การหดตัวของความยาวคือปรากฏการณ์ที่ความยาวของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่วัดได้สั้นกว่าความยาวที่แท้จริงซึ่งก็คือความยาวที่วัดได้ในกรอบอ้างอิงของ วัตถุเอง ^{[ 1 ]}เรียกอีกอย่างว่าการหดตัวของลอเรนซ์หรือการหดตัวของลอเรนซ์-ฟิตซ์เจอรัลด์ (ตั้งชื่อตามเฮนดริก ลอเรนซ์และจอร์จ ฟรานซิส ฟิตซ์เจอรัลด์ ) และมักจะสังเกตเห็นได้เฉพาะที่ความเร็วระดับเศษส่วนมากของความเร็วแสงเท่านั้น การหดตัวของความยาวจะวัดได้เฉพาะในทิศทางที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่ สำหรับวัตถุปกติ ผลกระทบนี้แทบจะไม่มีนัยสำคัญที่ความเร็วในชีวิตประจำวัน และสามารถละเลยได้สำหรับวัตถุประสงค์ทั่วไปทั้งหมด โดยจะมีความสำคัญก็ต่อเมื่อวัตถุเข้าใกล้ความเร็วแสงเมื่อเทียบกับผู้สังเกต

การหดตัวของความยาวถูกตั้งสมมติฐานโดยGeorge FitzGerald (1889) และHendrik Antoon Lorentz (1892) เพื่ออธิบายผลลัพธ์เชิงลบของการทดลอง Michelson–Morleyและเพื่อกู้สมมติฐานของอีเธอร์ที่อยู่กับที่ ( สมมติฐานการหดตัวของ Lorentz–FitzGerald ) ^{[ 2 ] [ 3 ]} แม้ว่าทั้ง FitzGerald และ Lorentz จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสนามไฟฟ้าสถิตที่เคลื่อนที่นั้นผิดรูป ("Heaviside-Ellipsoid" ตามOliver Heavisideผู้ซึ่งได้มาจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าในปี 1888) แต่ก็ถือว่าเป็นสมมติฐานเฉพาะกิจเนื่องจากในขณะนั้นไม่มีเหตุผลเพียงพอที่จะสันนิษฐานว่าแรงระหว่างโมเลกุลมีพฤติกรรมเช่นเดียวกับแรงแม่เหล็กไฟฟ้า ในปี 1897 Joseph Larmorได้พัฒนารูปแบบที่ถือว่าแรงทั้งหมดมีต้นกำเนิดมาจากแม่เหล็กไฟฟ้า และการหดตัวของความยาวปรากฏเป็นผลโดยตรงจากรูปแบบนี้ อย่างไรก็ตาม อองรี ปวงกาเร (1905) ได้แสดงให้เห็นว่าแรงแม่เหล็กไฟฟ้าเพียงอย่างเดียวไม่สามารถอธิบายเสถียรภาพของอิเล็กตรอนได้ ดังนั้นเขาจึงต้องนำเสนอสมมติฐานเฉพาะกิจอื่น: แรงยึดเหนี่ยวที่ไม่ใช่ไฟฟ้า ( แรงเค้นของปวงกาเร ) ที่รับประกันเสถียรภาพของอิเล็กตรอน ให้คำอธิบายเชิงพลวัตสำหรับการหดตัวของความยาว และด้วยเหตุนี้จึงซ่อนการเคลื่อนที่ของอีเธอร์ที่หยุดนิ่ง^{[ 4 ]}

ลอเรนซ์เชื่อว่าการหดตัวของความยาวแสดงถึงการหดตัวทางกายภาพของอะตอมที่ประกอบเป็นวัตถุ เขาไม่ได้มองเห็นการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานในธรรมชาติของอวกาศและเวลา^{[ 5 ] : 62–68} ลอเรนซ์คาดว่าการหดตัวของความยาวจะส่งผลให้เกิดความเครียดจากการบีบอัดในวัตถุ ซึ่งควรจะส่งผลให้เกิดผลที่วัดได้ ผลดังกล่าวจะรวมถึงผลทางแสงในสื่อโปร่งใส เช่น การหมุนทางแสง^{[ 6 ]}และการเหนี่ยวนำการหักเหสองชั้น^{[ 7 ]}และการเหนี่ยวนำแรงบิดบนตัวเก็บประจุที่มีประจุซึ่งเคลื่อนที่ทำมุมกับอีเธอร์

ลอเรนซ์รู้สึกงุนงงกับการทดลองต่างๆ เช่นการทดลองของทรูตัน-โนเบิลและการทดลองของเรย์ลีย์และเบรซซึ่งไม่สามารถยืนยันความคาดหวังทางทฤษฎีของเขาได้^{[ 5 ]}

