แรงเสมือน^{[ 1 ]}หรือที่รู้จักกันในชื่อแรงเฉื่อยหรือแรงเสมือนคือแรงที่ดูเหมือนจะกระทำต่อวัตถุเมื่อการเคลื่อนที่ ของวัตถุนั้น ถูกอธิบายหรือรับรู้จากกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยต่างจากแรงจริงซึ่งเกิดจากปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพระหว่างวัตถุ แรงเสมือนเกิดขึ้นเนื่องจากความเร่ง ของ กรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์มากกว่าแรงจริงที่กระทำต่อวัตถุ แรงเหล่านี้จำเป็นสำหรับการอธิบายการเคลื่อนที่อย่างถูกต้องภายในกรอบที่เร่งความเร็ว ทำให้มั่นใจได้ว่ากฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันยังคงใช้ได้^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตัวอย่างทั่วไปของแรงสมมุติ ได้แก่ แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางซึ่งดูเหมือนจะผลักวัตถุออกไปด้านนอกในระบบหมุนแรงโคริโอลิสซึ่งส่งผลต่อวัตถุที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่หมุน เช่น มวลลมบนโลก และแรงออยเลอร์ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อระบบหมุนเปลี่ยนความเร็วเชิงมุม (เช่น เนื่องจากการเร่งเชิงมุม )

แม้ว่าแรงเหล่านี้จะไม่ใช่แรงจริงในแง่ของการเกิดจากการปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพ แต่ก็มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ภายในกรอบอ้างอิงที่เร่งความเร็วได้อย่างแม่นยำ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาวิชาต่างๆ เช่น กลศาสตร์คลาสสิก อุตุนิยมวิทยา และฟิสิกส์ดาราศาสตร์ แรงสมมติมีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจปรากฏการณ์ในชีวิตประจำวัน เช่น รูปแบบสภาพอากาศที่ได้รับอิทธิพลจากปรากฏการณ์โคริโอลิส และความรู้สึกไร้น้ำหนักที่นักบินอวกาศประสบในวงโคจรแบบตกอิสระ นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานในงานวิศวกรรมต่างๆ รวมถึงระบบนำทางและเครื่องจักรหมุน

ตาม ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไปเราจะรับรู้ถึงแรงโน้มถ่วงเมื่อกาลอวกาศโค้งงอใกล้กับวัตถุที่มีมวลมาก ดังนั้นแม้แต่แรงนี้ก็อาจเรียกได้ว่าเป็นแรงสมมติ

ผู้โดยสารในยานพาหนะที่กำลังเร่งความเร็วไปข้างหน้าอาจรับรู้ว่าตนเองถูกแรงกระทำที่ผลักไปในทิศทางของพนักพิงที่นั่ง ตัวอย่างเช่น ในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ อาจเป็นความรู้สึกว่ามีแรงที่ดูเหมือนจะผลักวัตถุออกไปทางขอบของเครื่องเหวี่ยงหรือม้าหมุน

แรงเสมือนที่เรียกว่าแรงเทียมอาจเรียกได้ว่าแรงจากวัตถุ เกิดจาก ความเฉื่อยของวัตถุเมื่อกรอบอ้างอิงไม่เคลื่อนที่อย่างเฉื่อยอีกต่อไป แต่เริ่มเร่งความเร็วสัมพัทธ์กับวัตถุอิสระในตัวอย่างของรถยนต์โดยสาร แรงเทียมดูเหมือนจะเกิดขึ้นก่อนที่ร่างกายจะสัมผัสกับพนักพิงของเบาะในรถ คนที่นั่งอยู่ในรถเอนตัวไปข้างหน้า ก่อนจะเคลื่อนที่ถอยหลังเล็กน้อยเมื่อเทียบกับรถที่กำลังเร่งความเร็วอยู่แล้ว ก่อนที่จะสัมผัสกับพนักพิง การเคลื่อนที่ในช่วงเวลาสั้นๆ นี้ดูเหมือนจะเป็นผลมาจากแรงที่กระทำต่อคน นั่นคือ เป็นแรงเทียม แรงเทียมไม่ได้เกิดจากปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพระหว่างวัตถุสองชิ้น เช่นแรงแม่เหล็กไฟฟ้าหรือแรงสัมผัส มันเป็นเพียงผลที่ตามมาจากการเร่งความเร็วของวัตถุทางกายภาพที่กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยเชื่อมต่ออยู่ นั่นคือ รถยนต์ในกรณีนี้ จากมุมมองของกรอบอ้างอิงที่เร่งความเร็ว จะปรากฏว่าวัตถุเฉื่อยนั้นมีการเร่งความเร็วเกิดขึ้น ซึ่งเห็นได้ชัดว่าต้องมี "แรง" มากระทำเพื่อให้เกิดเหตุการณ์นี้ขึ้น

ตามที่ Iro กล่าวไว้: ^{[ 4 ]}

แรงเพิ่มเติมดังกล่าวซึ่งเกิดจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ที่ไม่สม่ำเสมอของกรอบอ้างอิงทั้งสอง เรียกว่าแรงเสมือน (pseudo-force )

แรงเสมือนบนวัตถุเกิดขึ้นเป็นอิทธิพลสมมุติเมื่อกรอบอ้างอิงที่ใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุมีความเร่งเมื่อเทียบกับกรอบที่ไม่เร่ง แรงเสมือน "อธิบาย" โดยใช้กลศาสตร์กฎข้อที่สองของนิวตันว่าทำไมวัตถุจึงไม่เป็นไปตามกฎข้อที่สองของนิวตันและ "ลอยอย่างอิสระ" ราวกับไร้น้ำหนัก เนื่องจากกรอบอาจเร่งในลักษณะใดก็ได้ แรงเสมือนก็อาจเป็นไปในลักษณะใดก็ได้เช่นกัน (แต่เฉพาะในกรณีที่ตอบสนองต่อความเร่งของกรอบโดยตรงเท่านั้น) ตัวอย่างของแรงเสมือนตามที่ Iro นิยามไว้คือแรงโคริโอลิสหรืออาจเรียกได้ว่า: ผลกระทบโคริโอลิส^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}แรงโน้มถ่วงจะเป็นแรงสมมุติ (แรงเสมือน) ในแบบจำลองสนามที่อนุภาคบิดเบือนกาลอวกาศเนื่องจากมวลของพวกมัน เช่นในทฤษฎี สัมพัทธ ภาพ ทั่วไป

