรือชุดพิกัดในปริภูมิเวลา สิ่งเหล่านี้เรียกว่ากรอบอ้างอิงตามสมมติฐานแรกของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษกฎทางฟิสิกส์ทั้งหมดจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดในกรอบเฉื่อย และมีกรอบเฉื่อยหลายกรอบที่สัมพันธ์กันโดยการเลื่อน แบบสม่ำเสมอ :^{[ 4 ]}

หลักการสัมพัทธภาพพิเศษ: ถ้าเราเลือกพิกัดระบบ K ที่ทำให้กฎทางฟิสิกส์ใช้ได้ผลในรูปแบบที่ง่ายที่สุดเมื่อเทียบกับระบบพิกัดนั้น กฎเดียวกันนั้นก็จะใช้ได้ผลเมื่อเทียบกับพิกัดระบบ K' อื่นๆ ที่เคลื่อนที่แบบเลื่อนขนานอย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับ K ด้วยเช่นกัน

ความเรียบง่ายนี้แสดงให้เห็นในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่มีฟิสิกส์ในตัวโดยไม่ต้องอาศัยสาเหตุภายนอก ในขณะที่ฟิสิกส์ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยมีสาเหตุภายนอก^{[ 5 ]}หลักการของความเรียบง่ายนี้สามารถใช้ได้ทั้งในฟิสิกส์แบบนิวตันและในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

กฎของกลศาสตร์นิวตันไม่ได้เป็นจริงเสมอไปในรูปแบบที่ง่ายที่สุด... ตัวอย่างเช่น หากผู้สังเกตการณ์อยู่บนแผ่นดิสก์ที่หมุนสัมพันธ์กับโลก เขา/เธอจะรู้สึกถึง 'แรง' ที่ผลักเขา/เธอไปทางขอบของแผ่นดิสก์ ซึ่งไม่ได้เกิดจากการปฏิสัมพันธ์กับวัตถุอื่นใด ในกรณีนี้ ความเร่งไม่ได้เป็นผลมาจากแรงปกติ แต่เป็นผลมาจากสิ่งที่เรียกว่าแรงเฉื่อย กฎของนิวตันเป็นจริงในรูปแบบที่ง่ายที่สุดเฉพาะในกลุ่มของกรอบอ้างอิงที่เรียกว่ากรอบเฉื่อยเท่านั้น ข้อเท็จจริงนี้แสดงถึงแก่นแท้ของหลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ: กฎของกลศาสตร์มีรูปแบบเดียวกันในทุกกรอบเฉื่อย

อย่างไรก็ตาม นิยามของกรอบอ้างอิงเฉื่อยนี้เข้าใจกันว่าใช้ได้เฉพาะใน ขอบเขต ของนิวตันเท่านั้นและละเลยผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ

ในทางปฏิบัติ ความเท่าเทียมกันของกรอบอ้างอิงเฉื่อยหมายความว่านักวิทยาศาสตร์ภายในกล่องที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมบูรณ์คงที่ไม่สามารถกำหนดความเร็วนี้ได้ด้วยการทดลองใดๆ มิฉะนั้น ความแตกต่างจะทำให้เกิดกรอบอ้างอิงมาตรฐานสัมบูรณ์^{[ 8 ] [ 9 ]}ตามคำจำกัดความนี้ เสริมด้วยความคงที่ของความเร็วแสง กรอบอ้างอิงเฉื่อยจะแปลงระหว่างกันตามกลุ่มการแปลงสมมาตรของปวงกาเรซึ่งการแปลงลอเรนซ์เป็นกลุ่มย่อย^{[ 10 ]}ในกลศาสตร์นิวตัน กรอบอ้างอิงเฉื่อยมีความสัมพันธ์กันโดยกลุ่มสมมาตรของ กาลิเลียน

นิวตันตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับพื้นที่สัมบูรณ์ที่ถือว่าประมาณได้ดีโดยกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่เมื่อเทียบกับดาวฤกษ์คง ที่ กรอบเฉื่อยจึงเป็นกรอบที่มีการแปลอย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับพื้นที่สัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม นักสัมพัทธภาพบางคน^{[ 11 ]}แม้กระทั่งในสมัยของนิวตัน ก็รู้สึกว่าพื้นที่สัมบูรณ์เป็นข้อบกพร่องของสูตร และควรถูกแทนที่

วลี " กรอบอ้างอิงเฉื่อย" ( ภาษาเยอรมัน : Inertialsystem ) ถูกบัญญัติขึ้นโดยLudwig Langeในปี พ.ศ. 2428 เพื่อแทนที่คำจำกัดความของนิวตันเกี่ยวกับ "พื้นที่และเวลาสัมบูรณ์" ด้วยคำจำกัดความที่ใช้งานได้ จริงมากขึ้น : ^{[ 12 ] [ 13 ]}

กรอบอ้างอิงที่จุดมวลที่ถูกโยนจากจุดเดียวกันในสามทิศทางที่แตกต่างกัน (ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน) จะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเชิงเส้นตรงทุกครั้งที่ถูกโยน เรียกว่ากรอบเฉื่อย^{[ 14 ]}

Blagojevich ได้อธิบายถึงความไม่เพียงพอของแนวคิดเรื่อง "พื้นที่สัมบูรณ์" ในกลศาสตร์ของนิวตันไว้ดังนี้: ^{[ 15 ]}

• การมีอยู่ของพื้นที่สัมบูรณ์ขัดแย้งกับตรรกะภายในของกลศาสตร์คลาสสิก เนื่องจากตามหลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอแล้ว ไม่มีกรอบอ้างอิงเฉื่อยใดที่สามารถแยกออกมาได้โดยเฉพาะ
• พื้นที่สัมบูรณ์ไม่สามารถอธิบายแรงเฉื่อยได้ เนื่องจากแรงเฉื่อยนั้นเกี่ยวข้องกับความเร่งเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยใดกรอบหนึ่ง
• พื้นที่สัมบูรณ์ส่งผลต่อวัตถุทางกายภาพโดยการเหนี่ยวนำให้เกิดแรงต้านต่อการเร่งความเร็ว แต่ไม่สามารถถูกกระทำต่อพื้นที่สัมบูรณ์ได้

ประโยชน์ของคำจำกัดความเชิงปฏิบัติการได้รับการนำไปใช้มากขึ้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ^{[ 16 ]}ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์บางส่วนรวมถึงคำจำกัดความของ Lange ได้รับการนำเสนอโดย DiSalle ซึ่งกล่าวสรุปว่า: ^{[ 17 ]}

คำถามเดิมที่ว่า "กฎการเคลื่อนที่ใช้ได้กับกรอบอ้างอิงใด" นั้น แท้จริงแล้วเป็นคำถามที่ตั้งขึ้นผิด กฎการเคลื่อนที่นั้นโดยพื้นฐานแล้วกำหนดกลุ่มของกรอบอ้างอิง และ (โดยหลักการ) ขั้นตอนในการสร้างกรอบอ้างอิงเหล่านั้น

