ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์โซลิตอน โซลิ ตอนเชิงทอพอโลยีและข้อบกพร่องเชิงทอพอโลยีเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดสามประการ ซึ่งทั้งหมดนี้บ่งบอกถึงโครงสร้างในระบบทางกายภาพที่มีเสถียรภาพต่อการรบกวน โซลิตอนไม่สลายตัว ไม่กระจาย ไม่หายไป หรือระเหยไปในลักษณะเดียวกับคลื่นทั่วไป (หรือคำตอบหรือโครงสร้าง) เสถียรภาพเกิดขึ้นจากสิ่งกีดขวางการสลายตัว ซึ่งอธิบายได้โดยการที่โซลิตอนอยู่ในชั้นโฮโมโทปีเชิงทอพอโลยีหรือชั้นโคโฮโมโลยีที่ แตกต่าง จากระบบทางกายภาพพื้นฐาน กล่าวอย่างง่ายๆ คือ ไม่สามารถแปลง ระบบที่มีโซลิตอนอยู่ ให้กลายเป็นระบบที่ไม่มีโซลิตอนได้อย่างต่อเนื่อง คณิตศาสตร์เบื้องหลังเสถียรภาพเชิงทอพอโลยีนั้นทั้งลึกซึ้งและกว้างขวาง และมีการอธิบายระบบต่างๆ มากมายที่มีเสถียรภาพเชิงทอพอโลยี ทำให้การจัดหมวดหมู่ค่อนข้างยาก

ปรากฏการณ์ โซลิตอนครั้งแรกเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยปรากฏเป็นคลื่นน้ำเดี่ยวในคลองเรือบรรทุกสินค้า ในที่สุดก็มีการอธิบายปรากฏการณ์นี้โดยการสังเกตว่าสมการ Korteweg-De Vries (KdV)ซึ่งอธิบายคลื่นในน้ำ มีคำตอบที่แตกต่างกันในเชิงโฮโมโทปี กลไกของคู่ Laxให้ความเข้าใจเชิงโทโพโลยีที่จำเป็น

ลักษณะทั่วไปที่จำเป็นสำหรับการเกิดโซลิตอนเชิงทอพอโลยี คือ ต้องมีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่มีกลุ่มคำตอบที่แตกต่างกัน โดยแต่ละกลุ่มคำตอบอยู่ในกลุ่มโฮโมโทปีที่แตกต่างกัน ในหลายกรณี สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากปริภูมิฐานปริภูมิสามมิติหรือปริภูมิสี่มิติสามารถคิดได้ว่ามีทอพอโลยีของทรงกลมซึ่งได้มาจากการทำให้เป็นปริภูมิกระชับด้วยจุดเดียว : การเพิ่มจุดที่อนันต์ นี่เป็นเหตุผลที่สมควร เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วเราสนใจคำตอบที่หายไปที่อนันต์ ดังนั้นจึงมีค่าเดียวที่จุดนั้น ช่วง(โคโดเมน ) ของตัวแปรในสมการเชิงอนุพันธ์ยังสามารถมองได้ว่าอยู่ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีกระชับบางแห่ง ผลที่ได้คือ การแมปจากปริภูมิ (เวลา) ไปยังตัวแปรใน PDE สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการแมปจากทรงกลมไปยังทรงกลม (ที่แตกต่างกัน) กลุ่มของการแมปดังกล่าวจะกำหนดโดยกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลม

