ในบริบทที่กว้างขึ้นของสมการนาเวียร์-สโตกส์ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของทฤษฎีศักย์ ) การไหลพื้นฐานคือการไหลขั้นพื้นฐานที่สามารถนำมาผสมผสานกันโดยใช้เทคนิคต่างๆ เพื่อสร้างการไหลที่ซับซ้อนมากขึ้น ในบทความนี้ คำว่า "การไหล" ถูกใช้สลับกับคำว่า "คำตอบ" เนื่องจากเหตุผลทางประวัติศาสตร์

เทคนิคที่เกี่ยวข้องกับการสร้างโซลูชันที่ซับซ้อนมากขึ้นสามารถทำได้โดยการซ้อนทับกัน ตัวอย่างเช่น โดยเทคนิคต่างๆ เช่น โทโพโลยี หรือการพิจารณาว่าเป็นโซลูชันเฉพาะที่ในบริเวณใกล้เคียง โดเมนย่อย หรือชั้นขอบเขตและนำมาต่อกัน การไหลพื้นฐานสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นส่วนประกอบพื้นฐาน ( โซลูชันพื้นฐานโซลูชันเฉพาะที่ และโซลิตอน ) ของสมการประเภทต่างๆ ที่ได้มาจากสมการนาเวียร์-สโตกส์ การไหลบางอย่างสะท้อนถึงข้อจำกัดเฉพาะ เช่น การไหล ที่ไม่สามารถอัดได้หรือ การไหล ที่ไม่หมุนหรือทั้งสองอย่าง เช่นในกรณีของการไหลศักย์และการไหลบางอย่างอาจจำกัดเฉพาะกรณีสองมิติ^{[ 1 ]}

เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างพลศาสตร์ของไหลและทฤษฎีสนาม การไหลขั้นพื้นฐานจึงมีความเกี่ยวข้องไม่เพียงแต่กับอากาศพลศาสตร์ เท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีสนาม ทั้งหมด โดยทั่วไปด้วย เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น ชั้นขอบเขตสามารถตีความได้ว่าเป็นข้อบกพร่องทางโทโพโลยีบนแมนิโฟลด์ ทั่วไป และเมื่อพิจารณาความคล้ายคลึงกันของพลศาสตร์ของไหลและกรณีจำกัดในแม่เหล็กไฟฟ้ากลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะเห็นได้ว่าโซลูชันเหล่านี้ล้วนเป็นหัวใจสำคัญของการพัฒนาล่าสุดในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เช่น ความเป็นคู่ของ ADS/CFT โมเดล SYK ฟิสิกส์ของของเหลวเนมาติก ระบบที่มีความสัมพันธ์อย่างแน่นแฟ้น และแม้กระทั่งพลาสมา ควาร์ กกลูออ น

สำหรับการไหลของของเหลวใน ระนาบ xy ที่อยู่ในสภาวะคงที่และสม่ำเสมอ เวกเตอร์ความเร็วคือ

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{0}\cos(\theta _{0})\,\mathbf {e} _{x}+v_{0}\sin(\theta _{0})\,\mathbf {e} _{y}}$

ที่ไหน

${\displaystyle v_{0}}$คือขนาดสัมบูรณ์ของความเร็ว (เช่น);${\displaystyle v_{0}=|\mathbf {v} |}$

${\displaystyle \theta _{0}}$คือมุมที่เวกเตอร์ความเร็วทำกับ แกน x บวก ( โดยมีค่าเป็นบวกสำหรับมุมที่วัดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจากแกนxบวก) และ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}}$และเป็นเวกเตอร์ฐานหน่วยของระบบพิกัดxy${\displaystyle \mathbf {e} _{y}}$

เนื่องจากการไหลนี้ไม่สามารถอัดได้ (กล่าวคือ) และเป็นสองมิติ ความเร็วของมันจึงสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชัน กระแส :${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}}$

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \psi =\psi _{0}-v_{0}\sin(\theta _{0})\,x+v_{0}\cos(\theta _{0})\,y}$

และเป็นค่าคงที่ ${\displaystyle \psi _{0}}$

ในระบบพิกัดทรงกระบอก:

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

และ

${\displaystyle \psi =\psi _{0}+v_{0}\,r\sin(\theta -\theta _{0})}$

การไหลนี้เป็นการไหลแบบไร้การหมุน (กล่าวคือ) ดังนั้นความเร็วของการไหลจึงสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันศักย์: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle v_{x}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \phi =\phi _{0}-v_{0}\cos(\theta _{0})\,x-v_{0}\sin(\theta _{0})\,y}$