ทฤษฎีคลาสสิกที่ใช้การแปลงแบบกาลิเลียนนั้นตั้งสมมติฐานว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดมีความเท่าเทียมกัน การแปลงแบบกาลิเลียนจะแปลงพิกัดจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีก กรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่ง โดยการบวกหรือลบพิกัดอย่างง่าย: ${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t}$

${\displaystyle t^{\prime }=t-t_{0}}$

โดยที่r ₀และt ₀แทนการเลื่อนของจุดกำเนิดของอวกาศและเวลา และvคือความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งสอง ภายใต้การแปลงแบบกาลิเลียน เวลาt ₂ − t ₁ระหว่างสองเหตุการณ์จะเท่ากันสำหรับทุกกรอบอ้างอิง และระยะห่างระหว่างสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน (หรือเทียบเท่ากับความยาวของวัตถุใดๆ | r ₂ − r ₁ |) ก็จะเท่ากันด้วย

ภายในขอบเขตของกลศาสตร์นิวตัน กรอบอ้างอิง เฉื่อยหรือกรอบอ้างอิงเฉื่อย คือกรอบที่กฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตันใช้ได้^{[ 18 ]}อย่างไรก็ตามหลักการสัมพัทธภาพพิเศษได้ขยายแนวคิดของกรอบอ้างอิงเฉื่อยให้ครอบคลุมกฎทางฟิสิกส์ทั้งหมด ไม่ใช่เพียงแค่กฎข้อแรกของนิวตันเท่านั้น

นิวตันมองว่ากฎข้อแรกใช้ได้ในกรอบอ้างอิงใดๆ ที่เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ (ไม่หมุนหรือเร่งความเร็ว) เมื่อเทียบกับพื้นที่สัมบูรณ์ในทางปฏิบัติ "พื้นที่สัมบูรณ์" ถือว่าเป็นดาวฤกษ์คงที่^{[ 19 ] [ 20 ]}ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แนวคิดของพื้นที่สัมบูรณ์หรือกรอบพิเศษถูกละทิ้ง และกรอบเฉื่อยในสาขากลศาสตร์คลาสสิกถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 21 ] [ 22 ]}

กรอบอ้างอิงเฉื่อย คือกรอบอ้างอิงที่การเคลื่อนที่ของอนุภาคซึ่งไม่ได้รับแรงกระทำนั้นเป็นการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่

ดังนั้น เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย วัตถุหรือวัตถุจะเร่งความเร็วได้ก็ต่อเมื่อ มี แรง ทางกายภาพ มากระทำ และ (ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งของนิวตัน ) ในกรณีที่ไม่มีแรงลัพธ์ วัตถุที่หยุดนิ่งจะยังคงหยุดนิ่ง และวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ก็จะยังคงเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ นั่นคือ เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและด้วยความเร็ว คงที่ กรอบอ้างอิงเฉื่อยของนิวตันสามารถแปลงรูปไปมาระหว่างกันได้ตามกลุ่มสมมาตรของกาลิเลโอ

หากตีความกฎนี้ว่าการเคลื่อนที่แบบเส้นตรงเป็นการบ่งชี้ถึงแรงสุทธิเป็นศูนย์ กฎนี้จะไม่สามารถระบุเฟรมอ้างอิงเฉื่อยได้ เนื่องจากสามารถสังเกตการเคลื่อนที่แบบเส้นตรงได้ในเฟรมต่างๆ หากตีความกฎนี้ว่าเป็นการกำหนดเฟรมเฉื่อย การสามารถระบุได้ว่าเมื่อใดจึงใช้แรงสุทธิเป็นศูนย์นั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง ปัญหาดังกล่าวได้รับการสรุปโดยไอน์สไตน์: ^{[ 23 ]}

จุดอ่อนของหลักการความเฉื่อยอยู่ที่การที่มันเป็นการวนลูป กล่าวคือ มวลจะเคลื่อนที่โดยไม่มีความเร่งหากอยู่ห่างจากวัตถุอื่นมากพอ เราทราบว่ามันอยู่ห่างจากวัตถุอื่นมากพอได้ก็ต่อเมื่อมันเคลื่อนที่โดยไม่มีความเร่งเท่านั้น

มีหลายแนวทางในการแก้ไขปัญหานี้ แนวทางหนึ่งคือการโต้แย้งว่าแรงจริงทั้งหมดจะลดลงตามระยะทางจากแหล่งกำเนิดในลักษณะที่ทราบ ดังนั้นจึงจำเป็นเพียงแค่ให้วัตถุอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดทั้งหมดมากพอเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีแรงอยู่^{[ 24 ]}ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นกับแนวทางนี้คือมุมมองที่มีมายาวนานในประวัติศาสตร์ที่ว่าจักรวาลที่อยู่ห่างไกลอาจส่งผลกระทบต่อสสาร ( หลักการของ Mach ) อีกแนวทางหนึ่งคือการระบุแหล่งกำเนิดจริงทั้งหมดสำหรับแรงจริงและนำมาพิจารณา ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นกับแนวทางนี้คือความเป็นไปได้ที่จะพลาดบางสิ่ง หรือพิจารณาอิทธิพลของพวกมันอย่างไม่เหมาะสม อาจเป็นเพราะหลักการของ Mach และความเข้าใจที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับจักรวาล แนวทางที่สามคือการพิจารณาวิธีที่แรงเปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนกรอบอ้างอิง แรงสมมติ แรงที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเร่งความเร็วของกรอบ จะหายไปในกรอบเฉื่อยและมีกฎการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนในกรณีทั่วไป จากความเป็นสากลของกฎทางฟิสิกส์และการร้องขอกรอบที่กฎถูกแสดงออกมาอย่างง่ายที่สุด กรอบเฉื่อยจึงมีความโดดเด่นด้วยการไม่มีแรงสมมติดังกล่าว

นิวตันได้กำหนดหลักการสัมพัทธภาพด้วยตนเองในบทสรุปหนึ่งของกฎการเคลื่อนที่: ^{[ 25 ] [ 26 ]}

การเคลื่อนที่ของวัตถุที่อยู่ในพื้นที่ที่กำหนดนั้นจะเหมือนกัน ไม่ว่าพื้นที่นั้นจะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ไปข้างหน้าอย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงก็ตาม

หลักการนี้แตกต่างจากหลักการพิเศษในสองประการ ประการแรก คือ หลักการนี้จำกัดเฉพาะกลศาสตร์ และประการที่สอง คือ หลักการนี้ไม่ได้กล่าวถึงความเรียบง่าย หลักการนี้มีหลักการพิเศษร่วมกันคือ ความไม่แปรผันของรูปแบบคำอธิบายระหว่างกรอบอ้างอิงที่แปลซึ่งกันและกัน^{[ 27 ]}บทบาทของแรงสมมติในการจำแนกกรอบอ้างอิงจะกล่าวถึงเพิ่มเติมในภายหลัง

