การยืดเวลา (Time dilation ) คือความแตกต่างของเวลา ที่ผ่านไป เมื่อวัดด้วยนาฬิกา 2 เรือน ซึ่งอาจเกิดจากความเร็ว สัมพัทธ์ ผลจากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษหรือความแตกต่างของศักย์โน้มถ่วงระหว่างตำแหน่งของนาฬิกาทั้งสอง เนื่องจากการยืดเวลาจากแรงโน้มถ่วงหากไม่ได้ระบุไว้ "การยืดเวลา" มักหมายถึงผลกระทบเนื่องจากความเร็ว การยืดเวลานี้เป็นการเปรียบเทียบค่าที่อ่านได้จากนาฬิกาที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกันระหว่างเหตุการณ์ที่วัดในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ที่แตกต่างกัน และไม่สามารถสังเกตได้จากการเปรียบเทียบนาฬิกาด้วยสายตาในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ ต่างกัน

^{การคาดการณ์เหล่า นี้}ของทฤษฎีสัมพัทธภาพได้รับการยืนยันซ้ำแล้วซ้ำเล่าโดยการทดลอง และมีความสำคัญในทางปฏิบัติ เช่น ในการใช้งาน ระบบ นำทางด้วยดาวเทียมเช่นGPSและGalileo ^{[ 1} ]

การยืดเวลาเป็นความสัมพันธ์ระหว่างการอ่านค่านาฬิกา การอ่านค่านาฬิกาที่สังเกตด้วยสายตาจะมีความล่าช้าเนื่องจากความเร็วในการแพร่กระจายของแสงจากนาฬิกาไปยังผู้สังเกต ดังนั้นจึงไม่มีวิธีโดยตรงในการสังเกตการยืดเวลา ตัวอย่างเช่น นักทดลองสองคนที่วัดรถไฟที่วิ่งผ่านด้วยความเร็ว 0.86 เท่าของความเร็วแสง อาจเห็นความแตกต่าง 2 วินาทีบนนาฬิกาของพวกเขา ในขณะที่วิศวกรบนรถไฟรายงานว่าเวลาผ่านไปเพียงหนึ่งวินาทีเมื่อนักทดลองผ่านไป การสังเกตนาฬิกาที่ด้านหน้าของรถไฟจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง: แสงจากรถไฟจะไม่ไปถึงนักทดลองคนที่สองก่อนที่รถไฟจะผ่านไปเพียง 0.27 วินาที ผลกระทบของวัตถุที่เคลื่อนที่ต่อการสังเกตนี้เกี่ยวข้องกับ ปรากฏการณ์ ดอปเปลอร์^{[ 2 ]}

การยืดเวลาด้วยปัจจัยลอเรนซ์ได้รับการทำนายโดยผู้เขียนหลายคนในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ^{[ 3 ] [ 4 ]}โจเซฟ ลาร์มอร์ (1897) เขียนว่า อย่างน้อยสำหรับอิเล็กตรอนที่โคจรรอบนิวเคลียส อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะอธิบายส่วนที่สอดคล้องกันของวงโคจรของพวกมันในเวลาที่สั้นกว่าสำหรับระบบ [หยุดนิ่ง] ในอัตราส่วน: [ ^{5 ] เอ}มิล โคห์น (1904) ได้เชื่อมโยงสูตรนี้กับอัตราของนาฬิกาโดยเฉพาะ^{[ 6 ]}ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (1905) ได้แสดงให้เห็นว่าผลกระทบนี้เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของเวลาเอง และเขายังเป็นคนแรกที่ชี้ให้เห็นถึงความสมมาตรหรือความสัมพันธ์แบบผกผันของมัน^{[ 7 ]}ต่อมา เฮอร์ มันน์ มินคอฟสกี (1907) ได้นำเสนอแนวคิดของเวลาที่แท้จริงซึ่งชี้แจงความหมายของการยืดเวลาให้ชัดเจนยิ่งขึ้น^{[ 8 ]}${\textstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษระบุว่า สำหรับผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยนาฬิกาที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับผู้สังเกตการณ์จะเดินช้ากว่านาฬิกาที่หยุดนิ่งในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ ปรากฏการณ์นี้บางครั้งเรียกว่า การยืดเวลาสัมพัทธภาพพิเศษ ยิ่งความเร็วสัมพัทธ์สูงเท่าไร การยืดเวลาระหว่างนาฬิกาทั้งสองก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น โดยเวลาจะช้าลงจนหยุดนิ่งเมื่อนาฬิกาเรือนหนึ่งเข้าใกล้ความเร็วแสง (299,792,458 เมตร/วินาที)

ในทางทฤษฎี การยืดเวลาจะทำให้ผู้โดยสารในยานพาหนะที่เคลื่อนที่เร็วสามารถก้าวไปสู่อนาคตได้ในระยะเวลาอันสั้นของเวลาของตนเอง หากความเร็วสูงเพียงพอ ผลกระทบจะน่าทึ่งมาก ตัวอย่างเช่น การเดินทางหนึ่งปีอาจเทียบเท่ากับสิบปีบนโลก อันที่จริง ความเร่งคงที่ 1  gจะทำให้มนุษย์สามารถเดินทางผ่านจักรวาลที่รู้จักทั้งหมดได้ภายในช่วงชีวิตของมนุษย์คนเดียว^{[ 10 ]}

ด้วยเทคโนโลยีปัจจุบันที่จำกัดความเร็วในการเดินทางในอวกาศอย่างมาก ความแตกต่างที่เกิดขึ้นจริงจึงมีน้อยมาก หลังจากอยู่บนสถานีอวกาศนานาชาติ (ISS) เป็นเวลา 6 เดือน ซึ่งโคจรรอบโลกด้วยความเร็วประมาณ 7,700 เมตร/วินาที นักบินอวกาศจะมีอายุน้อยลงประมาณ 5 มิลลิวินาทีเมื่อเทียบกับคนบนโลก^{[ 11 ]}นักบินอวกาศSergei KrikalevและSergey Avdeevต่างก็ประสบกับภาวะเวลาช้าลงประมาณ 20 มิลลิวินาทีเมื่อเทียบกับเวลาที่ผ่านไปบนโลก^{[ 12 ] [ 13 ]}