กล่าวให้เข้าใจง่ายขึ้นคือ โซลิตอนจะพบได้เมื่อไม่สามารถแปลง คำตอบหนึ่งของสมการอนุพันธ์ย่อยไปเป็นอีกคำตอบหนึ่ง ได้อย่างต่อเนื่อง การที่จะเปลี่ยนจากคำตอบหนึ่งไปเป็นอีกคำตอบหนึ่งนั้นต้องใช้การ "ตัด" (เช่นเดียวกับการใช้กรรไกร) แต่การ "ตัด" ไม่ใช่การดำเนินการที่กำหนดไว้สำหรับการแก้สมการอนุพันธ์ย่อย การเปรียบเทียบกับการตัดเกิดขึ้นเนื่องจากโซลิตอนบางตัวถูกอธิบายว่าเป็นแผนที่โดยที่คือวงกลม แผนที่เหล่านี้เกิดขึ้นในบันเดิลวงกลมแผนที่เหล่านี้สามารถคิดได้ว่าเป็นการพันเชือกรอบแท่งไม้ ซึ่งไม่สามารถดึงเชือกออกได้โดยไม่ตัด การขยายที่พบได้บ่อยที่สุดของการเปรียบเทียบการพันนี้คือแผนที่ โดยที่ทรง กลมสามมิติแรกหมายถึงปริภูมิสามมิติแบบกระชับ ในขณะที่ทรงกลมสามมิติที่สองหมายถึงสนามเวกเตอร์ ( เวกเตอร์สามมิติซึ่งประกอบด้วยทิศทางและความยาว สามารถคิดได้ว่าเป็นการระบุจุดบนทรงกลมสามมิติ ทิศทางของเวกเตอร์ระบุกลุ่มย่อยของกลุ่มตั้งฉากความยาวกำหนดจุดหนึ่งๆ เวกเตอร์นี้มีการครอบคลุมสองชั้นโดยกลุ่มเอกภาพและ) แผนที่ลักษณะนี้พบได้ในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่อธิบายสนามเวกเตอร์ ${\displaystyle U(1)\to U(1)}$${\displaystyle U(1)\simeq S^{1}}$${\displaystyle S^{3}\to S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle O(3)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)\simeq S^{3}}$

ข้อบกพร่องเชิงทอพอโลยีอาจเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจแนวคิดทั่วไป: มันคือโซลิตอนที่เกิดขึ้นในโครงผลึกซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะศึกษาในบริบทของฟิสิกส์ของของแข็งและวิทยาศาสตร์วัสดุตัวอย่างต้นแบบคือการเคลื่อนที่แบบเกลียว (screw dislocation ) ซึ่ง เป็นการ เคลื่อนที่ของโครงผลึกที่หมุนวนเป็นเกลียว มันสามารถเคลื่อนย้ายจากตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งได้โดยการผลักมันไปมา แต่ไม่สามารถกำจัดออกได้ด้วยการเปลี่ยนรูปโครงผลึกอย่างต่อเนื่องแบบง่ายๆ (การเคลื่อนที่แบบเกลียวบางชนิดปรากฏให้เห็นได้ด้วยตาเปล่าโดยตรง เช่นหนวดของเจอร์มาเนียม ) ความเสถียรทางคณิตศาสตร์มาจากการที่ จำนวนรอบการหมุนของแผนที่วงกลมไม่เป็นศูนย์ความเสถียรของการเคลื่อนที่นำไปสู่ความแข็งแกร่งในวัสดุที่บรรจุอยู่ การแสดงออกที่พบได้ทั่วไปอย่างหนึ่งคือการดัดลวดโลหะซ้ำๆ ซึ่งจะทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบเกลียวมากขึ้นเรื่อยๆ (ในรูปของคู่การเคลื่อนที่และการเคลื่อนที่ตรงข้าม) ทำให้บริเวณที่ดัดงอมีความแข็งแกร่งและเปราะมาก ขึ้นเรื่อยๆ การเน้นย้ำอย่างต่อเนื่องในบริเวณนั้นจะทำให้เกิดการเคลื่อนตัวมากเกินไป และในที่สุดจะนำไปสู่การแตกหักและความเสียหายของวัสดุ สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นปรากฏการณ์การเปลี่ยนเฟสซึ่งจำนวนของข้อบกพร่องเกินความหนาแน่นวิกฤตทำให้ข้อบกพร่องเหล่านั้นสามารถโต้ตอบกันและ "เชื่อมต่อกัน" และทำให้เกิดการขาดการเชื่อมต่อ (แตกหัก) ทั้งหมด แนวคิดที่ว่าความหนาแน่นวิกฤตของโซลิตอนสามารถนำไปสู่การเปลี่ยนเฟสได้นั้นเป็นหัวข้อที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ${\displaystyle S^{1}\to S^{1};}$