ลองพิจารณาสถานการณ์ทั่วไปในชีวิตประจำวัน รถสองคันวิ่งไปตามถนน โดยทั้งสองคันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ดูรูปที่ 1 ในช่วงเวลาหนึ่ง รถทั้งสองคันอยู่ห่างกัน 200 เมตร รถคันหน้าวิ่งด้วยความเร็ว 22 เมตรต่อวินาที และรถคันหลังวิ่งด้วยความเร็ว 30 เมตรต่อวินาที ถ้าเราต้องการหาว่าต้องใช้เวลานานเท่าใดกว่ารถคันที่สองจะไล่ทันรถคันแรก เรามี "กรอบอ้างอิง" ที่ชัดเจนสามแบบที่เราสามารถเลือกได้^{[ 28 ]}

ขั้นแรก เราสามารถสังเกตรถทั้งสองคันจากข้างถนนได้ เรากำหนด "กรอบอ้างอิง" S ของเรา ดังนี้ เรายืนอยู่ข้างถนนและเริ่มจับเวลาในขณะที่รถคันที่สองวิ่งผ่านเราไป ซึ่งก็คือตอนที่รถทั้งสองคันอยู่ห่างกันเป็นระยะd = 200 เมตรเนื่องจากรถทั้งสองคันไม่ได้เร่งความเร็ว เราจึงสามารถกำหนดตำแหน่งของรถทั้งสองคันได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ โดยที่คือ ตำแหน่งของรถคันแรกในหน่วยเมตรหลังจากเวลาtในหน่วยวินาที และคือตำแหน่งของรถคันที่สองหลังจากเวลาt${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$

${\displaystyle x_{1}(t)=d+v_{1}t=200+22t,\quad x_{2}(t)=v_{2}t=30t.}$

โปรดสังเกตว่าสูตรเหล่านี้ทำนายว่า ณ เวลาt = 0 วินาที รถคันแรกจะอยู่ห่างออกไป 200 เมตร และรถคันที่สองจะอยู่ข้างๆ เราตามที่คาดไว้ เราต้องการหาเวลาที่ดังนั้นเราจึงกำหนดและแก้หาค่านั่นคือ: ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle 200+22t=30t,}$

${\displaystyle 8t=200,}$

${\displaystyle t=25\ \mathrm {วินาที} .}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถเลือกกรอบอ้างอิงS′ที่อยู่ในรถคันแรกได้ ในกรณีนี้ รถคันแรกจอดนิ่ง และรถคันที่สองกำลังเข้าใกล้จากด้านหลังด้วยความเร็วv ₂ − v ₁ = 8 m/sในการไล่ตามรถคันแรกให้ทัน จะต้องใช้เวลา⁠ง/v ₂ − v ₁=​​200/8sนั่นคือ 25 วินาที เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ สังเกตว่าปัญหาจะง่ายขึ้นมากเพียงใดเมื่อเลือกกรอบอ้างอิงที่เหมาะสม กรอบอ้างอิงที่สามที่เป็นไปได้จะติดอยู่กับรถคันที่สอง ตัวอย่างนี้คล้ายกับกรณีที่กล่าวถึงไปเมื่อสักครู่ ยกเว้นว่ารถคันที่สองอยู่นิ่งและรถคันแรกเคลื่อนที่ถอยหลังเข้าหารถคันที่สองด้วยความเร็ว 8 ม./วินาที

อาจเป็นไปได้ที่จะเลือกกรอบอ้างอิงที่หมุนและเร่งความเร็ว ซึ่งเคลื่อนที่ในลักษณะที่ซับซ้อน แต่การทำเช่นนั้นจะทำให้ปัญหายุ่งยากโดยไม่จำเป็น เราสามารถแปลงค่าการวัดที่ทำในระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น สมมติว่านาฬิกาของคุณเดินเร็วกว่าเวลามาตรฐานท้องถิ่นห้านาที หากคุณรู้ว่าเป็นเช่นนั้น เมื่อมีคนถามคุณว่ากี่โมงแล้ว คุณสามารถลบห้านาทีออกจากเวลาที่แสดงบนนาฬิกาของคุณเพื่อให้ได้เวลาที่ถูกต้อง การวัดที่ผู้สังเกตทำเกี่ยวกับระบบจึงขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต (คุณอาจบอกว่ารถบัสมาถึงเวลา 3:35 น. ในขณะที่ความจริงแล้วมาถึงเวลา 3 โมง)

เพื่อเป็นตัวอย่างง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวางแนวของผู้สังเกตการณ์สองคนเท่านั้น ลองพิจารณาคนสองคนที่ยืนหันหน้าเข้าหากันอยู่คนละฝั่งของถนนที่ทอดยาวจากเหนือจรดใต้ ดังแสดงในรูปที่ 2 รถยนต์คันหนึ่งขับผ่านพวกเขาไปทางใต้ สำหรับคนที่หันหน้าไปทางทิศตะวันออก รถยนต์คันนั้นกำลังเคลื่อนที่ไปทางขวา แต่สำหรับคนที่หันหน้าไปทางทิศตะวันตก รถยนต์คันนั้นกำลังเคลื่อนที่ไปทางซ้าย ความคลาดเคลื่อนนี้เกิดจากคนทั้งสองใช้กรอบอ้างอิงที่แตกต่างกันในการสำรวจระบบนี้

สำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าซึ่งเกี่ยวข้องกับผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน ลองพิจารณาอัลเฟรดที่ยืนอยู่ข้างถนนและมองดูรถยนต์คันหนึ่งขับผ่านเขาจากซ้ายไปขวา ในกรอบอ้างอิงของอัลเฟรด เขาให้จุดที่เขายืนอยู่เป็นจุดกำเนิด ถนนเป็น แกน xและทิศทางข้างหน้าเขาเป็นแกนyบวก สำหรับเขา รถยนต์เคลื่อนที่ไปตามแกนxด้วยความเร็วvใน ทิศทางแกน xบวก กรอบอ้างอิงของอัลเฟรดถือเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยเพราะเขาไม่มีการเร่งความเร็ว โดยไม่คำนึงถึงผลกระทบต่างๆ เช่น การหมุนของโลกและแรงโน้มถ่วง

ทีนี้ลองพิจารณาเบ็ตซี่ ซึ่งเป็นคนขับรถ เบ็ตซี่เลือกกรอบอ้างอิงของเธอโดยกำหนดตำแหน่งของเธอเป็นจุดกำเนิด ทิศทางไปทางขวาเป็นแกนxบวก และทิศทางข้างหน้าเป็นแกนyบวก ในกรอบอ้างอิงนี้ เบ็ตซี่อยู่กับที่ ส่วนโลกโดยรอบเคลื่อนที่ ตัวอย่างเช่น ขณะที่เธอขับรถผ่านอัลเฟรด เธอสังเกตเห็นเขาเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvในทิศทางแกนyลบ ถ้าเธอขับรถไปทางเหนือ ทิศเหนือก็จะเป็นทิศทางแกนyบวก ถ้าเธอเลี้ยวไปทางตะวันออก ทิศตะวันออกก็จะกลายเป็นทิศทางแกนyบวก