การยืดเวลาสามารถอนุมานได้จากความคงที่ของความเร็วแสงที่สังเกตได้ในกรอบอ้างอิงทั้งหมดที่กำหนดโดยสมมติฐานข้อที่สองของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษความคงที่ของความเร็วแสงนี้หมายความว่า ตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณ ความเร็วของวัตถุและแสงไม่สามารถบวกกันได้ ไม่สามารถทำให้ความเร็วแสงดูเหมือนมากขึ้นได้โดยการเคลื่อนที่เข้าหาหรือออกจากแหล่งกำเนิดแสง^{[ 15 ] [ 16 ]}

ความสัมพันธ์ของเวลาสามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยการทดลองทางความคิดโดยใช้ภาพนาฬิกาแนวตั้งนามธรรมที่ประกอบด้วยกระจกสองบานAและBซึ่งมีพัลส์แสงสะท้อนไปมาระหว่าง กระจกทั้งสอง ^{[ 17 ]}ระยะห่างระหว่างกระจกคือLและนาฬิกาจะเดินหนึ่งครั้งทุกครั้งที่พัลส์แสงกระทบกระจกAในกรอบอ้างอิงที่นาฬิกาหยุดนิ่ง (ดูส่วนซ้ายของแผนภาพ) พัลส์แสงจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่มีความยาว2 Lและช่วงเวลาระหว่างการเดินของนาฬิกาจะเท่ากับ2 Lหารด้วยความเร็วแสงc : ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

จากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วvเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงของนาฬิกาที่หยุดนิ่ง (ส่วนขวาของแผนภาพ) จะเห็นพัลส์แสงเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่ยาวกว่าและทำมุม2Dการรักษาความเร็วแสงให้คงที่สำหรับผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทั้งหมด จำเป็นต้องมีการยืด (หรือการขยายตัว) ของช่วงเวลาKระหว่างการติ๊กของนาฬิกาเรือนนี้จากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ กล่าวคือ เมื่อวัดในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับนาฬิกาท้องถิ่น นาฬิกาเรือนนี้จะเดิน (หรือติ๊ก) ช้าลง เนื่องจากอัตราการติ๊กเท่ากับหนึ่งหารด้วยช่วงเวลาKระหว่างการติ๊ก 1 / ${\displaystyle \Delta t'}$${\displaystyle \Delta t'}$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อย่างตรงไปตรงมา นำไปสู่การทำนายที่รู้จักกันดีของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ:

เวลาทั้งหมดที่พัลส์แสงใช้ในการเดินทางนั้นคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

ความยาวของครึ่งเส้นทางสามารถคำนวณได้จากฟังก์ชันของปริมาณที่ทราบดังนี้:

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

การตัดตัวแปรDและL ออก จากสมการทั้งสามนี้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

ซึ่งแสดงให้เห็นข้อเท็จจริงที่ว่าช่วงเวลาของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ของนาฬิกาจะยาวกว่าช่วงเวลาในกรอบของนาฬิกาเองปัจจัย Lorentzแกมมา ( γ ) ถูกกำหนดเป็น^{[ 18 ]}${\displaystyle \Delta t'}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}}$

เนื่องจากนาฬิกาทุกเรือนที่มีคาบเวลาเดียวกันในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่งควรมีคาบเวลาเดียวกันเมื่อสังเกตจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ ดังนั้นนาฬิกาเรือนอื่นๆ ทั้งหมด—นาฬิกาเชิงกล นาฬิกาอิเล็กทรอนิกส์ นาฬิกาเชิงแสง (เช่น นาฬิการุ่นแนวนอนที่เหมือนกันในตัวอย่าง)—ควรแสดงการยืดเวลาที่ขึ้นอยู่กับความเร็วแบบเดียวกัน^{[ 19 ]}

เมื่อพิจารณาจากกรอบอ้างอิงที่กำหนดไว้ และผู้สังเกตการณ์ "ที่อยู่กับที่" ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ หากมีผู้สังเกตการณ์คนที่สองติดตามนาฬิกา "ที่เคลื่อนที่" ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนจะวัดได้ว่านาฬิกาของอีกฝ่ายเดินช้ากว่านาฬิกาของตนเอง เนื่องจากทั้งสองต่างวัดได้ว่าอีกฝ่ายเป็นฝ่ายที่เคลื่อนที่เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ของตนเอง

ตามหลักสามัญสำนึกแล้ว หากเวลาผ่านไปช้าลงสำหรับวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ วัตถุนั้นก็จะสังเกตเห็นว่าเวลาของโลกภายนอกผ่านไปเร็วขึ้นตามไปด้วย แต่สิ่งที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกก็คือ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษทำนายสิ่งที่ตรงกันข้าม เมื่อผู้สังเกตการณ์สองคนเคลื่อนที่สัมพันธ์กัน แต่ละคนจะวัดได้ว่านาฬิกาของอีกฝ่ายหนึ่งเดินช้าลง ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์

แม้ว่าสิ่งนี้จะดูเหมือนขัดแย้งในตัวเอง แต่ความแปลกประหลาดที่คล้ายกันก็เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน หากคนสองคน A และ B สังเกตกันจากระยะไกล B จะดูเล็กสำหรับ A แต่ในขณะเดียวกัน A ก็จะดูเล็กสำหรับ B เมื่อคุ้นเคยกับผลของทัศนวิสัยแล้วจึงไม่มีความขัดแย้งหรือความขัดแย้งในสถานการณ์นี้^{[ 20 ]}

ความสมมาตรของปรากฏการณ์นี้ยังนำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าปรากฏการณ์แฝด (Twin Paradox)ซึ่งเป็นการเปรียบเทียบอายุของแฝดสองคน คนหนึ่งอยู่บนโลกและอีกคนหนึ่งเดินทางไปในอวกาศ โดยความสมมาตรชี้ให้เห็นว่าทั้งสองคนควรมีอายุเท่ากันเมื่อกลับมาพบกันอีกครั้ง แต่ในทางตรงกันข้าม เมื่อสิ้นสุดการเดินทางไปกลับ แฝดที่เดินทางไปอวกาศจะมีอายุน้อยกว่าแฝดที่อยู่บนโลก ปัญหาที่เกิดจากปรากฏการณ์นี้สามารถอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าสถานการณ์ไม่สมมาตร แฝดที่อยู่บนโลกอยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดียว ในขณะที่แฝดที่เดินทางไปอวกาศอยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยสองกรอบที่แตกต่างกัน คือกรอบหนึ่งขณะเดินทางออกไปและอีกกรอบหนึ่งขณะเดินทางกลับมา ดูเพิ่มเติมที่ ปรากฏการณ์แฝด § บทบาทของความเร่ง

