กลศาสตร์เชิงวิเคราะห์

เป้าหมายของทฤษฎีกลศาสตร์คือการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ เช่น ปัญหาที่เกิดขึ้นในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ โดยเริ่มต้นจากระบบทางกายภาพ เช่น กลไกหรือระบบดาว แล้วจึง พัฒนา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ แบบจำลองนี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขหรือเชิงวิเคราะห์เพื่อหาการเคลื่อนที่ของระบบ

วิธี การเชิงเวกเตอร์ของนิวตันในกลศาสตร์อธิบายการเคลื่อนที่ด้วยความช่วยเหลือของ ปริมาณ เวกเตอร์เช่นแรงความเร็วและความเร่งปริมาณเหล่านี้บ่งบอกลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุในอุดมคติว่าเป็น"จุดมวล"หรือ " อนุภาค " ซึ่งเข้าใจว่าเป็นจุดเดียวที่มีมวลติดอยู่ วิธีการของนิวตันได้รับการประยุกต์ใช้ประสบความสำเร็จในปัญหาทางฟิสิกส์หลากหลาย รวมถึงการเคลื่อนที่ของอนุภาคในสนามโน้มถ่วงของโลกและการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ ในวิธีการนี้ กฎของนิวตันอธิบายการเคลื่อนที่ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ จากนั้นปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการแก้สมการนั้น

อย่างไรก็ตาม เมื่อระบบเชิงกลมีอนุภาคจำนวนมาก (เช่น กลไกที่ซับซ้อนหรือของเหลว ) วิธีการของนิวตันจะนำไปใช้ได้ยาก การใช้วิธีการแบบนิวตันนั้นเป็นไปได้ภายใต้ข้อควรระวังที่เหมาะสม กล่าวคือ การแยกอนุภาคแต่ละตัวออกจากกัน และการหาแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคนั้น การวิเคราะห์เช่นนี้ยุ่งยากแม้ในระบบที่ค่อนข้างง่าย นิวตันคิดว่ากฎข้อที่สามของเขา "การกระทำเท่ากับปฏิกิริยา" จะช่วยแก้ปัญหาความซับซ้อนทั้งหมดได้ แต่นั่นไม่เป็นความจริงแม้แต่กับระบบที่ง่ายเช่นการหมุนของวัตถุแข็งในระบบที่ซับซ้อนกว่านั้น วิธีการแบบเวกเตอร์ไม่สามารถให้คำอธิบายที่เพียงพอได้

วิธีการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีช่วยลดความซับซ้อนของปัญหาโดยการมองระบบทางกลเป็นกลุ่มของอนุภาคที่ปฏิสัมพันธ์กัน แทนที่จะพิจารณาแต่ละอนุภาคเป็นหน่วยแยกต่างหาก ในวิธีการเชิงเวกเตอร์ จำเป็นต้องกำหนดแรงแยกกันสำหรับแต่ละอนุภาค ในขณะที่วิธีการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีนั้นเพียงพอที่จะทราบฟังก์ชันเดียวซึ่งประกอบด้วยแรงทั้งหมดที่กระทำต่อและภายในระบบโดยปริยาย การลดความซับซ้อนดังกล่าว มักทำโดยใช้เงื่อนไขทางจลนศาสตร์บางอย่างที่ระบุไว้ล่วงหน้าอย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีไม่จำเป็นต้องทราบแรงเหล่านี้และถือว่าเงื่อนไขทางจลนศาสตร์เหล่านี้เป็นที่เข้าใจกันอยู่แล้ว

อย่างไรก็ตาม การหาอนุพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่ของระบบกลไกที่ซับซ้อนนั้นจำเป็นต้องมีพื้นฐานที่เป็นเอกภาพซึ่งสมการเหล่านั้นจะตามมา พื้นฐานนี้จัดหาโดยหลักการแปรผัน ต่างๆ : เบื้องหลังสมการแต่ละชุดจะมีหลักการที่แสดงความหมายของชุดทั้งหมด เมื่อกำหนดปริมาณพื้นฐานและสากลที่เรียกว่าการกระทำหลักการที่ว่าการกระทำนี้จะคงที่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของปริมาณกลไกอื่นจะสร้างชุดสมการเชิงอนุพันธ์ที่ต้องการ คำกล่าวของหลักการนี้ไม่จำเป็นต้องใช้ระบบพิกัด พิเศษใดๆ และผลลัพธ์ทั้งหมดจะแสดงในพิกัดทั่วไปซึ่งหมายความว่าสมการการเคลื่อนที่เชิงวิเคราะห์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปลงพิกัดซึ่ง เป็นคุณสมบัติ ความไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่มีในสมการการเคลื่อนที่เชิงเวกเตอร์^{[ 2 ]}

