การเร่งความเร็ว
ในสภาวะสุญญากาศ (ไม่มีแรงต้านอากาศ ) วัตถุที่ถูกดึงดูดโดยโลกจะมีความเร็วเพิ่มขึ้นในอัตราคงที่
สัญลักษณ์ทั่วไป	เอ
หน่วย SI	ม./วินาที² , ม.·วินาที⁻² , ม.·วินาที⁻²
อนุพันธ์จากปริมาณอื่นๆ	${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}}$
มิติ	${\displaystyle {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

ในวิชาฟิสิกส์ความเร่ง คือการวัดว่า ความเร็วและทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน โดยนิยามว่าคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเช่นเดียวกับความเร็ว ความเร่งมีทั้งขนาดและทิศทางทำให้เป็นปริมาณเวกเตอร์ [ ^{1 ] [ 2 ] หน่วย} SI ของความเร่งคือเมตรต่อวินาทีกำลังสอง ( m⋅s ⁻² , m/s ² )

ความเร่งสัมผัสของวัตถุ คือ ส่วนประกอบของความเร่งที่มีทิศทางเดียวกับการเคลื่อนที่ (หรือความเร็วสัมผัส ) ของวัตถุ เมื่อความเร็วของวัตถุไม่เปลี่ยนทิศทาง จะเรียกว่าความเร่งเชิงเส้น ใน ทางกลับกัน การลดความเร็วหรือการหน่วงคือส่วนประกอบของความเร่งที่มีทิศทางตรงกันข้าม (หรือทิศทางตรงข้าม ) กับความเร็วสัมผัสความเร่งแนวรัศมีหรือความเร่งปกติ (หรือความเร่งสู่ศูนย์กลางระหว่างการเคลื่อนที่แบบวงกลม) คือ ส่วนประกอบของความเร่งที่เปลี่ยนทิศทางของความเร็วของวัตถุ

ในกลศาสตร์ของนิวตัน^{ความเร่ง}ของมวลเกิดจากแรงที่กระทำต่อมวล โดย ความเร่ง สุทธิเป็นผลมาจากแรงสุทธิที่กระทำต่อมวล ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน [ ^{3 ]}ขนาดของความเร่งสุทธิ จะเป็น สัดส่วนกับขนาดของ แรง สุทธิที่กระทำต่อวัตถุและแปรผกผันกับมวลของวัตถุ ในขณะที่ทิศทางของ ความเร่ง สุทธิจะเป็นทิศทางเดียวกับทิศทางของแรง สุทธิ

ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลา หนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงของความเร็ว (v ) หารด้วยระยะเวลา (t ) ในทางคณิตศาสตร์ ความเร่งเฉลี่ยเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการวัดความเร่ง โดยต้องทราบเพียงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วและการเปลี่ยนแปลงของเวลาเท่านั้น ในความหมายที่แท้จริง ความเร่งเฉลี่ยเป็น ความเร่ง ที่แท้จริง เพียงอย่างเดียว ที่สามารถวัดได้โดยตรงโดยไม่ต้องอ้างอิงกฎเชิงประจักษ์ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปแบบพื้นฐานที่สุดของการวัดความเร่ง ${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$${\displaystyle \Delta t}$$${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ความเร่งเฉลี่ยจะถูกใช้เพื่อประมาณการจลนศาสตร์ของวัตถุโดยสมมติว่าความเร็วเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรงตามเวลา ในช่วงเวลาสั้นๆ เรามักจะสามารถสมมติได้ว่าความเร่งมีค่าสม่ำเสมอซึ่งหมายความว่าความเร่งของวัตถุจะเท่ากับความเร่งเฉลี่ยพอดี(ดูรายละเอียดในหัวข้อความเร่งสม่ำเสมอ ) ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$

ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันความเร่งเฉลี่ยมีความสัมพันธ์กับแรง เฉลี่ย ที่กระทำต่ออนุภาคที่มีมวลโดย นั่นหมายความว่า การวัดความเร่งเฉลี่ยก็คือการวัดแรงเฉลี่ย (หรือที่เรียกว่าแรงดล ) ด้วยเช่นกัน${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}=m{\bar {\mathbf {a} }}.}$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\bar {\mathbf {f} }}}$