• การเปรียบเทียบอายุขัยของมิวออนที่ความเร็วต่างกันนั้นเป็นไปได้ ในห้องปฏิบัติการจะมีการผลิตมิวออนที่เคลื่อนที่ช้า และในชั้นบรรยากาศจะมีมิวออนที่เคลื่อนที่เร็วมากเข้ามาจากรังสีคอสมิก หากใช้อายุขัยของมิวออนที่หยุดนิ่งเป็นค่าในห้องปฏิบัติการที่ 2.197 μs อายุขัยของมิวออนที่เกิดจากรังสีคอสมิกซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 98% ของความเร็วแสงจะยาวนานกว่าประมาณห้าเท่า ซึ่งสอดคล้องกับการสังเกตการณ์ ตัวอย่างเช่น Rossi และ Hall (1941) ได้เปรียบเทียบจำนวนประชากรของมิวออนที่เกิดจากรังสีคอสมิกที่ยอดเขากับที่สังเกตได้ที่ระดับน้ำทะเล^{[ 21 ]}
• อายุการใช้งานของอนุภาคที่ผลิตในเครื่องเร่งอนุภาคจะยาวนานขึ้นเนื่องจากการยืดเวลา ในการทดลองดังกล่าว "นาฬิกา" คือเวลาที่ใช้โดยกระบวนการที่นำไปสู่การสลายตัวของมิวออน และกระบวนการเหล่านี้เกิดขึ้นในมิวออนที่เคลื่อนที่ด้วย "อัตรานาฬิกา" ของมันเอง ซึ่งช้ากว่านาฬิกาในห้องปฏิบัติการมาก สิ่งนี้มักถูกนำมาพิจารณาในฟิสิกส์อนุภาค และมีการวัดเฉพาะหลายครั้ง ตัวอย่างเช่น ในวงแหวนเก็บมิวออนที่ CERN พบว่าอายุการใช้งานของมิวออนที่หมุนเวียนด้วย γ = 29.327 ยืดออกเป็น 64.378 μs ซึ่งยืนยันการยืดเวลาด้วยความแม่นยำ 0.9 ± 0.4 ส่วนต่อพัน^{[ 22 ]}

• วัตถุประสงค์ที่ Ives และ Stilwell (1938, 1941) ระบุไว้สำหรับการทดลองเหล่านี้คือการตรวจสอบผลของการขยายเวลาที่ทำนายโดยทฤษฎีอีเธอร์ของ Larmor–Lorentz อันเนื่องมาจากการเคลื่อนที่ผ่านอีเธอร์โดยใช้ข้อเสนอแนะของ Einstein ที่ว่าปรากฏการณ์ดอปเปลอร์ในรังสีแคแนลจะให้การทดลองที่เหมาะสม การทดลองเหล่านี้วัดการเลื่อนดอปเปลอร์ของรังสีที่ปล่อยออกมาจากรังสีแคโทดเมื่อมองจากด้านหน้าโดยตรงและจากด้านหลังโดยตรง ความถี่สูงและต่ำที่ตรวจพบไม่ใช่ค่าที่ทำนายไว้แบบคลาสสิก: ความถี่สูงและต่ำของรังสีจากแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่ถูกวัดได้ดังนี้: ^{[ 23 ]}ตามที่ Einstein (1905) สรุปได้จากการแปลง Lorentzเมื่อแหล่งกำเนิดเคลื่อนที่ช้าด้วยปัจจัย Lorentz$${\displaystyle {\frac {f_{0}}{1-v/c}}\qquad {\text{และ}}\qquad {\frac {f_{0}}{1+v/c}}}$$$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1+v/c\right)f_{0}\qquad {\text{และ}}\qquad {\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1-v/c\right)f_{0}\,}$$
• Hasselkamp, ​​Mondry และ Scharmann ^{[ 24 ]} (1979) วัดการเลื่อนดอปเปลอร์จากแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่ในมุมฉากกับแนวสายตา ความสัมพันธ์ทั่วไปที่สุดระหว่างความถี่ของการแผ่รังสีจากแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่นั้นกำหนดโดย: ตามที่ Einstein (1905) สรุปไว้^{[ 25 ]}สำหรับϕ = 90° ( cos ϕ = 0 ) จะลดลงเหลือf _{ที่ตรวจพบ} = f _{ขณะพัก} γความถี่ที่ต่ำกว่าจากแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่นี้สามารถอธิบายได้ด้วยผลของการยืดเวลาและมักเรียกว่าปรากฏการณ์ดอปเปลอร์ตามขวางและได้รับการทำนายโดยทฤษฎีสัมพัทธภาพ$${\displaystyle f_{\mathrm {detected} }=f_{\mathrm {rest} }{\left(1-{\frac {v}{c}}\cos \phi \right)/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$$
• ในปี 2010 ได้มีการสังเกตการยืดเวลาที่ความเร็วต่ำกว่า 10 เมตรต่อวินาทีโดยใช้นาฬิกาอะตอมแบบออปติคอลที่เชื่อมต่อด้วยใยแก้วนำแสงยาว 75 เมตร^{[ 26 ]}

แผนภาพมินคอฟสกีและปรากฏการณ์แฝด

นาฬิกา C เคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างนาฬิกา A และ B สองเรือนที่ซิงโครไนซ์กัน โดย C พบกับ A ที่เวลา dและพบกับ B ที่เวลาf

ปรากฏการณ์แฝดประหลาดแฝดคนหนึ่งต้องเปลี่ยนกรอบอ้างอิง ส่งผลให้เวลาที่แท้จริงในเส้นเวลาของแฝดทั้งสอง แตกต่างกัน