โดยสมมติว่ากฎข้อที่สองของนิวตันอยู่ในรูปแบบF  =  m aแรงเสมือนจะแปรผันตรงกับมวลmเสมอ

แรงสมมติที่เรียกว่าแรงเฉื่อย^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ยังถูกเรียกว่าแรงดาล็องแบร์ ​​[ ^{11 ] [ 12 ]}หรือบางครั้งเรียกว่าแรงเสมือน^{[ 13 ] หลักการของดาล็องแบร์เป็นเพียงอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดกฎการ เคลื่อนที่}ข้อที่สองของนิวตัน โดยกำหนดให้แรงเฉื่อยเป็นค่าลบของผลคูณของมวลกับความเร่ง เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น

(แรงดาล็องแบร์ไม่ควรสับสนกับแรงสัมผัสที่เกิดจากการปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพระหว่างวัตถุสองชิ้น ซึ่งเป็นหัวข้อของกฎข้อที่สามของนิวตัน – 'การกระทำคือปฏิกิริยา ' ^{[ 14 ] [ 15 ]}ในแง่ของตัวอย่างรถยนต์โดยสารข้างต้น แรงสัมผัสเกิดขึ้นเมื่อร่างกายของผู้โดยสารสัมผัสกับพนักพิงของเบาะนั่งในรถยนต์ แรงนี้จะคงอยู่ตราบเท่าที่รถกำลังเร่งความเร็ว)

มีการกำหนดแรงสมมติสี่แรงสำหรับเฟรมที่เร่งความเร็วในลักษณะที่พบได้ทั่วไป:

• อันหนึ่งเกิดจากความเร่งใดๆ สัมพันธ์กับจุดกำเนิดในเส้นตรง ( ความเร่งเชิง เส้นตรง ) ^{[ 16 ]}
• สองอย่างที่เกี่ยวข้องกับการหมุน ได้แก่แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและผลของโคริโอลิส
• และแรงที่สี่ เรียกว่าแรงออยเลอร์ซึ่งเกิดจากอัตราการหมุนที่แปรผัน หากเกิดกรณีดังกล่าวขึ้น

บทบาทของแรงสมมติในกลศาสตร์นิวตันได้รับการอธิบายโดยTonnelat : ^{[ 17 ]}

สำหรับนิวตัน การปรากฏของความเร่งบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์เสมอ ไม่ว่าจะเป็นการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของสสารในกรณีที่ เกี่ยวข้องกับแรง จริงหรือการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของระบบอ้างอิงในกรณีที่ เกี่ยวข้องกับแรง เสมือนเช่น แรงเฉื่อยหรือแรงโคริโอลิส

แรงสมมติเกิดขึ้นในกลศาสตร์คลาสสิกและสัมพัทธภาพพิเศษในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยทั้งหมด กรอบอ้างอิงเฉื่อยมีความพิเศษเหนือกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยเพราะไม่มีฟิสิกส์ที่มีสาเหตุอยู่นอกระบบ ในขณะที่กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยมี แรงสมมติหรือฟิสิกส์ที่มีสาเหตุอยู่นอกระบบไม่จำเป็นอีกต่อไปในสัมพัทธภาพทั่วไปเนื่องจากฟิสิกส์เหล่านี้ได้รับการอธิบายด้วยเส้นทางจีโอเดสิกของปริภูมิเวลา : "สนามของเส้นทางจีโอเดสิกศูนย์ของปริภูมิเวลาที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรือเส้นทางโฟตอนรวมมาตรฐานการไม่หมุนในท้องถิ่นสัมบูรณ์ตลอดปริภูมิเวลา" ^{[ 18 ]}

พื้นผิวโลกเป็นกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ในการแก้ ปัญหา ทางกลศาสตร์คลาสสิกอย่างแม่นยำในกรอบอ้างอิงที่ยึดติดกับโลก จำเป็นต้องมีการนำแรงเสมือนสามแรงเข้ามาใช้ ได้แก่แรงโคริโอลิสแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) และแรงออยเลอร์โดยทั่วไปแล้ว แรงออยเลอร์มักถูกละเลย เนื่องจากความแปรผันของความเร็วเชิงมุมของพื้นผิวโลกที่หมุนอยู่นั้นมักไม่มีนัยสำคัญ ส่วนแรงเสมือนอีกสองแรงนั้นอ่อนกว่าแรงทั่วไปในชีวิตประจำวันมาก แต่สามารถตรวจจับได้ภายใต้เงื่อนไขที่ระมัดระวัง

ตัวอย่างเช่นเลออน ฟูโกต์ใช้ลูกตุ้มฟูโกต์ ของเขา เพื่อแสดงให้เห็นว่าแรงโคริโอลิสเกิดจากการหมุนของโลกหากโลกหมุนเร็วขึ้นยี่สิบเท่า (ทำให้แต่ละวันยาวเพียงประมาณ 72 นาที) ผู้คนอาจรู้สึกได้ง่ายๆ ว่ามีแรงสมมุติเหล่านี้ดึงพวกเขาอยู่ เหมือนกับม้าหมุนที่กำลังหมุนอยู่ ผู้คนในเขตละติจูดอบอุ่นและเขตร้อนจะต้องจับให้แน่นเพื่อหลีกเลี่ยงการถูกแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเหวี่ยงขึ้นสู่วงโคจร

เมื่อแล่นเรือไปตามเส้นศูนย์สูตรมุ่งหน้าไปทางทิศตะวันออก วัตถุต่างๆ จะดูเบากว่าเล็กน้อยเมื่อเทียบกับตอนแล่นเรือกลับ ปรากฏการณ์นี้ได้รับการสังเกตและเรียกว่าปรากฏการณ์เออทเวิส (Eötvös effect )

ผู้สังเกตการณ์ภายในกล่องปิดที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว คงที่ ไม่สามารถตรวจจับการเคลื่อนที่ของตนเองได้ อย่างไรก็ตาม ผู้สังเกตการณ์ภายในกรอบอ้างอิงที่เร่งความเร็วสามารถตรวจจับได้ว่าตนเองอยู่ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยจากแรงเสมือนที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สำหรับการเร่งความเร็วเป็นเส้นตรงVladimir Arnoldได้นำเสนอทฤษฎีบทต่อไปนี้: ^{[ 19 ]}