ความหมายของการ "แก้" ชุดสมการเชิงอนุพันธ์นั้นไม่ชัดเจนนัก ปัญหาจะถือว่าได้รับการแก้ไขเมื่อพิกัดของอนุภาค ณ เวลาtถูกแสดงออกมาในรูปฟังก์ชันอย่างง่ายของtและพารามิเตอร์ที่กำหนดตำแหน่งและความเร็วเริ่มต้น อย่างไรก็ตาม "ฟังก์ชันอย่างง่าย" ไม่ใช่ แนวคิด ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในปัจจุบันฟังก์ชันf ( t ) ไม่ได้ถูกมองว่าเป็นนิพจน์ในt ( ฟังก์ชันพื้นฐาน ) เหมือนในสมัยของนิวตัน แต่โดยทั่วไปแล้วถือเป็นปริมาณที่กำหนดโดยtและไม่สามารถแบ่งแยกได้อย่างชัดเจนระหว่างฟังก์ชัน "อย่างง่าย" และ "ไม่ง่าย" หากพูดถึงเพียงแค่ "ฟังก์ชัน" แล้ว ปัญหาทางกลศาสตร์ทุกอย่างก็จะได้รับการแก้ไขทันทีที่ถูกระบุไว้อย่างดีในรูปสมการเชิงอนุพันธ์ เพราะเมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นและt แล้วจะกำหนดพิกัด ณ เวลาtได้ นี่เป็นข้อเท็จจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัจจุบัน ด้วยวิธีการสร้างแบบจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ สมัยใหม่ ซึ่งให้คำตอบทางคณิตศาสตร์สำหรับปัญหาทางกลศาสตร์ด้วยความแม่นยำในระดับที่ต้องการ โดยสมการเชิงอนุพันธ์ถูกแทนที่ด้วย สมการ เชิง ผลต่าง

ถึงแม้จะขาดคำจำกัดความที่แม่นยำ แต่ก็เห็นได้ชัดว่าปัญหาของวัตถุสองชิ้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ง่าย ในขณะที่ปัญหาของวัตถุสามชิ้นไม่มี ปัญหาของวัตถุสองชิ้นสามารถแก้ไขได้ด้วยสูตรที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ ซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงค่าของพารามิเตอร์เหล่านั้นเพื่อศึกษาชุดของคำตอบทั้งหมด นั่นคือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของปัญหา ยิ่งไปกว่านั้น สามารถสร้างภาพในใจหรือภาพวาดที่แม่นยำสำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุสองชิ้นได้ และภาพนั้นก็สมจริงและแม่นยำเหมือนกับวัตถุจริงที่เคลื่อนที่และมีปฏิสัมพันธ์กัน ในปัญหาของวัตถุสามชิ้น พารามิเตอร์ก็สามารถกำหนดค่าเฉพาะได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม คำตอบที่ค่าที่กำหนดเหล่านี้หรือชุดของคำตอบดังกล่าวไม่ได้เปิดเผยโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของปัญหา เช่นเดียวกับปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย โครงสร้างทางคณิตศาสตร์สามารถอธิบายได้โดยการตรวจสอบสมการเชิงอนุพันธ์เท่านั้น

กลศาสตร์เชิงวิเคราะห์มีเป้าหมายที่มากกว่านั้นอีก คือไม่ใช่แค่การทำความเข้าใจโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของปัญหากลศาสตร์เพียงปัญหาเดียว แต่เป็นการทำความเข้าใจโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของกลุ่มปัญหาที่กว้างขวางจนครอบคลุมกลศาสตร์ส่วนใหญ่ โดยมุ่งเน้นไปที่ระบบที่สมการการเคลื่อนที่แบบลากรางจ์หรือแฮมิลตันสามารถนำไปใช้ได้ และรวมถึงปัญหาที่หลากหลายมาก^{[ 3 ]}

