กรอบอ้างอิงแบบหมุนเป็นกรณีพิเศษของกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยซึ่งหมุนสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยตัวอย่างในชีวิตประจำวันของกรอบอ้างอิงแบบหมุนคือพื้นผิวโลก^{[ a ]}

กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยทั้งหมดแสดงแรงเสมือนกรอบอ้างอิงแบบหมุนมีลักษณะเฉพาะสามประการ: ^{[ 1 ]}

• แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง
• แรงโคริโอลิส

และสำหรับกรอบอ้างอิงที่หมุนไม่สม่ำเสมอ

• แรงออยเลอร์

นักวิทยาศาสตร์ในกล่องหมุนสามารถวัดความเร็วในการหมุนและแกนการหมุนได้โดยการวัดแรงเสมือนเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นเลออน ฟูโกต์สามารถแสดงให้เห็นถึงแรงโคริโอลิสที่เกิดจากการหมุนของโลกโดยใช้ลูกตุ้มฟูโกต์หากโลกหมุนเร็วขึ้นหลายเท่า แรงเสมือนเหล่านี้อาจส่งผลต่อมนุษย์ได้ เช่นเดียวกับที่รู้สึกได้เมื่ออยู่บนม้าหมุน

ในกลศาสตร์คลาสสิกแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเป็นแรงที่พุ่งออกไปด้านนอกซึ่งเกี่ยวข้องกับการหมุนแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเป็นหนึ่งในแรงเสมือน หลายชนิด (หรือที่เรียกว่าแรงเฉื่อย ) ซึ่งเรียกเช่นนั้นเพราะว่า ต่างจากแรงจริง แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางไม่ได้เกิดจากการปฏิสัมพันธ์กับวัตถุอื่นที่อยู่ในสภาพแวดล้อมของอนุภาคที่มันกระทำ แต่แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเกิดจากการหมุนของกรอบอ้างอิงที่ใช้ในการสังเกต^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

สูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับแรงโคริโอลิสปรากฏในบทความปี 1835 โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกัสปาร์-กุสตาฟ โคริโอลิสในส่วนที่เกี่ยวข้องกับอุทกพลศาสตร์และยังปรากฏในสมการน้ำขึ้นน้ำลงของปิแอร์-ซีมอง ลาปลาซ ในปี 1778 ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 คำว่า แรงโคริโอลิ ส เริ่มถูกนำมาใช้ในบริบทของอุตุนิยมวิทยา

กรอบอ้างอิงแบบหมุนที่พบได้บ่อยที่สุดอาจเป็นโลกวัตถุที่เคลื่อนที่บนพื้นผิวโลกจะได้รับแรงโคริโอลิส และดูเหมือนจะเบี่ยงไปทางขวาในซีกโลกเหนือและไปทางซ้ายในซีกโลกใต้การเคลื่อนที่ของอากาศในชั้นบรรยากาศและน้ำในมหาสมุทรเป็นตัวอย่างที่เห็นได้ชัดของพฤติกรรมนี้ แทนที่จะไหลโดยตรงจากบริเวณที่มีความดันสูงไปยังบริเวณที่มีความดันต่ำ เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นบนดาวเคราะห์ที่ไม่หมุน ลมและกระแสน้ำมักจะไหลไปทางขวาของทิศทางนี้ทางเหนือของเส้นศูนย์สูตรและไปทางซ้ายของทิศทางนี้ทางใต้ของเส้นศูนย์สูตร ผลกระทบนี้เป็นสาเหตุของการหมุนของพายุไซโคลน ขนาดใหญ่ (ดูผลกระทบของโคริโอลิสในทางอุตุนิยมวิทยา )

ในกลศาสตร์คลาสสิกความเร่งของออยเลอร์ ( ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ) หรือที่รู้จักกันในชื่อความเร่งเชิงมุม^{[ 8 ]}หรือความเร่งตามขวาง^{[ 9 ]} คือความเร่งที่ปรากฏขึ้นเมื่อใช้กรอบอ้างอิงที่หมุนไม่สม่ำเสมอในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ และมีการเปลี่ยนแปลงในความเร็วเชิงมุมของ แกนของ กรอบอ้างอิงบทความนี้จำกัดเฉพาะกรอบอ้างอิงที่หมุนรอบแกนคงที่

แรงออยเลอร์เป็นแรงเสมือนบนวัตถุที่เกี่ยวข้องกับความเร่งออยเลอร์โดยF  =  m aโดยที่aคือความเร่งออยเลอร์และmคือมวลของวัตถุ^{[ 10 ] [ 11 ]}

ต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์สูตรสำหรับความเร่งและแรงเสมือนในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ เริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของอนุภาคในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้และพิกัดของอนุภาคในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (อยู่กับที่) จากนั้น โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา จะได้สูตรที่เชื่อมโยงความเร็วของอนุภาคที่มองเห็นได้ในสองกรอบอ้างอิง และความเร่งสัมพัทธ์กับแต่ละกรอบอ้างอิง โดยใช้ความเร่งเหล่านี้ จะสามารถระบุแรงเสมือนได้โดยการเปรียบเทียบกฎข้อที่สองของนิวตันที่กำหนดไว้ในสองกรอบอ้างอิงที่แตกต่างกัน

ในการหาแรงสมมติเหล่านี้ จะเป็นประโยชน์หากสามารถแปลงระหว่างพิกัดของกรอบอ้างอิงที่หมุนได้และพิกัดของกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่มีจุดกำเนิดเดียวกันได้^{[หมายเหตุ 1 ]} ถ้าการหมุนเกิดขึ้นรอบแกนด้วยความเร็วเชิงมุม คงที่ (ดังนั้นและซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าคงที่บางค่าโดยที่แทนมุมในระนาบ ที่เกิดขึ้น ณ เวลาโดยและแกน ) และถ้ากรอบอ้างอิงทั้งสองตรงกัน ณ เวลา(หมายความว่าเมื่อดังนั้น ให้เลือกหรือจำนวนเต็มทวีคูณอื่น ๆ ของ) การแปลงจากพิกัดที่หมุนได้เป็นพิกัดเฉื่อยสามารถเขียนได้ เป็น ในขณะที่การแปลงย้อนกลับคือ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z'=z}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \left(x',y'\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$${\displaystyle t=0,}$${\displaystyle \theta _{0}=0}$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$$${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$$${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$$${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

ผลลัพธ์นี้สามารถได้มาจากการใช้เมทริกซ์การหมุน

แนะนำเวกเตอร์หน่วยที่แสดงถึงเวกเตอร์ฐานหน่วยมาตรฐานในกรอบอ้างอิงหมุน จากนั้นจะหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์หน่วยเหล่านี้ สมมติว่ากรอบอ้างอิงอยู่ในแนวเดียวกันที่และแกน x คือแกนหมุน ดังนั้นสำหรับการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม: โดยที่ส่วนประกอบต่างๆ แสดงอยู่ในกรอบอ้างอิงคงที่ ในทำนองเดียวกัน ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega t}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

ดังนั้น อนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งหมุนโดยไม่เปลี่ยนแปลงขนาด คือ โดยที่ ผลลัพธ์นี้เหมือนกับที่พบโดยใช้ผลคูณเวกเตอร์แบบ ไขว้ กับเวกเตอร์การหมุนที่ชี้ไปตามแกน z ของการหมุนกล่าวคือ โดยที่คือหรือ$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

แนะนำเวกเตอร์หน่วยซึ่งในที่นี้แทนเวกเตอร์ฐานหน่วยมาตรฐานในกรอบอ้างอิงหมุนทั่วไป ขณะที่พวกมันหมุน พวกมันจะยังคงเป็นเวกเตอร์หน่วยและตั้งฉากกัน หากพวกมันหมุนด้วยความเร็วรอบแกนตามเวกเตอร์การหมุนเวกเตอร์หน่วยแต่ละตัวของระบบพิกัดหมุน (เช่นหรือ) จะเป็นไปตามสมการต่อไปนี้: ดังนั้น ถ้าแทนการแปลงเวกเตอร์ฐานของกรอบอ้างอิงเฉื่อยไปยังกรอบอ้างอิงหมุน โดยที่คอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากับเวกเตอร์ฐานของกรอบอ้างอิงหมุน การคูณผลคูณไขว้ด้วยเวกเตอร์การหมุนจะกำหนดโดย ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$${\displaystyle \Omega (t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ที่เขียนเป็น^{[หมายเหตุ 2 ]} และเราต้องการตรวจสอบอนุพันธ์อันดับแรกของมัน (โดยใช้กฎผลคูณของการหาอนุพันธ์): ^{[ 12 ] [ 13 ]} โดยที่แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของตามที่สังเกตได้ในระบบพิกัดหมุน ในรูปแบบย่อ การหาอนุพันธ์จะแสดงเป็น: ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

ผลลัพธ์นี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีการขนส่งในพลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ และบางครั้งก็เรียกว่า สม การจลนศาสตร์พื้นฐาน^{[ 14 ]}

ความเร็วของวัตถุคืออนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลา ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

อนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลาในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้นั้นมีสององค์ประกอบ องค์ประกอบแรกมาจากการพึ่งพาเวลาโดยตรงเนื่องจากการเคลื่อนที่ของวัตถุเองในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ และองค์ประกอบที่สองมาจากการหมุนของกรอบอ้างอิงนั้นเอง เมื่อนำผลลัพธ์จากหัวข้อก่อนหน้ามาใช้กับการกระจัดความเร็วในกรอบอ้างอิงทั้งสองจะมีความสัมพันธ์กันโดยสมการ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

โดยที่ตัวห้อยหมายถึงกรอบอ้างอิงเฉื่อย และหมายถึงกรอบอ้างอิงหมุน ${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle \mathrm {r} }$

ความเร่งคืออนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งเทียบกับเวลา หรืออนุพันธ์อันดับแรกของความเร็วเทียบกับเวลา

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

โดยที่ตัวห้อยหมายถึงกรอบอ้างอิงเฉื่อยกรอบอ้างอิงหมุน และนิพจน์ในวงเล็บด้านซ้ายนั้น จะต้องตีความว่าเป็นตัวดำเนินการที่กระทำกับนิพจน์ในวงเล็บด้านขวา ${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle \mathrm {r} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$

เนื่องจากอนุพันธ์อันดับแรกของเวลาภายในกรอบอ้างอิงใดกรอบอ้างอิงหนึ่ง เมื่อแสดงโดยเทียบกับฐานของกรอบอ้างอิงเฉื่อย จะตรงกัน การดำเนินการหาอนุพันธ์และการจัดเรียงพจน์บางส่วนใหม่จะให้ค่าความเร่งสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิง ที่หมุนได้${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

โดยที่คือความเร่งปรากฏในกรอบอ้างอิงที่หมุน เทอม แทนความเร่งหนีศูนย์กลางและเทอมคือความเร่งโคริโอลิสเทอมสุดท้ายคือความเร่งออยเลอร์และมีค่าเป็นศูนย์ในกรอบอ้างอิงที่หมุนอย่างสม่ำเสมอ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

เมื่อนำนิพจน์สำหรับความเร่งไปคูณกับมวลของอนุภาค พจน์พิเศษสามพจน์ทางด้านขวามือจะส่งผลให้เกิดแรงเสมือนในกรอบอ้างอิงที่หมุนอยู่ กล่าวคือ แรงเสมือนที่เกิดจากการอยู่ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยไม่ใช่เกิดจากปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพใดๆ ระหว่างวัตถุ

โดยใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน เราจะได้: ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

• แรงโคริโอลิส$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• และแรงออยเลอร์$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

มวลของวัตถุที่ถูกกระทำโดยแรงเสมือน เหล่านี้ อยู่ที่ใดโปรดสังเกตว่าแรงทั้งสามจะหายไปเมื่อกรอบอ้างอิงไม่หมุน นั่นคือเมื่อ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

เพื่อให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ความเร่งเฉื่อยที่เกิดจากแรงภายนอกที่กระทำสามารถหาได้จากแรงทางกายภาพทั้งหมดในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (ไม่หมุน) (ตัวอย่างเช่น แรงจากปฏิกิริยาทางกายภาพ เช่นแรงแม่เหล็กไฟฟ้า ) โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตันในกรอบอ้างอิงเฉื่อย: จากนั้นกฎของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้จะกลายเป็น ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เพื่อจัดการกับกฎการเคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้: ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

จงปฏิบัติต่อแรงสมมติเหล่านั้นเหมือนกับแรงจริง และจงคิดว่าคุณอยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย

เห็นได้ชัดว่า กรอบอ้างอิงที่หมุนได้เป็นกรณีหนึ่งของกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย ดังนั้น อนุภาคจึงได้รับแรงเสมือนนอกเหนือจากแรงจริง... อนุภาคจะเคลื่อนที่ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน หากพิจารณาว่าแรงทั้งหมดที่กระทำต่อมันคือผลรวมของแรงจริงและแรงเสมือน

สมการนี้มีรูปแบบเหมือนกับกฎข้อที่สองของนิวตันทุกประการยกเว้นว่านอกเหนือจากFซึ่งเป็นผลรวมของแรงทั้งหมดที่ระบุในกรอบอ้างอิงเฉื่อยแล้ว ยังมีพจน์พิเศษทางด้านขวาอีกด้วย... ซึ่งหมายความว่าเรายังคงสามารถใช้กฎข้อที่สองของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยได้ตราบใดที่เรายอมรับว่าในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย เราต้องเพิ่มพจน์ที่มีลักษณะคล้ายแรงพิเศษ ซึ่งมักเรียกว่าแรงเฉื่อย

เป็นการสะดวกที่จะพิจารณาปรากฏการณ์เรโซแนนซ์แม่เหล็กในกรอบอ้างอิงที่หมุนด้วยความถี่ลาร์มอร์ของสปิน ดังแสดงในภาพเคลื่อนไหวด้านล่าง นอกจากนี้ยังสามารถใช้ การประมาณคลื่นหมุน ได้อีกด้วย

• การหมุนสัมบูรณ์
• กรอบอ้างอิงที่หมุนร่วมกัน
• แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (กรอบอ้างอิงแบบหมุน)แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเมื่อมองจากระบบที่หมุนรอบแกนคงที่
• แรงโคริโอลิสผลกระทบของแรงโคริโอลิสต่อโลกและระบบหมุนอื่นๆ
• กรอบอ้างอิงเฉื่อย
• กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย
• พลังสมมติการวิเคราะห์โดยทั่วไปเกี่ยวกับหัวข้อของบทความนี้

• คลิปแอนิเมชั่นแสดงภาพฉากต่างๆ ที่มองจากทั้งกรอบอ้างอิงเฉื่อยและกรอบอ้างอิงหมุน เพื่อแสดงภาพแรงโคริโอลิสและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง