ในทางคณิตศาสตร์ความยืดหยุ่นหรือความยืดหยุ่นของจุดของฟังก์ชันอนุพันธ์บวก fของตัวแปรบวก (อินพุตบวก เอาต์พุตบวก) ^{[ 1 ]}ที่จุดaถูกกำหนดเป็น^{[ 2 ]}

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {f(x)}{f(a)}}-1}{{\frac {x}{a}}-1}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

หรือเทียบเท่า

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.}$

ดังนั้น จึงเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (เปอร์เซ็นต์) ในเอาต์พุตของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในอินพุตสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยจากจุดหนึ่งหรือเทียบเท่ากับอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของลอการิทึมของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของลอการิทึมของอาร์กิวเมนต์ นอกจากนี้ยังมีการสรุปทั่วไปสำหรับกรณีอินพุตหลายตัวและเอาต์พุตหลายตัวในเอกสาร^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,f(a))}$

ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันจะเป็นค่าคงที่ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นมีรูปแบบสำหรับค่าคงที่เท่านั้น ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$${\displaystyle C>0}$

ค่าความยืดหยุ่น ณ จุดใดจุดหนึ่ง คือค่าจำกัดของความยืดหยุ่นของส่วนโค้งระหว่างสองจุด เมื่อระยะห่างระหว่างสองจุดนั้นเข้าใกล้ศูนย์

แนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในเศรษฐศาสตร์และการวิเคราะห์การควบคุมการเผาผลาญ (MCA) โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ ความยืดหยุ่น (เศรษฐศาสตร์)และสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น ตามลำดับ

กฎสำหรับการหาความยืดหยุ่นของผลิตภัณฑ์และผลหารนั้นง่ายกว่ากฎสำหรับการหาอนุพันธ์^{[ 5 ]} ให้f, gเป็นอนุพันธ์ได้ จากนั้น^{[ 2 ]}

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}}$

อนุพันธ์สามารถแสดงในรูปของความยืดหยุ่นได้ดังนี้

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}$

ให้aและbเป็นค่าคงที่ แล้ว

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x))=Ef(x)}$,

${\displaystyle E(bx^{a})=a\ }$.

ในทางเศรษฐศาสตร์ความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคาหมายถึง ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันอุปสงค์Q ( P ) และสามารถแสดงได้เป็น (dQ/dP)/(Q(P)/P) หรืออัตราส่วนของค่าฟังก์ชันส่วนเพิ่ม (dQ/dP) ต่อค่าฟังก์ชันเฉลี่ย (Q(P)/P) ความสัมพันธ์นี้ช่วยให้สามารถพิจารณาได้ง่ายว่าเส้นโค้งอุปสงค์มีความยืดหยุ่นหรือไม่มีความยืดหยุ่น ณ จุดใดจุดหนึ่ง ก่อนอื่น สมมติว่าเราใช้หลักการทั่วไปในทางคณิตศาสตร์ในการวาดกราฟตัวแปรอิสระ (P) ในแนวนอนและตัวแปรตาม (Q) ในแนวตั้ง จากนั้น ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนั้นคือค่าของฟังก์ชันส่วนเพิ่ม ณ จุดนั้น ความชันของรังสีที่ลากจากจุดกำเนิดผ่านจุดนั้นคือค่าของฟังก์ชันเฉลี่ย ถ้าค่าสัมบูรณ์ของความชันของเส้นสัมผัสมากกว่าความชันของรังสี แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีความยืดหยุ่น ณ จุดนั้น ถ้าความชันของเส้นตัดมากกว่าค่าสัมบูรณ์ของความชันของเส้นสัมผัส แสดงว่าเส้นโค้งนั้นไม่มีความยืดหยุ่น ณ จุดนั้น^{[ 6 ]}หากลากเส้นสัมผัสไปยังแกนแนวนอน ปัญหาจะเป็นเพียงการเปรียบเทียบมุมที่เกิดจากเส้นและแกนแนวนอน หากมุมขอบมากกว่ามุมเฉลี่ย ฟังก์ชันจะมีความยืดหยุ่น ณ จุดนั้น หากมุมขอบน้อยกว่ามุมเฉลี่ย ฟังก์ชันจะไม่มีความยืดหยุ่น ณ จุดนั้น อย่างไรก็ตาม หากปฏิบัติตามธรรมเนียมที่นักเศรษฐศาสตร์ใช้และพล็อตตัวแปรอิสระPบนแกนตั้งและตัวแปรตามQบนแกนแนวนอน กฎตรงกันข้ามก็จะนำมาใช้

วิธีการสร้างกราฟแบบเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันอุปทานหรือฟังก์ชันอื่นๆ ได้เช่นกัน

ความยืดหยุ่นกึ่ง (หรือความยืดหยุ่นแบบกึ่ง) ให้การเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ในf(x)ในแง่ของการเปลี่ยนแปลง (ไม่ใช่เป็นเปอร์เซ็นต์) ในxในทางพีชคณิต ความยืดหยุ่นกึ่ง S ของฟังก์ชันfที่จุดxคือ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}$

ค่าความยืดหยุ่นกึ่งคงที่สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบดังกล่าว เนื่องจาก ${\displaystyle f(x)=C\alpha ^{x}}$

${\displaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.}$

ตัวอย่างหนึ่งของความยืดหยุ่นแบบกึ่งๆ คือระยะเวลาที่ปรับเปลี่ยนได้ในการซื้อขายพันธบัตร

บางครั้งมีการใช้คำจำกัดความตรงกันข้ามในเอกสารทางวิชาการ กล่าวคือ คำว่า "ความยืดหยุ่นกึ่ง" บางครั้งก็ใช้สำหรับการเปลี่ยนแปลง (ไม่ใช่ตามเปอร์เซ็นต์) ในf(x)ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในx ^{[ 9 ]}ซึ่งจะเป็น

${\displaystyle {\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x}$

• ความยืดหยุ่นของส่วนโค้ง
• ความยืดหยุ่น (เศรษฐศาสตร์)
• สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น (ชีวเคมี)
• ฟังก์ชันเอกพันธุ์
• อนุพันธ์ลอการิทึม

• Nievergelt, Yves (1983). "แนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นในเศรษฐศาสตร์" SIAM Review . 25 (2): 261– 265. doi : 10.1137/1025049 .