เพื่อความสอดคล้องทางคณิตศาสตร์ ลอเรนซ์เสนอตัวแปรเวลาใหม่ที่เรียกว่า "เวลาท้องถิ่น" ซึ่งเรียกเช่นนั้นเพราะมันขึ้นอยู่กับตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ตามความสัมพันธ์t ′ = t − vx / c ^{2 [ 8} ] ลอเรนซ์ถือว่าเวลาท้องถิ่นไม่ใช่ "ของจริง" แต่เป็นเพียงการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบเฉพาะกิจ^{[ 9 ] : 51 , 80}

ปวงกาเรประทับใจใน "แนวคิดอันชาญฉลาดที่สุด" ของลอเรนซ์ และมองเห็นคุณค่าของเวลาท้องถิ่นมากกว่าแค่กลอุบายทางคณิตศาสตร์ มันแสดงถึงเวลาจริงที่จะปรากฏบนนาฬิกาของผู้สังเกตการณ์ที่กำลังเคลื่อนที่ ในทางกลับกัน ปวงกาเรไม่ได้พิจารณาเวลาที่วัดได้นี้ว่าเป็น "เวลาที่แท้จริง" ที่จะปรากฏบนนาฬิกาที่หยุดนิ่งในอีเธอร์ ปวงกาเรไม่ได้พยายามที่จะกำหนดนิยามใหม่ของแนวคิดเรื่องพื้นที่และเวลา สำหรับปวงกาเร การแปลงลอเรนซ์อธิบาย สถานะ ที่ปรากฏของสนามสำหรับผู้สังเกตการณ์ที่กำลังเคลื่อนที่สถานะที่แท้จริงยังคงเป็นสถานะที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับอีเธอร์^{[ 10 ]}

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้ลบลักษณะเฉพาะกิจออกจากสมมติฐานการหดตัว^{[ 4 ]}ประกาศว่าอีเธอร์เป็น "ส่วนเกิน" พร้อมกับแนวคิดของพื้นที่ที่หยุดนิ่งอย่างสมบูรณ์ และได้อภิปรายผลกระทบของการหดตัวของความยาวในบทความปี 1905 ของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ^{[ 11 ]}ไอน์สไตน์เสนอว่าการแปลงของลอเรนซ์ใช้ได้กับทั้งแม่เหล็กไฟฟ้าและกลศาสตร์^{[ 12 ] : 17} เฮอร์มันน์ มินคอฟสกี ได้ให้การตีความทางเรขาคณิตของผลกระทบสั ม พัทธภาพทั้งหมดโดยการแนะนำแนวคิดของ กาลอวกาศสี่มิติของเขา^{[ 13 ]}

ในตอนแรกนั้น ผลกระทบทางภาพที่หลากหลายและสับสนของการรวมกันของการหดตัวของความยาวและความเร็วแสงที่จำกัดนั้นยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้ ลอเรนซ์อ้างอย่างผิดพลาดในปี 1922 ว่าสามารถถ่ายภาพได้จอร์จ กาโมว์แสดงจักรยานในลักษณะที่สั้นลงในภาพประกอบของเขาสำหรับหนังสือMr Tompkins in Wonderlandแม้ว่าจะมีบทความที่มีลักษณะที่ถูกต้องของแท่งที่เคลื่อนที่ตีพิมพ์ในปี 1924 แต่ก็ไม่ได้มีคนอ่านกันอย่างแพร่หลาย จนกระทั่งในปี 1959 เมื่อเจมส์ เทอร์เรลล์และโรเจอร์ เพนโรสเขียนเกี่ยวกับผลกระทบทางภาพที่ปัจจุบันเรียกว่าการหมุนของเทอร์เรลล์ความยากลำบากจึงชัดเจนขึ้น^{[ 14 ]}บทความของเทอร์เรลล์ชื่อ "การมองไม่เห็นของการหดตัวของลอเรนซ์" กล่าวว่าไม้บรรทัดเมตรจะปรากฏว่าหมุน และการหดตัวนั้นสามารถวัดได้จากภาพถ่ายโดยไม่ต้องแก้ไขความเร็วแสงที่จำกัด

ก่อนอื่นจำเป็นต้องพิจารณาวิธีการวัดความยาวของวัตถุที่หยุดนิ่งและเคลื่อนที่อย่างรอบคอบ^{[ 15 ]}ในที่นี้ "วัตถุ" หมายถึงระยะทางที่มีจุดปลายที่หยุดนิ่งซึ่งกันและกันเสมอ กล่าวคือหยุดนิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย เดียวกัน หากความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างผู้สังเกตและวัตถุที่สังเกตเป็นศูนย์ความยาวที่แท้จริง ของวัตถุสามารถกำหนดได้โดยการวางไม้บรรทัดวัดลงไปโดยตรง อย่างไรก็ตาม หากความเร็วสัมพัทธ์มากกว่าศูนย์ ก็สามารถดำเนินการได้ดังนี้: ${\displaystyle L_{0}}$