การพัฒนาด้านกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์มีวัตถุประสงค์สองประการ ได้แก่ (i) เพิ่มขอบเขตของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยการพัฒนาเทคนิคมาตรฐานที่มีขอบเขตการใช้งานกว้าง และ (ii) ทำความเข้าใจโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ในระยะยาว (ii) สามารถช่วย (i) ได้มากกว่าการมุ่งเน้นไปที่ปัญหาเฉพาะที่ได้มีการออกแบบวิธีการไว้แล้ว

ในกลศาสตร์นิวตัน โดยทั่วไปจะใช้ พิกัดคาร์ทีเซียนทั้งสามหรือระบบพิกัด สามมิติอื่นๆ เพื่ออ้างถึง ตำแหน่งของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่ อย่างไรก็ตาม ในระบบทางกายภาพ โครงสร้างหรือระบบอื่นๆ มักจะจำกัดการเคลื่อนที่ของวัตถุไม่ให้ไปในทิศทางและเส้นทางที่กำหนด ดังนั้นชุดพิกัดคาร์ทีเซียนทั้งหมดจึงมักไม่จำเป็น เนื่องจากข้อจำกัดจะกำหนดความสัมพันธ์ที่เปลี่ยนแปลงไประหว่างพิกัด ซึ่งความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถจำลองได้ด้วยสมการที่สอดคล้องกับข้อจำกัด ในรูปแบบลากรางจ์และแฮมิลตัน ข้อจำกัดจะถูกรวมเข้ากับเรขาคณิตของการเคลื่อนที่ ลดจำนวนพิกัดลงเหลือขั้นต่ำที่จำเป็นในการจำลองการเคลื่อนที่ พิกัดเหล่านี้เรียกว่าพิกัดทั่วไปซึ่งแสดงด้วยq _i ( i = 1, 2, 3...) ^{[ 4 ] : 231}

พิกัดทั่วไปประกอบด้วยข้อจำกัดของระบบ มีพิกัดทั่วไปq _i หนึ่งตัว สำหรับแต่ละองศาอิสระ (เพื่อความสะดวกจึงกำหนดดัชนีi = 1, 2... N ) กล่าวคือแต่ละวิธีที่ระบบสามารถเปลี่ยนการกำหนดค่า ได้ เช่น ความยาวเส้นโค้งหรือมุมการหมุน พิกัดทั่วไปไม่เหมือนกับพิกัดเส้นโค้ง จำนวน พิกัดเส้น โค้งเท่ากับมิติของปริภูมิตำแหน่งที่เกี่ยวข้อง (โดยปกติคือ 3 สำหรับปริภูมิ 3 มิติ) ในขณะที่จำนวน พิกัด ทั่วไปไม่จำเป็นต้องเท่ากับมิตินี้ ข้อจำกัดสามารถลดจำนวนองศาอิสระ (ดังนั้นจำนวนพิกัดทั่วไปที่จำเป็นในการกำหนดค่าของระบบ) ตามกฎทั่วไป: ^{[ 5 ]}

สำหรับระบบที่มีNองศาอิสระ พิกัดทั่วไปสามารถรวบรวมไว้ในทูเปิลNตัวได้ และ อนุพันธ์ เทียบกับเวลา (ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์จุดเหนือศีรษะ) ของทูเปิลนี้จะให้ความเร็ว ทั่วไป$${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).}$$

หลักการของ D'Alembert ระบุว่างานเสมือน ขนาดเล็กมาก ที่ทำโดยแรงผ่านการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับได้เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นงานที่ทำโดยแรงที่สอดคล้องกับข้อจำกัดในอุดมคติของระบบ แนวคิดของข้อจำกัดนั้นมีประโยชน์ เนื่องจากเป็นการจำกัดสิ่งที่ระบบสามารถทำได้ และสามารถให้ขั้นตอนในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของระบบได้ สมการสำหรับหลักการของ D'Alembert คือ: ^{[ 6 ] : 265} โดยที่ คือแรงทั่วไป (ใช้สคริปต์ Q แทน Q ปกติที่นี่เพื่อป้องกันความขัดแย้งกับการแปลงแบบแคนอนิกด้านล่าง) และqคือพิกัดทั่วไป สิ่งนี้นำไปสู่รูปแบบทั่วไปของกฎของนิวตันในภาษาของกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์: $${\displaystyle \delta W={\boldสัญลักษณ์ {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$$

