พหุนามสมมาตรพื้นฐาน

Q: ตัวอย่าง

ต่อไปนี้คือรายชื่อ พหุนามสมมาตรพื้นฐาน n ตัว สำหรับค่าบวกสี่ค่าแรก ของ n

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงสลับ เปลี่ยน พหุนามสมมาตรพื้นฐานเป็นหน่วยพื้นฐานชนิดหนึ่งสำหรับพหุนามสมมาตรในแง่ที่ว่าพหุนามสมมาตรใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปพหุนามของพหุนามสมมาตรพื้นฐาน นั่นคือ พหุนามสมมาตร $P$ ใดๆ สามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของค่าคงที่และพหุนามสมมาตรพื้นฐานเท่านั้น มีพหุนามสมมาตรพื้นฐานหนึ่งตัวที่มีดีกรี $d$ ใน ตัวแปร $n$ ตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก $d \leq n$ แต่ละตัว และพหุนามนั้นเกิดจากการบวกผลคูณที่แตกต่างกันทั้งหมดของตัวแปรที่แตกต่างกัน $d ตัวเข้าด้วยกัน$

คำนิยาม

พหุนามสมมาตรพื้นฐานในตัวแปร $n ตัว$ $X 1, ..., X n$ ซึ่งเขียนแทนด้วย $e k (X 1, ..., X n)$ สำหรับ $k = 1, ..., n$ นั้น นิยามโดย และอื่นๆ ไปเรื่อยๆ จนจบด้วย โดยทั่วไป สำหรับ $k$ $> 0$ เรากำหนด ${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq a\leq n}X_{a},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq a<b\leq n}X_{a}X_{b},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq a<b<c\leq n}X_{a}X_{b}X_{c},\end{aligned}}$ $e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.$ $e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{k}\leq n}X_{a_{1}}X_{a_{2}}\dotsm X_{a_{k}},$

นอกจากนี้ $e k (X 1, ..., X n) =$ 0 ถ้า $k > n$

บางครั้ง $e 0 (X 1, ..., X n) = 1$ จะถูกรวมอยู่ในกลุ่มพหุนามสมมาตรพื้นฐาน แต่การไม่รวมพหุนามนี้จะช่วยให้สามารถกำหนดผลลัพธ์และคุณสมบัติได้ง่ายขึ้นโดยทั่วไป

ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ ใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $n$ จะมีพหุนามสมมาตรพื้นฐานดีกรี $k$ ในตัวแปร $n ตัวเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ในการสร้างพหุนามที่มีดีกรี$ $k$ นั้น เราจะนำผลคูณทั้งหมดของ เซตย่อย $k$ ของ ตัวแปร $n$ ตัวมา บวกกัน (ในทางตรงกันข้าม หากเราดำเนินการเดียวกันโดยใช้เซตหลายตัวของตัวแปร นั่นคือ การใช้ตัวแปรซ้ำกัน เราจะได้พหุนามสมมาตรเอกพันธุ์ที่สมบูรณ์ )

กำหนดให้พาร์ทิชันจำนวนเต็ม (นั่นคือ ลำดับจำนวนเต็มบวกที่ไม่เพิ่มขึ้นและมีจำนวนจำกัด) $λ = (λ 1, ..., λ m)$ เราสามารถกำหนดพหุนามสมมาตร $e λ (X 1, ..., X n)$ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพหุนามสมมาตรพื้นฐานได้ดังนี้ $e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n}).$

บางครั้ง จะ ใช้ สัญลักษณ์ $σ k$ แทน $e k$

นิยามแบบเรียกซ้ำ

คำจำกัดความต่อไปนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความข้างต้น และอาจเป็นประโยชน์สำหรับการนำไปใช้ในคอมพิวเตอร์:

${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n-k+1}X_{j}e_{k-1}(X_{j+1},\dots ,X_{n}).\end{aligned}}$ สิ่งนี้เทียบเท่ากับนิยามแบบเรียกซ้ำ (สองครั้ง) : ${\begin{aligned}e_{1}(x_{1})=X_{1}\\e_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=1\\e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=0\qquad {\text{ถ้า }}k>n\\e_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})&=e_{k}(X_{1},\dots ,X_{n-1})+X_{n}e_{k-1}(X_{1},\dots ,X_{n-1}).\end{aligned}}$