ในแผนภาพมินคอฟสกีจากภาพแรกทางด้านขวา นาฬิกา C ซึ่งอยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย S′ พบกับนาฬิกา A ที่จุด dและนาฬิกา B ที่จุด f (ทั้งสองอยู่ในกรอบอ้างอิง S) นาฬิกาทั้งสามเรือนเริ่มเดินพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S เส้นทางเดินของ A คือแกน ct เส้นทางเดินของ B ที่ตัด กับจุด fขนานกับแกน ct และเส้นทางเดินของ C คือแกน ct′ เหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นพร้อมกับ จุด dในกรอบอ้างอิง S จะอยู่บนแกน x และในกรอบอ้างอิง S′ จะอยู่บนแกน x′

เวลาที่เหมาะสมระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์จะถูกระบุโดยนาฬิกาที่มีอยู่ในทั้งสองเหตุการณ์^{[ 27 ]}มันไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด จะเห็นพ้องกันว่าเวลานี้ถูกระบุโดยนาฬิกานั้น ช่วงเวลาdfจึงเป็นเวลาที่เหมาะสมของนาฬิกา C และสั้นกว่าเมื่อเทียบกับเวลาพิกัดef=dgของนาฬิกา B และ A ใน S ในทางกลับกัน เวลาที่เหมาะสมefของ B ก็สั้นกว่าเมื่อเทียบกับเวลาifใน S′ เนื่องจากเหตุการณ์eถูกวัดใน S′ แล้ว ณ เวลาiเนื่องมาจากความสัมพันธ์ของความพร้อมกัน นานก่อนที่ C จะเริ่มเดิน

จากนั้นจะเห็นได้ว่า เวลาที่เหมาะสมระหว่างสองเหตุการณ์ที่ระบุโดยนาฬิกาที่ไม่เร่งความเร็วซึ่งมีอยู่ในทั้งสองเหตุการณ์ เมื่อเปรียบเทียบกับเวลาพิกัดที่ซิงโครไนซ์ซึ่งวัดในเฟรมเฉื่อยอื่นๆ ทั้งหมด จะเป็น ช่วงเวลา ขั้นต่ำระหว่างเหตุการณ์เหล่านั้นเสมอ อย่างไรก็ตาม ช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์อาจสอดคล้องกับเวลาที่เหมาะสมของนาฬิกาที่เร่งความเร็วซึ่งมีอยู่ในทั้งสองเหตุการณ์ ภายใต้เวลาที่เหมาะสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างสองเหตุการณ์ เวลาที่เหมาะสมของนาฬิกาที่ไม่เร่งความเร็วจะเป็นค่าสูงสุดซึ่งเป็นคำตอบของความขัดแย้งแฝด^{[ 27 ]}

นอกเหนือจากนาฬิกาแสงที่ใช้ข้างต้นแล้ว สูตรสำหรับการยืดเวลาสามารถอนุมานได้โดยทั่วไปจากส่วนเวลาของการแปลงลอเรนซ์ [ ^{28 ] สมมติ}ว่ามีเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่นาฬิกาเคลื่อนที่แสดงและดังนั้น: ${\displaystyle t_{a}}$${\displaystyle t_{b}}$

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

เนื่องจากนาฬิกายังคงอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย จึงสรุปได้ว่า ดังนั้นช่วงเวลาจึงกำหนดโดย: ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

โดยที่ Δt ซึ่งเรียกว่าเวลาที่แท้จริงคือช่วงเวลาKระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในสถานที่เดียวกัน สำหรับผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยบางกรอบ (เช่น เข็มนาฬิกา) Δt ′คือช่วงเวลาKระหว่างเหตุการณ์เดียวกันนั้น ซึ่งวัดโดยผู้สังเกตการณ์อีกคนหนึ่งที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วvในกรอบอ้างอิงเฉื่อย โดยที่vคือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างผู้สังเกตการณ์และนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่cคือความเร็วแสง และตัวประกอบลอเรนซ์ (โดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์แกมมาหรือ γ) คือ:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

ดังนั้น ระยะเวลาของรอบนาฬิกาของนาฬิกาเคลื่อนที่จึงพบว่าเพิ่มขึ้น: วัดได้ว่า "เดินช้าลง" ช่วงของความแปรปรวนดังกล่าวในชีวิตประจำวัน ซึ่งv ≪ cแม้จะพิจารณาการเดินทางในอวกาศ ก็ไม่มากพอที่จะทำให้เกิดผลกระทบการยืดเวลาที่ตรวจจับได้ง่าย และผลกระทบเล็กน้อยที่แทบจะมองไม่เห็นดังกล่าวสามารถละเลยได้อย่างปลอดภัยสำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่ ในฐานะเกณฑ์โดยประมาณ การยืดเวลา 0.5% อาจมีความสำคัญเมื่อวัตถุเข้าใกล้ความเร็วในระดับ 30,000 กม./วินาที (1/10 ของความเร็วแสง) ^{[ 29 ]}

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ การยืดเวลาจะอธิบายได้ง่ายที่สุดในกรณีที่ความเร็วสัมพัทธ์ไม่เปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตาม สมการของลอเรนซ์ช่วยให้สามารถคำนวณเวลาที่แท้จริงและการเคลื่อนที่ในอวกาศสำหรับกรณีง่ายๆ ของยานอวกาศที่ถูกกระทำด้วยแรงต่อหน่วยมวล เทียบกับวัตถุอ้างอิงบางอย่างที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ซึ่งมีค่าเท่ากับgตลอดช่วงเวลาการวัด

ให้tเป็นเวลาในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่ากรอบอ้างอิงหยุดนิ่ง ให้xเป็นพิกัดเชิงพื้นที่ และให้ทิศทางของความเร่งคงที่รวมถึงความเร็วของยานอวกาศ (เทียบกับกรอบอ้างอิงหยุดนิ่ง) ขนานกับ แกน x สมมติว่า _{ตำแหน่ง}ของยานอวกาศ ณ เวลาt = 0คือx = 0และความเร็วคือv₀และกำหนดตัวย่อดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

สูตรต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 30 ]}

ตำแหน่ง:

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

ความเร็ว:

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

เวลาที่แท้จริงเป็นฟังก์ชันของเวลาพิกัด:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

