การ แสดงผลแบบเวกเตอร์ nตัว (เรียกอีกอย่างว่า เวกเตอร์ ปกติทางธรณีวิทยาหรือเวกเตอร์ปกติทรงรี ) เป็นการแสดงผลแบบสามพารามิเตอร์ที่ไม่เป็นเอกฐานซึ่งเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการใช้แทนพิกัดทางธรณีวิทยา ( ละติจูดและลองจิจูด ) ในการแสดงตำแหน่งแนวนอนในการคำนวณทางคณิตศาสตร์และอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์

ในทางเรขาคณิต เวกเตอร์ nสำหรับตำแหน่งที่กำหนดบนทรงรีคือเวกเตอร์หน่วยที่ ชี้ออกด้านนอกและตั้ง ฉากกับทรงรี ณ ตำแหน่งนั้น สำหรับการแสดงตำแหน่งแนวนอนบนโลก ทรงรีจะเป็นทรงรีอ้างอิงและเวกเตอร์จะถูกแยกส่วนในระบบพิกัดคงที่ที่อยู่รอบโลก โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่โลก เวกเตอร์นี้ เคลื่อนที่ได้อย่างราบรื่นในทุกตำแหน่งบนโลก และมีคุณสมบัติ การจับคู่ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทางคณิตศาสตร์

โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดนี้สามารถนำไปใช้กับการแสดงตำแหน่งบนขอบของเซตย่อยที่มีขอบเขตและ นูนอย่างเคร่งครัด ในปริภูมิยูคลิดkมิติได้โดยที่ขอบนั้นเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในกรณีทั่วไปนี้ เวกเตอร์ nมิติประกอบด้วยพารามิเตอร์ k ตัว

เวกเตอร์ปกติของ พื้นผิว นูน อย่างเคร่งครัด สามารถใช้เพื่อกำหนดตำแหน่งของพื้นผิวได้อย่างเฉพาะเจาะจง เวกเตอร์ nคือเวกเตอร์ปกติที่ชี้ออกด้านนอกโดยมีความยาวหนึ่งหน่วยซึ่งใช้เป็นตัวแทนตำแหน่ง ^{[ 1 ]}

สำหรับการใช้งานส่วนใหญ่ พื้นผิวจะเป็นทรงรีอ้างอิงของโลก ดังนั้นจึง ใช้เวกเตอร์ nเพื่อแสดงตำแหน่งในแนวนอน ด้วยเหตุนี้ มุมระหว่าง เวกเตอร์ nกับระนาบเส้นศูนย์สูตรจึงสอดคล้องกับละติจูดทางธรณีวิทยาดังแสดงในรูป

ตำแหน่งบนพื้นผิวมีองศาอิสระสององศาดังนั้นพารามิเตอร์สองตัวจึงเพียงพอที่จะแสดงตำแหน่งใดๆ บนพื้นผิว บนทรงรีอ้างอิงละติจูดและลองจิจูดเป็นพารามิเตอร์ทั่วไปสำหรับวัตถุประสงค์นี้ แต่เช่นเดียวกับการแสดงแบบสองพารามิเตอร์ ทั้งหมด พวกมันมีจุดเอกฐานนี่คล้ายกับการวางแนวซึ่งมีองศาอิสระสามองศา แต่การแสดงแบบสามพารามิเตอร์ ทั้งหมด มีจุดเอกฐาน^{[ 2 ]}ในทั้งสองกรณี จุดเอกฐานจะถูกหลีกเลี่ยงโดยการเพิ่มพารามิเตอร์พิเศษ กล่าวคือ ใช้ เวกเตอร์ n (สามพารามิเตอร์) เพื่อแสดงตำแหน่งแนวนอนและควอเทอร์เนียน หน่วย (สี่พารามิเตอร์) เพื่อ แสดง การ วางแนว

เวกเตอร์ nคือ การแสดงผล แบบหนึ่งต่อหนึ่งหมายความว่าตำแหน่งบนพื้นผิวใดๆ จะสอดคล้องกับ เวกเตอร์ n ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว และ เวกเตอร์ n ใดๆ ก็จะสอดคล้องกับตำแหน่งบนพื้นผิวที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเช่นกัน

เนื่องจากเวกเตอร์ n มิติเป็นเวกเตอร์แบบยุคลิด 3 มิติจึงสามารถใช้พีชคณิตเวกเตอร์ 3 มิติมาตรฐาน ในการคำนวณตำแหน่งได้ ทำให้เวกเตอร์ nมิติเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณตำแหน่งแนวนอนส่วนใหญ่ สำหรับการเปรียบเทียบโดยทั่วไปของรูปแบบต่างๆ โปรดดูที่หน้า รูปแบบตำแหน่งแนวนอน

จากนิยามของระบบพิกัดECEF ที่เรียกว่า eจะเห็นได้ชัดว่า การแปลงจากละติจูด/ลองจิจูดไปเป็น เวกเตอร์ nมิติ สามารถทำได้โดย:

${\displaystyle \mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{matrix}\cos(\mathrm {latitude} )\cos(\mathrm {longitude} )\\\cos(\mathrm {latitude} )\sin(\mathrm {longitude} )\\\sin(\mathrm {latitude} )\\\end{เมทริกซ์}}\right]}$