ความเร่งขณะทันทีคือลิมิตของความเร่งเฉลี่ยใน ช่วงเวลา ที่เล็กมากในทางแคลคูลัสความเร่งขณะทันทีคืออนุพันธ์ของเวกเตอร์ความเร็วเทียบกับเวลา: เนื่องจากความเร่งถูกนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของความเร็วvเทียบกับเวลาtและความเร็วถูกนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของตำแหน่งxเทียบกับเวลา ดังนั้นความเร่งจึงอาจคิดได้ว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสองของxเทียบกับt : (ในที่นี้และที่อื่นๆ ถ้าการเคลื่อนที่อยู่ในแนวเส้นตรงปริมาณเวกเตอร์สามารถแทนที่ด้วยปริมาณสเกลาร์ในสมการได้) $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}.}$$$${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\ddot {\mathbf {x} }}.}$$

จากทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสจะเห็นได้ว่าปริพันธ์ของฟังก์ชันความเร่งa ( t )คือฟังก์ชันความเร็วv ( t )กล่าวคือ พื้นที่ใต้กราฟความเร่งเทียบกับเวลา ( aเทียบกับt ) สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว $${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \,dt.}$$

ในทำนองเดียวกัน อินทิกรัลของฟังก์ชันjerk j ( t )ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันความเร่ง สามารถนำมาใช้เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง ณ เวลาใดเวลาหนึ่งได้: $${\displaystyle \Delta \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

ความเร่งมีมิติเป็นความเร็ว (L/T) หารด้วยเวลา กล่าวคือL = ^T⁻²หน่วยSIของความเร่งคือเมตรต่อวินาที² (ms⁻² ⁾หรือ "เมตรต่อวินาทีต่อวินาที" เนื่องจากความเร็วในหน่วยเมตรต่อวินาทีเปลี่ยนแปลงไปตามค่าความเร่งทุกวินาที

วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เช่น ดาวเทียมที่โคจรรอบโลก จะเกิดการเร่งความเร็วเนื่องจากการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ แม้ว่าความเร็วจะคงที่ก็ตาม ในกรณีนี้กล่าวได้ว่าวัตถุนั้นกำลังเกิดการ เร่งความเร็ว สู่ศูนย์กลาง (ความเร่งที่พุ่งเข้าหาศูนย์กลาง)

ความเร่งที่แท้จริงคือ ความเร่งของวัตถุเมื่อเทียบกับสภาวะตกอย่างอิสระ ซึ่งวัดได้ด้วยเครื่องมือที่เรียกว่าเครื่องวัดความเร่งกฎข้อที่สองของนิวตันมักจะใช้ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ในกรอบอ้างอิงที่เร่งความเร็วด้วยความเร่ง(ในมิติเดียว) กฎของนิวตันยังคงสามารถใช้ได้โดยการแนะนำแรงเฉื่อย (แรงเสมือน) บนมวลซึ่งมีทิศทางตรงข้ามกับความเร่งของกรอบอ้างอิง สิ่งนี้อธิบายถึงแนวโน้มของมวลที่จะรักษาการเคลื่อนที่แบบเฉื่อยไว้ กล่าวคือ คงอยู่ "เช่นเดิม" ไม่ว่าจะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ในขณะที่กรอบอ้างอิงเร่งความเร็ว ตัวอย่างหนึ่งคือ คนในลิฟต์จะรู้สึกหนักขึ้นหรือเบาลงเมื่อลิฟต์เร่งความเร็วหรือลดความเร็ว หากทราบค่าความเร่ง การวัดแรงสนับสนุนบนมวลสามารถใช้เพื่ออนุมานความเร่งได้ นี่คือหลักการของเครื่องวัดความเร่งเชิงกล^{[ 4 ] [ 5 ]}ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แรงโน้มถ่วงและความเร่งเฉื่อยอาจแยกแยะไม่ได้ในระดับท้องถิ่น (ดูทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ) ${\displaystyle a}$${\displaystyle F=-ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

ในกลศาสตร์คลาสสิกสำหรับวัตถุที่มีมวลคงที่ ความเร่ง (เวกเตอร์) ของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุจะเป็นสัดส่วนกับ เวกเตอร์ แรง ลัพธ์ (กล่าวคือ ผลรวมของแรงทั้งหมด) ที่กระทำต่อวัตถุ ( กฎข้อที่สองของนิวตัน ): โดยที่Fคือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุmคือมวลของวัตถุ และaคือความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล เมื่อความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสงผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพจะยิ่งมากขึ้นเรื่อยๆ $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$$

เมื่อยานพาหนะเริ่มเคลื่อนที่จากหยุดนิ่ง (ความเร็วเป็นศูนย์ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ) และเคลื่อนที่ไปในแนวเส้นตรงด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ยานพาหนะจะเร่งความเร็วไปในทิศทางการเคลื่อนที่ หากยานพาหนะเลี้ยว การเร่งความเร็วจะเกิดขึ้นในทิศทางใหม่และเปลี่ยนเวกเตอร์การเคลื่อนที่ ส่วนประกอบของการเร่งความเร็วของยานพาหนะในทิศทางของความเร็วเรียกว่า การเร่งความเร็วเชิงเส้นหรือการเร่งความเร็วสัมผัสซึ่งผลกระทบที่เกิดขึ้นคือ ผู้โดยสารบนรถจะรู้สึกเหมือนมีแรงเสมือนผลักพวกเขากลับไปที่ที่นั่งหรือออกจากที่นั่ง เมื่อเปลี่ยนทิศทาง ส่วนประกอบของการเร่งความเร็วที่ตั้งฉากกับความเร็วเรียกว่า การเร่งความเร็วใน แนวรัศมีหรือการเร่งความเร็วปกติ (หรือการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางในระหว่างการเคลื่อนที่แบบวงกลม) ซึ่งปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นคือ ผู้โดยสารจะรู้สึกเหมือนมีแรงหนีศูนย์กลาง (อีกหนึ่งแรงเสมือน) หากความเร็วของยานพาหนะลดลง ถือเป็นการเร่งความเร็วในทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการลดความเร็ว^{[ 6 ] [ 7 ]}หรือการหน่วงและผู้โดยสารจะรู้สึกถึงปฏิกิริยาต่อการลดความเร็วในรูปของ แรง เฉื่อยที่ผลักพวกเขาไปข้างหน้า การลดความเร็วเช่นนี้มักเกิดขึ้นจาก การเผาไหม้ จรวดเรโทรในยานอวกาศ^{[ 8 ]}ทั้งการเร่งความเร็วและการลดความเร็วได้รับการปฏิบัติเหมือนกัน เนื่องจากทั้งสองเป็นการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว ผู้โดยสารจะรู้สึกถึงการเร่งความเร็วแต่ละแบบ (สัมผัส รัศมี การลดความเร็ว) จนกว่าความเร็วสัมพัทธ์ (เชิงอนุพันธ์) ของพวกเขาจะถูกทำให้เป็นกลางเมื่อเทียบกับการเร่งความเร็วเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

ความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่บนเส้นทางโค้งเป็นฟังก์ชันของเวลาสามารถเขียนได้ดังนี้: โดยที่vเท่ากับความเร็วในการเดินทางตามเส้นทาง และ เวกเตอร์หน่วยสัมผัสกับเส้นทางที่ชี้ไปในทิศทางของการเคลื่อนที่ ณ เวลาที่เลือก เมื่อพิจารณาทั้งความเร็วv ที่เปลี่ยนแปลง และทิศทางของu _t ที่เปลี่ยนแปลง ความเร่งของอนุภาคที่เคลื่อนที่บนเส้นทางโค้งสามารถเขียนได้โดยใช้กฎลูกโซ่ของการหาอนุพันธ์^{[ 9 ]}สำหรับผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันของเวลาดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {v} =v{\frac {\mathbf {v} }{v}}=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} },}$$$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} }{v}}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v{\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\end{alignedat}}}$$

โดยที่u _n คือ เวกเตอร์ปกติหน่วย (เข้าด้านใน) ของวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค (เรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์ปกติหลัก ) และr คือ รัศมีของความโค้งทันทีโดยอิงจากวงกลมสัมผัสณ เวลาtส่วนประกอบเหล่านี้ เรียกว่าความเร่งสัมผัสและความเร่งปกติหรือความเร่งรัศมี (หรือความเร่งสู่ศูนย์กลางในการเคลื่อนที่แบบวงกลม ดูเพิ่มเติมที่การเคลื่อนที่แบบวงกลมและแรงสู่ศูนย์กลาง ) ตามลำดับ $${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {t} }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }\quad {\text{and}}\quad \mathbf {a} _{\mathrm {c} }={\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }}$$

การวิเคราะห์ทางเรขาคณิตของเส้นโค้งในปริภูมิสามมิติ ซึ่งอธิบายเส้นสัมผัส เส้นตั้งฉาก (หลัก) และเส้นตั้งฉากคู่ ได้รับการอธิบายโดยสูตรFrenet–Serret ^{[ 10 ] [ 11 ]}

การเร่งความเร็ว สม่ำเสมอหรือ การเร่งความเร็ว คงที่คือการเคลื่อนที่ประเภทหนึ่งที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปในปริมาณที่เท่ากันในทุกช่วงเวลาที่เท่ากัน

ตัวอย่างที่มักถูกยกมากล่าวถึงเกี่ยวกับการเร่งความเร็วสม่ำเสมอคือ วัตถุที่ตกอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ การเร่งความเร็วของวัตถุที่ตกโดยไม่มีแรงต้านการเคลื่อนที่ขึ้นอยู่กับความแรงของสนามโน้มถ่วงg เท่านั้น (เรียกอีกอย่างว่าการเร่งความเร็วเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ) ตาม กฎข้อ ที่สองของนิวตันแรงที่กระทำต่อวัตถุมีค่าดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$$${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

เนื่องจากคุณสมบัติการวิเคราะห์อย่างง่ายของกรณีความเร่งคงที่ จึงมีสูตรง่ายๆ ที่เชื่อมโยงการกระจัด ความเร็วเริ่มต้นและ ความเร็วที่ขึ้นอยู่กับเวลาและความเร่งกับเวลาที่ผ่านไป : ^{[ 12 ]} โดยที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&=\mathbf {x} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}],\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle t}$คือระยะเวลาที่ผ่านไป
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$คือการกระจัดเริ่มต้นจากจุดกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$คือการกระจัดจากจุดกำเนิด ณ เวลาt${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$คือความเร็วเริ่มต้น
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$คือความเร็ว ณ เวลาและ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$คืออัตราเร่งที่สม่ำเสมอ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเคลื่อนที่สามารถแยกออกเป็นสองส่วนที่ตั้งฉากกัน ส่วนหนึ่งมีความเร็วคงที่ และอีกส่วนหนึ่งเป็นไปตามสมการข้างต้น ดังที่กาลิเลโอแสดงให้เห็น ผลลัพธ์สุทธิคือการเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ซึ่งอธิบาย เช่น วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกยิงในสุญญากาศใกล้พื้นผิวโลก^{[ 13 ]}

เวกเตอร์ตำแหน่งrจะชี้ออกจากจุดกำเนิดในแนวรัศมีเสมอ

เวกเตอร์ความเร็วvจะสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่เสมอ

เวกเตอร์ความเร่งaไม่ขนานกับการเคลื่อนที่ในแนวรัศมี แต่เบี่ยงเบนไปจากทิศทางของความเร่งเชิงมุมและความเร่งโคริโอลิส และไม่สัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ แต่เบี่ยงเบนไปจากทิศทางของความเร่งสู่ศูนย์กลางและความเร่งในแนวรัศมี

เวกเตอร์จลนศาสตร์ในพิกัดเชิงขั้วระนาบโปรดสังเกตว่าการตั้งค่านี้ไม่จำกัดเฉพาะพื้นที่ 2 มิติ แต่สามารถใช้แทนระนาบสัมผัสที่จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งใดๆ ในมิติที่สูงกว่าได้

ในการเคลื่อนที่แบบวงกลม สม่ำเสมอ นั่นคือการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว คงที่ไป ตามเส้นทางวงกลม อนุภาคจะประสบกับความเร่งอันเนื่องมาจากการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว ในขณะที่ขนาดของความเร่งยังคงที่ อนุพันธ์ของตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้งเทียบกับเวลา นั่นคือความเร็ว จะสัมผัสกับเส้นโค้งเสมอ หรือตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดนั้น เนื่องจากในการเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอ ความเร็วในทิศทางสัมผัสไม่เปลี่ยนแปลง ความเร่งจึงต้องอยู่ในทิศทางรัศมี ชี้ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม ความเร่งนี้จะเปลี่ยนทิศทางของความเร็วอย่างต่อเนื่องให้สัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดข้างเคียง ทำให้เวกเตอร์ความเร็วหมุนไปตามวงกลม

• สำหรับความเร็วที่กำหนดขนาดของความเร่งที่เกิดจากรูปทรงเรขาคณิต (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง) จะแปรผกผันกับรัศมีของวงกลม และเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของความเร็ว:${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$$
• สำหรับความเร็วเชิงมุม ที่กำหนด ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมีเนื่องจากความเร็วขึ้นอยู่กับรัศมี${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle v=\omega r.}$$

เมื่อแสดงเวกเตอร์ความเร่งสู่ศูนย์กลางในส่วนประกอบเชิงขั้ว โดยที่เป็นเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังอนุภาคที่มีขนาดเท่ากับระยะทางนี้ และพิจารณาการวางแนวของความเร่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง จะได้ เช่นเดียวกับการหมุนโดยทั่วไป ความเร็วของอนุภาคสามารถแสดงได้เป็นความเร็วเชิงมุมเทียบกับจุดที่ระยะทางดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$$${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.}$

ความเร่งและมวลของอนุภาคนี้เป็นตัวกำหนดแรงสู่ศูนย์กลางที่ จำเป็น ซึ่งมีทิศทางพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม เป็นแรงลัพธ์ที่กระทำต่ออนุภาคนี้เพื่อรักษาสภาพการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ ส่วนแรงหนีศูนย์กลางที่ดูเหมือนจะกระทำออกไปด้านนอกนั้น เป็นแรงเสมือน ที่ เกิดขึ้นในกรอบอ้างอิงของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลม เนื่องจากโมเมนตัมเชิงเส้น ของวัตถุ ซึ่งเป็นเวกเตอร์สัมผัสกับวงกลมของการเคลื่อนที่

ในการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอ กล่าวคือ ความเร็วตามเส้นทางโค้งมีการเปลี่ยนแปลง ความเร่งจะมีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในทิศทางสัมผัสกับเส้นโค้ง และไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะเวกเตอร์ปกติหลักซึ่งชี้ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมสัมผัส ซึ่งเป็นตัวกำหนดรัศมีของความเร่งสู่ศูนย์กลาง ส่วนประกอบในทิศทางสัมผัสจะกำหนดโดยความเร่งเชิงมุม กล่าวคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมคูณด้วยรัศมีนั่นคือ ${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$$${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

เครื่องหมายของส่วนประกอบสัมผัสของความเร่งจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของความเร่งเชิงมุม ( ) และเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมีเสมอ ${\displaystyle \alpha }$

ใน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนหลายมิติความเร่งจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนประกอบที่สอดคล้องกับแกนมิติแต่ละแกนของระบบพิกัด ในระบบสองมิติที่มีแกน x และแกน y ส่วนประกอบความเร่งที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดเป็น^{[ 14 ]} เวกเตอร์ความเร่งสองมิติจะถูกกำหนดเป็นขนาดของเวกเตอร์นี้หาได้จากสูตรระยะทางเป็น ในระบบสามมิติที่มีแกน z เพิ่มเติม ส่วนประกอบความเร่งที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดเป็น เวกเตอร์ความเร่งสามมิติจะถูกกำหนดเป็น โดยขนาดของมันจะถูกกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{x}&={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\\a_{y}&={\frac {dv_{y}}{dt}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {a} =\langle a_{x},a_{y}\rangle }$$${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}.}$$$${\displaystyle a_{z}={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.}$$${\displaystyle \mathbf {a} =\langle a_{x},a_{y},a_{z}\rangle }$$${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}$$

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอธิบายพฤติกรรมของวัตถุที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นด้วยความเร็วที่เข้าใกล้ความเร็วแสงในสุญญากาศกลศาสตร์นิวตันจึงถูกพิสูจน์แล้วว่าเป็นเพียงการประมาณค่าความเป็นจริง ซึ่งมีความแม่นยำสูงที่ความเร็วต่ำ เมื่อความเร็วที่เกี่ยวข้องเพิ่มขึ้นเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งจะไม่เป็นไปตามสมการคลาสสิกอีกต่อไป

เมื่อความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งที่เกิดจากแรงที่กำหนดจะลดลง จนกลายเป็นค่าที่เล็กมากจนแทบเป็นศูนย์เมื่อเข้าใกล้ความเร็วแสง วัตถุที่มีมวลสามารถเข้าใกล้ความเร็วนี้ได้ในทางอนุกรมแต่จะไม่มีวันถึงความเร็วแสงได้

หากไม่ทราบสถานะการเคลื่อนที่ของวัตถุ จะไม่สามารถแยกแยะได้ว่าแรงที่สังเกตได้นั้นเกิดจากแรงโน้มถ่วงหรือความเร่ง—แรงโน้มถ่วงและความเร่งเนื่องจากความเฉื่อยมีผลเหมือนกันอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เรียกสิ่งนี้ว่าหลักการสมดุลและกล่าวว่ามีเพียงผู้สังเกตที่ไม่รู้สึกถึงแรงใดๆ เลย—รวมถึงแรงโน้มถ่วง—เท่านั้นที่มีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าพวกเขาไม่ได้มีความเร่ง^{[ 15 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการเร่งความเร็ว

• เครื่องคำนวณความเร่งตัวแปลงหน่วยความเร่งอย่างง่าย