ในวิชาเคมีอัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมีได้รับอิทธิพลจากปัจจัยหลายอย่าง เช่นอุณหภูมิค่าpHสารตั้งต้นความเข้มข้นของผลิตภัณฑ์และตัวกระตุ้นอื่นๆ ระดับที่ปัจจัยเหล่านี้เปลี่ยนแปลงอัตราการเกิดปฏิกิริยาจะถูกอธิบายด้วยสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นสัมประสิทธิ์นี้กำหนดไว้ดังนี้:

$${\displaystyle \varepsilon _{s_{i}}^{v}=\left({\frac {\partial v}{\partial s_{i}}}{\frac {s_{i}}{v}}\right)_{s_{j},\,s_{k},\,\ldots }={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s_{i}}}\approx {\frac {v\%}{s_{i}\%}}}$$

โดยที่แสดงถึงอัตราการเกิดปฏิกิริยา และแสดงถึง ความเข้มข้น ของสารตั้งต้นโปรดทราบว่าสัญลักษณ์จะใช้ตัวอักษรโรมันตัวเล็ก เช่นเพื่อระบุความเข้มข้น ${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s,}$

อนุพันธ์ย่อยในคำจำกัดความบ่งชี้ว่าความยืดหยุ่นถูกวัดโดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงของปัจจัย S ในขณะที่ปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมดคงที่ ปัจจัยที่พบบ่อยที่สุด ได้แก่ สารตั้งต้น ผลิตภัณฑ์ เอนไซม์ และตัวกระตุ้น การปรับขนาดของสัมประสิทธิ์ทำให้มั่นใจได้ว่าไม่มีมิติและเป็นอิสระจากหน่วยที่ใช้ในการวัดอัตราการเกิดปฏิกิริยาและขนาดของปัจจัย สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นส่วนสำคัญของการวิเคราะห์การควบคุมเมตาบอ ลิซึม และถูกนำมาใช้ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 และอาจจะก่อนหน้านั้นโดยHenrik Kacserและ Burns ^{[ 1 ]}ในเอดินบะระ และ Heinrich และ Rapoport ^{[ 2 ]}ในเบอร์ลิน

แนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นได้รับการอธิบายโดยผู้เขียนคนอื่นๆ ด้วยเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Savageau ^{[ 3 ]}ในมิชิแกนและ Clarke ^{[ 4 ]}ที่เอดมันตัน ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 Michael Savageau ^{[ 3 ]}ได้พัฒนาแนวทางใหม่ที่เรียกว่าทฤษฎีระบบชีวเคมีซึ่งใช้การขยายกำลังเพื่อประมาณค่าความไม่เป็นเชิงเส้นในจลนศาสตร์ชีวเคมี ทฤษฎีนี้คล้ายคลึงกับการวิเคราะห์การควบคุมการเผาผลาญและได้รับการใช้งานอย่างประสบความสำเร็จและกว้างขวางในการศึกษาคุณสมบัติของการป้อนกลับที่แตกต่างกันและโครงสร้างการควบคุมอื่นๆ ในเครือข่ายเซลล์ การขยายกำลังที่ใช้ในการวิเคราะห์นี้ใช้สัมประสิทธิ์ที่เรียกว่าลำดับจลนศาสตร์ ซึ่งเทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น

Bruce Clarke ^{[ 4 ]}ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 ได้พัฒนาทฤษฎีที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการวิเคราะห์เสถียรภาพแบบไดนามิกในเครือข่ายเคมี ในส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ของเขา Clarke ยังได้แนะนำแนวคิดของลำดับจลน์และการประมาณกฎกำลังซึ่งค่อนข้างคล้ายกับการขยายกฎกำลังของ Savageau แนวทางของ Clarke อาศัยลักษณะโครงสร้างบางอย่างของเครือข่ายที่เรียกว่ากระแสสุดขั้ว (หรือเรียกว่าโหมดพื้นฐานในระบบชีวเคมี) ลำดับจลน์ของ Clarke ยังเทียบเท่ากับความยืดหยุ่นอีกด้วย

ความยืดหยุ่นยังสามารถตีความได้อย่างมีประโยชน์ว่าเป็นวิธีการที่สัญญาณแพร่กระจายขึ้นหรือลงตามเส้นทางที่กำหนด^{[ 5 ]}

ข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มต่างๆ ได้นำเสนอแนวคิดเดียวกันโดยอิสระ บ่งชี้ว่าค่าความยืดหยุ่น หรือลำดับจลน์ที่เทียบเท่ากัน น่าจะเป็นแนวคิดพื้นฐานในการวิเคราะห์ระบบชีวเคมีหรือเคมีที่ซับซ้อน

ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นสามารถคำนวณได้ทั้งโดยวิธีทางพีชคณิตหรือโดยวิธีเชิงตัวเลข

จากนิยามของสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นในรูปของอนุพันธ์ย่อยทำให้สามารถกำหนดความยืดหยุ่นของกฎอัตราใดๆ ได้โดยการหาอนุพันธ์ของกฎอัตราเทียบกับตัวแปรอิสระแล้วปรับขนาด ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นสำหรับกฎอัตราแบบมวล-การกระทำเช่น:

${\displaystyle v=k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}$

โดยที่คืออัตราการเกิดปฏิกิริยาคือค่าคงที่อัตราการเกิดปฏิกิริยาคือชนิดของสารเคมีที่ i ที่เกี่ยวข้องในปฏิกิริยา และคืออันดับของปฏิกิริยาที่ i จากนั้น ความยืดหยุ่นสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของกฎอัตราเทียบกับและปรับขนาด: ${\displaystyle v}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{s_{1}}^{v}}$${\displaystyle s_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s_{1}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}{\frac {s_{1}}{v}}=n_{1}\ k\ s_{1}^{n_{1}-1}s_{2}^{n_{2}}{\frac {s_{1}}{k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}}=n_{1}}$

กล่าวคือ ความยืดหยุ่นของกฎอัตราปฏิกิริยามวลสารจะเท่ากับอันดับปฏิกิริยาของสารประกอบนั้นๆ

ตัวอย่างเช่น ความยืดหยุ่นของ A ในปฏิกิริยาที่อัตราการเกิดปฏิกิริยากำหนดโดย: ความยืดหยุ่นสามารถคำนวณได้โดยใช้: ${\displaystyle 2A\rightleftharpoons C}$${\displaystyle v=kA^{2}}$

${\displaystyle \varepsilon _{a}^{v}={\frac {\partial v}{\partial a}}{\frac {a}{v}}={\frac {2kaa}{ka^{2}}}=2}$

ค่าความยืดหยุ่นสามารถหาได้จากกฎอัตราที่ซับซ้อนกว่า เช่นกฎอัตราของไมเคิลลิส-เมนเทนถ้า

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }s}{K_{m}+s}}}$

จากนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่า

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {K_{m}}{K_{m}+s}}}$

สมการนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่ว่าค่าความยืดหยุ่นไม่จำเป็นต้องเป็นค่าคงที่ (เช่นเดียวกับกฎการกระทำมวล) แต่สามารถเป็นฟังก์ชันของความเข้มข้นของสารตั้งต้นได้ ในกรณีนี้ ค่าความยืดหยุ่นจะเข้าใกล้หนึ่งที่ความเข้มข้นของสารตั้งต้นต่ำ และเข้าใกล้ศูนย์ที่ความเข้มข้นของสารตั้งต้นสูง

สำหรับกฎอัตราไมเคิลลิส-เมนเทน แบบผันกลับได้ :

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }/K_{m_{1}}(sp/K_{\text{eq}})}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

โดยที่คือทิศทางไปข้างหน้าคือทิศทางไปข้างหน้าคือ ค่าคง ที่สมดุล และคือทิศทางย้อนกลับสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นได้สองค่า ค่าหนึ่งเทียบกับพื้นผิว S และอีกค่าหนึ่งเทียบกับผลิตภัณฑ์ P ดังนั้น: ${\displaystyle V_{\max }}$${\displaystyle V_{max}}$${\displaystyle K_{m_{1}}}$${\displaystyle K_{m}}$${\displaystyle K_{eq}}$${\displaystyle K_{m_{2}}}$${\displaystyle K_{m}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

โดยที่คืออัตราส่วนของมวลต่อการกระทำนั่นคือสังเกตว่าเมื่อ p = 0 สมการจะลดลงเหลือกรณีของกฎ Michaelis–Menten ที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma =p/s}$

ตัวอย่างสุดท้าย ลองพิจารณาสมการของฮิลล์ :

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }(s/K_{s})^{n}}{1+(s/K_{s})^{n}}}}$

โดยที่ n คือสัมประสิทธิ์ของ Hill และคือสัมประสิทธิ์ครึ่งอิ่มตัว (ดูจากกฎอัตราของ Michaelis–Menten ) แล้วสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นจะกำหนดโดย: ${\displaystyle K_{s}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {n}{1+(s/K_{s})^{n}}}}$