ในกรณีที่v (0) = v ₀ = 0 และτ (0) = τ ₀ = 0 อินทิกรัลสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันลอการิทึม หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน :

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

สูตรต่อไปนี้เป็นไป ตามฟังก์ชันของเวลาที่เหมาะสมของเรือ: ^{[ 31 ]}${\displaystyle \tau }$

ตำแหน่ง:

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

ความเร็ว:

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

ประสานเวลาโดยยึดหลักเวลาที่เหมาะสม:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

สมมติฐานเรื่องนาฬิกาคือข้อสันนิษฐานที่ว่า อัตราที่นาฬิกาได้รับผลกระทบจากการยืดเวลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเร่งของนาฬิกา แต่ขึ้นอยู่กับความเร็วขณะนั้นเพียงอย่างเดียว นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่า นาฬิกาที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางหนึ่งจะวัดเวลาที่แท้จริงซึ่งกำหนดโดย: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

สมมติฐานเรื่องนาฬิกาถูกรวมไว้โดยปริยาย (แต่ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน) ในสูตรดั้งเดิมของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ในปี 1905 ตั้งแต่นั้นมา สมมติฐานนี้ได้กลายเป็นสมมติฐานมาตรฐานและมักจะรวมอยู่ในสัจพจน์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาจากการตรวจสอบเชิงทดลองจนถึงความเร่งที่สูงมากในเครื่องเร่งอนุภาค^{[ 32 ] [ 33 ]}

การยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเกิดขึ้นกับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ระดับความสูงหนึ่งภายในบ่อศักย์โน้มถ่วง และพบว่านาฬิกาของตนเองวัดเวลาที่ผ่านไปน้อยกว่านาฬิกาที่เหมือนกันซึ่งตั้งอยู่ที่ระดับความสูงที่สูงกว่า (และดังนั้นจึงมีศักย์โน้มถ่วงที่สูงกว่า) ต่างจากการยืดเวลาเนื่องจากความเร็ว ซึ่งผู้สังเกตการณ์ทั้งสองจะวัดได้ว่าอีกฝ่ายหนึ่งแก่ช้าลง (ผลแบบผกผัน) การยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงนั้นไม่ใช่ผลแบบผกผัน หมายความว่าในการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ผู้สังเกตการณ์ทั้งสองจะเห็นพ้องกันว่านาฬิกาที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางของสนามโน้มถ่วงนั้นเดินช้ากว่า และพวกเขายังเห็นพ้องกันในอัตราส่วนของความแตกต่างด้วย

ปรากฏการณ์การยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงมีผลกับนักบินอวกาศบนสถานีอวกาศนานาชาติ (ISS) เช่นกัน ในขณะที่ความเร็วสัมพัทธ์ ของนักบินอวกาศ ทำให้เวลาช้าลง แต่แรงโน้มถ่วงที่ลดลง ณ ตำแหน่งของพวกเขากลับทำให้เวลาเร็วขึ้น แม้ว่าจะในระดับที่น้อยกว่าก็ตาม นอกจากนี้ เวลาของนักปีนเขาบนยอดเขาก็จะผ่านไปเร็วกว่าเล็กน้อยในทางทฤษฎี เมื่อเทียบกับคนที่อยู่ระดับน้ำทะเล

"นาฬิกาที่ใช้จับเวลาการหมุนรอบตัวเองของโลกจะวัดเวลาในแต่ละวันให้ยาวนานขึ้นประมาณ 10 ns/วัน สำหรับทุกๆ กิโลเมตรของระดับความสูงเหนือจีออยด์อ้างอิง" ^{[ 34 ]}การเดินทางไปยังบริเวณอวกาศที่เกิดการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงอย่างรุนแรง เช่น ใกล้ (แต่ไม่เกินขอบฟ้าเหตุการณ์ของ) หลุมดำอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเวลาในลักษณะเดียวกับการเดินทางในอวกาศด้วยความเร็วใกล้แสง

ริชาร์ด ไฟน์แมนเสนอในการบรรยายว่า เนื่องจากการยืดเวลาแกนโลกจึงมีอายุน้อยกว่าเปลือกโลกการคำนวณในภายหลังแสดงให้เห็นว่าแกนโลกมีอายุน้อยกว่า 2.5 ปี จากทั้งหมด 4.5 พันล้านปี^{[ 35 ]}

• ในปี พ.ศ. 2492 โรเบิร์ต พาวนด์และเกล็น เรบกาได้วัดการเลื่อนความถี่ของแสงที่ปล่อยออกมาที่ระดับความสูงที่ต่ำกว่า ซึ่งสนามโน้มถ่วงของโลกมีความเข้มข้นมากกว่า ผลลัพธ์อยู่ในช่วง 10% ของการคาดการณ์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ในปี พ.ศ. 2507 พาวนด์และเจ.แอล. สไนเดอร์ ได้วัดผลลัพธ์ที่อยู่ในช่วง 1% ของค่าที่คาดการณ์โดยการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วง^{[ 36 ]} (ดูการทดลองของพาวนด์-เรบกา )
• ในปี 2010 มีการวัดการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่พื้นผิวโลกด้วยความแตกต่างของความสูงเพียงหนึ่งเมตร โดยใช้นาฬิกาอะตอมแบบออปติคอล^{[ 26 ]}

การรักษาเวลาที่มีความแม่นยำสูง การติดตามดาวเทียมวงโคจรต่ำ และการจับเวลาพัลซาร์เป็นการประยุกต์ใช้ที่ต้องพิจารณาผลกระทบร่วมกันของมวลและการเคลื่อนที่ในการทำให้เกิดการยืดเวลา ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม ได้แก่ มาตรฐาน เวลาอะตอมสากลและความสัมพันธ์กับ มาตรฐาน เวลาพิกัดศูนย์กลางมวลที่ใช้สำหรับวัตถุระหว่างดาวเคราะห์

ผลกระทบของการยืดเวลาเชิงสัมพัทธภาพสำหรับระบบสุริยะและโลกสามารถจำลองได้อย่างแม่นยำมากโดยใช้โซลูชัน Schwarzschildสำหรับสมการสนามของ Einstein ในเมตริก Schwarzschild ช่วงเวลาจะกำหนดโดย: ^{[ 38 ] [ 39 ]}${\displaystyle dt_{\text{E}}}$

