ระบบพิกัดทรงกระบอกวงรี เป็น ระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก สามมิติ ที่ได้จากการฉายภาพ ระบบพิกัดวงรีสองมิติในทิศทางตั้งฉาก ดังนั้นพื้นผิวพิกัดจึงเป็นปริซึมของวงรีและไฮเปอร์โบลา ที่มีจุดโฟกัสร่วมกัน โดย ทั่วไปแล้ว จุดโฟกัสทั้งสองคือ และจะถูกกำหนดไว้ที่และ ตามลำดับ บนแกน x ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน${\displaystyle z}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle +a}$${\displaystyle x}$

นิยามที่พบได้บ่อยที่สุดของพิกัดทรงกระบอกวงรีคือ ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

${\displaystyle z=z}$

โดยที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ และ. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ]}$

คำจำกัดความเหล่านี้สอดคล้องกับวงรีและไฮเปอร์โบลา เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งของวงรีรูปทรง คงที่ ในขณะที่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งที่มีรูปแบบ คงที่ คือไฮเปอร์โบลา ${\displaystyle \nu }$

ปัจจัยมาตราส่วนสำหรับพิกัดทรงกระบอกวงรีและมีค่าเท่ากัน ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

ในขณะที่ตัวประกอบมาตราส่วนที่เหลืออยู่ดังนั้น องค์ประกอบปริมาตรที่เล็กมากจึงเท่ากับ ${\displaystyle h_{z}=1}$

${\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}$

และลาปลาเซียนเท่ากับ

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ เช่นและสามารถแสดงในพิกัดได้โดยการแทนที่ตัวประกอบมาตราส่วนลงในสูตรทั่วไปที่พบในพิกัดเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$

บางครั้งมีการใช้ ชุดพิกัดวงรีทางเลือกที่เข้าใจง่ายทางเรขาคณิตโดยที่และดังนั้น เส้นโค้งที่มีค่าคงที่จะเป็นวงรี ในขณะที่เส้นโค้งที่มีค่าคงที่จะเป็นไฮเปอร์โบลา พิกัดต้องอยู่ในช่วง[−1, 1]ในขณะที่ พิกัด ต้องมากกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง ${\displaystyle (\ซิกมา ,\เทา ,z)}$${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$${\displaystyle \tau =\cos \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

พิกัดมีความสัมพันธ์อย่างง่ายกับระยะห่างจากจุดโฟกัสและสำหรับจุดใดๆ ในระนาบ (x,y) ผลรวมของระยะห่างจากจุดนั้นไปยังจุดโฟกัสจะเท่ากับในขณะที่ผลต่าง ของระยะห่างจะ เท่ากับดังนั้น ระยะห่างจาก ไปยังคือในขณะที่ระยะห่างจาก ไปยังคือ(โปรดจำไว้ว่าและอยู่ที่และตามลำดับ) ${\displaystyle (\ซิกมา ,\เทา ,z)}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$

ข้อเสียของระบบพิกัดเหล่านี้คือ ไม่สามารถแปลงเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้

${\displaystyle x=a\sigma \tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$

ปัจจัยมาตราส่วนสำหรับพิกัดวงรีทางเลือกมีดังนี้ ${\displaystyle (\ซิกมา ,\เทา ,z)}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

และแน่นอนดังนั้น องค์ประกอบปริมาตรที่เล็กจิ๋วจึงกลายเป็น ${\displaystyle h_{z}=1}$

${\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}$

และลาปลาเซียนเท่ากับ

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ เช่น และสามารถแสดงในพิกัดได้โดยการแทนที่ตัวประกอบมาตราส่วนลงในสูตรทั่วไปที่พบในพิกัดเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

การประยุกต์ใช้พิกัดทรงกระบอกวงรีแบบคลาสสิกคือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเช่นสมการลาปลาสหรือสมการเฮล์มโฮลทซ์ซึ่งพิกัดทรงกระบอกวงรีช่วยให้สามารถ แยกตัวแปรได้ตัวอย่างทั่วไปคือสนามไฟฟ้าที่ล้อมรอบแผ่นตัวนำแบนที่มีความกว้าง ${\displaystyle 2a}$

สมการคลื่นสามมิติเมื่อแสดงในพิกัดทรงกระบอกวงรี สามารถแก้ไขได้โดยการแยกตัวแปร ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ของมาธิเยอ

คุณสมบัติทางเรขาคณิตของพิกัดวงรีก็มีประโยชน์เช่นกัน ตัวอย่างทั่วไปอาจเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตเหนือเวกเตอร์ทุกคู่ที่ รวมกันได้เวกเตอร์คงที่โดยที่ตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันของความยาวเวกเตอร์และ(ในกรณีเช่นนี้ เราจะวางตำแหน่งระหว่างจุดโฟกัสทั้งสอง และ ให้ตรงกับแกน x กล่าวคือ) เพื่อความชัดเจน , และอาจแทนโมเมนตัมของอนุภาคและผลผลิตจากการสลายตัวตามลำดับ และตัวถูกอินทิเกรตอาจเกี่ยวข้องกับพลังงานจลน์ของผลผลิต (ซึ่งเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของความยาวของโมเมนตัม )${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

• Morse PM , Feshbach H (1953). วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เล่ม 1.นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า 657. ISBN 0-07-043316-X. ลคซีเอ็น 52011515 .{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• Margenau H , Murphy GM (1956). คณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และเคมี . นิวยอร์ก: D. van Nostrand. หน้า  182–183 . LCCN  55010911 .
• Korn GA, Korn TM (1961). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• ซาวเออร์ อาร์, Szabó I (1967) แมทเธมาติส ฮิลฟ์สมิตเทล เด อินเฌอเนียร์ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ แวร์แล็ก. พี 97. ลคซีเอ็น 67025285 .
• Zwillinger D (1992). คู่มือการบูรณาการ . บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: โจนส์ แอนด์ บาร์ตเลตต์. หน้า 114. ISBN 0-86720-293-9. เช่นเดียวกับ Morse & Feshbach (1953) โดยแทนที่u k _ด้วย ξ _k
• Moon P, Spencer DE (1988). "พิกัดทรงกระบอกวงรี (η, ψ, z)". คู่มือทฤษฎีสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (ฉบับแก้ไขครั้งที่ 2 ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3). นิวยอร์ก: Springer-Verlag. หน้า 17–20 (ตาราง 1.03). ISBN 978-0-387-18430-2.

• คำอธิบายระบบพิกัดทรงกระบอกวงรีจาก MathWorld