โดยที่T คือ พลังงานจลน์รวมของระบบ และสัญลักษณ์นี้ เป็นตัวย่อที่มีประโยชน์ (ดูแคลคูลัสเมทริกซ์สำหรับสัญลักษณ์นี้) $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)}$$

หากระบบพิกัดโค้งถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ตำแหน่ง มาตรฐาน rและหากเวกเตอร์ตำแหน่งสามารถเขียนได้ในรูปของพิกัดทั่วไปqและเวลาtในรูปแบบ: และความสัมพันธ์นี้เป็นจริงสำหรับทุกเวลาtแล้วqเรียกว่าข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก [ ^{7 ] เวก}เตอร์rขึ้นอยู่กับt อย่างชัดเจน ในกรณีที่ข้อจำกัดเปลี่ยนแปลงตามเวลา ไม่ใช่เพียงเพราะq ( t ) เท่านั้น สำหรับสถานการณ์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ข้อจำกัดเหล่านี้เรียกว่า สเคลอโรโนมิก สำหรับกรณีที่ขึ้นกับเวลา ข้อจำกัดเหล่านี้เรียกว่ารีโอโนมิก^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)}$$

บทนำเกี่ยวกับพิกัดทั่วไปและฟังก์ชันลากรางจ์พื้นฐาน:

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

โดยที่T คือ พลังงานจลน์รวมและV คือ พลังงานศักย์รวมของระบบทั้งหมด จากนั้นไม่ว่าจะใช้แคลคูลัสของการแปรผันหรือใช้สูตรข้างต้น ก็จะนำไปสู่สมการออยเลอร์-ลากรางจ์

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

ซึ่งเป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสองจำนวนN สมการ โดยแต่ละสมการแทนq _i ( t )

สูตรนี้ระบุเส้นทางจริงที่การเคลื่อนที่ดำเนินไป โดยเลือกเส้นทางที่ ค่าอินทิกรัล ของพลังงานจลน์ เทียบกับ เวลามีค่าน้อยที่สุด โดยถือว่าพลังงานรวมคงที่ และไม่กำหนดเงื่อนไขใดๆ เกี่ยวกับเวลาในการเคลื่อนที่

การกำหนดรูปแบบลากรางจ์ใช้ปริภูมิการกำหนดค่าของระบบ ซึ่งก็คือเซตของพิกัดทั่วไปที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

โดยที่Nคือ ปริภูมิ จริงมิติ N (ดูสัญลักษณ์การสร้างเซต ด้วย ) คำตอบเฉพาะของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์เรียกว่าเส้นทาง (การกำหนดค่า) หรือวิถีโคจร กล่าวคือ q ( t ) เฉพาะหนึ่งค่าภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น ที่กำหนด คำตอบทั่วไปก่อให้เกิดเซตของการกำหนดค่าที่เป็นไปได้เป็นฟังก์ชันของเวลา: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

พื้นที่การกำหนดค่าสามารถนิยามได้โดยทั่วไปและลึกซึ้งยิ่งขึ้นในแง่ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี และบันเดิลสัมผัส

การแปลงเลอจองเดอร์ของลากรางเจียนจะแทนที่พิกัดและเวโลซิตี้ทั่วไป ( q , q̇ ) ด้วย ( q , p ) โดยที่พิกัดทั่วไปและโมเมนตัมทั่วไปจะสัมพันธ์กับพิกัดทั่วไป:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

และนำเสนอแฮมิลโทเนียน (ซึ่งอยู่ในรูปของพิกัดและโมเมนตัมทั่วไป):

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

โดยที่หมายถึงผลคูณดอทซึ่งนำไปสู่สมการของแฮมิลตัน เช่นกัน : ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

ซึ่งตอนนี้เป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง2N ชุด โดยแต่ละชุดแทน q _i ( t ) และp _i ( t ) อีกผลลัพธ์หนึ่งจากการแปลงเลอจองเดอร์เชื่อมโยงอนุพันธ์เทียบกับเวลาของลากรางจ์และแฮมิลโทเนียน:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

ซึ่งมักถูกพิจารณาว่าเป็นหนึ่งในสมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตัน นอกเหนือจากสมการอื่นๆ โมเมนตัมทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปของแรงทั่วไปในลักษณะเดียวกับกฎข้อที่สองของนิวตัน:

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

ในทำนองเดียวกันกับปริภูมิการจัดเรียง เซตของโมเมนตัมทั้งหมดก็คือปริภูมิโมเมนตัมทั่วไป :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