สุดท้ายนี้ ยกตัวอย่างผู้สังเกตการณ์ที่ไม่เฉื่อย สมมติว่าแคนเดซกำลังเร่งความเร็วรถของเธอ ขณะที่เธอขับผ่านอัลเฟรด อัลเฟรดวัดความเร่ง ของเธอ และพบว่ามีค่าเท่ากับaในทิศทางลบของแกนxสมมติว่าความเร่งของแคนเดซคงที่ เบ็ตซีจะวัดความเร่งได้เท่าใด ถ้าความเร็วv ของเบ็ตซี คงที่ เธออยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย และเธอจะพบว่าความเร่งมีค่าเท่ากับอัลเฟรดในกรอบอ้างอิงของเธอ คือaในทิศทางลบ ของแกน yอย่างไรก็ตาม ถ้าเธอกำลังเร่งความเร็วด้วยอัตราAในทิศทางลบ ของแกน y (กล่าวคือ กำลังชะลอความเร็ว) เธอจะพบว่าความเร่งของแคนเดซมีค่าเท่ากับa′ = a − Aใน ทิศทางลบของแกน yซึ่งเป็นค่าที่น้อยกว่าที่อัลเฟรดวัดได้ ในทำนองเดียวกัน หากเธอมีความเร่งด้วยอัตราAในทิศทางบวกของแกนy (ความเร็วเพิ่มขึ้น) เธอจะสังเกตเห็นความเร่งของแคนเดซเป็นa′ = a + Aในทิศทางลบของ แกน yซึ่งเป็นค่าที่มากกว่าค่าที่อัลเฟรดวัดได้

ในที่นี้จะพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างกรอบอ้างอิงการสังเกตแบบเฉื่อยและแบบไม่เฉื่อย ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างกรอบอ้างอิงเหล่านี้คือความจำเป็นต้องใช้แรงเสมือนในกรอบอ้างอิงแบบไม่เฉื่อย ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยกฎข้อแรกของนิวตันกฎของความเฉื่อย เป็นไปตามเงื่อนไข: การเคลื่อนที่อิสระใดๆ จะมีขนาดและทิศทางคงที่^{[ 29 ]}กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับอนุภาคมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,}$

โดยที่Fคือแรงลัพธ์ ( เวกเตอร์ ) mคือมวลของอนุภาค และa คือความเร่งของอนุภาค (ซึ่งเป็นเวกเตอร์เช่นกัน) ที่ผู้สังเกตซึ่งอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงจะวัดได้ แรงFคือผลรวมเวกเตอร์ของแรง "จริง" ทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาค เช่นแรงสัมผัส แรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงโน้มถ่วง และแรงนิวเคลียร์

ในทางตรงกันข้าม กฎข้อที่สองของนิวตันในกรอบอ้างอิงแบบหมุน ( ซึ่งเป็นกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยชนิดหนึ่ง) ที่หมุนด้วยอัตราเชิงมุมΩรอบแกน จะมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,}$

ซึ่งมีลักษณะเหมือนกับในกรอบอ้างอิงเฉื่อย แต่ในตอนนี้ แรงF ′ เป็นผลลัพธ์ของไม่เพียงแค่F เท่านั้น แต่ยังมีพจน์เพิ่มเติมอีกด้วย (ย่อหน้าถัดจากสมการนี้จะนำเสนอประเด็นหลักโดยไม่ใช้คณิตศาสตร์โดยละเอียด):

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,}$

โดยที่การหมุนเชิงมุมของกรอบอ้างอิงแสดงด้วยเวกเตอร์Ωที่ชี้ไปในทิศทางของแกนหมุน และมีขนาดเท่ากับอัตราการหมุนเชิงมุมΩสัญลักษณ์ × แทนผลคูณเวกเตอร์เวกเตอร์x _B ระบุ ตำแหน่งของวัตถุ และเวกเตอร์v _Bคือความเร็วของวัตถุตามมุมมองของผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่ (ซึ่งแตกต่างจากความเร็วที่ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยมองเห็น)

พจน์เพิ่มเติมในแรงF ′ คือแรง "เสมือน" สำหรับกรอบอ้างอิงนี้ ซึ่งมีสาเหตุมาจากภายนอกระบบในกรอบอ้างอิงนั้น พจน์เพิ่มเติมแรกคือแรงโคริโอลิส พจน์ ที่สองคือแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและพจน์ที่สามคือแรงออยเลอร์พจน์เหล่านี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: พวกมันจะหายไปเมื่อΩ = 0 นั่นคือ พวกมันจะเป็นศูนย์สำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อย (ซึ่งแน่นอนว่าไม่หมุน); พวกมันจะมีขนาดและทิศทางที่แตกต่างกันในทุกกรอบอ้างอิงที่หมุน ขึ้นอยู่กับค่าΩ เฉพาะของ กรอบอ้างอิงนั้น; พวกมันมีอยู่ทั่วไปในกรอบอ้างอิงที่หมุน (ส่งผลกระทบต่อทุกอนุภาคโดยไม่คำนึงถึงสถานการณ์); และพวกมันไม่มีแหล่งกำเนิดที่ชัดเจนในแหล่งทางกายภาพที่สามารถระบุได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สสารนอกจากนี้ แรงเสมือนจะไม่ลดลงตามระยะทาง (ต่างจากตัวอย่างเช่นแรงนิวเคลียร์หรือแรงไฟฟ้า ) ตัวอย่างเช่น แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่ดูเหมือนจะแผ่ออกมาจากแกนหมุนในกรอบอ้างอิงที่หมุนจะเพิ่มขึ้นตามระยะทางจากแกน

ผู้สังเกตการณ์ทุกคนเห็นพ้องต้องกันเกี่ยวกับแรงจริงF ; มีเพียงผู้สังเกตการณ์ที่ไม่ใช่กรอบเฉื่อยเท่านั้นที่ต้องการแรงสมมติ กฎทางฟิสิกส์ในกรอบเฉื่อยนั้นง่ายกว่าเพราะไม่มีแรงที่ไม่จำเป็นอยู่

ในสมัยของนิวตันนั้นดาวฤกษ์คงที่ถูกนำมาใช้เป็นกรอบอ้างอิง โดยถือว่าดาวฤกษ์คงที่นั้นอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับอวกาศสัมบูรณ์ในกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งเมื่อเทียบกับดาวฤกษ์คงที่ หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เมื่อเทียบกับดาวฤกษ์เหล่านั้นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะถือว่าใช้ได้ ในทางตรงกันข้าม ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งเมื่อเทียบกับดาวฤกษ์คงที่ ซึ่งกรณีสำคัญคือกรอบอ้างอิงที่หมุนเมื่อเทียบกับดาวฤกษ์คงที่ กฎการเคลื่อนที่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดจะไม่ใช้ได้ แต่ต้องเสริมด้วยแรงสมมติเช่นแรงโคริโอลิสและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางนิวตันได้คิดค้นการทดลองสองอย่างเพื่อแสดงให้เห็นว่าสามารถค้นพบแรงเหล่านี้ได้อย่างไร ซึ่งจะทำให้ผู้สังเกตรู้ว่าแรงเหล่านั้นไม่ได้อยู่ในกรอบเฉื่อย ตัวอย่างเช่น แรงตึงในเชือกที่เชื่อมทรงกลมสองลูกที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล และตัวอย่างความโค้งของผิวน้ำในถังที่หมุนอยู่ ในทั้งสองกรณี การประยุกต์ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันจะไม่สามารถใช้ได้กับผู้สังเกตที่กำลังหมุนอยู่ หากไม่นำแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและแรงโคริโอลิสมาอธิบายการสังเกตของพวกเขา (แรงตึงในกรณีของทรงกลม ผิวน้ำรูปพาราโบลาในกรณีของถังที่กำลังหมุน)