กระแสน้ำวนในของไหลยิ่งยวดและท่อกระแสน้ำวนที่ถูกตรึงไว้ในตัวนำยิ่งยวดชนิดที่สองเป็นตัวอย่างของโซลิตอนเชิงทอพอโลยีแบบแผนที่วงกลมในของไหล ตัวอย่างที่นามธรรมกว่านั้นได้แก่สายจักรวาลซึ่งรวมถึงทั้งคำตอบคล้ายกระแสน้ำวนของสมการสนามของไอน์สไตน์ และคำตอบคล้ายกระแสน้ำวนในระบบที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งเชื่อมโยงกับสสารและสนามคลื่น พายุทอร์นาโดและกระแสน้ำวนในอากาศไม่ใช่ตัวอย่างของโซลิตอน เพราะไม่มีสิ่งกีดขวางการสลายตัวของพวกมัน พวกมันจะสลายไปหลังจากเวลาผ่านไป คำตอบทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายพายุทอร์นาโดสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่อง โดยการลดการหมุนลง จนกระทั่งไม่มีการหมุนเหลืออยู่ อย่างไรก็ตาม รายละเอียดนั้นขึ้นอยู่กับบริบทจุดแดงใหญ่ของดาวพฤหัสบดีเป็นพายุไซโคลน ซึ่งมีการเสนอแนวคิดแบบโซลิตอนเพื่ออธิบายความคงตัวหลายศตวรรษของมัน

ข้อบกพร่องเชิงทอพอโลยีได้รับการศึกษามาตั้งแต่ทศวรรษ 1940 ตัวอย่างที่เป็นนามธรรมมากขึ้นเกิดขึ้นในทฤษฎีสนามควอนตัมสกายร์มิออนได้รับการเสนอในทศวรรษ 1960 ในฐานะแบบจำลองของนิวคลีออน ( นิวตรอนหรือโปรตอน ) และความเสถียรของมันเกิดจากการแมปในทศวรรษ 1980 อิน สแตนตอนและคำตอบที่เกี่ยวข้องของแบบจำลอง Wess–Zumino–Wittenได้รับความนิยมอย่างมาก เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เสนอ แนวทาง ที่ไม่ใช้การรบกวนในสาขาที่ก่อนหน้านี้ถูกครอบงำโดยการคำนวณแบบรบกวนที่ทำด้วยแผนภาพ Feynmannสิ่งนี้เป็นแรงผลักดันให้นักฟิสิกส์ศึกษาแนวคิดของโฮโมโทปีและโคโฮโมโลยีซึ่งก่อนหน้านี้เป็นขอบเขตเฉพาะของคณิตศาสตร์เท่านั้น การพัฒนาเพิ่มเติมได้ระบุถึงความแพร่หลายของแนวคิดนี้ ตัวอย่างเช่นวิธีแก้ปัญหาของ Schwarzschildและวิธีแก้ปัญหาของ Kerrสำหรับสมการสนามของ Einstein ( หลุมดำ ) สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นตัวอย่างของโซลิตอนแรงโน้มถ่วง เชิงทอพอโลยี ซึ่งก็คือการแปลง Belinski–Zakharovนั่นเอง ${\displaystyle S^{3}\to SU(2)}$

คำศัพท์ที่ใช้เรียกข้อบกพร่องทางทอพอโลยีเทียบกับโซลิตอนทางทอพอโลยีหรือแม้แต่คำว่า "โซลิตอน" เฉยๆ นั้น แตกต่างกันไปตามสาขาวิชาการ ดังนั้นโมโนโพลแม่เหล็ก ที่ตั้งสมมติฐานไว้แต่ยังไม่เคยพบเห็น จึงเป็นตัวอย่างทางกายภาพของการตั้งค่าทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของโมโนโพลเช่นเดียวกับสกายร์มิออน ความเสถียรของมันเกิดจากการเป็นสมาชิกของคลาสโฮโมโทปีที่ไม่ธรรมดาสำหรับแผนที่ของทรงกลม 3 มิติ สำหรับโมโนโพล เป้าหมายคือทิศทางของสนามแม่เหล็ก แทนที่จะเป็น ทิศทาง ของสปินไอโซโทปิกโดยทั่วไปแล้ว โมโนโพลจะถูกเรียกว่า "โซลิตอน" มากกว่า "ข้อบกพร่อง" โซลิตอนเกี่ยวข้องกับ ค่า คงที่ทางทอพอโลยีเนื่องจากอาจมีมากกว่าหนึ่งการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ สิ่งเหล่านี้จะถูกกำหนดด้วยประจุทางทอพอโลยีคำว่าประจุ ในที่ นี้ใช้ในความหมายของประจุในทางฟิสิกส์