("ปริภูมิโมเมนตัม" ยังหมายถึง " ปริภูมิ k " ซึ่งเป็นเซตของเวกเตอร์คลื่น ทั้งหมด (ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์ ) ดังที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีคลื่น )

เซตของตำแหน่งและโมเมนตัมทั้งหมดก่อให้เกิดปริภูมิเฟส :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

นั่นคือผลคูณคาร์ทีเซียนของปริภูมิการจัดเรียงและปริภูมิโมเมนตัมทั่วไป

คำตอบเฉพาะของสมการของแฮมิลตันเรียกว่าเส้นทางเฟสซึ่งเป็นเส้นโค้งเฉพาะ ( q ( t ), p ( t )) ที่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด เซตของเส้นทางเฟสทั้งหมด ซึ่งเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ เรียกว่าภาพ เฟส

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

ตัวแปรพลวัตทั้งหมดสามารถหาได้จากตำแหน่งqโมเมนตัมpและเวลาtและเขียนได้ในรูปฟังก์ชันของตัวแปรเหล่านี้: A = A ( q , p , t ) ถ้าA ( q , p , t ) และB ( q , p , t ) เป็นตัวแปรพลวัตที่มีค่าเป็นสเกลาร์สองตัว วงเล็บปัวซงจะถูกกำหนดโดยพิกัดและโมเมนตัมทั่วไป:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&={\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}}$

การคำนวณอนุพันธ์รวมของหนึ่งในตัวแปรเหล่านี้ เช่นAและการแทนสมการของแฮมิลตันลงในผลลัพธ์ จะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงของA ตามเวลา :

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.}$

สมการในA นี้ มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสมการการเคลื่อนที่ในภาพไฮเซนเบิร์กของกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งตัวแปรพลศาสตร์แบบคลาสสิกกลายเป็นตัวดำเนินการควอนตัม (ระบุด้วยเครื่องหมายหมวก (^)) และวงเล็บปัวซงถูกแทนที่ด้วยตัวสลับ ของตัวดำเนินการผ่าน การควอนตัมแบบแคนอนิกของดิแรก:

${\displaystyle \{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.}$

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติที่ทับซ้อนกันระหว่างฟังก์ชัน Lagrangian และ Hamiltonian ^{[ 5 ] [ 8 ]}

• พิกัดทั่วไปq _i ( t ) ความเร็วq̇ _i ( t ) และโมเมนตัมp _i ( t ) ของแต่ละตัวแปรอิสระนั้นเป็นอิสระต่อกัน การที่ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจนหมายความว่าฟังก์ชันนั้นมีเวลาtเป็นตัวแปรเพิ่มเติมจากq ( t ) และp ( t ) ไม่ใช่เพียงแค่เป็นพารามิเตอร์ผ่านq ( t ) และp ( t ) ซึ่งจะหมายถึงการไม่ขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน
• ลากรางเจียนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การบวกอนุพันธ์รวม เทียบกับเวลา ของฟังก์ชันใดๆ ของq' และ t นั่นคือดังนั้นลากรางเจียน L และ L แต่ละตัวจึง อธิบายการเคลื่อนที่เดียวกันอย่างแม่นยำกล่าวอีกนัยหนึ่ง ลากรางเจียนของระบบไม่เป็นเอกลักษณ์$${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$
• ในทำนองเดียวกัน แฮมิลโทเนียนจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อบวกด้วย อนุพันธ์ ย่อยเทียบ กับ เวลาของฟังก์ชันใดๆ ของq , pและtนั่นคือ: ( Kเป็นตัวอักษรที่ใช้บ่อยในกรณีนี้) คุณสมบัตินี้ใช้ในการแปลงเชิงแคนอน (ดูด้านล่าง)$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$
• ถ้าลากรางจ์ไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไปบางอย่าง โมเมนตัมทั่วไปที่สัมพันธ์กับพิกัดเหล่านั้นจะเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ กล่าวคือ จะถูกอนุรักษ์ไว้ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากสมการของลากราง จ์ พิกัดดังกล่าวเป็น " วัฏจักร " หรือ "ละเลยได้" สามารถแสดงได้ว่าแฮมิลโทเนียนก็เป็นวัฏจักรในพิกัดทั่วไปเดียวกันนั้นด้วย$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$
• ถ้าฟังก์ชันลากรางจ์ไม่ขึ้นกับเวลา ฟังก์ชันแฮมิลโทเนียนก็จะไม่ขึ้นกับเวลาเช่นกัน (กล่าวคือ ทั้งสองมีค่าคงที่เมื่อเวลาผ่านไป)
• ถ้าพลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรี 2 ของความเร็วทั่วไปและลากรางเจียนเป็นอิสระจากเวลาอย่างชัดเจนแล้ว: โดยที่λเป็นค่าคงที่ จากนั้นแฮมิลโทเนียนจะเป็นพลังงานอนุรักษ์รวมซึ่งเท่ากับพลังงานจลน์และพลังงานศักย์รวมของระบบ: นี่คือพื้นฐานสำหรับสมการชโรดิงเกอร์ การ แทรกตัวดำเนินการควอนตัมโดยตรงจะทำให้ได้สมการนี้$${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$$${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$