ดังที่ทราบกันในปัจจุบัน ดาวฤกษ์คงที่ไม่ได้คงที่ ดาวฤกษ์ที่อยู่ในกาแล็กซีทางช้างเผือกหมุนไปพร้อมกับกาแล็กซี แสดงให้ เห็นถึง การเคลื่อนที่เฉพาะตัวดาวฤกษ์ที่อยู่นอกกาแล็กซีของเรา (เช่น เนบิวลาซึ่งครั้งหนึ่งเคยเข้าใจผิดว่าเป็นดาวฤกษ์) ก็มีส่วนร่วมในการเคลื่อนที่ของตัวเองเช่นกัน ส่วนหนึ่งเนื่องมาจากการขยายตัวของจักรวาลและส่วนหนึ่งเนื่องมาจากความเร็วเฉพาะตัว^{[ 30 ]}ตัวอย่างเช่นกาแล็กซีแอนโดรเมดาอยู่ในเส้นทางที่จะชนกับกาแล็กซีทางช้างเผือกด้วยความเร็ว 117 กม./วินาที^{[ 31 ]}แนวคิดของกรอบอ้างอิงเฉื่อยไม่ได้ผูกติดอยู่กับดาวฤกษ์คงที่หรือกับพื้นที่สัมบูรณ์อีกต่อไป แต่การระบุกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายของกฎทางฟิสิกส์ในกรอบนั้น กฎของธรรมชาติมีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าในกรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะในกรอบเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องนำแรงเฉื่อยมาใช้เมื่อเขียนกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน^{[ 32 ]}

ในทางปฏิบัติ การใช้กรอบอ้างอิงที่อิงตามดาวฤกษ์คงที่เสมือนเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยจะทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ความเร่งหนีศูนย์กลางของโลกเนื่องจากการหมุนรอบดวงอาทิตย์นั้นมากกว่าความเร่งหนีศูนย์กลางของดวงอาทิตย์รอบศูนย์กลางกาแล็กซีประมาณสามสิบล้านเท่า^{[ 33 ]}

เพื่อแสดงให้เห็นเพิ่มเติม ลองพิจารณาคำถามที่ว่า "เอกภพหมุนหรือไม่" คำตอบอาจอธิบายรูปร่างของ กาแล็กซี ทางช้างเผือกโดยใช้กฎทางฟิสิกส์^{[ 34 ]}แม้ว่าการสังเกตการณ์อื่นๆ อาจมีความชัดเจนมากกว่า กล่าวคือ ให้ความคลาดเคลื่อน ที่มากขึ้น หรือความไม่แน่นอนในการวัด ที่น้อยลง เช่น ความไม่สมมาตรของรังสีพื้นหลังไมโครเวฟหรือการสังเคราะห์นิวเคลียสบิ๊กแบง^{[ 35 ] [ 36 ]}ความแบนราบของกาแล็กซีทางช้างเผือกขึ้นอยู่กับอัตราการหมุนในกรอบอ้างอิงเฉื่อย หากอัตราการหมุนที่ปรากฏนั้นเกิดจากการหมุนในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด จะมีการทำนาย "ความแบนราบ" ที่แตกต่างออกไปจากกรณีที่สันนิษฐานว่าส่วนหนึ่งของการหมุนนี้เกิดจากการหมุนของเอกภพและไม่ควรนำมารวมในการหมุนของกาแล็กซีเอง บนพื้นฐานของกฎทางฟิสิกส์ จึงมีการสร้างแบบจำลองขึ้นโดยที่พารามิเตอร์หนึ่งคืออัตราการหมุนของเอกภพ หากกฎทางฟิสิกส์สอดคล้องกับการสังเกตการณ์ในแบบจำลองที่มีการหมุนมากกว่าแบบจำลองที่ไม่มีการหมุน เรามักจะเลือกค่าการหมุนที่เหมาะสมที่สุด โดยคำนึงถึงการสังเกตการณ์เชิงทดลองอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด หากไม่มีค่าพารามิเตอร์การหมุนใดที่ประสบความสำเร็จและทฤษฎีไม่สอดคล้องกับความคลาดเคลื่อนของการสังเกตการณ์ เราจะพิจารณาการปรับเปลี่ยนกฎทางฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น การนำ สสารมืดมาใช้เพื่ออธิบายเส้นโค้งการหมุนของกาแล็กซีจนถึงปัจจุบัน การสังเกตการณ์แสดงให้เห็นว่าการหมุนของเอกภพนั้นช้ามาก ไม่เร็วกว่าหนึ่งครั้งทุกๆ6 × 10 ¹³ปี (10 ⁻¹³  เรเดียน/ปี) ^{[ 37 ]}และยังคงมีการถกเถียงกันอยู่ว่ามีการหมุนหรือไม่อย่างไรก็ตามหากพบการหมุน การตีความการสังเกตในกรอบที่ผูกติดกับจักรวาลจะต้องได้รับการแก้ไขสำหรับแรงสมมติที่มีอยู่ในการหมุนดังกล่าวในฟิสิกส์คลาสสิกและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ หรือตีความว่าเป็นความโค้งของกาลอวกาศและการเคลื่อนที่ของสสารตามเส้นทางจีโอเดสิกในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 38 ]}

เมื่อ ปรากฏการณ์ ควอนตัมมี ความสำคัญ จะมีปัญหาเชิงแนวคิดเพิ่มเติมเกิดขึ้นในกรอบอ้างอิงควอนตัม

กรอบอ้างอิงเร่งความเร็ว มักถูกกำหนดให้เป็นกรอบ "ไพรม์" และตัวแปรทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับกรอบนั้นจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายไพรม์ เช่นx′ , y′ , a ′

เวกเตอร์จากจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงเฉื่อยไปยังจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงเร่งความเร็ว มักใช้สัญลักษณ์Rโดยที่จุดสนใจที่ปรากฏอยู่ในทั้งสองกรอบ เวกเตอร์จากจุดกำเนิดเฉื่อยไปยังจุดนั้นเรียกว่าrและเวกเตอร์จากจุดกำเนิดเร่งความเร็วไปยังจุดนั้นเรียกว่าr ′

จากเรขาคณิตของสถานการณ์

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {R} +\mathbf {r} '.}$

หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอันดับที่สองของสิ่งนี้เทียบกับเวลา

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} +\mathbf {v} ',}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} +\mathbf {a} '.}$

โดยที่VและAคือความเร็วและความเร่งของระบบที่เร่งความเร็วเมื่อเทียบกับระบบเฉื่อย และvและaคือความเร็วและความเร่งของจุดที่สนใจเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