ผู้สังเกตการณ์ติดตั้งแถวนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กันโดยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้: ก) โดยการแลกเปลี่ยนสัญญาณแสงตามการซิงโครไนซ์ของปวงกาเร-ไอน์สไตน์ หรือ ข) โดย "การขนส่งนาฬิกาแบบช้า" กล่าวคือ นาฬิกาหนึ่งเรือนจะถูกขนส่งไปตามแถวนาฬิกาในขีดจำกัดของความเร็วในการขนส่ง ที่เป็นศูนย์เมื่อกระบวนการซิงโครไนซ์เสร็จสิ้น วัตถุจะถูกเคลื่อนย้ายไปตามแถวนาฬิกา และนาฬิกาทุกเรือนจะบันทึกเวลาที่แน่นอนเมื่อปลายด้านซ้ายหรือด้านขวาของวัตถุผ่านไป หลังจากนั้น ผู้สังเกตการณ์เพียงแค่ต้องดูตำแหน่งของนาฬิกา A ที่บันทึกเวลาเมื่อปลายด้านซ้ายของวัตถุผ่านไป และนาฬิกา B ที่ปลายด้านขวาของวัตถุผ่านไปในเวลาเดียวกันเห็นได้ชัดว่าระยะทาง AB เท่ากับความยาวของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่^{[ 15 ]}ด้วยวิธีนี้ นิยามของความพร้อมกันจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการวัดความยาวของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ${\displaystyle L}$

อีกวิธีหนึ่งคือการใช้นาฬิกาที่แสดงเวลาที่ถูกต้อง ซึ่งเดินทางจากจุดปลายด้านหนึ่งของแท่งไปยังอีกด้านหนึ่งตามเวลาที่วัดโดยนาฬิกาในกรอบอ้างอิงของแท่ง ความยาวของแท่งสามารถคำนวณได้โดยการคูณเวลาเดินทางด้วยความเร็ว ดังนั้นในกรอบอ้างอิงของแท่งหรือในกรอบอ้างอิงของนาฬิกา^{[ 16 ]}${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L_{0}=T\cdot v}$${\displaystyle L=T_{0}\cdot v}$

ในกลศาสตร์นิวตัน ความพร้อมกันและระยะเวลาเป็นสิ่งสัมบูรณ์ ดังนั้นทั้งสองวิธีจึงนำไปสู่ความเท่ากันของและอย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ความคงที่ของความเร็วแสงในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด ร่วมกับความสัมพันธ์ของความพร้อมกันและการยืดเวลา ทำลายความเท่ากันนี้ ในวิธีแรก ผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงหนึ่งอ้างว่าได้วัดจุดปลายของวัตถุพร้อมกัน แต่ผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นๆ จะโต้แย้ง ว่าไม่ได้ วัด จุดปลายของวัตถุพร้อมกัน ในวิธีที่สอง เวลาและไม่เท่ากันเนื่องจากการยืดเวลา ส่งผลให้ความยาวแตกต่างกันด้วย ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$

ความคลาดเคลื่อนระหว่างการวัดในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดนั้นกำหนดโดยสูตรสำหรับการแปลงลอเรนซ์และการยืดเวลา (ดูการพิสูจน์ ) ปรากฏว่าความยาวที่แท้จริงยังคงไม่เปลี่ยนแปลงและแสดงถึงความยาวสูงสุดของวัตถุเสมอ และความยาวของวัตถุเดียวกันที่วัดในกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นจะสั้นกว่าความยาวที่แท้จริง การหดตัวนี้เกิดขึ้นเฉพาะตามแนวการเคลื่อนที่เท่านั้น และสามารถแสดงได้ด้วยความสัมพันธ์

${\displaystyle L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle L}$คือความยาวที่ผู้สังเกตซึ่งกำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุสามารถสังเกตได้
• ${\displaystyle L_{0}}$คือความยาวที่เหมาะสม (ความยาวของวัตถุในกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่ง)
• ${\displaystyle \gamma (v)}$คือตัวประกอบลอเรนซ์ซึ่งกำหนดโดย โดยที่ $${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$
  • ${\displaystyle v}$คือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างผู้สังเกตการณ์และวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่
  • ${\displaystyle c}$คือความเร็วแสง

การแทนที่ตัวประกอบลอเรนซ์ในสูตรเดิมนำไปสู่ความสัมพันธ์ดังนี้

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

ในสมการนี้ ทั้ง x และ y ถูกวัดขนานกับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุ สำหรับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์ ความยาวของวัตถุจะวัดได้โดยการลบระยะทางที่วัดพร้อมกันของปลายทั้งสองข้างของวัตถุ สำหรับการแปลงทั่วไปเพิ่มเติม โปรดดูการแปลงลอเรนซ์ผู้สังเกตที่หยุดนิ่งซึ่งสังเกตวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วแสง จะสังเกตเห็นความยาวของวัตถุในทิศทางการเคลื่อนที่ว่ามีค่าใกล้เคียงศูนย์มาก ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$