ตัวอย่าง

ต่อไปนี้คือรายชื่อ พหุนามสมมาตรพื้นฐาน $n$ ตัว สำหรับค่าบวกสี่ค่าแรก ของ $n$

สำหรับ $n = 1$ :

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

สำหรับ $n = 2$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

สำหรับ $n = 3$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

สำหรับ $n = 4$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

คุณสมบัติ

พหุนามสมมาตรพื้นฐานปรากฏขึ้นเมื่อเราขยายการแยกตัวประกอบเชิงเส้นของพหุนามเอกลักษณ์ : เรามีเอกลักษณ์

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

กล่าวคือ เมื่อเราแทนค่าตัวเลขลงในตัวแปร $X 1, X 2, ..., X n$ เราจะได้พหุนามเอกนามเอกลักษณ์ (ที่มีตัวแปร $λ$ ) ซึ่งรากของพหุ นามนี้ คือค่าที่แทนลงใน $X 1, X 2, ..., X n$ และสัมประสิทธิ์ ของพหุนามนี้ คือ พหุนามสมมาตรพื้นฐาน ( โดยไม่รวมเครื่องหมาย) ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เรียกว่าสูตรของเวียตา

พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จัตุรัสเป็นตัวอย่างหนึ่งของการประยุกต์ใช้สูตรของเวียตา รากของพหุนามนี้คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เมื่อเราแทนค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้ลงในพหุนามสมมาตรพื้นฐาน เราจะได้สัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นค่าคงที่ของเมทริกซ์ โดยไม่รวมเครื่องหมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงมุม ( trace ) คือค่าของ $e⁻¹$ และดังนั้นจึงเป็นผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ ในทำนองเดียวกัน ดี เทอร์มิแน $นต์คือค่าคงที่ของพหุนามลักษณะเฉพาะ โดยไม่รวมเครื่องหมาย นั่นคือค่าของ e⁻ᵏᵗ$ ดังนั้น ดีเท $อ$ ร์ $มิ$ แนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสจึงเป็นผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะ

เซตของพหุนามสมมาตรพื้นฐานใน ตัวแปร $n$ ตัวสร้างวงแหวนของพหุนามสมมาตรใน ตัวแปร $n$ ตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนของพหุนามสมมาตรที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเท่ากับวงแหวนพหุนาม จำนวนเต็ม $[$ $e$ $1$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ n $), ...,$ $e$ $n$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)] (ดูด้านล่างสำหรับข้อความทั่วไปและ$ $การ$ พิสูจน์เพิ่มเติม) ข้อเท็จจริงนี้เป็นหนึ่งในรากฐานของทฤษฎีอินแวเรียนต์สำหรับระบบพหุนามสมมาตรอื่นที่มีคุณสมบัติเดียวกัน โปรดดูพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์และสำหรับระบบที่มีคุณสมบัติคล้ายกัน แต่ค่อนข้างอ่อนกว่า โปรดดูพหุนามสมมาตรผลรวมกำลัง $\mathbb {Z}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตร

สำหรับวงแหวนสลับที่ ใดๆ $A$ ให้แทนวงแหวนของพหุนามสมมาตรในตัวแปร $X 1, ..., X n$ ที่มีสัมประสิทธิ์ใน $A$ ด้วย $A [X 1, ..., X n] S n$ นี่คือวงแหวนพหุนามใน พหุ นาม สมมาตรพื้นฐานn ตัว $e k (X 1, ..., X n)$ สำหรับ $k = 1, ..., n$

นี่หมายความว่าพหุนามสมมาตรทุกตัว $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n$ มีการแสดงแทนที่ไม่ซ้ำกัน

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

สำหรับพหุนาม $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ บางตัว อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงสิ่งเดียวกันคือโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่ส่ง $Y k$ ไปยัง $e k (X 1, ..., X n)$ สำหรับ $k = 1, ..., n$ กำหนดไอ โซมอ ร์ ฟิซึมระหว่าง $A [Y 1, ..., Y n]$ และ $A [X 1, ..., X n] S n$