การกระทำ (Action)เป็นปริมาณอีกอย่างหนึ่งในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ซึ่งนิยามว่าเป็นฟังก์ชันของลากรางจ์ (Lagrangian):

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

วิธีทั่วไปในการหาสมการการเคลื่อนที่จากการกระทำคือหลักการของการกระทำน้อยที่สุด : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

โดยที่เวลาออกเดินทางt ₁และเวลามาถึงt ₂ถูกกำหนดไว้^{[ 1 ]}คำว่า "เส้นทาง" หรือ "วิถี" หมายถึงวิวัฒนาการของระบบตามเวลาเป็นเส้นทางผ่านพื้นที่การกำหนดค่ากล่าวอีกนัยหนึ่งคือq ( t ) ลากเส้นทางในเส้นทางที่การกระทำน้อยที่สุดคือเส้นทางที่ระบบใช้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

จากหลักการนี้สมการการเคลื่อนที่ทั้งหมด ในกลศาสตร์คลาสสิกสามารถอนุมานได้ แนวทางนี้สามารถขยายไปยังฟิลด์แทนที่จะเป็นระบบของอนุภาค (ดูด้านล่าง) และเป็นพื้นฐานของการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทางของกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{11 ] [ 12 ] และ}ใช้ในการคำนวณ การเคลื่อนที่ แบบจีโอเดสิกใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[ 13 ]}

การแปลงแบบแคนอนิก

ความไม่เปลี่ยนแปลงของแฮมิลโทเนียน (ภายใต้การบวกอนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลาของฟังก์ชันใดๆ ของp , qและt ) ทำให้แฮมิลโทเนียนในชุดพิกัดqและโมเมนตัมp ชุดหนึ่ง สามารถแปลงเป็นชุดใหม่Q = Q ( q , p , t ) และP = P ( q , p , t ) ได้ในสี่วิธีที่เป็นไปได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

โดยมีข้อจำกัดเกี่ยวกับPและQที่ทำให้ระบบแฮมิลโทเนียนที่แปลงแล้วเป็นดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

การแปลงข้างต้นเรียกว่าการแปลงแบบแคนอนิกโดยแต่ละฟังก์ชันG _nเรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิด " ชนิดที่ n " หรือ "ประเภทn " การแปลงพิกัดและโมเมนตัมสามารถช่วยลดความซับซ้อนในการแก้สมการของแฮมิลตันสำหรับปัญหาที่กำหนดได้

การเลือกQและPนั้นเป็นไปโดยพลการอย่างสมบูรณ์ แต่ไม่ใช่ทุกการเลือกจะนำไปสู่การแปลงแบบแคนอนิก เกณฑ์ง่ายๆ ข้อหนึ่งสำหรับการแปลงq → Qและp → Pที่จะถือว่าเป็นการแปลงแบบแคนอนิกคือ วงเล็บปัวซงต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

สำหรับทุกi = 1, 2,... Nหากเงื่อนไขนี้ไม่เป็นจริง การแปลงจะไม่เป็นไปตามแบบแผน^{[ 5 ]}

สมการแฮมิลตัน-จาโคบี

โดยการกำหนดให้แฮมิลโทเนียนที่แปลงตามหลักการK = 0 และฟังก์ชันก่อกำเนิดประเภทที่ 2 เท่ากับฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (รวมถึงแอคชั่นด้วย) บวกกับค่าคงที่C ที่กำหนดขึ้นเอง : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

โมเมนตัมทั่วไปจึงกลายเป็น:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

และ ถ้า Pเป็นค่าคงที่ สมการแฮมิลโทเนียน-จาโคบี (HJE) สามารถหาได้จากการแปลงแคนอนิกประเภทที่ 2:

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

โดยที่Hคือแฮมิลโทเนียนเช่นเดิม:

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอีกอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของแฮมิลตัน

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

ใช้ในการแก้ปัญหา HJE โดยการแยกตัวแปรแบบบวก สำหรับแฮมิ ล โทเนียน Hที่ไม่ขึ้นกับเวลา

การศึกษาเกี่ยวกับคำตอบของสมการแฮมิลตัน-จาโคบีนำไปสู่การศึกษาเกี่ยวกับแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกและโทโพโลยีเชิงซิมเพล็กติกโดย ธรรมชาติ ^{[ 14 ] [ 15 ]}ในการกำหนดสูตรนี้ คำตอบของสมการแฮมิลตัน-จาโคบีคือเส้นโค้งอินทิกรัลของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลตัน

กลศาสตร์รูเธียนเป็นสูตรผสมระหว่างกลศาสตร์ลากรางจ์และกลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งไม่ค่อยได้ใช้บ่อยนัก แต่มีประโยชน์อย่างยิ่งในการกำจัดพิกัดวัฏจักร หากลากรางจ์ของระบบมีพิกัดวัฏจักรs ตัว q = q ₁ , q ₂ , ... q _sที่มีโมเมนตัมคู่ควบp = p ₁ , p ₂ , ... p _sและพิกัดที่เหลือเป็นแบบไม่วัฏจักรและใช้สัญลักษณ์ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s}พิกัดเหล่านี้สามารถกำจัดได้โดยการนำกลศาสตร์รูเธียน มาใช้ :

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

ซึ่งนำไปสู่ชุด สมการแฮ มิ ลโทเนียน 2sสำหรับพิกัดวัฏจักรq

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

และ สมการลากรางจ์ N − sในพิกัดที่ไม่เป็นวัฏจักร ζ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

เมื่อตั้งค่าในลักษณะนี้ แม้ว่า Routhian จะมีรูปแบบเหมือน Hamiltonian แต่ก็สามารถมองได้ว่าเป็น Lagrangian ที่มีN − sองศาอิสระ

พิกัดqไม่จำเป็นต้องเป็นพิกัดวัฏจักร การแบ่งแยกพิกัดที่ใช้ในสมการแฮมิลโทเนียนและพิกัดที่ใช้ในสมการลากรางจ์นั้นเป็นไปตามอำเภอใจ เพื่อความสะดวก จึงควรให้สมการแฮมิลโทเนียนตัดพิกัดวัฏจักรออกไป เหลือไว้เพียงพิกัดที่ไม่เป็นวัฏจักรในสมการการเคลื่อนที่ของลากรางจ์

สมการการเคลื่อนที่ของ Appellเกี่ยวข้องกับความเร่งทั่วไป ซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับเวลาของพิกัดทั่วไป:

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

รวมทั้งแรงทั่วไปที่กล่าวถึงข้างต้นในหลักการของดาล็องแบร์ ​​สมการคือ

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

คือความเร่งของ อนุภาค kซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคนั้นเทียบกับเวลา ความเร่ง a k แต่ละค่าแสดง อยู่_ในรูปของความเร่งทั่วไปα _r ในทำนองเดียวกัน r _kแต่ละ ค่า แสดงอยู่ในรูปของพิกัดทั่วไปq _r

พิกัดทั่วไปใช้กับอนุภาคแบบไม่ต่อเนื่อง สำหรับฟิลด์สเกลาร์N ตัว φ _i ( r , t ) โดยที่i = 1, 2, ... Nความหนาแน่นของลากรางจ์เป็นฟังก์ชันของฟิลด์เหล่านี้และอนุพันธ์ของพื้นที่และเวลา และอาจรวมถึงพิกัดของพื้นที่และเวลาเองด้วย และสมการออยเลอร์-ลากรางจ์มีอนาล็อกสำหรับฟิลด์ดังนี้ โดยที่∂ _μแทนเกรเดียนต์ 4 มิติและใช้แบบแผนการรวมผล สำหรับฟิลด์สเกลาร์ Nตัว สมการฟิลด์ลากรางจ์เหล่านี้เป็นชุดของ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง Nสมการในฟิลด์ ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นสมการที่เชื่อมโยงกันและไม่เป็นเชิงเส้น $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.}$$$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,}$$

สูตรฟิลด์สเกลาร์นี้สามารถขยายไปใช้กับฟิลด์เวกเตอร์ฟิลด์เทนเซอร์และฟิลด์สปินเนอร์ได้

ลากรางเจียนคือปริมาตรอินทิกรัลของความหนาแน่นลากรางเจียน: ^{[ 12 ] [ 16 ]}$${\displaystyle L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.}$$

สูตรข้างต้นซึ่งเดิมพัฒนาขึ้นสำหรับสาขาคลาสสิก สามารถนำไปใช้ได้กับสาขาฟิสิกส์ทุกสาขา ทั้งในสถานการณ์คลาสสิก ควอนตัม และสัมพัทธภาพ เช่นแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกทฤษฎี สั มพัทธภาพทั่วไปและทฤษฎีสนามควอนตัมประเด็นอยู่ที่การหาค่าความหนาแน่นของลากรางจ์ที่ถูกต้องเพื่อสร้างสมการสนามที่ถูกต้อง

ความหนาแน่นของสนาม "โมเมนตัม" ที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นคู่ควบกับสนามสเกลาร์N φ _i ( r , t ) คือ: ^{[ 12 ]} โดยในบริบทนี้ เครื่องหมายจุดเหนือตัวอักษรหมายถึงอนุพันธ์เวลาบางส่วน ไม่ใช่อนุพันธ์เวลาทั้งหมดความหนาแน่นของแฮมิลโทเนียนถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบกับกลศาสตร์: $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)-{\mathcal {L}}\,.}$$

สมการการเคลื่อนที่คือ: โดย ต้องใช้ การอนุพันธ์แปรผัน แทนที่จะใช้เพียงการอนุพันธ์ย่อย สำหรับ ฟิลด์ Nสมการฟิลด์แฮมิลโทเนียนเหล่านี้คือชุดของสมการอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง 2N สมการ ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นสมการที่เชื่อมโยงกันและไม่เป็นเชิงเส้น$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริมาณอินทิกรัลของความหนาแน่นของแฮมิลโทเนียนคือแฮมิลโทเนียน $${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.}$$

การแปลงสมมาตรในปริภูมิและเวลาแบบคลาสสิก

การแปลงแต่ละครั้งสามารถอธิบายได้ด้วยตัวดำเนินการ (เช่น ฟังก์ชันที่กระทำกับตัวแปรตำแหน่งrหรือโมเมนตัมpเพื่อเปลี่ยนแปลงตัวแปรเหล่านั้น) กรณีต่อไปนี้คือกรณีที่ตัวดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลงrหรือpกล่าวคือสมมาตร^{[ 11 ]}

การเปลี่ยนแปลง	ผู้ปฏิบัติงาน	ตำแหน่ง	โมเมนตัม
สมมาตรการเลื่อน	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
การแปลเวลา	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
ความไม่แปรเปลี่ยนเชิงการหมุน	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
การแปลงแบบกาลิเลียน	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
ความเท่าเทียมกัน	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
สมมาตรที	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

โดยที่R ( n̂ , θ) คือเมทริกซ์การหมุนรอบแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์หน่วยn̂และมุม θ

ทฤษฎีบทของโนเธอร์

ทฤษฎีบทของ Noether ระบุว่า การแปลงสมมาตร ต่อเนื่องของแอคชั่นสอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์กล่าวคือ แอคชั่น (และด้วยเหตุนี้ Lagrangian) จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงที่กำหนดพารามิเตอร์โดยพารามิเตอร์s : Lagrangian อธิบายการเคลื่อนที่เดียวกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับsซึ่งอาจเป็นความยาว มุมการหมุน หรือเวลา โมเมนตัมที่สอดคล้องกับqจะได้รับการอนุรักษ์^{[ 5 ]}$${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$

• กลศาสตร์ลากรางจ์
• กลศาสตร์แฮมิลตัน
• กลศาสตร์เชิงทฤษฎี
• กลศาสตร์คลาสสิก
• สมการแฮมิลตัน-จาโคบี
• หลักการของแฮมิลตัน
• จลนศาสตร์
• จลนศาสตร์ (ฟิสิกส์)
• กลศาสตร์ที่ไม่เป็นอิสระ
• สมการอุดวาเดีย-กาลาบา

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์