จากนั้น ด้วยความเร็วที่ ความเร็ว 13,400,000  เมตร/วินาที (30 ล้านไมล์ต่อชั่วโมง, 0.0447 c ) ความยาวที่หดตัวจะเท่ากับ 99.9% ของความยาวขณะหยุดนิ่ง ที่ความเร็ว 13,400,000 เมตร/ วินาทีที่ ความเร็ว 42,300,000เมตร /วินาที (95 ล้านไมล์ต่อชั่วโมง, 0.141 c ) ความยาวก็ยังคงอยู่ ที่ 99% เมื่อขนาดของความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสง ผลกระทบนี้ก็จะเด่นชัดขึ้น

หลักการสัมพัทธภาพ (ซึ่งระบุว่ากฎของธรรมชาติไม่เปลี่ยนแปลงในกรอบอ้างอิงเฉื่อย) กำหนดให้การหดตัวของความยาวเป็นแบบสมมาตร: ถ้าแท่งหยุดนิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อยมันจะมีความยาวที่แท้จริงในและความยาวของมันจะหดตัวในอย่างไรก็ตาม ถ้าแท่งหยุดนิ่งในมันจะมีความยาวที่แท้จริงในและความยาวของมันจะหดตัวในสิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนโดยใช้แผนภาพมินคอฟสกี แบบสมมาตร เนื่องจากการแปลงลอเรนซ์สอดคล้องกับการหมุนในปริภูมิ เวลาสี่มิติ ทาง เรขาคณิต^{[ 17 ] [ 18 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$

แรงแม่เหล็กเกิดจากการหดตัวเชิงสัมพัทธภาพเมื่ออิเล็กตรอนเคลื่อนที่สัมพันธ์กับนิวเคลียสของอะตอม แรงแม่เหล็กบนประจุที่เคลื่อนที่อยู่ข้างๆ ลวดที่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านเป็นผลมาจากการเคลื่อนที่เชิงสัมพัทธภาพระหว่างอิเล็กตรอนและโปรตอน^{[ 19 ] [ 20 ]}

ในปี ค.ศ. 1820 อองเดร-มารี อัมแปร์ได้แสดงให้เห็นว่าลวดตัวนำขนานที่มีกระแสไฟฟ้าไหลในทิศทางเดียวกันจะดึงดูดซึ่งกันและกัน ในกรอบอ้างอิงของอิเล็กตรอน ลวดตัวนำที่เคลื่อนที่จะหดตัวเล็กน้อย ทำให้โปรตอนในลวดตัวนำตรงข้ามมีความหนาแน่น มากขึ้นในบริเวณนั้น เนื่องจากอิเล็กตรอนในลวดตัวนำตรงข้ามก็เคลื่อนที่เช่นกัน พวกมันจึงไม่หดตัว (มากนัก) ส่งผลให้เกิดความไม่สมดุลในบริเวณนั้นระหว่างอิเล็กตรอนและโปรตอนอย่างเห็นได้ชัด อิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ในลวดตัวนำหนึ่งจะถูกดึงดูดไปยังโปรตอนส่วนเกินในอีกลวดตัวนำหนึ่ง เราสามารถพิจารณาในทางกลับกันได้เช่นกัน ในกรอบอ้างอิงของโปรตอนที่อยู่นิ่ง อิเล็กตรอนกำลังเคลื่อนที่และหดตัว ส่งผลให้เกิดความไม่สมดุลแบบเดียวกันความเร็วในการเคลื่อนที่ของ อิเล็กตรอน นั้นช้ามากเมื่อเทียบกับความเร็วสัมพัทธภาพ โดยอยู่ในระดับประมาณหนึ่งเมตรต่อชั่วโมง แต่แรงระหว่างอิเล็กตรอนและโปรตอนนั้นมหาศาลมาก แม้แต่ที่ความเร็วที่ช้ามากนี้ การหดตัวเชิงสัมพัทธภาพก็ยังส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญ

ปรากฏการณ์นี้ยังใช้ได้กับอนุภาคแม่เหล็กที่ไม่มีกระแสไฟฟ้า โดยกระแสไฟฟ้าจะถูกแทนที่ด้วยการหมุนของอิเล็กตรอน

