ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ในด้านระบบพลวัตลูกตุ้มยืดหยุ่น^{[ 1 ] [ 2 ]} (เรียกอีกอย่างว่าลูกตุ้มสปริง^{[ 3 ] [ 4 ]}หรือสปริงแกว่ง ) เป็นระบบทางกายภาพที่มวลชิ้นหนึ่งเชื่อมต่อกับสปริงเพื่อให้การเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นมีองค์ประกอบของทั้งลูกตุ้มธรรมดาและระบบสปริง-มวลแบบหนึ่งมิติ^{[ 2 ]}สำหรับค่าพลังงานเฉพาะ ระบบจะแสดงลักษณะทั้งหมดของพฤติกรรมอลวนและมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น [ ^{2 ] ที่}พลังงานต่ำมากและสูงมากดูเหมือนว่าจะมีการเคลื่อนที่แบบปกติด้วย^{[ 5 ]}การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มยืดหยุ่นถูกควบคุมโดยชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ที่เชื่อมโยงกัน พฤติกรรมนี้ชี้ให้เห็นถึงปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนระหว่างสถานะพลังงานและพลวัตของระบบ

ระบบนี้ซับซ้อนกว่าลูกตุ้มธรรมดามาก เนื่องจากคุณสมบัติของสปริงเพิ่มมิติอิสระพิเศษให้กับระบบ ตัวอย่างเช่น เมื่อสปริงถูกบีบอัด รัศมีที่สั้นลงจะทำให้สปริงเคลื่อนที่เร็วขึ้นเนื่องจากการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมนอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่าสปริงมีช่วงการเคลื่อนที่ที่ถูกการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มแซงหน้า ทำให้สปริงแทบจะไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเลย

สปริงมีความยาวขณะพักและสามารถยืดออกได้ด้วยความยาวมุมการแกว่งของลูกตุ้มคือθ ${\displaystyle \ell _{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$

ลากรางเจียน คือ: โดย ที่คือพลังงานจลน์และคือพลังงานศักย์${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=TV}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$

กฎของฮุคคือพลังงานศักยภาพของสปริงเอง โดยที่คือค่าคงที่ของสปริง $${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$$${\displaystyle k}$

ในทางกลับกัน พลังงานศักย์จากแรงโน้มถ่วงนั้นถูกกำหนดโดยความสูงของมวล สำหรับมุมและการกระจัดที่กำหนด พลังงานศักย์คือ: โดยที่คือความเร่งโน้มถ่วง $${\displaystyle V_{g}=-gm(\ell _{0}+x)\cos \theta }$$${\displaystyle g}$

พลังงานจลน์หาได้จากสูตร: โดยที่คือความเร็วของมวล เพื่อเชื่อมโยงกับตัวแปรอื่นๆ ความเร็วจะเขียนในรูปของการเคลื่อนที่ไปตามแนวและตั้งฉากกับสปริง: $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)}$$

ดังนั้น Lagrangian จึงกลายเป็น: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$$$${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm\left(\ell _{0}+x\right)\cos \theta }$$

เมื่อมี องศาอิสระสอง องศา สำหรับและสมการการเคลื่อนที่สามารถหาได้โดยใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์สองสมการ : ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}&=0\end{aligned}}}$$

สำหรับ: ^{[ 1 ]}แยก: ${\displaystyle x}$$${\displaystyle m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}$$${\displaystyle {\ddot {x}}}$$${\displaystyle {\ddot {x}}=(\ell _{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }$$

และสำหรับ: ^{[ 1 ]}แยก: ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle -gm\left(\ell _{0}+x\right)\sin \theta -m\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\ddot {\theta }}-2m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell _{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{\ell _{0}+x}}{\dot {\theta }}}$$

สามารถลดความซับซ้อนของระบบเหล่านี้ได้อีกโดยการปรับขนาดความยาวและเวลาการแสดงระบบในรูปของและจะส่งผลให้ได้สม การการเคลื่อนที่ แบบไร้มิติ พารามิเตอร์ไร้มิติที่เหลืออยู่เพียงตัวเดียวจะบ่งบอกลักษณะของระบบ ${\textstyle s={x}/{\ell _{0}}}$${\textstyle \tau =t{\sqrt {{g}/{\ell _{0}}}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {k\ell _{0}}{mg}}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{d\tau ^{2}}}=\left(s+1\right)\left({\frac {d\theta }{d\tau }}\right)^{2}-\Omega ^{2}s+\cos \theta }$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\tau ^{2}}}=-{\frac {\sin \theta }{s+1}}-{\frac {2}{1+s}}{\frac {ds}{d\tau }}{\frac {d\theta }{d\tau }}}$$

ลูกตุ้มยืดหยุ่นได้รับการอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ คู่กันสองสม การ ซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขนอกจากนี้ ยังสามารถใช้วิธีการวิเคราะห์เพื่อศึกษาปรากฏการณ์ที่น่าสนใจของลำดับ-ความโกลาหล-ลำดับ^{[ 7 ]} ในระบบนี้สำหรับ ค่า ต่างๆ ของพารามิเตอร์และเงื่อนไขเริ่มต้นและ${\displaystyle \Omega ^{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$

ยังมีตัวอย่างที่สองอีกด้วย: ลูกตุ้มยืดหยุ่นคู่ ดู^{[ 8 ]}

• ลูกตุ้มคู่
• ออสซิเลเตอร์ดัฟฟิง
• ลูกตุ้ม (คณิตศาสตร์)
• ระบบสปริง-มวล

• Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "การแกว่งของลูกตุ้มยืดหยุ่น" (แอนิเมชันแบบโต้ตอบ) โครงการ Wolfram Demonstrations เผยแพร่เมื่อวันที่ 19 กุมภาพันธ์ 2019
• Holovatsky V., Holovatskyi I., Holovatska Ya., Struk Ya. การสั่นของลูกตุ้มยืดหยุ่นแบบเรโซแนนซ์ ฟิสิกส์และเทคโนโลยีการศึกษา, 2023, 1, 10–17, https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physics/article/view/1093