สมการเหล่านี้ช่วยให้สามารถแปลงระหว่างระบบพิกัดทั้งสองได้ ตัวอย่างเช่นกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m\mathbf {A} +m\mathbf {a} '.}$

เมื่อมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเนื่องจากแรงกระทำ จะเกิดปรากฏการณ์ความเฉื่อยขึ้น เช่น หากรถยนต์ไฟฟ้าที่ออกแบบมาให้ชาร์จระบบแบตเตอรี่เมื่อชะลอความเร็วถูกเปลี่ยนเป็นการเบรก แบตเตอรี่ก็จะถูกชาร์จใหม่ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความแข็งแกร่งทางกายภาพของปรากฏการณ์ความเฉื่อย อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์ความเฉื่อยไม่ได้ขัดขวางการเร่งความเร็ว (หรือการชะลอความเร็ว) เพราะปรากฏการณ์ความเฉื่อยเกิดขึ้นเพื่อตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงความเร็วอันเนื่องมาจากแรง เมื่อมองจากมุมมองของกรอบอ้างอิงที่หมุน ปรากฏการณ์ความเฉื่อยจะปรากฏว่าออกแรงกระทำ (ไม่ว่าจะเป็นในทิศทางแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางหรือในทิศทางตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งก็คือปรากฏการณ์โคริโอลิส )

กรอบอ้างอิงแบบเร่งความเร็วชนิดหนึ่งที่พบได้ทั่วไป คือ กรอบที่ทั้งหมุนและเคลื่อนที่ (ตัวอย่างเช่น กรอบอ้างอิงที่ติดอยู่กับแผ่นซีดีซึ่งกำลังเล่นอยู่ขณะที่ถือเครื่องเล่น)

การจัดเรียงนี้จะนำไปสู่สมการ (ดูแรงเสมือนเพื่อดูที่มา):

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')+\mathbf {A} _{0},}$

หรือเพื่อหาค่าความเร่งในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่ง

${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} -{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')-\mathbf {A} _{0}.}$

เมื่อคูณด้วยมวลmจะได้

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} _{\mathrm {กายภาพ} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {ออยเลอร์} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {centripetal} }-m\mathbf {A} _{0},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {ออยเลอร์} }=-m{\dot {\boldสัญลักษณ์ {\omega }}}\times \mathbf {r} '}$( แรงออยเลอร์ )

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '}$( แรงโคริโอลิส )

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldสัญลักษณ์ {\omega }}\times ({\boldสัญลักษณ์ {\omega }}\times \mathbf {r} ')=m(\omega ^{2}\mathbf {r} '-({\boldสัญลักษณ์ {\omega }}\cdot \mathbf {r} '){\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }})}$( แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง )

กรอบอ้างอิงเฉื่อยและไม่เฉื่อยสามารถแยกแยะได้จากการไม่มีหรือมีแรงสมมติ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ผลของการอยู่ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยคือ ผู้สังเกตการณ์จะต้องนำแรงสมมติเข้ามาใช้ในการคำนวณของตน...

การมีอยู่ของแรงสมมติบ่งชี้ว่ากฎทางฟิสิกส์ไม่ใช่กฎที่ง่ายที่สุดที่มีอยู่ ในแง่ของหลักการสัมพัทธภาพพิเศษกรอบที่มีแรงสมมติอยู่จะไม่ใช่กรอบเฉื่อย: ^{[ 39 ]}

สมการการเคลื่อนที่ในระบบที่ไม่เฉื่อยจะแตกต่างจากสมการในระบบเฉื่อยตรงที่มีพจน์เพิ่มเติมที่เรียกว่าแรงเฉื่อย ซึ่งทำให้เราสามารถตรวจจับลักษณะที่ไม่เฉื่อยของระบบได้จากการทดลอง

วัตถุในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยจะอยู่ภายใต้ แรง เสมือน (pseudo-forces) ซึ่งก็คือแรงที่เกิดจากความเร่งของกรอบอ้างอิงเอง ไม่ใช่แรงทางกายภาพใดๆ ที่กระทำต่อวัตถุ ตัวอย่างของแรงเสมือน ได้แก่แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและแรงโคริโอลิสในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้

ในการนำนิยามของกรอบอ้างอิงเฉื่อยตามทฤษฎีของนิวตันมาใช้ จำเป็นต้องทำความเข้าใจให้ชัดเจนถึงความแตกต่างระหว่างแรง "สมมติ" และแรง "จริง"

ตัวอย่างเช่น พิจารณาวัตถุที่อยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย เนื่องจากอยู่นิ่ง จึงไม่มีแรงสุทธิกระทำ แต่ในกรอบอ้างอิงที่หมุนรอบแกนคงที่ วัตถุจะปรากฏว่าเคลื่อนที่เป็นวงกลม และอยู่ภายใต้แรงสู่ศูนย์กลาง จะตัดสินได้อย่างไรว่ากรอบอ้างอิงที่หมุนนั้นเป็นกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย มีสองแนวทางในการแก้ปัญหานี้ แนวทางหนึ่งคือการมองหาที่มาของแรงเสมือน (แรงโคริโอลิสและแรงหนีศูนย์กลาง) จะพบว่าไม่มีแหล่งที่มาของแรงเหล่านี้ ไม่มีตัวพาแรง ที่เกี่ยวข้อง ไม่มีวัตถุต้นกำเนิด^{[ 40 ]}แนวทางที่สองคือการพิจารณากรอบอ้างอิงที่หลากหลาย สำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อยใดๆ แรงโคริโอลิสและแรงหนีศูนย์กลางจะหายไป ดังนั้นการประยุกต์ใช้หลักการสัมพัทธภาพพิเศษจะระบุกรอบเหล่านี้ที่แรงหายไปว่ามีกฎทางฟิสิกส์ที่เหมือนกันและง่ายที่สุด และด้วยเหตุนี้จึงตัดสินว่ากรอบอ้างอิงที่หมุนนั้นไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย

นิวตันได้ตรวจสอบปัญหานี้ด้วยตนเองโดยใช้ทรงกลมหมุน ดังแสดงในรูปที่ 2 และรูปที่ 3 เขาชี้ให้เห็นว่าหากทรงกลมไม่หมุน แรงตึงในเชือกที่ผูกจะวัดได้เป็นศูนย์ในทุกกรอบอ้างอิง^{[ 41 ]}หากทรงกลมดูเหมือนจะหมุนเท่านั้น (นั่นคือ เรากำลังดูทรงกลมที่อยู่นิ่งจากกรอบหมุน) แรงตึงเป็นศูนย์ในเชือกจะถูกอธิบายโดยการสังเกตว่าแรงสู่ศูนย์กลางนั้นเกิดจากแรงหนีศูนย์กลางและแรงโคริโอลิสรวมกัน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีแรงตึง หากทรงกลมหมุนจริง ๆ แรงตึงที่สังเกตได้จะเป็นแรงสู่ศูนย์กลางที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลม ดังนั้น การวัดแรงตึงในเชือกจะระบุกรอบอ้างอิงเฉื่อย: มันคือกรอบที่แรงตึงในเชือกให้แรงสู่ศูนย์กลางที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่ตามที่สังเกตได้ในกรอบนั้น และไม่ใช่ค่าอื่น นั่นคือ กรอบอ้างอิงเฉื่อยคือกรอบที่แรงสมมติหายไป