ผู้สังเกตการณ์ใดๆ ที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับวัตถุที่ถูกสังเกตไม่สามารถวัดการหดตัวของวัตถุได้ เพราะเขาสามารถตัดสินได้ว่าตนเองและวัตถุอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดียวกันตามหลักการสัมพัทธภาพ (ดังที่ได้แสดงให้เห็นแล้วในการทดลองของทรูตัน-แรงไคน์ ) ดังนั้น การหดตัวของความยาวจึงไม่สามารถวัดได้ในกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งของวัตถุ แต่จะวัดได้เฉพาะในกรอบอ้างอิงที่วัตถุที่ถูกสังเกตกำลังเคลื่อนที่เท่านั้น นอกจากนี้ แม้ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เคลื่อนที่ไปพร้อมกัน การยืนยันการหดตัวของความยาว โดยตรงจากการทดลองก็ทำได้ยาก เนื่องจาก (ก) ในปัจจุบัน เทคโนโลยีไม่สามารถเร่งความเร็ววัตถุที่มีขนาดมากให้ถึงระดับความเร็วสัมพัทธภาพได้ และ (ข) วัตถุเพียงชนิดเดียวที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่ต้องการคืออนุภาคอะตอม ซึ่งมีขนาดในอวกาศเล็กเกินไปที่จะวัดการหดตัวได้โดยตรง

อย่างไรก็ตาม มี การยืนยัน ทางอ้อมถึงผลกระทบนี้ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เคลื่อนที่ไปพร้อมกัน:

• นี่คือผลลัพธ์เชิงลบจากการทดลองที่มีชื่อเสียง ซึ่งจำเป็นต้องมีการนำแนวคิดเรื่องการหดตัวของความยาวมาใช้ นั่นคือการทดลองของมิเชลสัน-มอร์ลีย์ (และต่อมาคือการทดลองของเคนเนดี-ธอร์นไดค์ ) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คำอธิบายมีดังนี้: ในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่ง อินเตอร์เฟอโรเมตรสามารถถือได้ว่าหยุดนิ่งตามหลักการสัมพัทธภาพ ดังนั้นเวลาในการแพร่กระจายของแสงจึงเท่ากันในทุกทิศทาง แม้ว่าในกรอบอ้างอิงที่อินเตอร์เฟอโรเมตรเคลื่อนที่ ลำแสงตามขวางจะต้องเดินทางผ่านเส้นทางทแยงมุมที่ยาวกว่าเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงที่ไม่เคลื่อนที่ ทำให้เวลาในการเดินทางนานขึ้น แต่ปัจจัยที่ทำให้ลำแสงตามยาวล่าช้าโดยใช้เวลาL /( c − v ) และL /( c + v ) สำหรับการเดินทางไปข้างหน้าและย้อนกลับตามลำดับนั้นยาวกว่ามาก ดังนั้น ในทิศทางตามยาว อินเตอร์เฟอโรเมตรจึงควรจะหดตัวลง เพื่อให้เวลาในการเดินทางทั้งสองเท่ากันตามผลลัพธ์เชิงลบจากการทดลอง ดังนั้น ความเร็วแสงสองทางจึงคงที่ และเวลาในการเดินทางไปกลับตามแขนตั้งฉากของอินเตอร์เฟอโรเมตรจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่และทิศทางของมัน
• เมื่อพิจารณาความหนาของชั้นบรรยากาศตามที่วัดในกรอบอ้างอิงของโลก อายุขัยที่สั้นมากของ มิวออนไม่น่าจะทำให้พวกมันสามารถเดินทางไปยังพื้นผิวโลกได้ แม้จะด้วยความเร็วแสงก็ตาม แต่พวกมันก็ทำได้ อย่างไรก็ตาม จากกรอบอ้างอิงของโลก สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเวลาของมิวออนช้าลงเนื่องจากการยืดเวลา แต่ในกรอบอ้างอิงของมิวออน ผลกระทบนี้อธิบายได้จากการที่ชั้นบรรยากาศหดตัว ทำให้การเดินทางสั้นลง^{[ 21 ]}
• ไอออนหนักที่มีรูปร่างทรงกลมเมื่อหยุดนิ่งควรจะมีรูปร่างคล้าย "แพนเค้ก" หรือแผ่นแบนเมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเกือบเท่าความเร็วแสง— และในความเป็นจริง ผลลัพธ์ที่ได้จากการชนกันของอนุภาคสามารถอธิบายได้ก็ต่อเมื่อพิจารณาความหนาแน่นของนิวคลีออนที่เพิ่มขึ้นเนื่องจากการหดตัวของความยาว^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}
• ความสามารถในการ แตกตัวเป็นไอออนของอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าที่มีความเร็วสัมพัทธ์สูงนั้นสูงกว่าที่คาดไว้ ในฟิสิกส์ก่อนสัมพัทธภาพ ความสามารถนี้ควรจะลดลงที่ความเร็วสูง เนื่องจากเวลาที่อนุภาคที่แตกตัวเป็นไอออนซึ่งเคลื่อนที่สามารถมีปฏิสัมพันธ์กับอิเล็กตรอนของอะตอมหรือโมเลกุลอื่น ๆ นั้นลดลง อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ความสามารถในการแตกตัวเป็นไอออนที่สูงกว่าที่คาดไว้นั้นสามารถอธิบายได้ด้วยการหดตัวของความยาวของสนามคูลอมบ์ในกรอบที่อนุภาคที่แตกตัวเป็นไอออนกำลังเคลื่อนที่ ซึ่งจะเพิ่มความแรงของสนามไฟฟ้าในแนวตั้งฉากกับแนวการเคลื่อนที่^{[ 21 ] [ 25 ]}
• ในซิงโครตรอนและเลเซอร์อิเล็กตรอนอิสระอิเล็กตรอนสัมพัทธภาพถูกฉีดเข้าไปในอันดูเลเตอร์ทำให้ เกิด การแผ่รังสีซิงโครตรอนขึ้น ในกรอบอ้างอิงที่เหมาะสมของอิเล็กตรอน อันดูเลเตอร์จะหดตัวลง ซึ่งนำไปสู่ความถี่การแผ่รังสีที่เพิ่มขึ้น นอกจากนี้ ในการหาความถี่ที่วัดได้ในกรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการ ต้องใช้ปรากฏการณ์ดอปเปลอร์สัมพัทธภาพดังนั้น ด้วยความช่วยเหลือของการหดตัวของความยาวและปรากฏการณ์ดอปเปลอร์สัมพัทธภาพเท่านั้น จึงจะสามารถอธิบายความยาวคลื่นที่เล็กมากของการแผ่รังสีอันดูเลเตอร์ได้^{[ 26 ] [ 27 ]}