โปรดสังเกตว่าที่ความเข้มข้นต่ำของSค่าความยืดหยุ่นจะเข้าใกล้  nและที่ความเข้มข้นสูงของSค่าความยืดหยุ่นจะเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าค่าความยืดหยุ่นอยู่ระหว่างศูนย์และค่าสัมประสิทธิ์ของ Hill

ค่าความยืดหยุ่นสำหรับปฏิกิริยาแบบย้อนกลับได้ซึ่งเร่งปฏิกิริยาโดยเอนไซม์แบบยูนิ-ยูนิ ได้รับการกำหนดไว้ก่อนหน้านี้โดย:

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

ผลลัพธ์ที่น่าสนใจอย่างหนึ่งได้มาจากการประเมินผลรวมซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าเท่ากับ: ${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}={\frac {1}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

สามารถพิจารณาสองกรณีสุดขั้วได้ ในกรณีที่มีความอิ่มตัวสูง ( ) พจน์ด้านขวามีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์ ดังนั้น: ${\displaystyle s>K_{m_{1}},p>K_{m_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\ประมาณ -\varepsilon _{p}^{v}}$

นั่นคือค่าสัมบูรณ์ของความยืดหยุ่นของสารตั้งต้นและผลิตภัณฑ์มีแนวโน้มจะเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ยากที่เอนไซม์ที่กำหนดจะมีทั้งความเข้มข้นของสารตั้งต้นและผลิตภัณฑ์มากกว่าค่า Km ของพวกมันมากนัก สถานการณ์ที่เป็นไปได้มากกว่าคือเมื่อเอนไซม์ทำงานภายใต้สภาวะที่ไม่ถึงจุดอิ่มตัว ( ) ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ เราจะได้ผลลัพธ์ที่ง่ายกว่า: ${\displaystyle s<K_{m_{1}},p<K_{m_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}\ประมาณ 1}$

หากกล่าวในอีกรูปแบบหนึ่ง เราสามารถระบุได้ว่า:

${\displaystyle ||\varepsilon _{s}^{v}||>||\varepsilon _{p}^{v}||}$

นั่นคือค่าสัมบูรณ์ของความยืดหยุ่นของสารตั้งต้นจะมากกว่าค่าสัมบูรณ์ของความยืดหยุ่นของผลิตภัณฑ์ ซึ่งหมายความว่าสารตั้งต้นจะมีอิทธิพลอย่างมากต่ออัตราการเกิดปฏิกิริยาไปข้างหน้ามากกว่าผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้อง^{[ 6 ]}

ผลลัพธ์นี้มีนัยสำคัญต่อการกระจายการควบคุมฟลักซ์ในเส้นทางที่มีขั้นตอนปฏิกิริยาที่ไม่ถึงจุดอิ่มตัว โดยทั่วไป การรบกวนใกล้จุดเริ่มต้นของเส้นทางจะมีอิทธิพลต่อฟลักซ์ในสภาวะสมดุลมากกว่าขั้นตอนที่อยู่ถัดไป เนื่องจาก การรบกวนที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางจะถูกกำหนดโดยความยืดหยุ่นของสารตั้งต้นทั้งหมด ในขณะที่การรบกวนที่อยู่ถัดไปซึ่งต้องเคลื่อนที่ย้อนกลับจะถูกกำหนดโดยความยืดหยุ่นของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากเราพบว่าความยืดหยุ่นของสารตั้งต้นมีแนวโน้มที่จะมากกว่าความยืดหยุ่นของผลิตภัณฑ์ นั่นหมายความว่าการรบกวนที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางจะถูกลดทอนน้อยกว่าการรบกวนที่เคลื่อนที่ย้อนกลับ ผลสุทธิคือการควบคุมฟลักซ์มีแนวโน้มที่จะกระจุกตัวอยู่ที่ขั้นตอนต้นน้ำมากกว่าขั้นตอนปลายทาง^{[ 7 ] [ 8 ]}

ตารางด้านล่างสรุปค่าสุดขั้วของความยืดหยุ่นที่กำหนดโดยกฎอัตรา Michaelis-Menten แบบผันกลับได้ ตาม Westerhoff et al. ^{[ 9 ]}ตารางนี้แบ่งออกเป็นสี่กรณี ซึ่งรวมถึงประเภท 'ผันกลับได้' หนึ่งประเภท และประเภท 'ผันกลับไม่ได้' สามประเภท