รูปแบบทางคณิตศาสตร์อาจค่อนข้างซับซ้อน การตั้งค่าทั่วไปสำหรับสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) รวมถึงกลุ่มเส้นใยและพฤติกรรมของวัตถุเองมักถูกอธิบายในแง่ของโฮโลโนมีและโมโนโดร มี ในการตั้งค่าเชิงนามธรรม เช่นทฤษฎีสตริงโซลิตอนเป็นส่วนสำคัญของเรื่อง: สตริงสามารถจัดเรียงเป็นปมได้เช่นเดียวกับในทฤษฎีปมและดังนั้นจึงมีความเสถียรต่อการคลายปม

โดยทั่วไป การกำหนดค่าสนาม (ควอนตัม) ที่มีโซลิตอนอยู่ภายในจะมีพลังงานสูงกว่าสถานะพื้นฐานหรือสถานะสุญญากาศและด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าการกระตุ้นเชิงทอพอ โล ยี^{[ 1 ]}แม้ว่าการพิจารณาโฮโมโทปีจะป้องกันไม่ให้สนามคลาสสิกถูกเปลี่ยนรูปเป็นสถานะพื้นฐาน แต่การเปลี่ยนผ่านดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้ผ่านการอุโมงค์ควอนตัมในกรณีนี้ โฮโมโทปีที่สูงกว่าจะเข้ามามีบทบาท ดังนั้น ตัวอย่างเช่น การกระตุ้นพื้นฐานอาจถูกกำหนดโดยแผนที่ไปยังกลุ่มสปินหากการอุโมงค์ควอนตัมลบความแตกต่างระหว่างสิ่งนี้กับสถานะพื้นฐาน กลุ่มโฮโมโทปีที่สูงกว่าถัดไปจะได้รับจากกลุ่มสตริงหากกระบวนการนี้เกิดขึ้นซ้ำ จะส่งผลให้เกิดการเดินขึ้นหอคอยโพสต์นิคอฟ นี่เป็นสมมติฐานทางทฤษฎี การสาธิตแนวคิดดังกล่าวในการทดลองในห้องปฏิบัติการจริงเป็นเรื่องที่แตกต่างออกไปโดยสิ้นเชิง

การมีอยู่ของข้อบกพร่องทางโทโพโลยีสามารถแสดงให้เห็นได้เมื่อใดก็ตามที่เงื่อนไขขอบเขตบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของ คำตอบที่แตกต่างกันในเชิงโฮโมโท ปีโดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากขอบเขตที่ระบุเงื่อนไขนั้นมีกลุ่มโฮโมโทปี ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งได้รับการรักษาไว้ในสมการเชิงอนุพันธ์คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จึงแตกต่างกันทางโทโพโลยี และถูกจำแนกตามชั้นโฮโมโทปี ของมัน ข้อบกพร่องทางโทโพโลยีไม่เพียงแต่มีความเสถียรต่อการรบกวน เล็กน้อยเท่านั้น แต่ยังไม่สามารถสลายหรือแก้ไขหรือคลี่คลายได้ เนื่องจากไม่มีการแปลงต่อเนื่องใดที่จะแมปข้อบกพร่องเหล่านั้น (ในเชิงโฮโมโทปี) ไปยังคำตอบที่เป็นเอกรูปหรือ "ศูนย์" ได้

สื่อที่มีระเบียบถูกกำหนดให้เป็นบริเวณของพื้นที่ที่อธิบายโดยฟังก์ชันf ( r ) ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์ลำดับ ให้กับทุกจุดในบริเวณนั้น และค่าที่เป็นไปได้ของพื้นที่พารามิเตอร์ลำดับประกอบกันเป็นพื้นที่พารามิเตอร์ลำดับทฤษฎีโฮโมโทปีของข้อบกพร่องใช้กลุ่มพื้นฐานของพื้นที่พารามิเตอร์ลำดับของสื่อเพื่ออภิปรายการมีอยู่ ความเสถียร และการจำแนกประเภทของข้อบกพร่องทางโทโพโลยีในสื่อนั้น^{[ 2 ]}

สมมติว่าRเป็นปริภูมิพารามิเตอร์ลำดับสำหรับสื่อ และให้Gเป็นกลุ่ม LieของการแปลงบนRให้Hเป็นกลุ่มย่อยสมมาตรของGสำหรับสื่อ จากนั้นปริภูมิพารามิเตอร์ลำดับสามารถเขียนได้เป็นผลหารกลุ่มLie ^{[ 3 ]} R = G / H