ในระบบพิกัดKซึ่งเคลื่อนที่โดยการเลื่อนขนานสัมพันธ์กับระบบเฉื่อยkการเคลื่อนที่ของระบบกลไกจะเกิดขึ้นราวกับว่าระบบพิกัดนั้นเป็นระบบเฉื่อย แต่ที่ทุกจุดมวลm จะ มี"แรงเฉื่อย" เพิ่มเติมกระทำ: F  = − m aโดยที่aคือความเร่งของระบบK

ความเร่งอื่นๆ ยังก่อให้เกิดแรงเสมือน ดังที่อธิบายไว้ทางคณิตศาสตร์ด้านล่างคำอธิบายทางกายภาพของการเคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็นคำอธิบายที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยไม่จำเป็นต้องมีแรงเสมือน: แรงเสมือนเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นวิธีการแยกแยะกรอบอ้างอิงเฉื่อยออกจากกรอบอ้างอิงอื่นๆ^{[ 20 ]}

ตัวอย่างหนึ่งของการตรวจจับกรอบอ้างอิงหมุนที่ไม่เฉื่อยคือการเคลื่อนที่แบบพรีเซสชันของลูกตุ้มฟูโกต์ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยของโลกแรงโคริโอลิส สมมติ มีความจำเป็นในการอธิบายการสังเกตการณ์ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่อยู่นอกโลก แรงสมมติดังกล่าวไม่จำเป็น

ผลของแรงเสมือนยังเกิดขึ้นเมื่อรถเข้าโค้งเมื่อสังเกตจากกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยซึ่งติดอยู่กับรถ แรงเสมือนที่เรียกว่าแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจะปรากฏขึ้น ขณะที่รถเลี้ยวซ้าย กระเป๋าเดินทางที่วางอยู่บนเบาะหลังด้านซ้ายจะเลื่อนไปที่เบาะหลังด้านขวา แล้วเลื่อนต่อไปจนกระทั่งชนกับประตูรถด้านขวาที่ปิดอยู่ การเคลื่อนไหวนี้แสดงถึงช่วงของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเสมือน เนื่องจากความเฉื่อยของกระเป๋าเดินทางมีบทบาทในการเคลื่อนไหวนี้ อาจดูเหมือนว่าต้องมีแรงที่รับผิดชอบต่อการเคลื่อนไหวนี้ แต่จริงๆ แล้ว การเคลื่อนไหวนี้เกิดขึ้นเนื่องจากความเฉื่อยของกระเป๋าเดินทาง ซึ่งยังคงเป็น 'วัตถุอิสระ' ภายในกรอบอ้างอิงที่กำลังเร่งความเร็วอยู่แล้ว หลังจากที่กระเป๋าเดินทางชนกับประตูรถที่ปิดอยู่ สถานการณ์ที่มีแรงสัมผัส เกิดขึ้นจึง กลายเป็นสถานการณ์ปัจจุบัน แรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์นั้นได้ถูกถ่ายโอนไปยังกระเป๋าเดินทางด้วย และสถานการณ์ของกฎข้อที่สามของนิวตันก็เกิดขึ้น โดยมีแรงสู่ศูนย์กลางเป็นส่วนของการกระทำ และมีแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง ที่เรียกว่าแรง ปฏิกิริยาเป็นส่วนของปฏิกิริยา แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางปฏิกิริยานี้เกิดจากความเฉื่อยของกระเป๋าเดินทางเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ในตอนนี้ความเฉื่อยปรากฏในรูปของการต้านทานที่แสดงออกต่อการเปลี่ยนแปลงสถานะการเคลื่อนที่^{[ 21 ]}

สมมติว่ารถกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ไปตามวงเวียนเป็นระยะทางอีกไม่กี่ไมล์ ผู้โดยสารจะรู้สึกราวกับว่าพวกเขากำลังถูกผลักออกไปด้านนอกของรถด้วยแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (แรงปฏิกิริยา) ทำให้ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงเวียน

สามารถพิจารณาสถานการณ์นี้ได้ทั้งจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยและกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย

• จากมุมมองของกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่อยู่กับที่เมื่อเทียบกับถนน รถกำลังเร่งความเร็วเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม มันเร่งความเร็วเนื่องจากทิศทางของความเร็วเปลี่ยนแปลงไป แม้ว่ารถจะมีความเร็วคงที่ก็ตาม การเร่งความเร็วเข้าด้านในนี้เรียกว่าการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางซึ่งต้องใช้แรงสู่ศูนย์กลางเพื่อรักษาการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงนี้เกิดจากพื้นกระทำต่อล้อ ในกรณีนี้เกิดจากแรงเสียดทานระหว่างล้อกับถนน^{[ 22 ]}รถกำลังเร่งความเร็วเนื่องจากแรงที่ไม่สมดุล ซึ่งทำให้มันเคลื่อนที่เป็นวงกลม (ดูเพิ่มเติมที่การเลี้ยวแบบเอียง )
• จากมุมมองของกรอบอ้างอิงที่หมุนและเคลื่อนที่ไปพร้อมกับรถ แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเสมือนปรากฏขึ้น ผลักรถออกไปทางด้านนอกของถนน (และผลักผู้โดยสารออกไปทางด้านนอกของรถด้วย) แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางนี้จะสมดุลกับแรงเสียดทานระหว่างล้อกับถนน ทำให้รถหยุดนิ่งในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยนี้

ตัวอย่างคลาสสิกของแรงเสมือนในการเคลื่อนที่แบบวงกลมคือการทดลองหมุนทรงกลมที่ผูกด้วยเชือกและหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล ในกรณีนี้ การระบุเฟรมอ้างอิงแบบหมุนที่ไม่เฉื่อยสามารถทำได้โดยการสังเกตว่าแรงเสมือนหายไป ในเฟรมเฉื่อย แรงเสมือนไม่จำเป็นต่อการอธิบายแรงตึงในเชือกที่เชื่อมทรงกลม ในเฟรมหมุน ต้องมีการนำแรงโคริโอลิสและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางมาใช้เพื่อทำนายแรงตึงที่สังเกตได้

ในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ซึ่งรับรู้ได้บนพื้นผิวโลก แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจะลดแรงโน้มถ่วงที่ปรากฏลงประมาณหนึ่งในพันส่วน ขึ้นอยู่กับละติจูด การลดลงนี้เป็นศูนย์ที่ขั้วโลก และสูงสุดที่ เส้นศูนย์สูตร