ค่าความยืดหยุ่นโดยประมาณภายใต้เงื่อนไขต่างๆ

สถานะสมดุล	ระดับความอิ่มตัว	ความยืดหยุ่น
ใกล้สมดุล	ระดับความอิ่มตัวทั้งหมด	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\gg 1,\varepsilon _{p}^{v}\ll -1}$
ภาวะไม่สมดุล	วัสดุคุณภาพสูง ผลิตภัณฑ์คุณภาพสูง	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\ประมาณ -\varepsilon _{p}^{v}}$
ภาวะไม่สมดุล	สารตั้งต้นคุณภาพสูง ผลิตภัณฑ์คุณภาพต่ำ	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx 0,\varepsilon _{p}^{v}\approx 0}$
ภาวะไม่สมดุล	วัสดุตั้งต้นน้อย ผลิตภัณฑ์สูง	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx 1,\varepsilon _{p}^{v}\approx -1}$
ภาวะไม่สมดุล	ปริมาณวัตถุดิบต่ำ ผลผลิตต่ำ	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx 1,\varepsilon _{p}^{v}\approx 0}$

ความยืดหยุ่นของปฏิกิริยาที่เร่งด้วยเอนไซม์เมื่อเทียบกับความเข้มข้นของเอนไซม์นั้นมีความสำคัญเป็นพิเศษ แบบจำลองไมเคิลลิสของการทำงานของเอนไซม์หมายความว่าอัตราการเกิดปฏิกิริยาที่เร่งด้วยเอนไซม์เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของความเข้มข้นของเอนไซม์ ตัวอย่างเช่น กฎอัตราไมเคิลลิสแบบไม่ผันกลับได้แสดงไว้ด้านล่าง โดยความเร็วสูงสุดนั้นกำหนดไว้อย่างชัดเจนโดยผลคูณของความเข้มข้นของเอนไซม์ทั้งหมด: ${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle k_{cat}}$${\displaystyle E_{t}}$

${\displaystyle v={\frac {k_{cat}E_{t}s}{K_{m}+s}}}$

โดยทั่วไป เราสามารถแสดงความสัมพันธ์นี้ได้ในรูปผลคูณของความเข้มข้นของเอนไซม์และฟังก์ชันความอิ่มตัว ดังนี้: ${\displaystyle f(s)}$

${\displaystyle v=E_{t}f(s)}$

รูปแบบนี้สามารถนำไปใช้กับกลไกของเอนไซม์หลายอย่างได้ ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นสามารถหาได้ดังนี้:

${\displaystyle \varepsilon _{E_{t}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial E_{t}}}{\frac {E_{t}}{v}}=f(s){\frac {E_{t}}{E_{t}f(s)}}=1}$

ผลลัพธ์นี้เองที่เป็นที่มาของทฤษฎีบทการรวม ค่าสัมประสิทธิ์ควบคุม

ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นยังสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข ซึ่งมักจะทำในซอฟต์แวร์จำลอง^{[ 10 ]}

ตัวอย่างเช่น สามารถทำการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย (เช่น 5%) กับความเข้มข้นของสารตั้งต้นที่เลือกไว้ และบันทึกการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเกิดปฏิกิริยา เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน สมมติว่าอัตราการเกิดปฏิกิริยาอ้างอิงคือและความเข้มข้นของสารตั้งต้นอ้างอิงคือ ถ้าเราเพิ่มความเข้มข้นของสารตั้งต้นขึ้นและบันทึกอัตราการเกิดปฏิกิริยาใหม่เป็นแล้วสามารถประมาณค่าความยืดหยุ่นได้โดยใช้สูตรผลต่างของนิวตัน : ${\displaystyle v_{o}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle \Delta s_{o}}$${\displaystyle v_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {v_{1}-v_{o}}{\Delta s_{o}}}{\frac {s_{o}}{v_{o}}}={\frac {v_{1}-v_{o}}{v_{o}}}/{\frac {s_{1}-s_{o}}{s_{o}}}}$

การประมาณค่าความยืดหยุ่นที่ดีกว่ามากสามารถทำได้โดยการรบกวนสองครั้งแยกกันใน การรบกวนครั้งหนึ่งเพื่อเพิ่มและอีกครั้งเพื่อลดในแต่ละกรณี อัตราการเกิดปฏิกิริยาใหม่จะถูกบันทึกไว้ วิธีนี้เรียกว่าวิธีการประมาณค่าแบบสองจุดตัวอย่างเช่น ถ้าคืออัตราการเกิดปฏิกิริยาเมื่อเราเพิ่มและคืออัตราการเกิดปฏิกิริยาเมื่อเราลดเราสามารถใช้สูตรสองจุดต่อไปนี้เพื่อประมาณค่าความยืดหยุ่นได้: ${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle s_{o}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}-v_{2}}{s_{1}-s_{o}}}\left({\frac {s_{o}}{v_{o}}}\right)}$