${\displaystyle dt_{\text{E}}^{2}=\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)dt_{\text{c}}^{2}-\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)^{-1}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle dt_{\text{E}}}$เป็นช่วงเวลาที่แม่นยำเพียงเล็กน้อย(ช่วงเวลาที่สามารถบันทึกได้ด้วยนาฬิกาอะตอม)${\displaystyle t_{\text{E}}}$
• ${\displaystyle dt_{\text{c}}}$เป็นการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในพิกัด( เวลาพิกัด )${\displaystyle t_{\text{c}}}$
• ${\displaystyle dx,dy,dz}$เป็นค่าเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในพิกัดทั้งสามของตำแหน่งนาฬิกา${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle {\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$แสดงถึงผลรวมของศักย์โน้มถ่วงแบบนิวตันอันเนื่องมาจากมวลในบริเวณใกล้เคียง โดยพิจารณาจากระยะห่างจากนาฬิกา ผลรวมนี้รวมถึงศักย์น้ำขึ้นน้ำลงด้วย${\displaystyle r_{i}}$

ความเร็วเชิงพิกัดของนาฬิกาคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt_{\text{c}}^{2}}}}$

เวลาพิกัดคือเวลาที่จะอ่านได้จาก "นาฬิกาพิกัด" สมมุติที่ตั้งอยู่ห่างไกลจากมวลโน้มถ่วงทั้งหมดอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ( ) และหยุดนิ่งในระบบพิกัด ( ) ความสัมพันธ์ที่แน่นอนระหว่างอัตราของเวลาที่แท้จริงและอัตราของเวลาพิกัดสำหรับนาฬิกาที่มีองค์ประกอบความเร็วในแนวรัศมีคือ: ${\displaystyle t_{\text{c}}}$${\displaystyle U=0}$${\displaystyle v=0}$

${\displaystyle {\frac {dt_{\text{E}}}{dt_{\text{c}}}}={\sqrt {1+{\frac {2U}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\left({\frac {c^{2}}{2U}}+1\right)^{-1}{\frac {{v_{\shortparallel }}^{2}}{c^{2}}}}}={\sqrt {1-\left(\beta ^{2}+\beta _{e}^{2}+{\frac {\beta _{\shortparallel }^{2}\beta _{e}^{2}}{1-\beta _{e}^{2}}}\right)}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle v_{\shortparallel }}$คือความเร็วเชิงรัศมี
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM_{i}}{r_{i}}}}}$คือความเร็วหลุดพ้น
• ${\displaystyle \beta =v/c}$และคือความเร็วคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ของความเร็วแสงc ,${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$${\displaystyle \beta _{\shortparallel }=v_{\shortparallel }/c}$
• ${\displaystyle U={\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$คือศักย์แบบนิวตัน ดังนั้นจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของกำลังสองของความเร็วหลุดพ้น${\displaystyle -U}$

สมการข้างต้นมีความถูกต้องแม่นยำภายใต้สมมติฐานของวิธีแก้ปัญหาของ Schwarzschild มันจะลดรูปเป็นสมการการยืดเวลาตามความเร็วในกรณีที่มีการเคลื่อนที่และไม่มีแรงโน้มถ่วง กล่าวคือ และมันจะลดรูปเป็นสมการการยืดเวลาตามแรงโน้มถ่วงในกรณีที่ไม่มีการเคลื่อนที่และมีแรงโน้มถ่วง กล่าวคือ ${\displaystyle \beta _{e}=0}$${\displaystyle \beta =0=\beta _{\shortparallel }}$

• ในปี 1971 ฮาเฟเลและคีติง ได้นำนาฬิกาอะตอม ซีเซียม บิน ไปทางทิศตะวันออกและทิศตะวันตกของโลกโดยใช้เครื่องบินโดยสาร เพื่อเปรียบเทียบเวลาที่ผ่านไปกับนาฬิกาที่ตั้งอยู่ที่หอดูดาวกองทัพเรือสหรัฐฯผลลัพธ์ที่ได้แสดงให้เห็นถึงสองปรากฏการณ์ที่ตรงกันข้ามกัน คาดว่านาฬิกาที่เคลื่อนที่ได้จะเสื่อมสภาพเร็วขึ้น (แสดงเวลาที่ผ่านไปมากขึ้น) กว่านาฬิกาอ้างอิง เนื่องจากอยู่ในสภาวะที่มีศักย์โน้มถ่วงสูงกว่า (อ่อนกว่า) ตลอดการเดินทางส่วนใหญ่ (ดูการทดลองของพาวด์-เรบกา ) แต่ในทางตรงกันข้าม ก็คาดว่านาฬิกาที่เคลื่อนที่ได้จะเสื่อมสภาพช้าลงเนื่องจากความเร็วในการเดินทาง จากเส้นทางการบินจริงของการเดินทางแต่ละครั้ง ทฤษฎีทำนายว่า นาฬิกาที่เคลื่อนที่ได้ เมื่อเปรียบเทียบกับนาฬิกาอ้างอิงที่หอดูดาวกองทัพเรือสหรัฐฯ ควรจะสูญเสียเวลาไป 40±23 นาโนวินาทีระหว่างการเดินทางไปทางทิศตะวันออก และควรจะได้เวลาเพิ่มขึ้น 275±21 นาโนวินาทีระหว่างการเดินทางไปทางทิศตะวันตก เมื่อเทียบกับมาตราเวลาอะตอมของหอดูดาวกองทัพเรือสหรัฐฯ นาฬิกาบินสูญเสียเวลาไป 59±10 นาโนวินาทีระหว่างการเดินทางไปทางทิศตะวันออก และได้รับเวลาเพิ่มขึ้น 273±7 นาโนวินาทีระหว่างการเดินทางไปทางทิศตะวันตก (โดยที่แถบแสดงข้อผิดพลาดแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ^{[ 40 ]}ในปี 2548 ห้องปฏิบัติการฟิสิกส์แห่งชาติในสหราชอาณาจักรได้รายงานการจำลองการทดลองนี้ในขอบเขตจำกัด^{[ 41 ]}การทดลองของ NPL แตกต่างจากการทดลองดั้งเดิมตรงที่นาฬิกาซีเซียมถูกส่งไปในระยะทางที่สั้นกว่า (ลอนดอน–วอชิงตัน ดี.ซี. ไป-กลับ) แต่นาฬิกามีความแม่นยำมากขึ้น ผลลัพธ์ที่รายงานอยู่ในช่วง 4% ของการคาดการณ์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ ซึ่งอยู่ในขอบเขตความไม่แน่นอนของการวัด
• ระบบระบุตำแหน่งทั่วโลกสามารถถือได้ว่าเป็นการทดลองที่ดำเนินการอย่างต่อเนื่องทั้งในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป นาฬิกาในวงโคจรได้รับการแก้ไขสำหรับผลกระทบของการยืดเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไปตามที่อธิบายไว้ข้างต้นดังนั้น (เมื่อสังเกตจากพื้นผิวโลก) นาฬิกาเหล่านั้นจึงทำงานในอัตราเดียวกับนาฬิกาบนพื้นผิวโลก^{[ 42 ]}