ภาพเคลื่อนไหว:วัตถุถูกปล่อยจากวงล้อหมุน

สำหรับคนที่มองจากมุมมองแผนที่ แรงเพียงแรงเดียวก็เพียงพอที่จะอธิบายการเคลื่อนที่ได้ นั่นคือ ลูกศรสีแดง: แรงสู่ศูนย์กลางหลังจากปล่อยวัตถุแล้ว จำนวนแรงจะเป็นศูนย์ สำหรับคนที่มองจากกรอบหมุน วัตถุจะเคลื่อนที่ในลักษณะที่ซับซ้อนซึ่งต้องใช้แรงหนีศูนย์กลาง : ลูกศรสีฟ้าหมายเหตุ:ในบางเบราว์เซอร์ การกด [Esc] จะหยุดการเคลื่อนไหวเพื่อการวิเคราะห์โดยละเอียดมากขึ้น อย่างไรก็ตาม อาจต้องโหลดหน้าเว็บใหม่เพื่อเริ่มต้นใหม่

แรงโคริโอลิสสมมติซึ่งสังเกตได้ในกรอบการหมุนนั้น โดยปกติจะมองเห็นได้เฉพาะในการเคลื่อนที่ขนาดใหญ่มาก เช่น การเคลื่อนที่ของกระสุนปืนระยะไกลหรือการหมุนเวียนของชั้นบรรยากาศของโลก (ดูหมายเลขรอสบี ) หากไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ วัตถุที่ปล่อยจากหอคอยสูง 50 เมตรที่เส้นศูนย์สูตรจะตกลงไปทางทิศตะวันออก 7.7 มิลลิเมตรจากจุดด้านล่างที่ปล่อยลงมาเนื่องจากแรงโคริโอลิส^{[ 23 ]}

แรงเสมือนสามารถถือได้ว่าทำงานได้ตราบใดที่แรงนั้นทำให้วัตถุเคลื่อนที่ไปตามวิถีที่เปลี่ยนพลังงานจากพลังงานศักยภาพเป็นพลังงานจลน์ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาคนกลุ่มหนึ่งที่นั่งอยู่บนเก้าอี้หมุนและถือตุ้มน้ำหนักไว้ในมือที่ยื่นออกไป หากพวกเขาดึงมือเข้าหาลำตัว จากมุมมองของกรอบอ้างอิงที่หมุนอยู่ พวกเขาได้ทำงานต้านแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางแล้ว เมื่อปล่อยตุ้มน้ำหนัก มันจะพุ่งออกไปด้านนอกโดยอัตโนมัติเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงที่หมุนอยู่ เพราะแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางทำงานกับวัตถุ เปลี่ยนพลังงานศักยภาพเป็นพลังงานจลน์ จากมุมมองของกรอบอ้างอิงเฉื่อย แน่นอนว่าวัตถุจะพุ่งออกไปจากพวกเขาเพราะมันได้รับอนุญาตให้เคลื่อนที่ในเส้นตรงอย่างกะทันหัน สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่างานที่ทำ เช่นเดียวกับพลังงานศักยภาพและพลังงานจลน์ทั้งหมดของวัตถุ อาจแตกต่างกันในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

แนวคิดเรื่อง "แรงเสมือน" ยังเกิดขึ้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ของไอน์สไตน์ ด้วย^{[ 24 ] [ 25 ]}แรงเสมือนทั้งหมดเป็นสัดส่วนกับมวลของวัตถุที่มันกระทำ ซึ่งเป็นความจริงสำหรับแรงโน้มถ่วงเช่น กัน ^{[ 26 ] [ 27 ]}สิ่งนี้ทำให้อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์สงสัยว่าแรงโน้มถ่วงสามารถจำลองเป็นแรงเสมือนได้หรือไม่ เขาสังเกตว่า ผู้สังเกตการณ์ ที่ตกลงมาอย่างอิสระในกล่องปิดจะไม่สามารถตรวจจับแรงโน้มถ่วงได้ ดังนั้นกรอบอ้างอิงที่ตกลงมาอย่างอิสระ จึง เทียบเท่ากับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ( หลักการสมมูล ) ด้วยการพัฒนาความเข้าใจนี้ ไอน์สไตน์จึงกำหนดทฤษฎีโดยใช้แรงโน้มถ่วงเป็นแรงเสมือน และอธิบายความเร่งที่ปรากฏเนื่องจากแรงโน้มถ่วงว่าเป็นผลมาจากความโค้งของกาลอวกาศ แนวคิดนี้เป็นพื้นฐานของทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ดูการทดลองของเออทเวิส

ภาพเคลื่อนไหว:ลูกบอลที่กลิ้งตกหน้าผา
หมายเหตุ:มุมมองเฟรมฝนในที่นี้ แทนที่จะเป็นมุมมองของหยาดฝน กลับคล้ายกับมุมมองของนักกระโดดแทรมโพลีนที่วิถีการเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดเมื่อลูกบอลไปถึงขอบหน้าผา มุมมองเฟรมเปลือก[ 28 ]อาจเป็นที่คุ้นเคยสำหรับผู้อยู่อาศัยบนดาวเคราะห์ที่ต้องพึ่งพาแรงทางกายภาพจากสิ่งแวดล้อมขึ้นด้านบนทุกนาที เพื่อปกป้องตนเองจากการเร่งความเร็วทางเรขาคณิตอันเนื่องมาจากกาลอวกาศโค้ง

ปัญหาหลายอย่างจำเป็นต้องใช้กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย เช่น ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับดาวเทียม^{[ 29 ] [ 30 ]}และเครื่องเร่งอนุภาค^{[ 31 ]}รูปที่ 2 แสดงอนุภาคที่มีมวลmและเวกเตอร์ตำแหน่งx _A ( t ) ในกรอบเฉื่อย A พิจารณากรอบที่ไม่เฉื่อย B ซึ่งมีจุดกำเนิดสัมพันธ์กับกรอบเฉื่อยโดยX _AB ( t ) ให้ตำแหน่งของอนุภาคในกรอบ B เป็นx _B ( t ) แรงที่กระทำต่ออนุภาคเมื่อแสดงในระบบพิกัดของกรอบ B คืออะไร? ^{[ 32 ] [ 33 ]}

เพื่อตอบคำถามนี้ ให้แกนพิกัดใน B แทนด้วยเวกเตอร์หน่วยu _jโดยที่jเป็นค่าใดๆ ของ { 1, 2, 3 } สำหรับแกนพิกัดทั้งสาม จากนั้น $${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$$

การตีความสมการนี้คือx _Bคือเวกเตอร์การกระจัดของอนุภาค ซึ่งแสดงในรูปของพิกัดในกรอบอ้างอิง B ณ เวลาtจากกรอบอ้างอิง A อนุภาคจะอยู่ที่: $${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$$

อนึ่ง เวกเตอร์หน่วย { u _j } ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงขนาดได้ ดังนั้นอนุพันธ์ของเวกเตอร์เหล่านี้จึงแสดงถึงการหมุนของระบบพิกัด B เท่านั้น ในทางกลับกัน เวกเตอร์X _ABเพียงแค่ระบุตำแหน่งจุดกำเนิดของเฟรม B เทียบกับเฟรม A และจึงไม่สามารถรวมการหมุนของเฟรม B ได้

เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาความเร็วของอนุภาคคือ: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$$

ผลรวมพจน์ที่สองคือความเร็วของอนุภาค สมมติว่าเป็นv _Bที่วัดในกรอบอ้างอิง B นั่นคือ: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$$

การตีความสมการนี้คือ ความเร็วของอนุภาคที่ผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง A มองเห็นนั้น ประกอบด้วยสิ่งที่ผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง B เรียกว่าความเร็ว นั่นคือv _Bบวกกับพจน์เพิ่มเติมอีกสองพจน์ที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของแกนพิกัดในกรอบอ้างอิง B พจน์หนึ่งคือความเร็วของจุดกำเนิดที่เคลื่อนที่v _ABอีกพจน์หนึ่งคือส่วนประกอบของความเร็วที่เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าตำแหน่งต่างๆ ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยมีความเร็วปรากฏที่แตกต่างกันเนื่องจากการหมุนของกรอบอ้างอิง จุดที่มองเห็นจากกรอบอ้างอิงที่หมุนจะมีส่วนประกอบของความเร็วในการหมุนที่มากขึ้นเมื่อจุดนั้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากขึ้น

ในการหาค่าความเร่ง การหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาอีกครั้งจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$$

โดยใช้สูตรเดียวกันกับที่ใช้ในการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของx _Bอนุพันธ์เทียบกับความเร็วทางด้านขวาคือ: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$$

เพราะเหตุนี้,

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$$

1

_{การ ตีความ}สมการนี้มีดังนี้: ความเร่งของอนุภาคในกรอบอ้างอิง A ประกอบด้วยสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิง B เรียกว่าความเร่งของอนุภาคaB แต่เพิ่มเติมจากนั้น ยังมีพจน์ความเร่งอีกสามพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ _ของแกนพิกัดของกรอบอ้างอิง B ได้แก่ พจน์หนึ่งที่เกี่ยวข้องกับความเร่งของจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิง B นั่นคือaABและพจน์อีกสองพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของกรอบอ้างอิง B ดังนั้น ผู้สังเกตการณ์ใน B จะเห็นการเคลื่อนที่ของอนุภาคมีความเร่ง "พิเศษ" ซึ่งพวกเขาจะระบุว่าเป็น "แรง" ที่กระทำต่ออนุภาค แต่ผู้สังเกตการณ์ใน A กล่าวว่าเป็นแรง "สมมติ" ที่เกิดขึ้นเพียงเพราะผู้สังเกตการณ์ใน B ไม่ตระหนักถึงลักษณะที่ไม่เฉื่อยของกรอบอ้างอิง B

ปัจจัยสองในแรงโคริโอลิสเกิดจากส่วนประกอบที่เท่ากันสองส่วน ได้แก่ (i) การเปลี่ยนแปลงที่เห็นได้ชัดของความเร็วคงที่เนื่องจากความเฉื่อยเมื่อเวลาผ่านไป เนื่องจากการหมุนทำให้ทิศทางของความเร็วดูเหมือนจะเปลี่ยนไป ( เทอม d v _B /d t ) และ (ii) การเปลี่ยนแปลงที่เห็นได้ชัดในความเร็วของวัตถุเมื่อตำแหน่งของมันเปลี่ยนไป ทำให้มันเข้าใกล้หรือห่างจากแกนการหมุนมากขึ้น (การเปลี่ยนแปลงเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงในx _j ) ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$

หากจะอธิบายในแง่ของแรง ความเร่งจะถูกคูณด้วยมวลของอนุภาค: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$$

แรงที่สังเกตได้ในกรอบอ้างอิง B, F _B = m a _Bมีความสัมพันธ์กับแรงจริงที่กระทำต่ออนุภาค, F _A , โดย ที่: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$$

ดังนั้น ปัญหาต่างๆ อาจได้รับการแก้ไขในกรอบ B โดยสมมติว่ากฎข้อที่สองของนิวตันใช้ได้ (โดยสัมพันธ์กับปริมาณในกรอบนั้น) และถือว่าFเป็นแรง_{สมมติ เพิ่มเติม} ^{[ 19 ] [ 34 ] [ 35 ]}

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างจำนวนหนึ่งที่นำผลลัพธ์นี้ไปใช้กับแรงสมมติ ตัวอย่างเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง

สถานการณ์ทั่วไปที่กรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยมีประโยชน์คือเมื่อกรอบอ้างอิงกำลังหมุน เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบหมุนดังกล่าวไม่เฉื่อย อันเนื่องมาจากความเร่งที่มีอยู่ในการเคลื่อนที่แบบหมุนใดๆ จึงสามารถใช้แรงเสมือนได้เสมอโดยใช้กรอบอ้างอิงแบบหมุน แม้จะมีข้อจำกัดนี้ การใช้แรงเสมือนมักจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ในการหาอนุพันธ์ของแรงเสมือน จำเป็นต้องใช้ค่าอนุพันธ์ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ที่ปรากฏเทียบกับเวลา โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของแกนพิกัดตามเวลา ถ้าการหมุนของกรอบอ้างอิง 'B' แทนด้วยเวกเตอร์Ωที่ชี้ไปตามแกนการหมุน โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดตามที่กำหนด $${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$$