ภาพร่างพิสูจน์อักษร

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้สำหรับพหุนามเอกพันธุ์ สมมาตรโดยใช้ การอุปมานสองชั้นโดยพิจารณาจากจำนวนตัวแปร $n$ และสำหรับ $n$ ที่คงที่ โดยพิจารณาจากดีกรีของพหุนามเอกพันธุ์นั้น กรณีทั่วไปจึงตามมาด้วยการแยกพหุนามสมมาตรใดๆ ออกเป็นส่วนประกอบเอกพันธุ์ (ซึ่งเป็นสมมาตรอีกเช่นกัน)

ในกรณีที่ $n = 1$ ผลลัพธ์นั้นเป็นเรื่องง่าย เพราะพหุนามทุกตัวในตัวแปรเดียวจะมีสมมาตรโดยอัตโนมัติ

สมมติว่าทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับพหุนามทั้งหมดที่มี ตัวแปร $m < n$ และพหุนามสมมาตรทั้งหมดใน ตัวแปร $n$ ที่มีดีกรี $< d$ พหุนามสมมาตรเอกพันธุ์ $P$ ทุกตัว ใน $A [X 1, ..., X n] S n$ สามารถแยกออกเป็นผลรวมของพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์ได้

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunary}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

ในที่นี้ "ส่วนที่ขาดหายไป" $P lacunary$ ถูกนิยามว่าเป็นผลรวมของเอกนามทั้งหมดใน $P$ ซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยที่แท้จริงของตัวแปร $n ตัว$ $X 1, ..., X n$ $เท่านั้น กล่าวคือ โดยที่ตัวแปร X j$ อย่างน้อยหนึ่งตัวหายไป

เนื่องจาก $P$ เป็นพหุนามสมมาตร ส่วนที่ขาดหายไปจึงถูกกำหนดโดยพจน์ที่มีเฉพาะตัวแปร $X 1, ..., X n - 1$ เท่านั้น กล่าวคือ พจน์ที่ไม่มี $X n$ กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ ถ้า $A$ และ $B$ เป็นพหุนามเอกพันธุ์สมมาตรสองตัวใน $X 1, ..., X n$ ที่มีดีกรีเดียวกัน และถ้าสัมประสิทธิ์ของ $A$ หน้าเอกนามแต่ละตัวที่มีเฉพาะตัวแปร $X 1, ..., X n - 1$ เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของ $B$ แล้ว $A$ และ $B$ จะมีส่วนที่ขาดหายไปเท่ากัน (เนื่องจากเอกนามทุกตัวที่สามารถปรากฏในส่วนที่ขาดหายไปจะต้องขาดตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว และสามารถแปลงได้โดยการสลับตำแหน่งของตัวแปรให้เป็นเอกนามที่มีเฉพาะตัวแปร $X 1, ..., X n - 1$ เท่านั้น )

แต่พจน์ของ $P$ ที่ประกอบด้วยตัวแปร $X 1, ..., X n - 1$ เท่านั้น คือพจน์ที่ยังคงอยู่หลังจากการกำหนดให้ $X n$ เป็น 0 ดังนั้นผลรวมของพจน์เหล่านั้นจึงเท่ากับ $P (X 1, ..., X n - 1, 0)$ ซึ่งเป็นพหุนามสมมาตรในตัวแปร $X 1, ..., X n - 1$ ที่เราจะใช้สัญลักษณ์ $P̃ (X 1, ..., X n - 1)$ แทน ตามสมมติฐานอุปนัย พหุนามนี้สามารถเขียนได้ดังนี้

{\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})

สำหรับ $Q̃ บางตัว โดยที่$ $σ j, n - 1$ ที่มีดัชนีสองตัวหมายถึงพหุนามสมมาตรพื้นฐานในตัวแปร $n - 1 ตัว$

ตอนนี้ลองพิจารณาพหุนามนี้

R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).