ลักษณะที่ไม่คาดคิดของการยืดเวลาทำให้เป็นเรื่องที่มักเกิดความเข้าใจผิด ความเข้าใจผิดรูปแบบหนึ่งอ้างว่าการยืดเวลาใช้ได้เฉพาะกับนาฬิกาที่ใช้แสง เช่น “นาฬิกาแสง” ที่ใช้ในการพิสูจน์การแปลงลอเรนซ์ในตำราเรียนหลายเล่ม และไม่ใช้กับอุปกรณ์บอกเวลาเชิงกล อะตอม หรือชีวภาพ ความเข้าใจผิดนี้อาจนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้องเกี่ยวกับผลการทดลอง เช่น การทดลอง Hafele–Keating ซึ่งเกี่ยวข้องกับนาฬิกาอะตอมที่บินรอบโลก^{[ 43 ]}

เพื่อแก้ไขปัญหานี้นักฟิสิกส์ Val G. Rousseau ได้เสนอ การทดลองทางความคิดที่เรียกว่า แมวของไอน์สไตน์^{[ 43 ]}สถานการณ์นี้เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์สมมติ— นาฬิกา Sync-or-Die—ซึ่งเปรียบเทียบการซิงโครไนซ์ของนาฬิกาแสงและนาฬิกาจับเวลาเชิงกล ชีวิตของแมวขึ้นอยู่กับจังหวะเวลาที่แม่นยำระหว่างนาฬิกาทั้งสองนี้เมื่อวิเคราะห์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แตกต่างกัน ความขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อสันนิษฐานว่าการยืดเวลาใช้ได้เฉพาะกับพัลส์แสงแต่ไม่ใช่กับนาฬิกาเชิงกล ภายใต้สมมติฐานที่ไม่ถูกต้องนี้ คาดว่าแมวจะตายได้ก็ต่อเมื่อผู้สังเกตการณ์เคลื่อนที่สัมพันธ์กับแมวเท่านั้น ความขัดแย้งที่เห็นได้ชัดจะได้รับการแก้ไขเมื่อยอมรับว่านาฬิกาทั้งสองอยู่ภายใต้การยืดเวลาสัมพัทธภาพอย่างเท่าเทียมกัน นี่แสดงให้เห็นถึงหลักการพื้นฐานที่ว่าการยืดเวลาเป็นคุณลักษณะสากลของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ โดยไม่ขึ้นอยู่กับกลไกภายในของนาฬิกา

^{ความเร็วและการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นหัวข้อของงาน นิยาย}วิทยาศาสตร์ในสื่อต่างๆ ตัวอย่างบางส่วนในภาพยนตร์ ได้แก่ ภาพยนตร์เรื่องInterstellarและPlanet of the Apes ^{[ 44} ] ในInterstellarจุดสำคัญของเรื่องเกี่ยวข้องกับดาวเคราะห์ดวงหนึ่งซึ่งอยู่ใกล้กับหลุมดำที่หมุนอยู่และบนพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงนั้น หนึ่งชั่วโมงเทียบเท่ากับเจ็ดปีบนโลกเนื่องจากการยืดเวลา^{[ 45 ]}นักฟิสิกส์Kip Thorne ได้ร่วมมือในการสร้างภาพยนตร์เรื่องนี้และ ^{อธิบาย}แนวคิดทางวิทยาศาสตร์ในหนังสือThe Science of Interstellar [ ^{46 ] [ 47 ]}

เพลง'39ของวง Queen แต่งโดย ไบรอัน เมย์นักฟิสิกส์ดาราศาสตร์และนักดนตรีโดยมีเนื้อหาเกี่ยวกับปรากฏการณ์การยืดเวลาที่เกิดขึ้นกับนักเดินทางในอวกาศที่กำลังค้นหาบ้านหลังใหม่ให้กับมนุษยชาติ ในขณะที่โลกกำลังถูกทำลายลงทีละน้อย พวกเขากลับมาอย่างประสบความสำเร็จ แต่กลับพบว่าทุกสิ่งทุกอย่างที่พวกเขารู้จักได้หายไปนานแล้ว

การยืดเวลาถูกนำมาใช้ในตอน " World Enough and Time " และ " The Doctor Falls " ของ Doctor Whoซึ่งเกิดขึ้นบนยานอวกาศใกล้กับหลุมดำ เนื่องจากแรงดึงดูดมหาศาลของหลุมดำและความยาวของยาน (400 ไมล์) เวลาจึงเคลื่อนที่เร็วกว่าที่ปลายด้านหนึ่งมากกว่าอีกด้านหนึ่ง เมื่อบิล เพื่อนร่วมเดินทางของด็อกเตอร์ ถูกพาไปยังปลายอีกด้านหนึ่งของยาน เธอรอเขามาช่วยเธอเป็นเวลาหลายปี ในเวลาของเขา เวลาผ่านไปเพียงไม่กี่นาที^{[ 48 ]}นอกจากนี้ การยืดเวลายังทำให้ไซเบอร์แมนสามารถวิวัฒนาการได้ในอัตราที่ "เร็ว" กว่าที่เคยเห็นในรายการ