จากนั้นอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์หน่วยทั้งสามที่อธิบายเฟรม B คือ^{[ 34 ] [ 36 ]} และ ได้รับการยืนยันโดยใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ สูตรอนุพันธ์เหล่านี้ถูกนำไปใช้กับความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งในเฟรมเฉื่อยและความเร่งในเฟรมพิกัดที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω( t ) ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา จากส่วนก่อนหน้า โดยที่ตัวห้อย A หมายถึงเฟรมเฉื่อยและ B หมายถึงเฟรมหมุน การตั้งค่า_AB = 0 เพื่อขจัดความเร่งเชิงเส้น และเน้นเฉพาะคุณสมบัติการหมุน (ดูสมการ 1 ): เมื่อรวบรวมพจน์ ผลลัพธ์ที่ได้คือ สูตรการแปลงความเร่ง ที่เรียกว่า: ^{[ 37 ]}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$$

ความเร่งทางกายภาพa _Aที่เกิดจากสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย A เรียกว่าแรงภายนอกที่แท้จริงที่กระทำต่อวัตถุ จึงไม่ใช่เพียงแค่ความเร่งa _Bที่ผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงแบบหมุน B มองเห็น แต่ยังมีพจน์ความเร่งทางเรขาคณิตเพิ่มเติมอีกหลายพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของ B ด้วย เมื่อมองจากกรอบอ้างอิงแบบหมุน ความเร่งa _Bของอนุภาคสามารถหาได้จากการจัดเรียงสมการข้างต้นใหม่ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$

แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุตามมุมมองของผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้คือF _B = m a _Bหากการสังเกตการณ์ของพวกเขาจะให้ผลลัพธ์เป็นแรงที่ถูกต้องต่อวัตถุเมื่อใช้กฎของนิวตัน พวกเขาต้องพิจารณาว่ามีแรงเพิ่มเติมF _fictอยู่ด้วย ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นF _B = F _A + F _fictดังนั้น แรงสมมติที่ผู้สังเกตการณ์ใน B ใช้เพื่อให้ได้พฤติกรรมที่ถูกต้องของวัตถุจากกฎของนิวตันจึงเท่ากับ: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$

ในที่นี้ เทอมแรกคือแรงโคริโอลิส^[ 38 ^{] เทอม}ที่สองคือแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง [ ^{39 ]}และเทอมที่สามคือ^แรงออยเลอร์^{[ 40 ] [ 41 ]}

ตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง สมมติว่าระบบพิกัดเคลื่อนที่Bหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ω ในวงกลมรัศมีRรอบจุดกำเนิดคงที่ของกรอบอ้างอิงเฉื่อยAแต่รักษาแกนพิกัดให้คงที่ในทิศทาง ดังแสดงในรูปที่ 3 ความเร่งของวัตถุที่สังเกตได้คือ (ดูสมการที่ 1 ): โดยผลรวมเป็นศูนย์เนื่องจากเวกเตอร์หน่วยไม่มีการขึ้นอยู่กับเวลา จุดกำเนิดของระบบBอยู่ที่ตามกรอบอ้างอิงA : นำไปสู่ความเร็วของจุดกำเนิดของกรอบ อ้างอิง Bดังนี้: นำไปสู่ความเร่งของจุดกำเนิดของBดังนี้: เนื่องจากพจน์แรก ซึ่ง มีรูปแบบเดียวกับนิพจน์แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางปกติ: จึงเป็นการขยายศัพท์มาตรฐานตามธรรมชาติ (แม้ว่าจะไม่มีศัพท์มาตรฐานสำหรับกรณีนี้) ที่จะเรียกพจน์นี้ว่า "แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง" ไม่ว่าจะใช้ศัพท์เฉพาะใด ผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงBจะต้องกำหนดแรงเสมือนขึ้นมา ซึ่งในครั้งนี้เกิดจากความเร่งจากการเคลื่อนที่ในวงโคจรของกรอบพิกัดทั้งหมดของพวกเขา โดยมีทิศทางพุ่งออกไปในแนวรัศมีจากจุดศูนย์กลางการหมุนของจุดกำเนิดของระบบพิกัดของพวกเขา และมีขนาดดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$$$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$$$${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$$

แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางนี้มีความแตกต่างจากกรณีของกรอบอ้างอิงที่หมุน ในกรอบอ้างอิงที่หมุน แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจะสัมพันธ์กับระยะห่างของวัตถุจากจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงBในขณะที่ในกรณีของกรอบอ้างอิงที่โคจร แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจะไม่ขึ้นอยู่กับระยะห่างของวัตถุจากจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงBแต่จะขึ้นอยู่กับระยะห่างของจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงBจากศูนย์กลางการหมุน ส่งผลให้ แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเสมือนมีค่า เท่ากันสำหรับ วัตถุ ทุกชิ้นที่สังเกตได้ในกรอบอ้างอิง B

ตัวอย่างการรวมกัน รูปที่ 4 แสดงระบบพิกัดBที่โคจรรอบกรอบอ้างอิงเฉื่อยAดังในรูปที่ 3 แต่แกนพิกัดในกรอบBหมุนเพื่อให้เวกเตอร์หน่วยu ₁ชี้ไปยังศูนย์กลางการหมุนเสมอ ตัวอย่างนี้อาจนำไปใช้กับหลอดทดลองในเครื่องปั่นเหวี่ยง ซึ่งเวกเตอร์u ₁ชี้ไปตามแกนของหลอดไปยังช่องเปิดที่ด้านบน นอกจากนี้ยังคล้ายกับระบบโลก-ดวงจันทร์ ซึ่งดวงจันทร์จะหันด้านเดียวกันเข้าหาโลกเสมอ^{[ 42 ]}ในตัวอย่างนี้ เวกเตอร์หน่วยu ₃ยังคงมีทิศทางคงที่ ในขณะที่เวกเตอร์u ₁ , u ₂หมุนด้วยอัตราเดียวกับจุดกำเนิดของพิกัด นั่นคือ ดังนั้น ความเร่งของวัตถุที่เคลื่อนที่จึงแสดงได้ดังนี้ (ดูสมการ 1 ): โดยที่พจน์ความเร่งเชิงมุมเป็นศูนย์สำหรับอัตราการหมุนคงที่ เนื่องจากพจน์แรก ซึ่ง มีรูปแบบเดียวกับนิพจน์แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางปกติ จึงเป็นการขยายคำศัพท์มาตรฐานอย่างเป็นธรรมชาติ (แม้ว่าจะไม่มีคำศัพท์มาตรฐานสำหรับกรณีนี้ก็ตาม) ที่จะเรียกพจน์นี้ว่า "แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง" หากนำคำศัพท์นี้ไปใช้กับตัวอย่างของหลอดทดลองในเครื่องเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง ถ้าหลอดทดลองอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางการหมุนมากพอ | X _AB | = R ≫ | x _B | สสารทั้งหมดในหลอดทดลองจะได้รับความเร่งเท่ากัน (แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเท่ากัน) ดังนั้น ในกรณีนี้ แรงเสมือนจึงเป็นแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางสม่ำเสมอตามแนวแกนของหลอดทดลอง ห่างจากจุดศูนย์กลางการหมุน โดยมีค่า | F _fict | = ω ² Rโดยที่Rคือระยะห่างของสสารในหลอดทดลองจากจุดศูนย์กลางของเครื่องเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง ข้อกำหนดมาตรฐานของเครื่องเหวี่ยงหนีศูนย์กลางคือการใช้รัศมี "ประสิทธิผล" ของเครื่องเหวี่ยงหนีศูนย์กลางเพื่อประเมินความสามารถในการสร้างแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง ดังนั้น การประมาณค่าแรงเหวี่ยงครั้งแรกในเครื่องเหวี่ยงสามารถพิจารณาจากระยะห่างของหลอดจากจุดศูนย์กลางการหมุน และใช้การแก้ไขหากจำเป็น^{[ 43 ] [ 44 ]}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\ \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;\ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