ในปี พ.ศ. 2454 วลาดิมีร์ วาริชัคยืนยันว่าเราเห็นการหดตัวของความยาวในแบบที่เป็นกลาง ตามที่ลอเรนซ์กล่าว ในขณะที่มันเป็น "เพียงปรากฏการณ์ที่ปรากฏและเป็นอัตวิสัย ซึ่งเกิดจากวิธีการปรับนาฬิกาและการวัดความยาวของเรา" ตามที่ไอน์สไตน์กล่าว^{[ 28 ] [ 29 ]}ไอน์สไตน์ได้ตีพิมพ์คำโต้แย้ง:

ผู้เขียนระบุความแตกต่างระหว่างมุมมองของ Lorentz และมุมมองของฉันเกี่ยวกับข้อเท็จจริงทางกายภาพ โดยไม่มีเหตุผล คำถามที่ว่าการหดตัวของความยาว มี อยู่จริงหรือไม่นั้นทำให้เข้าใจผิด มันไม่ได้มีอยู่จริงในแง่ที่ว่ามันไม่มีอยู่จริงสำหรับผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกัน แม้ว่ามันจะมีอยู่จริง กล่าวคือในลักษณะที่สามารถพิสูจน์ได้ในหลักการโดยวิธีการทางกายภาพโดยผู้สังเกตการณ์ที่ไม่เคลื่อนที่ไปพร้อมกัน^{[ 30 ]}

ไอน์สไตน์ยังโต้แย้งในบทความนั้นด้วยว่า การหดตัวของความยาวไม่ได้เป็นเพียงผลผลิตของ คำจำกัดความ ตามอำเภอใจเกี่ยวกับวิธีการควบคุมนาฬิกาและการวัดความยาวเท่านั้น เขาได้นำเสนอการทดลองทางความคิดดังต่อไปนี้: ให้ A'B' และ A"B" เป็นจุดปลายของแท่งสองแท่งที่มีความยาวที่แท้จริงเท่า กัน L ₀ซึ่งวัดบนแกน x' และ x" ตามลำดับ ให้แท่งทั้งสองเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามตามแกน x* ซึ่งถือว่าหยุดนิ่ง ด้วยความเร็วเท่ากันเมื่อเทียบกับแกนนั้น จุดปลาย A'A" จะมาบรรจบกันที่จุด A* และ B'B" จะมาบรรจบกันที่จุด B* ไอน์สไตน์ชี้ให้เห็นว่าความยาว A*B* สั้นกว่า A'B' หรือ A"B" ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการทำให้แท่งหนึ่งหยุดนิ่งเมื่อเทียบกับแกนนั้น^{[ 30 ]}

เนื่องจากการประยุกต์ใช้สูตรการหดตัวอย่างผิวเผิน อาจก่อให้เกิดความขัดแย้งบางประการได้ ตัวอย่างเช่นความขัดแย้งเรื่องบันไดและความขัดแย้งเรื่องยานอวกาศของเบลล์อย่างไรก็ตาม ความขัดแย้งเหล่านั้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพของความพร้อมกันอย่างถูกต้อง ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงอีกอย่างหนึ่งคือความขัดแย้งของเอห์เรนเฟสต์ซึ่งพิสูจน์ว่าแนวคิดเรื่องวัตถุแข็งเกร็งไม่สอดคล้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ลดความสามารถในการใช้งานของความแข็งแกร่งของบอร์นและแสดงให้เห็นว่าสำหรับผู้สังเกตที่หมุนไปพร้อมกัน เรขาคณิตนั้น ไม่ใช่ เรขาคณิต แบบยุคลิด