สำหรับความเร่งเชิงเส้นนิวตันได้แสดงความคิดเรื่องความเร่งเชิงเส้นที่ไม่สามารถตรวจจับได้ซึ่งถือเป็นเรื่องทั่วไป: ^{[ 26 ]}

หากวัตถุต่างๆ ที่เคลื่อนที่ไปมาอยู่แล้ว ถูกแรงเร่งที่มีขนาดเท่ากันผลักไปในทิศทางของเส้นขนาน วัตถุเหล่านั้นก็จะยังคงเคลื่อนที่ไปมาในลักษณะเดียวกันกับที่ไม่มีแรงเร่งใดๆ มาผลัก

หลักการนี้เป็นการขยายแนวคิดของกรอบอ้างอิงเฉื่อย ตัวอย่างเช่น ผู้สังเกตการณ์ที่ถูกจำกัดอยู่ในลิฟต์ที่กำลังตกอย่างอิสระจะยืนยันว่าตนเองเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ถูกต้อง แม้ว่าตนเองจะกำลังเร่งความเร็วภายใต้แรงโน้มถ่วง ตราบใดที่ตนเองไม่มีความรู้เกี่ยวกับสิ่งใดๆ ภายนอกลิฟต์ ดังนั้น โดยหลักการแล้ว กรอบอ้างอิงเฉื่อยจึงเป็นแนวคิดเชิงสัมพัทธ์ ด้วยเหตุนี้ กรอบอ้างอิงเฉื่อยจึงสามารถนิยามโดยรวมได้ว่าเป็นเซตของกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงอื่นๆ ดังนั้น กรอบอ้างอิงเฉื่อยแต่ละกรอบจึงถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบหนึ่งของเซตนี้

เพื่อให้แนวคิดเหล่านี้ใช้ได้ ทุกสิ่งที่สังเกตได้ในกรอบอ้างอิงจะต้องอยู่ภายใต้ความเร่งพื้นฐานร่วมกันของกรอบอ้างอิงนั้น สถานการณ์ดังกล่าวจะใช้ได้กับตัวอย่างลิฟต์ ตัวอย่างเช่น ลิฟต์นั้นวัตถุทุกชิ้นอยู่ภายใต้ความเร่งโน้มถ่วงเดียวกัน และตัวลิฟต์เองก็เร่งความเร็วในอัตราเดียวกัน

ระบบนำทางเฉื่อยใช้กลุ่มของไจโรสโคปและมาตรวัดความเร่งเพื่อกำหนดความเร่งสัมพัทธ์กับปริภูมิเฉื่อย หลังจากที่ไจโรสโคปหมุนไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งในปริภูมิเฉื่อย กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมกำหนดให้ไจโรสโคปต้องรักษาทิศทางนั้นไว้ตราบใดที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อมัน^{[ 42 ] : 59} ไจโรสโคปสามตัวที่ตั้งฉากกันจะสร้างกรอบอ้างอิงเฉื่อย และมาตรวัดความเร่งจะวัดความเร่งสัมพัทธ์กับกรอบนั้น จากนั้นสามารถใช้ความเร่งร่วมกับนาฬิกาเพื่อคำนวณการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งได้ ดังนั้น การนำทางเฉื่อยจึงเป็นรูปแบบหนึ่งของการคำนวณตำแหน่งโดยประมาณที่ไม่ต้องการข้อมูลป้อนเข้าจากภายนอก และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถถูกรบกวนโดยแหล่งสัญญาณภายนอกหรือภายในใดๆ ได้^{[ 43 ]}

ไจโรคอมพาสซึ่งใช้ในการนำทางเรือเดินทะเล จะหาทิศเหนือทางเรขาคณิต โดยไม่ได้ตรวจจับสนามแม่เหล็กโลก แต่ใช้พื้นที่เฉื่อยเป็นจุดอ้างอิง^{[ 44 ]}ตัวเรือนภายนอกของอุปกรณ์ไจโรคอมพาสถูกยึดไว้ในลักษณะที่ยังคงอยู่ในแนวเดียวกับเส้นดิ่งท้องถิ่น เมื่อล้อไจโรสโคปภายในอุปกรณ์ไจโรคอมพาสหมุนขึ้น วิธีการแขวนล้อไจโรสโคปทำให้ล้อไจโรสโคปค่อยๆ ปรับแกนหมุนให้ตรงกับแกนโลก การปรับให้ตรงกับแกนโลกเป็นทิศทางเดียวที่แกนหมุนของไจโรสโคปสามารถอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับโลกและไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนทิศทางเมื่อเทียบกับพื้นที่เฉื่อย หลังจากหมุนขึ้นแล้ว ไจโรคอมพาสสามารถไปถึงทิศทางที่ตรงกับแกนโลกได้ในเวลาเพียงหนึ่งในสี่ของชั่วโมง^{[ 45 ]}

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์เช่นเดียวกับกลศาสตร์ของนิวตัน ตั้งสมมติฐานว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดมีความเท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษตั้งสมมติฐานว่าความเร็วแสงในสุญญากาศไม่เปลี่ยนแปลงการแปลงระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยจึงเป็นการแปลงลอเรนซ์ไม่ใช่การแปลงกาลิเลียนที่ใช้ในกลศาสตร์ของนิวตัน

ความไม่เปลี่ยนแปลงของความเร็วแสงนำไปสู่ปรากฏการณ์ที่ขัดกับสัญชาตญาณ เช่นการยืดเวลาการหดตัวของความยาวและความสัมพันธ์ของความพร้อมกัน การคาดการณ์ของทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษได้รับการตรวจสอบอย่างกว้างขวางในเชิงทดลอง^{[ 46 ]}การแปลงลอเรนซ์จะลดลงเหลือการแปลงกาลิเลียนเมื่อความเร็วแสงเข้าใกล้อนันต์หรือเมื่อความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างเฟรมเข้าใกล้ศูนย์^{[ 47 ]}

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมีพื้นฐานมาจากหลักการสมดุล: ^{[ 48 ] [ 49 ]}

ไม่มีการทดลองใดที่ผู้สังเกตการณ์สามารถทำได้เพื่อแยกแยะว่าความเร่งเกิดขึ้นเนื่องจากแรงโน้มถ่วงหรือเนื่องจากกรอบอ้างอิงของพวกเขากำลังเร่งความเร็ว