ถ้าGเป็นการปกคลุมสากลสำหรับG / Hแล้วสามารถแสดงได้^{[ 3 ]}ว่า π _n ( G / H ) = π _{n −1} ( H ) โดยที่ π _iหมายถึงกลุ่มโฮโมโทปี ที่i

ข้อบกพร่องประเภทต่างๆ ในตัวกลางสามารถระบุลักษณะได้ด้วยองค์ประกอบของกลุ่มโฮโมโทปีต่างๆ ของพื้นที่พารามิเตอร์ลำดับ ตัวอย่างเช่น (ในสามมิติ) ข้อบกพร่องแบบเส้นจะสอดคล้องกับองค์ประกอบของ π ₁ ( R ) ข้อบกพร่องแบบจุดจะสอดคล้องกับองค์ประกอบของ π ₂ ( R ) และพื้นผิวจะสอดคล้องกับองค์ประกอบของ π ₃ ( R ) อย่างไรก็ตาม ข้อบกพร่องที่อยู่ใน ชั้นคอนจูเกซีเดียวกันของ π ₁ ( R ) สามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างต่อเนื่องระหว่างกัน^{[ 2 ]}ดังนั้น ข้อบกพร่องที่แตกต่างกันจึงสอดคล้องกับชั้นคอนจูเกซีที่แตกต่างกัน

Poénaru และ Toulouse แสดงให้เห็นว่า^{[ 4 ]}ข้อบกพร่องที่ตัดกันจะพันกันก็ต่อเมื่อเป็นสมาชิกของคลาสคอนจูเกซีที่แยกจากกันของ π ₁ ( R )

ข้อบกพร่องเชิงทอพอโลยีเกิดขึ้นในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและเชื่อกันว่าเป็นตัวขับเคลื่อนการเปลี่ยนสถานะในฟิสิกส์ สสารควบแน่น

ความถูกต้องของข้อบกพร่องทางทอพอโลยีขึ้นอยู่กับลักษณะของสุญญากาศที่ระบบจะมุ่งไปหากเวลาผ่านไปเป็นอนันต์ ข้อบกพร่องทางทอพอโลยีที่ผิดพลาดและถูกต้องสามารถแยกแยะได้หากข้อบกพร่องนั้นอยู่ในสุญญากาศที่ผิดพลาดและสุญญากาศที่ถูกต้องตามลำดับ

ตัวอย่างเช่นโซลิตอนหรือคลื่นเดี่ยว ซึ่งเกิดขึ้นในแบบจำลองที่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำเช่น

• การเคลื่อนตัวแบบเกลียวในวัสดุผลึก
• สกายร์มิออนในทฤษฎีสนามควอนตัม
• สกายร์มิออนแม่เหล็กในสสารควบแน่น
• โซลิตอนเชิงทอพอโลยีของแบบจำลอง Wess–Zumino– Witten

ข้อบกพร่องเชิงโทโพโลยีในระบบคลาสความเป็นสากล ของการเปลี่ยนผ่านแลมบ์ดา ได้แก่:

• การเคลื่อนตัวแบบเกลียว/ขอบในผลึกเหลว
• ท่อฟลักซ์แม่เหล็กที่เรียกว่าฟลักซ์อนในตัวนำยิ่งยวดและ
• กระแสน้ำวนในของไหลยิ่งยวด

ตามแบบจำลองบางแบบที่สำรวจในช่วงทศวรรษ 1970 และ 1980 เมื่อเอกภพในช่วงแรกเริ่มเย็นตัวลงจากสถานะร้อนและหนาแน่นในตอนเริ่มต้น มันจะกระตุ้นให้เกิดการเปลี่ยนเฟส หลายชุด คล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นในระบบสสารควบแน่น เช่นกระแสน้ำวนในฮีเลียมเหลวข้อบกพร่องทางทอพอโลยีในจักรวาลวิทยาเป็นผลสืบเนื่องมาจากสถานะสุญญากาศที่เสื่อมสภาพของเอกภพ เรียกว่าแมนิโฟลด์สุญญากาศหลังจากการเปลี่ยนเฟสที่ทำลายสมมาตร โมโน โพล แม่เหล็กเป็นตัวอย่างหนึ่งของข้อบกพร่องทางทอพอโลยีที่เสถียรซึ่งทำนายโดยทฤษฎีเอกภาพอันยิ่งใหญ่ของเอกภพ ในช่วงแรก การวัดพื้นหลังไมโครเวฟของเอกภพ อย่างละเอียด โดยWilkinson Microwave Anisotropy Probeให้หลักฐานที่แข็งแกร่งสนับสนุนการขยายตัวของเอกภพสำหรับคำทำนายบางอย่างที่อ้างโดยแบบจำลองข้อบกพร่องทางทอพอโลยี แบบจำลองที่รวมแนวคิดเหล่านี้ยังคงใช้ได้^{[ 5 ] : 231}