และเป็นค่าคงที่ ${\displaystyle \phi _{0}}$

ในระบบพิกัดทรงกระบอก

${\displaystyle v_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle \phi =\phi _{0}-v_{0}\,r\cos(\theta -\theta _{0})}$

กรณีที่เส้นตรงแนวตั้งปล่อยของเหลวปริมาณคงที่ Q ต่อหน่วยความยาวในอัตราคงที่ เรียกว่าแหล่งกำเนิดแบบเส้นตรง ปัญหานี้มีสมมาตรทรงกระบอกและสามารถพิจารณาได้ในสองมิติบนระนาบตั้งฉาก

แหล่งกำเนิดและตัวดูดแบบเส้น (ด้านล่าง) เป็นการไหลพื้นฐานที่สำคัญ เนื่องจากทำหน้าที่เป็นโมโนโพลสำหรับของไหลที่อัดไม่ได้ (ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นตัวอย่างของสนามโซลีนอยด์เช่น สนามที่ไม่มีการล divergence) รูปแบบการไหลทั่วไปยังสามารถแยกย่อยได้ในรูปของการขยายแบบมัลติโพลในลักษณะเดียวกับ สนาม ไฟฟ้าและ สนาม แม่เหล็กโดยที่โมโนโพลเป็นพจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่น ค่าคงที่) ของการขยาย

รูปแบบการไหลนี้เป็นทั้งแบบไร้การหมุนและไม่สามารถอัดได้

ลักษณะเด่นคือสมมาตรทรงกระบอก:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}(r)\mathbf {e} _{r}}$

โดยที่ฟลักซ์ขาออกรวมมีค่าคงที่

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\int _{0}^{2\pi }(v_{r}(r)\,\mathbf {e} _{r})\cdot (\mathbf {e} _{r}\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{r}(r)=Q}$

ดังนั้น,

${\displaystyle v_{r}={\frac {Q}{2\pi r}}}$

สิ่งนี้ได้มาจากฟังก์ชันสตรีม

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta }$

หรือจากฟังก์ชันที่เป็นไปได้

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r}$

กรณีที่เส้นตรงแนวตั้งดูดซับของเหลวปริมาณคงที่Qต่อหน่วยความยาวในอัตราคงที่ เรียกว่า อ่างดูดของเหลวแบบเส้น (line sink) ทุกอย่างเหมือนกับกรณีของแหล่งกำเนิดของเหลวแบบเส้น (line source) ยกเว้นเครื่องหมายลบ

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {Q}{2\pi r}}}$

สิ่งนี้ได้มาจากฟังก์ชันสตรีม

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta }$

หรือจากฟังก์ชันที่เป็นไปได้

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r}$

เนื่องจากผลลัพธ์ทั้งสองเหมือนกัน ยกเว้นเครื่องหมายลบ เราจึงสามารถจัดการแหล่งกำเนิดและตัวรับแบบเส้นตรงได้อย่างโปร่งใสด้วยฟังก์ชันกระแสและศักยภาพเดียวกัน ซึ่งอนุญาตให้Qมีได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ และรวมเครื่องหมายลบเข้าไว้ในนิยามของ Q

ถ้าเราพิจารณาแหล่งกำเนิดแบบเส้นตรงและตัวดูดแบบเส้นตรงที่ระยะ d เราสามารถนำผลลัพธ์ข้างต้นมาใช้ซ้ำได้ และฟังก์ชันกระแสจะเป็นดังนี้

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {d} /2)-\psi _{Q}(\mathbf {r} +\mathbf {d} /2)\ \simeq \mathbf {d} \cdot \nabla \psi _{Q}(\mathbf {r} )}$

การประมาณค่าครั้งสุดท้ายเป็นการประมาณค่าอันดับแรกใน d

ที่ให้ไว้

${\displaystyle \mathbf {d} =d[\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+\sin(\theta _{0})\mathbf {e} _{y}]=d[\cos(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{r}+\sin(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{\theta }]}$

มันยังคงอยู่

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r}}}$

ความเร็วจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle v_{r}(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}}$

${\displaystyle v_{\theta }(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}}$

และศักยภาพนั้น

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r}}}$

นี่คือกรณีของเส้นใยกระแสน้ำวนที่หมุนด้วยความเร็วคงที่ มีสมมาตรทรงกระบอก และสามารถแก้ปัญหาได้ในระนาบตั้งฉาก