แนวคิดนี้ได้รับการนำเสนอในบทความ "หลักการสัมพัทธภาพและแรงโน้มถ่วง" ของไอน์สไตน์ในปี 1907 และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในปี 1911 ^{[ 50 ]}หลักฐานสนับสนุนหลักการนี้พบได้ในการทดลองของเออท^เวิ ส ซึ่งตรวจสอบว่าอัตราส่วนของมวลเฉื่อยต่อมวลโน้มถ่วงนั้นเท่ากันสำหรับวัตถุทุกชนิดหรือไม่ โดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือองค์ประกอบ จนถึงปัจจุบันยังไม่พบความแตกต่างที่ต่างกันเพียงไม่กี่ส่วนใน 10 ^{11 [} 51 ^]สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับรายละเอียดปลีกย่อยของการทดลองของเออทเวิส เช่น การกระจายมวลในบริเวณรอบๆ สถานที่ทดลอง (รวมถึงเรื่องตลกเกี่ยวกับมวลของเออทเวิสเอง) โปรดดูที่แฟรงคลิน^{[ 52 ]}

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ได้ปรับเปลี่ยนความแตกต่างระหว่างผลกระทบที่ "เฉื่อย" และ "ไม่เฉื่อย" โดยแทนที่ปริภูมิMinkowski ที่ "ราบเรียบ" ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ด้วยเมตริกที่สร้างความโค้งที่ไม่เป็นศูนย์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป หลักการของความเฉื่อยถูกแทนที่ด้วยหลักการของการเคลื่อนที่ตามเส้นทางจีโอเดสิก ซึ่งวัตถุเคลื่อนที่ในลักษณะที่ถูกกำหนดโดยความโค้งของปริภูมิเวลา ผลจากความโค้งนี้ ทำให้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป วัตถุเฉื่อยที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราที่แน่นอนเมื่อเทียบกับวัตถุอื่น ๆ จะยังคงเคลื่อนที่ด้วยอัตรานั้นต่อไป ปรากฏการณ์ของการเบี่ยงเบนตามเส้นทางจีโอเดสิก นี้ หมายความว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยไม่มีอยู่ทั่วโลกเหมือนในกลศาสตร์นิวตันและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีทั่วไปจะลดลงเหลือทฤษฎีพิเศษในบริเวณปริภูมิเวลา ที่เล็กพอสมควร ซึ่งผลกระทบของความโค้งจะมีความสำคัญน้อยลง และข้อโต้แย้งกรอบอ้างอิงเฉื่อยก่อนหน้านี้สามารถกลับมาใช้ได้อีกครั้ง^{[ 53 ] [ 54 ]}ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสมัยใหม่จึงบางครั้งถูกอธิบายว่าเป็นเพียง "ทฤษฎีท้องถิ่น" ^{[ 55 ]} "ท้องถิ่น" อาจครอบคลุมถึง กาแล็กซีทางช้างเผือกทั้งหมด ตัวอย่างเช่นนักดาราศาสตร์Karl Schwarzschildสังเกตการเคลื่อนที่ของดาวคู่ที่โคจรรอบกัน เขาพบว่าวงโคจรของดาวทั้งสองในระบบดังกล่าวอยู่ในระนาบเดียวกัน และจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของวงโคจรของดาวทั้งสองยังคงชี้ไปในทิศทางเดียวกันเมื่อเทียบกับระบบสุริยะ Schwarzschild ชี้ให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นสิ่งที่พบเห็นได้เสมอ: ทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบดาวคู่ที่สังเกตได้ทั้งหมดจะคงที่เมื่อเทียบกับทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบสุริยะ การสังเกตเหล่านี้ทำให้เขาสรุปได้ว่ากรอบเฉื่อยภายในกาแล็กซีไม่หมุนสัมพันธ์กัน และอวกาศของทางช้างเผือกมีลักษณะใกล้เคียงกับกาลิเลียนหรือมิงคอฟสกี้^{[ 56 ]}

• เอ็ดวิน เอฟ. เทย์เลอร์และจอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์ , ฟิสิกส์กาลอวกาศ , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 (ฟรีแมน, นิวยอร์ก, 1992)
• อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ , ทฤษฎีสัมพัทธภาพ ทฤษฎีพิเศษและทฤษฎีทั่วไปฉบับที่ 15 (1954)
• ปวงกาเร, อองรี (1900) "ลา เธโอรี เดอ ลอเรนซ์ และปรินซิปี เดอ ปฏิกิริยา" หอจดหมายเหตุ Neerlandaises วี : 253– 78.
• อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ , ว่าด้วยพลศาสตร์ไฟฟ้าของวัตถุเคลื่อนที่ , รวมอยู่ในหลักการสัมพัทธภาพ , หน้า 38. โดเวอร์ 1923

การหมุนของจักรวาล

• Julian B. Barbour; Herbert Pfister (1998). หลักการของมัค: จากถังของนิวตันสู่แรงโน้มถ่วงควอนตัม . Birkhäuser. หน้า 445. ISBN 0-8176-3823-7.
• พีเจ นาหิน (1999) เครื่องย้อนเวลา . สปริงเกอร์. พี 369; เชิงอรรถ 12. ISBN 0-387-98571-9.
• B. Ciobanu, I. Radinchi เก็บถาวรเมื่อวันที่ 19 กรกฎาคม 2013 ที่Wayback Machine การจำลองสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในเอกภพที่หมุน Rom. Journ. Phys., Vol. 53, Nos. 1–2, P. 405–415, Bucharest, 2008
• Yuri N. Obukhov, Thoralf Chrobok, Mike Scherfner เก็บถาวรเมื่อวันที่ 9 กรกฎาคม 2017 ที่Wayback Machine การขยายตัวแบบหมุนโดยปราศจากแรงเฉือน Phys. Rev. D 66, 043518 (2002) [5 หน้า]
• ยูริ เอ็น. โอบูคอฟว่าด้วยพื้นฐานทางฟิสิกส์และผลกระทบจากการสังเกตการหมุนของจักรวาล (2000)
• Li-Xin Li เก็บถาวรเมื่อวันที่ 9 กรกฎาคม 2017 ที่Wayback Machine ผลกระทบของการหมุนรอบตัวเองของจักรวาลต่อการก่อตัวของกาแล็กซีทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและแรงโน้มถ่วง30 (1998) doi : 10.1023/A:1018867011142
• P Birch เก็บถาวรเมื่อวันที่ 5 มีนาคม 2016 ที่Wayback Machine จักรวาลหมุนอยู่หรือไม่? Nature 298, 451 – 454 (29 กรกฎาคม 1982)
• Kurt Gödel ตัวอย่างของคำตอบทางจักรวาลวิทยาแบบใหม่ของสมการสนามแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ Rev. Mod. Phys., Vol. 21, p. 447, 1949

• บทความจากสารานุกรมปรัชญาของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 4 ธันวาคม 2010 ที่Wayback Machine
• คลิปแอนิเมชั่นบน YouTubeแสดงภาพฉากต่างๆ ที่มองจากทั้งกรอบอ้างอิงเฉื่อยและกรอบอ้างอิงหมุน เพื่อแสดงภาพแรงโคริโอลิสและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง
• "แรงโน้มถ่วงเป็นเพียงภาพลวงตาหรือไม่?" PBS Space Time 3 มิถุนายน 2015 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 13 พฤศจิกายน 2021 – ผ่านทางYouTube