นอกจากนี้ หลอดทดลองยังจำกัดการเคลื่อนที่ให้อยู่ในทิศทางตามความยาวของหลอด ดังนั้นv _Bจึงมีทิศทางตรงข้ามกับu ₁และแรงโคริโอลิสจะมีทิศทางตรงข้ามกับu ₂นั่นคือ ต้านกับผนังของหลอด หากหมุนหลอดเป็นเวลานานพอ ความเร็วv _Bจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อสสารเข้าสู่สภาวะสมดุล สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความเกี่ยวกับการตกตะกอนและสมการของแลมม์

ปัญหาที่เกี่ยวข้องคือปัญหาของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางสำหรับระบบโลก-ดวงจันทร์-ดวงอาทิตย์ ซึ่งมีการหมุนสามแบบ ได้แก่ การหมุนรอบแกนโลกในแต่ละวัน การหมุนรอบศูนย์กลางมวลของระบบโลก-ดวงจันทร์ในแต่ละเดือนจันทรคติ และการโคจรรอบดวงอาทิตย์ในแต่ละปีของระบบโลก-ดวงจันทร์ การเคลื่อนที่ทั้งสามนี้ส่งผลต่อน้ำขึ้นน้ำลง^{[ 45 ]}

รูปที่ 5 แสดงตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่งที่เปรียบเทียบการสังเกตของผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยกับการสังเกตของผู้สังเกตการณ์บนม้าหมุน^{[ 46 ]}ม้าหมุนหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ซึ่งแสดงด้วยเวกเตอร์Ωที่มีขนาดωชี้ขึ้นตามกฎมือขวาผู้ขี่บนม้าหมุนเดินไปตามแนวรัศมีด้วยความเร็วคงที่ ซึ่งปรากฏแก่ผู้เดินว่าเป็นเส้นทางตรงที่เอียงทำมุม 45° ในรูปที่ 5 อย่างไรก็ตาม สำหรับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่กับที่ ผู้เดินจะเดินทางเป็นเส้นทางเกลียว จุดที่ระบุบนเส้นทางทั้งสองในรูปที่ 5 สอดคล้องกับเวลาเดียวกันที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน เราตั้งคำถามว่าผู้สังเกตการณ์สองคน คนหนึ่งอยู่บนม้าหมุนและอีกคนหนึ่งอยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย จะกำหนดสิ่งที่พวกเขาเห็นโดยใช้กฎของนิวตันได้อย่างไร

ผู้สังเกตการณ์ที่หยุดนิ่งอธิบายเส้นทางที่ผู้เดินเคลื่อนที่ไปว่าเป็นรูปเกลียว เมื่อใช้ระบบพิกัดที่แสดงในรูปที่ 5 วิถีการเคลื่อนที่อธิบายได้ด้วยr ( t ): โดยที่ π/4 ที่เพิ่มเข้า _มา จะกำหนดมุมของเส้นทางไว้ที่ 45° ในตอนเริ่มต้น (เป็นการเลือกทิศทางโดยพลการ) uRคือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางรัศมีที่ชี้จากจุดศูนย์กลางของม้าหมุนไปยังผู้เดิน ณ เวลาtระยะทางรัศมีR ( t ) เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตามเวลาตาม: โดยที่s _คือความเร็วในการเดิน ตามหลักจลนศาสตร์อย่างง่าย ความเร็วคืออนุพันธ์อันดับแรกของวิถีการเคลื่อนที่: โดยที่uθ _คือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับuRณ เวลาt (ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการสังเกตว่าผลคูณดอทของ เวกเตอร์ กับเวกเตอร์รัศมีเป็นศูนย์) และชี้ไปในทิศทางของการเดินทาง ความเร่งคืออนุพันธ์อันดับแรกของความเร็ว: พจน์สุดท้ายในความเร่งมีทิศทางเข้าด้านในในแนวรัศมี โดยมีขนาด ω ² Rซึ่งจึงเป็นความเร่งสู่ศูนย์กลาง ทันที ของการเคลื่อนที่แบบวงกลม [ ^{47 ] พจน์}แรกตั้งฉากกับทิศทางรัศมี และชี้ไปในทิศทางการเดินทาง ขนาดของมันคือ 2 sωและแสดงถึงความเร่งของผู้เดินเมื่อเข้าใกล้ขอบของม้าหมุน และส่วนโค้งของวงกลมที่เดินทางในเวลาคงที่เพิ่มขึ้น ดังที่เห็นได้จากระยะห่างที่เพิ่มขึ้นระหว่างจุดสำหรับขั้นตอนเวลาที่เท่ากันบนเกลียวในรูปที่ 5 เมื่อเข้าใกล้ขอบด้านนอกของม้าหมุน $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle R(t)=st,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}}$$

เมื่อใช้กฎของนิวตัน โดยคูณความเร่งด้วยมวลของผู้เดิน ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยจะสรุปได้ว่าผู้เดินอยู่ภายใต้แรงสองแรง ได้แก่ แรงสู่ศูนย์กลางที่พุ่งเข้าด้านในในแนวรัศมี และอีกแรงหนึ่งที่ตั้งฉากกับทิศทางรัศมีซึ่งเป็นสัดส่วนกับความเร็วของผู้เดิน

ผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่จะเห็นผู้เดินเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของม้าหมุนไปยังขอบ ดังแสดงในรูปที่ 5 ยิ่งไปกว่านั้น ผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่จะเห็นว่าผู้เดินเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางเดียวกัน ดังนั้นเมื่อใช้กฎความเฉื่อยของนิวตัน จึงไม่มีแรงกระทำต่อผู้เดิน ข้อสรุปเหล่านี้ไม่สอดคล้องกับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่นิ่ง เพื่อให้ได้ข้อสรุปที่สอดคล้องกัน ผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่จะต้องแนะนำแรงสมมติที่ดูเหมือนจะมีอยู่จริงในโลกที่หมุนอยู่ แม้ว่าจะไม่มีเหตุผลที่ชัดเจนสำหรับแรงเหล่านั้น ไม่มีมวลโน้มถ่วง ประจุไฟฟ้า หรือสิ่งอื่นใดที่สามารถอธิบายแรงสมมติเหล่านี้ได้

เพื่อให้สอดคล้องกับผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่ แรงที่กระทำต่อผู้เดินจะต้องเป็นแรงที่พบข้างต้นอย่างแม่นยำ สามารถเชื่อมโยงกับสูตรทั่วไปที่ได้มาแล้ว กล่าวคือ: ในตัวอย่างนี้ ความเร็วที่เห็นในกรอบอ้างอิงที่หมุนอยู่คือ: โดยที่u _Rเป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางรัศมี ตำแหน่งของผู้เดินเมื่อมองจากม้าหมุนคือ: และอนุพันธ์ของΩเทียบกับเวลาเป็นศูนย์สำหรับการหมุนเชิงมุมสม่ำเสมอ เมื่อสังเกตว่า และ เราพบว่า: เพื่อให้ได้การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในโลกที่หมุนอยู่ จะต้องใช้แรงที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับแรงสมมติเพื่อลดแรงสุทธิที่กระทำต่อผู้เดินให้เป็นศูนย์ ดังนั้นกฎความเฉื่อยของนิวตันจะทำนายการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ซึ่งสอดคล้องกับสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่เห็น แรงสมมติที่ต้องต่อต้านคือแรงโคริโอลิส (พจน์แรก) และแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (พจน์ที่สอง) (เงื่อนไขเหล่านี้เป็นค่าโดยประมาณ^{[ 48 ]} ) โดยการใช้แรงเพื่อต่อต้านแรงสมมติทั้งสองนี้ ผู้สังเกตการณ์ที่หมุนได้จะใช้แรงเดียวกันกับที่ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยคาดการณ์ไว้กับผู้เดิน $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},}$$$${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.}$$

เนื่องจากทั้งสองแตกต่างกันเพียงแค่ความเร็วในการเดินคงที่ ผู้เดินและผู้สังเกตการณ์การหมุนจึงเห็นความเร่งเดียวกัน จากมุมมองของผู้เดิน แรงสมมติจะถูกรับรู้ว่าเป็นแรงจริง และการต่อต้านแรงนี้เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้อยู่บนเส้นทางรัศมีเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ มันเหมือนกับการต่อสู้กับลมขวางขณะที่ถูกเหวี่ยงไปที่ขอบของม้าหมุน ^{[ 49 ]}

โปรดสังเกตว่า การอธิบาย เชิงจลศาสตร์ นี้ ไม่ได้เจาะลึกถึงกลไกที่ทำให้เกิดแรงที่จำเป็น นั่นเป็นเรื่องของพลศาสตร์ในกรณีของม้าหมุน การอธิบายเชิงจลศาสตร์อาจเกี่ยวข้องกับการศึกษาเรื่องรองเท้าของผู้เดินและแรงเสียดทานที่รองเท้าต้องสร้างขึ้นกับพื้นของม้าหมุน หรืออาจเป็นพลศาสตร์ของการเล่นสเก็ตบอร์ดหากผู้เดินเปลี่ยนไปใช้สเก็ตบอร์ดในการเดินทาง ไม่ว่าวิธีการเดินทางบนม้าหมุนจะเป็นอย่างไร แรงที่คำนวณไว้ข้างต้นจะต้องเกิดขึ้นจริง เปรียบเทียบอย่างคร่าวๆ กับการทำความร้อนในบ้านของคุณ: คุณต้องมีอุณหภูมิที่เหมาะสมเพื่อให้รู้สึกสบาย แต่ไม่ว่าคุณจะใช้แก๊สหรือถ่านหินในการทำความร้อนก็เป็นอีกเรื่องหนึ่ง จลศาสตร์ตั้งค่าเทอร์โมสตัท พลศาสตร์จุดไฟเตา

• Lev D. Landauและ EM Lifshitz (1976). กลศาสตร์ . หลักสูตรฟิสิกส์เชิงทฤษฎี . เล่ม 1 (ฉบับที่ 3). Butterworth-Heinenan. หน้า  128–130 . ISBN 0-7506-2896-0.
• Keith Symon (1971). กลศาสตร์ (ฉบับที่ 3). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). พลศาสตร์คลาสสิกของอนุภาคและระบบ . สำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). พลศาสตร์และการควบคุมยานอวกาศ: แนวทางวิศวกรรมเชิงปฏิบัติ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. บทที่ 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

• คำถามและคำตอบจาก Richard C. Brill, วิทยาลัยชุมชนโฮโนลูลู
• เดวิด สเติร์น จากนาซา: แผนการสอนสำหรับครู #23 เรื่องแรงเฉื่อย
• แรงโคริโอลิส
• ภาพฟิสเล็ต (physlet) จากภาษาจาวา โดยไบรอัน ฟีดเลอร์ แสดง การเคลื่อนที่บนพื้นผิวเรียบเพื่อแสดงแรงสมมุติ ฟิสเล็ตนี้แสดงมุมมองทั้งจากจุดที่หมุนและจากจุดที่ไม่หมุน
• การเคลื่อนที่บนพื้นผิวพาราโบลาภาพฟิสเล็ตภาษาจาวาโดยไบรอัน ฟีดเลอร์ แสดงให้เห็นถึงแรงสมมติ ฟิสเล็ตนี้แสดงทั้งมุมมองที่มองจากจุดที่หมุนและมุมมองที่ไม่หมุน