ทฤษฎีการขนส่ง (หรือสมการการขนส่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของทฤษฎีการขนส่งหรือสมการจลนศาสตร์พื้นฐานหรือสูตรของบอร์ซึ่งตั้งชื่อตามเอ็ดมอนด์ บอร์ ) เป็นสมการเวกเตอร์ที่เชื่อมโยงอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์ยุคลิด ที่วัดใน ระบบพิกัดที่ไม่หมุน กับอนุพันธ์เทียบกับเวลาในกรอบอ้างอิงที่หมุนได้ ทฤษฎีนี้มีประโยชน์อย่างมากในกลศาสตร์คลาสสิกและพลศาสตร์เชิงวิเคราะห์รวมถึงสาขาวิศวกรรมต่างๆเวกเตอร์ยุคลิดแสดงถึงขนาดและทิศทางในอวกาศที่ไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่ใช้วัด อย่างไรก็ตาม เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์ดังกล่าว เราจะหาผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวที่วัด ณ เวลา ต่างกัน สอง เวลา คือ tและt+dtในระบบพิกัดที่หมุนได้ แกนพิกัดอาจมีทิศทางต่างกัน ณ สองเวลาดังกล่าว ทำให้แม้แต่เวกเตอร์คงที่ก็อาจมีอนุพันธ์เทียบกับเวลาที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น อนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์ที่วัดในระบบพิกัดที่หมุนได้ อาจแตกต่างจากอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์เดียวกันในระบบอ้างอิงที่ไม่หมุน ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ความเร็วของเครื่องบินที่ประเมินโดยใช้ระบบพิกัดที่ยึดติดกับโลก (ระบบอ้างอิงแบบหมุน) จะแตกต่างจากความเร็วที่ประเมินโดยใช้ระบบพิกัดที่ยึดอยู่กับที่ในอวกาศ ทฤษฎีบทการขนส่งให้วิธีการเชื่อมโยงอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเวกเตอร์ระหว่างระบบพิกัดแบบหมุนและแบบไม่หมุน โดยได้รับการพิสูจน์และอธิบายโดยละเอียดในกรอบอ้างอิงแบบหมุนและสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldสัญลักษณ์ {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldสัญลักษณ์ {\Omega }}\times \right]{\boldสัญลักษณ์ {f}}\ .}$$

ในที่นี้fคือเวกเตอร์ที่คำนวณอนุพันธ์เทียบกับเวลา ทั้งในระบบพิกัดที่ไม่หมุนและระบบพิกัดที่หมุน ตัวห้อยrแสดงถึงอนุพันธ์เทียบกับเวลาในระบบพิกัดที่หมุน และเวกเตอร์Ωคือความเร็วเชิงมุมของระบบพิกัดที่หมุน

ทฤษฎีการขนส่งมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการเชื่อมโยงเวกเตอร์ความเร็วและความเร่งระหว่างระบบพิกัดที่หมุนและไม่หมุน^{[ 4 ]}

เอกสารอ้างอิง^{[ 2 ]}ระบุว่า: "แม้ว่าสูตรการแปลงอนุพันธ์ของออยเลอร์จะมีความสำคัญในกลศาสตร์คลาสสิกและมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในวิศวกรรม แต่ก็ไม่มีชื่อที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป [...] มีการใช้คำศัพท์หลายคำ ได้แก่ ทฤษฎีบทจลนศาสตร์ ทฤษฎีบทการขนส่ง และสมการการขนส่ง คำศัพท์เหล่านี้ แม้ว่าจะถูกต้องตามหลักศัพท์ แต่ก็มักใช้ในวิชากลศาสตร์ของไหลเพื่ออ้างถึงแนวคิดทางฟิสิกส์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง" ตัวอย่างของแนวคิดทางฟิสิกส์ที่แตกต่างกันดังกล่าวคือทฤษฎีบทการขนส่งของเรย์โนลด์

ให้เป็นเวกเตอร์ฐานของเมื่อมองจากกรอบอ้างอิงและใช้สัญลักษณ์ แทนส่วนประกอบของเวกเตอร์ในโดยที่ให้ ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{i}:=T_{B}^{E}{\boldsymbol {e}}_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {f}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle G:=T'\cdot T^{-1}}$

เพื่อให้การแปลงพิกัด นี้ เกิดขึ้นตามเวลา ตามสมการเชิงอนุพันธ์ตัวสร้างดังกล่าว ซึ่งมีความสำคัญต่อวิถีในทฤษฎีกลุ่มลีการใช้กฎผลคูณร่วมกับ แบบแผนการบวก โดย ปริยาย${\displaystyle T'=G\cdot T}$

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}'=(f_{i}{\boldsymbol {b}}_{i})'=(f_{i}T)'{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'T+f_{i}G\cdot T)\,{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'+f_{i}G)\,{\boldsymbol {b}}_{i}=\left(\left({\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{B}+G\right){\boldsymbol {f}}}$

สำหรับกลุ่มการหมุน นั้น จะมีในสามมิติตัวสร้างจะเท่ากับ การดำเนินการ ผลคูณไขว้จากทางซ้าย ซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้นแบบสมมาตรเฉียงสำหรับเวกเตอร์ใดๆในฐานะเมทริกซ์ มันยังมีความสัมพันธ์กับเวกเตอร์เมื่อมองจากผ่านทาง ${\displaystyle {\mathrm {SO} }(n)}$${\displaystyle T_{E}^{B}:=(T_{B}^{E})^{-1}=(T_{B}^{E})^{T}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }{\boldsymbol {g}}:={\boldsymbol {\Omega }}_{E}\times {\boldsymbol {g}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {g}}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }=[T_{B}^{E}{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }=T_{B}^{E}\cdot [{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }\cdot T_{E}^{B}}$