ในทางตรงกันข้ามกับกรณีของแหล่งกำเนิดแบบเส้นที่กล่าวมาข้างต้น เส้นกระแสน้ำวนมีบทบาทเป็นโมโนโพลสำหรับกระแสการไหลที่ไม่หมุน

ในกรณีนี้ การไหลก็เป็นการไหลแบบไร้การหมุนและไม่สามารถอัดได้ เช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นการไหลแบบศักย์

ลักษณะเด่นคือสมมาตรทรงกระบอก:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta }}$

โดยที่การไหลเวียนรวมมีค่าคงที่สำหรับทุกเส้นปิดรอบจุดศูนย์กลางของกระแสน้ำวน

${\displaystyle \oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {s} =\int _{0}^{2\pi }(v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta })\cdot (\mathbf {e} _{\theta }\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{\theta }(r)=\Gamma }$

และมีค่าเป็นศูนย์สำหรับเส้นใดๆ ที่ไม่รวมเส้นกระแสน้ำวน

ดังนั้น,

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

สิ่งนี้ได้มาจากฟังก์ชันสตรีม

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln r}$

หรือจากฟังก์ชันที่เป็นไปได้

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\theta }$

ซึ่งเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับกรณีของแหล่งกำเนิดแบบเส้นตรงก่อนหน้านี้

เมื่อพิจารณาการไหลแบบสองมิติที่ไม่สามารถอัดได้และไม่มีการหมุน เราจะได้ว่า:

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$

ซึ่งอยู่ในพิกัดทรงกระบอก^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

เรามองหาแนวทางแก้ไขที่แยกตัวแปรออกจากกัน:

${\displaystyle \psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$

ซึ่งให้

${\displaystyle {\frac {r}{R(r)}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR(r)}{dr}}\right)=-{\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}}$

เนื่องจากส่วนซ้ายขึ้นอยู่กับr เท่านั้น และส่วนขวาขึ้นอยู่กับ เท่านั้น ดังนั้นทั้งสองส่วนจะต้องเท่ากับค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับrและค่าคงที่นั้นจะต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d}{dr}}R(r)\right)=m^{2}R(r)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}=-m^{2}\Theta (\theta )}$

คำตอบของสมการที่สองคือการรวมเชิงเส้นของและ เพื่อให้ได้ความเร็วที่มีค่าเดียว (และฟังก์ชันกระแสที่มีค่าเดียวด้วย) mจะต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle e^{im\theta }}$${\displaystyle e^{-im\theta }}$

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาที่ครอบคลุมที่สุดจึงได้แก่

${\displaystyle \psi =\alpha _{0}+\beta _{0}\ln r+\sum _{m>0}{\left(\alpha _{m}r^{m}+\beta _{m}r^{-m}\right)\sin {[m(\theta -\theta _{m})]}}}$

ศักยภาพนั้นได้รับมาจาก

${\displaystyle \phi =\alpha _{0}-\beta _{0}\theta +\sum _{m\mathop {>} 0}{(\alpha _{m}r^{m}-\beta _{m}r^{-m})\cos {[m(\theta -\theta _{m})]}}}$

• Batchelor, GK (1973), บทนำเกี่ยวกับพลศาสตร์ของไหล , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-09817-5
• Chanson, H. (2009), อุทกพลศาสตร์ประยุกต์: บทนำเกี่ยวกับการไหลของของเหลวในอุดมคติและของจริง , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, เนเธอร์แลนด์, 478 หน้า, ISBN 978-0-415-49271-3
• แลมบ์, เอช. (1994) [1932], อุทกพลศาสตร์ (ฉบับที่ 6), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, LM (1996) [1968], อุทกพลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 5), Dover, ISBN 978-0-486-68970-8

• ริชาร์ด ฟิตซ์แพทริกมหาวิทยาลัยเท็กซัส ออสติน (2017). "กลศาสตร์ของไหล" . มหาวิทยาลัยเท็กซัส ออสติน. สืบค้นเมื่อ7 กุมภาพันธ์ 2018 .

• (c) วิศวกรรมการบินและอวกาศ เครื่องกล และเมคาทรอนิกส์ 2005 มหาวิทยาลัยซิดนีย์ (2005) "องค์ประกอบของการไหลศักย์"มหาวิทยาลัยซิดนีย์สืบค้นเมื่อ2019-04-19{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)