พิจารณาตัวแปรหนึ่งเป็นฟังก์ชันนั่นคือถ้าเพิ่มขึ้นจากเป็นการเปลี่ยนแปลงของค่าจะกำหนดโดยอย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนจะกำหนดโดย: ${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+h)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{f(x)}}}$

อัตราการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วน ณ จุดนั้นคำนวณได้จากนิพจน์ข้างต้นหารด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบขั้นบันไดของค่า กล่าวคือ: ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h}$

อัตราการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วน${\displaystyle =}$

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{hf(x)}}={\frac {1}{f(x)}}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$

โดยใช้แคลคูลัส เราทราบว่า

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{dx}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$,

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนจึงเท่ากับ:

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{dx}}}$

ปริมาณนี้ใช้เป็นตัววัดอัตราการเปลี่ยนแปลงสัดส่วนของฟังก์ชันเช่นเดียวกับที่วัดความชันของเส้นโค้งที่วาดบนมาตราส่วนเชิงเส้นจะวัดความชันของเส้นโค้งเมื่อวาดบนมาตราส่วนกึ่งลอการิทึม นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงสัดส่วน ตัวอย่างเช่น ค่าหมายความว่าเส้นโค้งเพิ่มขึ้นที่ต่อ หน่วย${\displaystyle y}$${\displaystyle dy/dx}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle d\ln y/dx}$${\displaystyle 0.05}$${\displaystyle 5\%}$${\displaystyle x}$

เราสามารถใช้เหตุผลเดียวกันนี้กับกรณีที่เราพล็อตฟังก์ชันบนมาตราส่วนทั้งแบบปกติและแบบลอการิทึมได้เช่นกัน ในกรณีเช่นนั้น ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะเป็นจริง: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{d\ln x}}={\frac {x}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$

แนวทางหนึ่งที่เหมาะสมกับการคำนวณทางพีชคณิตโดย ใช้วิธี พีชคณิตคอมพิวเตอร์คือ การหาอนุพันธ์ในปริภูมิแบบลอการิทึม เนื่องจากความยืดหยุ่นสามารถนิยามได้ในรูปของลอการิทึม นั่นคือ:

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s}}}$

การหาอนุพันธ์ในพื้นที่ลอการิทึมเป็นแนวทางที่ชัดเจน การหาอนุพันธ์ลอการิทึมมีความสะดวกเป็นพิเศษในซอฟต์แวร์พีชคณิต เช่น Mathematica หรือ Maple ซึ่งสามารถกำหนดกฎการหาอนุพันธ์ลอการิทึม ได้ ^{[ 11 ]}

การตรวจสอบอย่างละเอียดและกฎที่ใช้ในการหาความแตกต่างในปริภูมิของลอการิทึม สามารถพบได้ที่ความ ยืดหยุ่นของฟังก์ชัน

ค่าความยืดหยุ่นที่ไม่ปรับขนาดสามารถแสดงได้ในรูปแบบเมทริกซ์ เรียกว่า เมทริกซ์ความยืดหยุ่นที่ไม่ปรับขนาดโดยเมื่อกำหนดเครือข่ายที่มีโมเลกุลและปฏิกิริยา เมทริกซ์ความยืดหยุ่นที่ไม่ปรับขนาดจะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{m}}}\end{bmatrix}}.}$

ในทำนองเดียวกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดเมทริกซ์ของความยืดหยุ่นที่ปรับขนาดแล้ว:

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s_{1}}^{v_{1}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varepsilon _{s_{1}}^{v_{n}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{n}}\end{bmatrix}}.}$

• สัมประสิทธิ์ควบคุม (ชีวเคมี)
• การวิเคราะห์การควบคุมการเผาผลาญ

• คอร์นิช-โบว์เดน, เอเธล (1995). พื้นฐานของจลนศาสตร์เอนไซม์ . สำนักพิมพ์พอร์ตแลนด์.
• เฟลล์ ดี. (1997). ความเข้าใจเกี่ยวกับการควบคุมกระบวนการเผาผลาญ . สำนักพิมพ์พอร์ตแลนด์.
• ไฮน์ริช, ไรน์ฮาร์ท; ชูสเตอร์, สเตฟาน (1996). การควบคุมระบบเซลล์ . แชปแมน แอนด์ ฮอลล์.