ขึ้นอยู่กับลักษณะของการทำลายสมมาตรเชื่อกันว่าโซลิตอนต่างๆ ได้ก่อตัวขึ้นในการเปลี่ยนเฟสทางจักรวาลวิทยาในเอกภพยุคแรกตามกลไกของ Kibble-Zurekข้อบกพร่องทางทอพอโลยีที่เป็นที่รู้จักกันดี ได้แก่:

• สายจักรวาลคือเส้นหนึ่งมิติที่เกิดขึ้นเมื่อสมมาตรตามแกนหรือสมมาตรทรงกระบอกถูกทำลาย
• ผนังโดเมนคือเยื่อสองมิติที่เกิดขึ้นเมื่อสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องถูกทำลาย ณ การเปลี่ยนสถานะ ผนังเหล่านี้มีลักษณะคล้ายผนังของโฟม เซลล์ปิด ซึ่งแบ่งจักรวาลออกเป็นเซลล์ที่ไม่ต่อเนื่องกัน
• โมโนโพลคือข้อบกพร่องรูปทรงลูกบาศก์ที่เกิดขึ้นเมื่อสมมาตรทรงกลมถูกทำลาย คาดว่าจะมีประจุแม่เหล็กเป็นบวกหรือลบ จึงมักเรียกว่า " โมโนโพลแม่เหล็ก " การมีอยู่ของประจุนี้ถูกตั้งเป็นทฤษฎีเพื่อให้สมการของแม็กซ์เวลล์มีความสมมาตรมากขึ้น
• โครงสร้างแบบ เท็กซ์เจอร์เกิดขึ้นเมื่อสมมาตรทั่วโลกแบบต่อเนื่องขนาดใหญ่และซับซ้อนกว่า เช่น SU(N) หรือ O(N) สำหรับ N ≥ 2 ถูกทำลายอย่างสมบูรณ์ แตกต่างจากข้อบกพร่องที่เสถียรและมีการจำกัดบริเวณสูง เช่น สายคอสมิกหรือโมโนโพล โครงสร้างแบบเท็กซ์เจอร์เป็นการจัดเรียงตัวของสนามที่ไม่เสถียรและกระจายตัว ซึ่งจะยุบตัวและคลายออกอย่างรวดเร็วด้วยความเร็วแสง
• สกายร์มิออน
• มิติพิเศษและมิติที่ สูง กว่า

นอกจากนี้ ยังอาจเกิดลูกผสมที่ซับซ้อนกว่านี้ของข้อบกพร่องประเภทต่างๆ เหล่านี้ได้อีกด้วย

เมื่อเอกภพขยายตัวและเย็นลง สมมาตรในกฎทางฟิสิกส์เริ่มแตกสลายในบริเวณที่แผ่ขยายออกไปด้วยความเร็วแสงข้อบกพร่องทางโทโพโลยีเกิดขึ้นที่ขอบเขตของบริเวณที่อยู่ติดกัน สสารที่ประกอบขึ้นเป็นขอบเขตเหล่านี้อยู่ในสถานะที่เป็นระเบียบซึ่งยังคงอยู่แม้หลังจากการเปลี่ยนสถานะไปสู่สถานะที่ไม่เป็นระเบียบเสร็จสมบูรณ์ในบริเวณโดยรอบแล้ว

นักดาราศาสตร์ยังไม่สามารถระบุข้อบกพร่องทางทอพอโลยีได้ แต่ข้อบกพร่องบางประเภทนั้นไม่สอดคล้องกับการสังเกตการณ์ในปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากมีผนังกั้นโดเมนและโมโนโพลอยู่ในเอกภพที่สังเกตได้ พวกมันจะส่งผลให้เกิดความเบี่ยงเบนอย่างมากจากสิ่งที่นักดาราศาสตร์สามารถมองเห็นได้

เนื่องจากการสังเกตเหล่านี้ การก่อตัวของข้อบกพร่องภายในเอกภพที่สังเกตได้จึงถูกจำกัดอย่างมาก โดยต้องอาศัยสถานการณ์พิเศษ (ดูการขยายตัวของเอกภพ (จักรวาลวิทยา) ) ในทางกลับกันมีการเสนอว่าสายจักรวาล อาจเป็น "เมล็ดพันธุ์" แรงโน้มถ่วงเริ่มต้นที่ โครงสร้างขนาดใหญ่ของจักรวาลแห่งสสารได้ควบแน่นลง พื้นผิวก็มีลักษณะที่ไม่เป็นอันตรายเช่นกัน ในช่วงปลายปี 2550 จุดเย็นในพื้นหลังไมโครเวฟของเอกภพ ได้ให้หลักฐานของ พื้นผิวที่เป็นไปได้^{[ 6 ]}

ในฟิสิกส์สสารควบแน่น ทฤษฎีกลุ่มโฮโมโทปีให้สภาพแวดล้อมที่เป็นธรรมชาติสำหรับการอธิบายและการจำแนกข้อบกพร่องในระบบที่มีระเบียบ^{[ 2 ]}วิธีการทางโทโพโลยีถูกนำมาใช้ในปัญหาต่างๆ ของทฤษฎีสสารควบแน่น Poénaru และ Toulouse ใช้วิธีการทางโทโพโลยีเพื่อหาเงื่อนไขสำหรับข้อบกพร่องแบบเส้น (สตริง) ในผลึกเหลวที่สามารถตัดกันได้โดยไม่เกิดการพันกัน นับเป็นการประยุกต์ใช้โทโพโลยีที่ไม่ธรรมดาซึ่งนำไปสู่การค้นพบพฤติกรรมไฮโดรไดนามิกที่แปลกประหลาดใน เฟส Aของฮีเลียม -3 เหนือ สภาพนำยิ่งยวดเป็นครั้งแรก ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีโฮโมโทปีมีความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งกับเสถียรภาพของข้อบกพร่องทางโทโพโลยี ในกรณีของข้อบกพร่องเชิงเส้น หากเส้นทางปิดสามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างต่อเนื่องจนเหลือเพียงจุดเดียว ข้อบกพร่องนั้นจะไม่เสถียร แต่ถ้าไม่ใช่ ข้อบกพร่องนั้นจะเสถียร

แตกต่างจากในจักรวาลวิทยาและทฤษฎีสนาม ข้อบกพร่องทางทอพอโลยีในสสารควบแน่นได้รับการสังเกตจากการทดลอง^{[ 7 ]}วัสดุเฟอร์โรแมกเนติกมีบริเวณการจัดเรียงแม่เหล็กที่แยกจากกันด้วยผนังโดเมน ผลึกเหลวเนมาติกและเนมาติกแบบสองแกนแสดงข้อบกพร่องที่หลากหลาย รวมถึงโมโนโพล สตริง เนื้อสัมผัส ฯลฯ^{[ 2 ]} ในของแข็งผลึก ข้อบกพร่องทางทอพอโลยีที่พบได้บ่อยที่สุดคือการเคลื่อนที่ ของดิสโล เค ชัน ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการทำนายคุณสมบัติทางกลของผลึก โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยืดหยุ่น ของผลึก

ในระบบแม่เหล็ก ข้อบกพร่องทางโทโพโลยีรวมถึงข้อบกพร่อง 2 มิติ เช่นสกายร์มิออน (ที่มีประจุสกายร์มิออนเป็นจำนวนเต็ม) หรือข้อบกพร่อง 3 มิติ เช่นฮอปฟิออน (ที่มีดัชนีฮอปฟ์เป็นจำนวนเต็ม) คำจำกัดความนี้สามารถขยายให้รวมถึงการเคลื่อนที่ของลำดับเฮลิแมกเนติก เช่น การเคลื่อนที่ของขอบ^{[ 8 ] [ 9 ]}และการเคลื่อนที่ของเกลียว^{[ 10 ]} (ที่มีค่าเวกเตอร์เบอร์เกอร์เป็นจำนวนเต็ม)

• สายจักรวาลและข้อบกพร่องทางทอพอโลยีอื่นๆ
• http://demonstrations.wolfram.com/SeparationOfTopologicalSingularities/