การหดตัวของความยาวหมายถึงการวัดตำแหน่งที่ทำในเวลาเดียวกันตามระบบพิกัด ซึ่งอาจบ่งชี้ว่าหากสามารถถ่ายภาพวัตถุที่เคลื่อนที่เร็วได้ ภาพที่ได้จะแสดงให้เห็นวัตถุที่หดตัวไปในทิศทางการเคลื่อนที่ อย่างไรก็ตาม ผลกระทบทางภาพดังกล่าวเป็นการวัดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เนื่องจากภาพถ่ายดังกล่าวถ่ายจากระยะไกล ในขณะที่การหดตัวของความยาวสามารถวัดได้โดยตรงที่ตำแหน่งที่แน่นอนของจุดปลายของวัตถุเท่านั้น นักวิจัยหลายท่าน เช่นRoger Penroseและ James Terrell ได้แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้ววัตถุที่เคลื่อนที่จะไม่ปรากฏการหดตัวของความยาวในภาพถ่าย^{[ 31 ]}ผลลัพธ์นี้ได้รับความนิยมจากVictor Weisskopfในบทความ Physics Today ^{[ 32 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมขนาดเล็ก ทรงกลมที่เคลื่อนที่ยังคงเป็นวงกลมและหมุน^{[ 33 ]}ผลกระทบการหมุนทางภาพประเภทนี้เรียกว่าการหมุน Penrose-Terrell ^{[ 34 ]}

การหดตัวของความยาวสามารถเกิดขึ้นได้หลายวิธี:

ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย S ให้และแทนจุดปลายของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ในกรอบนี้ ความยาวของวัตถุจะถูกวัดตามข้อกำหนดข้างต้น โดยการกำหนดตำแหน่งพร้อมกันของจุดปลายที่ในขณะเดียวกัน ความยาวที่แท้จริงของวัตถุนี้ ซึ่งวัดในกรอบอ้างอิงหยุดนิ่ง S' สามารถคำนวณได้โดยใช้การแปลงลอเรนซ์ การแปลงพิกัดเวลาจาก S เป็น S' ส่งผลให้เวลาแตกต่างกัน แต่สิ่งนี้ไม่เป็นปัญหา เนื่องจากวัตถุหยุดนิ่งใน S' ซึ่งไม่สำคัญว่าจุดปลายจะถูกวัดเมื่อใด ดังนั้น การแปลงพิกัดเชิงพื้นที่จึงเพียงพอ ซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 15 ]}${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .}$

เนื่องจากและโดยการกำหนดและความยาวที่แท้จริงใน S' จะได้จาก ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma \ \ .}$

1

ดังนั้น ความยาวของวัตถุที่วัดในกรอบอ้างอิง S จึงหดตัวลงด้วยปัจจัย: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma \ \ .}$

2

ในทำนองเดียวกัน ตามหลักการสัมพัทธภาพ วัตถุที่อยู่นิ่งใน S จะหดตัวใน S' ด้วยเช่นกัน โดยการสลับเครื่องหมายและไพรม์ ข้างต้น อย่างสมมาตร จะได้ว่า

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma \ \ .}$

3

ดังนั้น วัตถุที่อยู่นิ่งใน S เมื่อวัดใน S' จะมีความยาวที่หดตัวลง

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma \ \ .}$

4

ในทางกลับกัน หากวัตถุวางอยู่ใน S และทราบความยาวที่เหมาะสม จะต้องพิจารณาความพร้อมกันของการวัดที่จุดปลายของวัตถุในเฟรมอื่น S' เนื่องจากวัตถุเปลี่ยนตำแหน่งอยู่ตลอดเวลาในเฟรมนั้น ดังนั้นพิกัดเชิงพื้นที่และเวลาจะต้องถูกแปลง: ^{[ 35 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}$

เมื่อคำนวณช่วงความยาวโดยสมมติว่ามีการวัดเวลาพร้อมกันและโดยการแทนค่าความยาวที่เหมาะสมจะได้ดังนี้: ${\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$${\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}$${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}}$

สมการ (2) ให้

${\displaystyle \Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}}$

ซึ่งเมื่อเสียบเข้าไปใน (1) จะแสดงให้เห็นว่ากลายเป็นความยาวที่หดตัว: ${\displaystyle \Delta x'}$${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$.