ดังนั้น $R (X 1, ..., X n)$ จึงเป็นพหุนามสมมาตรใน $X 1, ..., X n$ ที่มีดีกรีเท่ากับ $P lacunary$ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข

R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)

(ความเท่าเทียมกันแรกเป็นจริงเพราะการกำหนดให้ $X n$ เป็น 0 ใน $σ j, n$ จะได้ $σ j, n - 1$ สำหรับทุก $j < n$ ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง สัมประสิทธิ์ของ $R$ หน้าเอกนามแต่ละตัวซึ่งประกอบด้วยตัวแปร $X 1, ..., X n - 1$ เท่านั้น จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของ $P$ ดังที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่า สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าส่วนที่ขาดหายไปของ $R$ ตรงกับส่วนที่ขาดหายไปของพหุนาม $P$ ดั้งเดิม ดังนั้น ผลต่าง $P - R$ จึง ไม่มีส่วนที่ขาดหายไป และจึงหารลงตัวด้วยผลคูณX $1 \cdot\cdot\cdot X n ของ$ ตัวแปรทั้งหมด ซึ่งเท่ากับพหุนามสมมาตรพื้นฐาน $σ n, n$ จากนั้นเขียน $P - R = σ n, n Q$ ผลหาร $Q$ เป็นพหุนามสมมาตรเอกพันธุ์ที่มีดีกรีน้อยกว่า $d$ (อันที่จริงดีกรีอย่างมากที่สุด $d - n$ ) ซึ่งตามสมมติฐานอุปนัยสามารถแสดงเป็นพหุนามในฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานได้ เมื่อรวมการแสดงแทนของ $P - R$ และ $R$ เข้าด้วย กัน จะได้การแสดงแทนพหุนามสำหรับ $P$

ความเป็นเอกลักษณ์ของการแทนสามารถพิสูจน์ได้โดยอุปนัยในลักษณะเดียวกัน (เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนาม $n ตัว$ $e 1, ..., e n$ เป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือริง $A$ ) ข้อเท็จจริงที่ว่าการแทนพหุนามมีเอกลักษณ์หมายความว่า $A [X 1, ..., X n] S n$ เป็นไอโซมอ ร์ ฟิกกับ $A [Y 1, ..., Y n]$

หลักฐานทางเลือก

การพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์แบบอุปนัยเช่นกัน แต่ไม่เกี่ยวข้องกับพหุนามอื่นนอกจากพหุนามสมมาตรใน $X 1, ..., X n$ และยังนำไปสู่ขั้นตอนโดยตรงในการเขียนพหุนามสมมาตรเป็นพหุนามในพหุนามสมมาตรพื้นฐานได้อย่างมีประสิทธิภาพ สมมติว่าพหุนามสมมาตรเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี $d$ ส่วนประกอบเอกพันธุ์ต่างๆ สามารถแยกออกได้ต่างหาก เรียงลำดับเอกนามในตัวแปร $X i$ ตามลำดับตัวอักษรโดยที่ตัวแปรแต่ละตัวเรียงลำดับ $X 1 > ... > X n$ $กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพจน์เด่นของพหุนามคือพจน์ที่มีกำลังของ X 1$ ปรากฏสูงสุด และในบรรดาพจน์เหล่านั้น พจน์ที่มีกำลังของ $X 2$ สูงสุดเป็นต้น นอกจากนี้ ให้กำหนดพารามิเตอร์ของผลคูณทั้งหมดของพหุนามสมมาตรพื้นฐานที่มีดีกรี $d$ (ซึ่งเป็นพหุนามเอกพันธุ์) ดังต่อไปนี้โดย การ แบ่งส่วนของ $d$ เรียงลำดับพหุนามสมมาตรพื้นฐานแต่ละตัว $e i (X 1, ..., X n)$ ในผลคูณ โดยให้พหุนามที่มีดัชนี $i$ มากกว่า อยู่ก่อน จากนั้นสร้างคอลัมน์ที่มี ช่อง $i$ ช่องสำหรับแต่ละตัวประกอบดังกล่าว และจัดเรียงคอลัมน์เหล่านั้นจากซ้ายไปขวาเพื่อสร้างแผนภาพ Youngที่มีช่องทั้งหมด $d ช่อง รูปร่างของแผนภาพนี้คือการแบ่งส่วนของ$ $d$ และการแบ่งส่วน $λ$ ของ $d$ แต่ละส่วน เกิดขึ้นจากผลคูณของพหุนามสมมาตรพื้นฐานเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ $e λ t (X 1, ..., X n$ ) แทน (ตัว $t$ ปรากฏอยู่เพียงเพราะตามธรรมเนียมแล้ว ผลคูณนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนแบบสลับตำแหน่งของ $λ$ ) ส่วนประกอบสำคัญของการพิสูจน์คือคุณสมบัติง่ายๆ ต่อไปนี้ ซึ่งใช้ สั ญ กรณ์ดัชนีหลายตัวสำหรับเอกนามในตัวแปร $X i$

บทตั้ง . พจน์นำของ $e λ t (X 1, ..., X n)$ คือ $X λ$ .

บท พิสูจน์พจน์นำของผลคูณคือผลคูณของพจน์นำของแต่ละตัวประกอบ (ซึ่งเป็นจริงเสมอเมื่อใช้ลำดับเอกนามเช่น ลำดับพจนานุกรมที่ใช้ในที่นี้) และพจน์นำของตัวประกอบ

e i (X 1, ..., X n)

คือ

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

อย่างชัดเจน ในการนับจำนวนครั้งที่ตัวแปรแต่ละตัวปรากฏในเอกนามที่ได้ ให้เติมคอลัมน์ของแผนภาพยังที่สอดคล้องกับตัวประกอบที่เกี่ยวข้องด้วยตัวเลข

1, ..., i

ของตัวแปร จากนั้นช่องทั้งหมดในแถวแรกจะมีค่า 1 ช่องในแถวที่สองจะมีค่า 2 และอื่นๆ ซึ่งหมายความว่าพจน์นำคือ

X λ

ตอนนี้เราจะพิสูจน์โดยการอุปมานบนเอกนามนำหน้าในลำดับพจนานุกรมว่า พหุนามสมมาตรเอกพันธุ์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ $P$ ที่มีดีกรี $d$ สามารถเขียนได้เป็นพหุนามในพหุนามสมมาตรพื้นฐาน เนื่องจาก $P$ เป็นสมมาตร เอกนามนำหน้าของมันจึงมีเลขชี้กำลังลดลงอย่างอ่อน ดังนั้นจึงเป็น $X λ$ บางตัว โดยที่ $λ$ เป็นการแบ่งส่วนของ $d$ ให้สัมประสิทธิ์ของพจน์นี้เป็น $c$ แล้ว $P - ce λ t (X 1, ..., X n)$ จะเป็นศูนย์หรือพหุนามสมมาตรที่มีเอกนามนำหน้าที่เล็กกว่าอย่างเคร่งครัด การเขียนผลต่างนี้โดยการอุปมานเป็นพหุนามในพหุนามสมมาตรพื้นฐาน และบวก $ce λ t (X 1, ..., X n)$ กลับ เข้าไป เราจะได้นิพจน์พหุนามที่ต้องการสำหรับ $P$

ข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์นี้มีเอกลักษณ์ หรือเทียบเท่ากับที่ว่าผลคูณ (เอกนาม) $e λ t (X 1, ..., X n)$ ทั้งหมด ของพหุนามสมมาตรพื้นฐานเป็นอิสระเชิงเส้นนั้น สามารถพิสูจน์ได้ง่ายเช่นกัน บทพิสูจน์ย่อยแสดงให้เห็นว่าผลคูณทั้งหมดเหล่านี้มีเอกนามนำหน้าที่แตกต่างกัน และแค่นี้ก็เพียงพอแล้ว: ถ้าการรวมเชิงเส้น ที่ไม่เป็นศูนย์ ของ $e λ t (X 1, ..., X n)$ เป็นศูนย์ เราจะมุ่งเน้นไปที่ส่วนร่วมในการรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์และมี (เป็นพหุนามในตัวแปร $X i$ ) เอกนามนำหน้าที่ใหญ่ที่สุด พจน์นำหน้าของส่วนร่วมนี้ไม่สามารถถูกหักล้างด้วยส่วนร่วมอื่นใดของการรวมเชิงเส้นได้ ซึ่งจะทำให้เกิดข้อขัดแย้ง

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

Trifonov, Martin (5 มีนาคม 2024). บทนำสู่ทฤษฎี Galois: การสำรวจพหุนามสมมาตร (วิดีโอ). YouTube . สืบค้นเมื่อ26 มีนาคม 2024 .