ตัวยกeหมายความว่า เวกเตอร์ nถูกแยกส่วนในระบบพิกัดe (กล่าวคือ ส่วนประกอบแรกคือการฉายภาพสเกลาร์ของ เวกเตอร์ nลงบน แกน xของeส่วนประกอบที่สองลงบน แกน yของeเป็นต้น) โปรดทราบว่าสมการนี้ถูกต้องแม่นยำทั้งสำหรับแบบจำลองโลกทรงกลมและทรงรี

จากส่วนประกอบทั้งสามของเวกเตอร์n มิติ ได้แก่ , , และเราสามารถหาค่าละติจูดได้โดยใช้สูตร: ${\displaystyle n_{x}^{e}}$${\displaystyle n_{y}^{e}}$${\displaystyle n_{z}^{e}}$

${\displaystyle \mathrm {latitude} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)}$

นิพจน์ทางขวาสุดเหมาะสมที่สุดสำหรับการนำไปใช้ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์^{[ 1 ]}

สามารถหาค่าลองจิจูดได้โดยใช้สูตร:

${\displaystyle \mathrm {ลองจิจูด} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)}$

ในนิพจน์เหล่านี้ควรนำไปใช้โดยการเรียกใช้atan2 ( y , x ) ความผิดปกติ ที่ ขั้วโลกของลองจิจูดนั้นเห็นได้ชัดเจน เนื่องจากatan2 (0,0) นั้นไม่นิยาม โปรดทราบว่าสมการเหล่านี้มีความแม่นยำทั้งสำหรับแบบจำลองโลกทรงกลมและทรงรี ${\displaystyle \arctan(y/x)}$

การหาค่าระยะทางตามเส้นโค้งวงกลมใหญ่ระหว่างตำแหน่งแนวนอนสองตำแหน่ง (โดยสมมติว่าโลกเป็นทรงกลม) มักทำได้โดยใช้ละติจูดและลองจิจูด มี สูตรคำนวณระยะทางนี้สามแบบที่ใช้กันทั่วไป แบบแรกใช้ค่าarccos , แบบที่สองใช้ค่าarcsinและแบบสุดท้ายใช้ค่าarctanสูตรเหล่านี้มีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่เสถียรทางตัวเลขการหาค่าสูตรเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องง่าย และเนื่องจากสูตรเหล่านี้ใช้ละติจูดและลองจิจูดเป็นพื้นฐาน ความผิดปกติที่ขั้วโลกอาจกลายเป็นปัญหาได้ นอกจากนี้ สูตรเหล่านี้ยังมีค่าเดลต้าของละติจูดและลองจิจูด ซึ่งโดยทั่วไปควรใช้ด้วยความระมัดระวังใกล้เส้นเมริเดียน ± 180°และบริเวณขั้วโลก

การแก้ปัญหาเดียวกันโดยใช้ เวกเตอร์ nมิติจะง่ายกว่าเนื่องจากความเป็นไปได้ในการใช้พีชคณิตเวกเตอร์นิพจน์ arccos ได้มาจากการคูณแบบดอทในขณะที่ขนาดของการคูณแบบไขว้จะให้นิพจน์ arcsin การรวมทั้งสองเข้าด้วยกันจะให้นิพจน์ arctan: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}}$

โดยที่และคือ เวกเตอร์ n มิติที่แทนตำแหน่ง aและbสองตำแหน่ง คือผลต่างเชิงมุม ดังนั้นระยะทาง ตามเส้นโค้งวงกลมใหญ่จึงได้มาจากการคูณด้วยรัศมีของโลก สูตรนี้ยังใช้ได้ที่ขั้วโลกและที่เส้นเมริเดียน ±180° ด้วย ${\displaystyle \mathbf {n} _{a}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{b}}$${\displaystyle \Delta \sigma }$

เวกเตอร์ nยังเหมาะสำหรับการคำนวณทั่วไป เช่น:

• ตำแหน่งที่ประมาณค่า
• ตำแหน่งค่าเฉลี่ย/จุดกึ่งกลาง (จุดกึ่งกลางของหลายตำแหน่ง)
• ตำแหน่งเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (เช่น ของจุดข้อมูลทางภูมิศาสตร์)
• จุดตัดของเส้นทางสองเส้น
• ระยะห่างขวางราง (ข้อผิดพลาดขวางราง)
• ตามระยะทางราง
• ระยะทางแบบยูคลิด
• ตำแหน่งสามเหลี่ยม
• ตำแหน่งสัมบูรณ์บวกค่าเดลต้า (ตำแหน่งเดลต้าอาจเป็นมุมอะซิมุธและระยะทาง)
• ความแตกต่างระหว่างตำแหน่งสัมบูรณ์
• ปัญหาทางธรณีวิทยาข้อแรกและข้อที่สอง (โดยตรง/ผกผัน)
• ค้นหาทิศเหนือและทิศตะวันออก
• หาองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งของเวกเตอร์

สมการและรหัสสำหรับการคำนวณเหล่านี้สามารถพบได้ในลิงก์ภายนอกด้านล่างหรืออ้างอิง^{[ 1 ]}การคำนวณจะทำงานได้ดีเช่นเดียวกันในระยะทางไกลและสำหรับตำแหน่งทั่วโลกใดๆ

• เส้นทางภาคตัดขวางของโลก
• การแสดงตำแหน่งแนวนอน
• ละติจูด
• ลองจิจูด
• ระบบพิกัด Universal Transverse Mercator
• ควอเทอร์เนียน

• การแก้ปัญหา 10 ข้อโดยใช้เวกเตอร์n
• ไลบรารีเวกเตอร์ nบน GitHub ในภาษา Python, C++, Java, C# และภาษาอื่นๆ ส่วนใหญ่