ในทำนองเดียวกัน วิธีเดียวกันนี้ให้ผลลัพธ์ที่สมมาตรสำหรับวัตถุที่หยุดนิ่งใน S':

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

การหดตัวของความยาวยังสามารถได้มาจากการยืดเวลา [ ^{36 ]}ซึ่งอัตราของนาฬิกา "เคลื่อนที่" เรือนเดียว (ซึ่งแสดงเวลาที่ถูกต้อง ) จะต่ำกว่าเมื่อเทียบกับนาฬิกา "หยุดนิ่ง" ^สองเรือนที่ซิงโครไนซ์กัน (ซึ่งแสดง) การยืดเวลาได้รับการยืนยันจากการทดลองหลายครั้ง และแสดงโดยความสัมพันธ์: ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$

สมมติว่าแท่งยาวที่เหมาะสมซึ่งหยุดนิ่งอยู่ที่และนาฬิกาซึ่งหยุดนิ่งอยู่ที่กำลังเคลื่อนที่ไปตามกันด้วยความเร็วเนื่องจากตามหลักการสัมพัทธภาพ ขนาดของความเร็วสัมพัทธ์มีค่าเท่ากันในกรอบอ้างอิงทั้งสอง ดังนั้นเวลาที่นาฬิกาใช้ในการเดินทางระหว่างจุดปลายของแท่งทั้งสองจึงกำหนดโดยในและใน ตามลำดับดังนั้นและเมื่อใช้สูตรการยืดเวลา อัตราส่วนระหว่างความยาวเหล่านั้นคือ: ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T=L_{0}/v}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle L_{0}=Tv}$${\displaystyle L'=T'_{0}v}$

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$.

ดังนั้น ความยาวที่วัดได้จึงกำหนดโดย ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$

ดังนั้น เนื่องจากเวลาที่นาฬิกาเคลื่อนที่ผ่านแท่งนั้นนานกว่าในเมื่อเทียบกับใน(การยืดเวลาใน) ความยาวของแท่งจึงยาวกว่าในเมื่อเทียบกับใน(การหดตัวของความยาวใน) ในทำนองเดียวกัน หากนาฬิกาหยุดนิ่งในและแท่งอยู่ในขั้นตอนข้างต้นจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$

การพิจารณาทางเรขาคณิตเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่าการหดตัวของความยาวสามารถถือได้ว่าเป็น ปรากฏการณ์ ตรีโกณมิติโดยมีความคล้ายคลึงกับการตัดขนานผ่านทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากก่อนและหลังการหมุนในE ³ (ดูรูปครึ่งซ้ายทางด้านขวา) นี่คือสิ่งที่เทียบเคียงได้กับการเพิ่มความสูงของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากในE ^1,2 ในแบบยุคลิด ในกรณีหลังนี้ อย่างไรก็ตาม เราสามารถตีความทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เพิ่มความสูงแล้วว่าเป็นแผ่นพื้นโลกของแผ่นที่กำลังเคลื่อนที่

ภาพ : ซ้าย: ทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ที่หมุนแล้วในปริภูมิยูคลิดสามมิติE ³หน้าตัดยาวขึ้นในทิศทางการหมุนมากกว่าก่อนการหมุน ขวา: แผ่นโลกของแผ่นบางที่เคลื่อนที่ในปริภูมิเวลาแบบมิงคอฟสกี (โดยตัดมิติเชิงพื้นที่ออกไปหนึ่งมิติ) E ^1,2ซึ่งเป็นทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ที่ถูกเร่งความเร็ว หน้าตัดบางลงในทิศทางการเร่งความเร็วมากกว่าก่อนการเร่งความเร็ว ในทั้งสองกรณี ทิศทางตามขวางไม่ได้รับผลกระทบ และระนาบทั้งสามที่มาบรรจบกันที่แต่ละมุมของทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์นั้นตั้งฉากซึ่งกันและกัน (ในความหมายของE ^1,2ทางด้านขวา และในความหมายของE ³ทางด้านซ้าย)

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษการแปลงปวงกาเรเป็นกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นตรงซึ่งสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการแปลงระหว่างแผนภูมิพิกัดคาร์ทีเซียน ทางเลือก บนปริภูมิเวลาแบบมิงโกวสกีที่สอดคล้องกับสถานะการเคลื่อนที่เฉื่อย ทางเลือก (และการเลือกจุดกำเนิด ที่แตกต่างกัน ) การแปลงลอเรนซ์เป็นการแปลงปวงกาเรที่เป็นการแปลงเชิงเส้น (รักษาจุดกำเนิดไว้) การแปลงลอเรนซ์มีบทบาทเดียวกันในเรขาคณิตแบบมิงโกวสกี ( กลุ่มลอเรนซ์ก่อตัวเป็นกลุ่มไอโซโทรปีของไอโซเมตรีในปริภูมิเวลา) ซึ่งมีบทบาทโดยการหมุน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด อันที่จริง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการศึกษา ตรีโกณมิติแบบไม่ยุคลิดในปริภูมิเวลาแบบมิงโกวสกี ดังที่ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็น:

• คำถามที่พบบ่อยทางฟิสิกส์: คุณมองเห็นการหดตัวของลอเรนซ์-ฟิตซ์เจอรัลด์ได้หรือไม่? หรือ: การหมุนของเพนโรส-เทอร์เรลล์ ; ยุ้งฉางและเสา