Tau Zeroนวนิยายของ Poul Andersonเป็นตัวอย่างแรกๆ ของแนวคิดนี้ในวรรณกรรมวิทยาศาสตร์ ในนวนิยายเรื่องนี้ ยานอวกาศใช้เครื่องยนต์แรมเจ็ต Bussardเพื่อเร่งความเร็วให้สูงพอที่ลูกเรือจะใช้เวลาอยู่บนยาน 5 ปี แต่เวลาบนโลกกลับผ่านไป 33 ปี ก่อนที่พวกเขาจะถึงจุดหมายปลายทาง Anderson อธิบายการยืดเวลาด้วยความเร็วโดยใช้ปัจจัยเทาซึ่งจะลดลงเรื่อยๆ จนเข้าใกล้ศูนย์เมื่อยานเข้าใกล้ความเร็วแสง—จึงเป็นที่มาของชื่อนวนิยาย ^{[ 49 ]}เนื่องจากอุบัติเหตุ ลูกเรือไม่สามารถหยุดการเร่งความเร็วของยานอวกาศได้ ทำให้เกิดการยืดเวลาอย่างรุนแรงจนลูกเรือได้ประสบกับบิ๊กครันช์ที่ปลายจักรวาล ^{[ 50 ]}ตัวอย่างอื่นๆ ในวรรณกรรม เช่น Rocannon's World , Hyperionและ The Forever Warก็ใช้การยืดเวลาเชิงสัมพัทธภาพในลักษณะเดียวกัน โดยใช้เป็นกลวิธีทางวรรณกรรมที่สมเหตุสมผลทางวิทยาศาสตร์เพื่อให้ตัวละครบางตัวมีอายุช้ากว่าส่วนที่เหลือของจักรวาล ^{[ 51 ] [ 52 ]}

• การหดตัวของความยาว
• มวลในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

• คาลเลนเดอร์, ซี. ; เอ็ดนีย์, อาร์. (2001). การแนะนำเวลา . ไอคอนบุ๊คส์ . ISBN 978-1-84046-592-1.
• ไอน์สไตน์ เอ. (1905) "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" (PDF ) อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 322 (10): 891. Bibcode : 1905AnP...322..891E . ดอย : 10.1002/andp.19053221004 .
• ไอน์สไตน์ เอ. (1907) "Über die Möglichkeit einer neuen Prüfung des Relativitätsprinzips" . อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 328 (6): 197– 198. Bibcode : 1907AnP...328..197E . ดอย : 10.1002/andp.19073280613 .
• ฮัสเซลแคมป์ ด.; มอนดรี อี.; ชาร์มันน์, เอ. (1979) "การสังเกตโดยตรงของ Doppler-Shift ตามขวาง" Zeitschrift für Physik A. 289 (2): 151– 155. Bibcode : 1979ZPhyA.289..151H . ดอย : 10.1007/BF01435932 . S2CID  120963034 .
• Ives, HE; ​​Stilwell, GR (1938). "การศึกษาเชิงทดลองเกี่ยวกับอัตราของนาฬิกาเคลื่อนที่" วารสารสมาคมทัศนศาสตร์แห่งอเมริกา 28 ( 7): 215– 226. Bibcode : 1938JOSA...28..215I . doi : 10.1364/JOSA.28.000215 .
• Ives, HE; ​​Stilwell, GR (1941). "การศึกษาเชิงทดลองเกี่ยวกับอัตราของนาฬิกาเคลื่อนที่ II". วารสารสมาคมทัศนศาสตร์แห่งอเมริกา 31 ( 5): 369– 374. Bibcode : 1941JOSA...31..369I . doi : 10.1364/JOSA.31.000369 .
• จูส, จี. (1959) "Bewegte Bezugssysteme ใน der Akustik. Der Doppler-Effekt" Lehrbuch der Theoretischen Physik, Zweites Buch (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 11)
• Larmor, J. (1897). "เกี่ยวกับทฤษฎีพลวัตของตัวกลางไฟฟ้าและตัวกลางเปล่งแสง" . Philosophical Transactions of the Royal Society . 190 : 205– 300. Bibcode : 1897RSPTA.190..205L . doi : 10.1098/rsta.1897.0020 .(บทความที่สามและบทความสุดท้ายในชุดบทความที่มีชื่อเดียวกัน)
• ปัวน์กาเร, เอช. (1900) "La théorie de Lorentz และ le Principe de Réaction" (PDF ) หอจดหมายเหตุ Néerlandaises 5 : 253– 78.
• Puri, A. (2015). "ไอน์สไตน์กับสูตรลูกตุ้มอย่างง่าย: แรงโน้มถ่วงทำให้ทุกนาฬิกาเดินช้าลงหรือไม่?" ฟิสิกส์ศึกษา 50 ( 4): 431. Bibcode : 2015PhyEd..50..431P . doi : 10.1088/0031-9120/50/4/431 . S2CID  118217730 .
• Reinhardt, S. และคณะ (2007). "การทดสอบการยืดเวลาสัมพัทธภาพด้วยนาฬิกาอะตอมแสงความเร็วสูงที่ความเร็วต่างกัน" (PDF) Nature Physics 3 ( 12): 861– 864. Bibcode : 2007NatPh...3..861R . doi : 10.1038/nphys778 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2009-07-12.
• Rossi, B.; Hall, DB (1941). "การเปลี่ยนแปลงอัตราการสลายตัวของเมโซตรอนตามโมเมนตัม". Physical Review . 59 (3): 223. Bibcode : 1941PhRv...59..223R . doi : 10.1103/PhysRev.59.223 .
• ไวส์, เอ็ม. "การถ่ายโอนเวลาแบบสองทางสำหรับดาวเทียม"สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติเก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 29 พฤษภาคม 2560
• วอยต์, ว. (1887) "หลักการของอูเบอร์ ดาส ดอปเปลอร์" นาคริชเทน ฟอน เดอร์ เคอนิกลิเชอร์ เกเซลล์ชาฟท์ เดอร์ วิสเซนชาฟเทน ซู เกิททิงเงน2 : 41– 51.

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์การยืดเวลาในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• เมอร์ริฟิลด์, ไมเคิล. "ปัจจัยลอเรนซ์ (และการยืดเวลา)" . หกสิบสัญลักษณ์ . เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .