ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันมาธิเยอ (Mathieu functions)หรือบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันมาธิเยอเชิงมุม (angular Mathieu functions ) คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ของมาธิเยอ (Mathieu's differential equation)

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,}$

โดยที่a และ qเป็น พารามิเตอร์ที่มีค่าเป็น จำนวนจริงเนื่องจากเราสามารถบวกπ/2เข้ากับxเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของq ได้ จึงเป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้q ≥ 0

Émile Léonard Mathieuเป็นผู้ริเริ่มนำเสนอปรากฏการณ์นี้เป็นครั้งแรกโดยเขาได้พบปรากฏการณ์นี้ขณะศึกษาเกี่ยวกับหนังกลอง รูปวงรีที่สั่น ไหว^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ปรากฏการณ์ นี้มีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์กายภาพ เช่นทัศนศาสตร์กลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยมักเกิดขึ้นในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบ หรือในการวิเคราะห์ปัญหาค่าขอบเขต ของ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่มีสมมาตรแบบวงรี^{[ 4 ]}

ในการใช้งานบางอย่างฟังก์ชัน Mathieuหมายถึงคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ Mathieu สำหรับค่าใดๆ ของและเมื่อไม่มีความสับสนเกิดขึ้น ผู้เขียนคนอื่นๆ ใช้คำนี้เพื่ออ้างถึง คำตอบแบบคาบ - หรือ - โดยเฉพาะ ซึ่งมีอยู่เฉพาะสำหรับค่าพิเศษของและ เท่านั้น ^{[ 5 ]}กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น สำหรับค่า (จริง) ที่กำหนดคำตอบแบบคาบดังกล่าวมีอยู่สำหรับค่าอนันต์จำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าจำนวนลักษณะเฉพาะ ซึ่งโดยทั่วไปจะจัด ทำดัชนีเป็นลำดับสองลำดับที่แยกจากกันและสำหรับฟังก์ชันที่สอดคล้องกันจะถูกแสดงด้วยและตามลำดับ บางครั้งก็เรียกฟังก์ชันเหล่านี้ว่าโคไซน์-วงรีและไซน์-วงรีหรือ ฟังก์ชัน Mathieu ชนิดแรก${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}(q)}$${\displaystyle b_{n}(q)}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

จากการสมมติว่าเป็นจำนวนจริง ทั้งจำนวนลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจึงเป็นจำนวนจริง^{[ 6 ]}${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$และสามารถจำแนกเพิ่มเติมตามความเท่าเทียมกันและความเป็นคาบ (โดยสัมพันธ์กับ) ได้ดังนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle x}$

การทำงาน	ความเท่าเทียมกัน	ระยะเวลา
${\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ even}}}$	สม่ำเสมอ	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ odd}}}$	สม่ำเสมอ	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ even}}}$	แปลก	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ odd}}}$	แปลก	${\displaystyle 2\pi }$

การใช้จำนวนเต็มในการกำหนดดัชนีนอกจากจะช่วยจัดเรียงตัวเลขลักษณะเฉพาะตามลำดับจากน้อยไปมากแล้ว ยังสะดวกตรงที่และจะเป็นสัดส่วนกับและเมื่อเป็นจำนวนเต็มจะทำให้และ ถูกจัด ประเภทเป็นฟังก์ชัน Mathieu (ชนิดแรก) อันดับจำนวนเต็ม สำหรับ และ ทั่วไปนอกจากคำตอบเหล่านี้แล้ว ยังสามารถกำหนดคำตอบอื่นๆ ได้อีก รวมถึงฟังก์ชัน Mathieu อันดับเศษส่วน ตลอดจนคำตอบที่ไม่เป็นคาบด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle \cos nx}$${\displaystyle \sin nx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

ฟังก์ชัน ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือฟังก์ชัน Mathieu ดัดแปลงหรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชัน Mathieu เชิงรัศมี ซึ่งเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ดัดแปลงของ Mathieu

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

ซึ่งสามารถเชื่อมโยงกับสมการ Mathieu ดั้งเดิมได้โดยการใช้ดังนั้น ฟังก์ชัน Mathieu ที่แก้ไขแล้วชนิดแรกของลำดับอินทิกรัล ซึ่งแสดงด้วยและจะถูกกำหนดจาก^{[ 7 ]}${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันเหล่านี้จะมีค่าเป็นจำนวนจริงเมื่อเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle x}$

การทำให้เป็นมาตรฐานทั่วไป^{[ 8 ]}ซึ่งจะนำมาใช้ตลอดทั้งบทความนี้ คือการเรียกร้องให้

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

รวมถึงความต้องการและในฐานะ. ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$

คุณสมบัติหลายประการของสมการเชิงอนุพันธ์มาธิเยอสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีสัมประสิทธิ์เป็นคาบ ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีฟลอ เกต์ ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีบทของฟลอเกต์ :

เป็นเรื่องปกติที่จะเชื่อมโยงตัวเลขลักษณะเฉพาะกับค่าเหล่านั้นซึ่งส่งผลให้[ ^{10 ] อย่างไรก็ตาม}โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้รับประกันการมีอยู่ของอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่สอดคล้องกับเมื่อสมการของ Mathieu มีคำตอบอิสระสองคำตอบสำหรับ ที่กำหนดใดๆ ก็ตามอันที่จริง ปรากฏว่าเมื่อเท่ากับหนึ่งในตัวเลขลักษณะเฉพาะ สมการของ Mathieu จะมีคำตอบเป็นคาบเพียงคำตอบเดียว (นั่นคือ มีคาบหรือ) และคำตอบนี้เป็นหนึ่งใน, ^คำตอบอื่นไม่มีคาบ ซึ่งแสดงด้วยและตามลำดับ และเรียกว่าฟังก์ชัน Mathieu ชนิดที่สอง^{[ 11} ] ผลลัพธ์นี้สามารถระบุอย่างเป็นทางการได้เป็นทฤษฎีบทของ Ince : ${\displaystyle a(q)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma =\pm 1}$${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$

ข้อความที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบทของฟลอเกต์คือ สมการของมาธิเยอมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

โดยที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน , คือเลขชี้กำลังฟลอเกต์ (หรือบางครั้งเรียกว่าเลขชี้กำลังมาธิเยอ ) และเป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่มีคาบในโดยมีคาบ ตัวอย่างแสดงอยู่ทางด้านขวา ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P(a,q,x)}$

สมการของมาธิเยอมีพารามิเตอร์สองตัว สำหรับการเลือกพารามิเตอร์เกือบทั้งหมด ทฤษฎีของฟลอเกต์กล่าวว่า คำตอบใดๆ ก็ตามจะลู่เข้าสู่ศูนย์หรือลู่เข้าสู่ค่าอนันต์

ถ้าสมการของ Mathieu ถูกกำหนดพารามิเตอร์เป็น โดยที่แล้วบริเวณเสถียรภาพและความไม่เสถียรจะถูกแยกออกจากกันด้วยเส้นโค้งต่อไปนี้: ^{[ 13 ]}${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

เนื่องจากสมการของ Mathieu เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จึงสามารถสร้าง คำตอบที่ เป็นอิสระเชิงเส้นได้ สองคำตอบ ทฤษฎีของ Floquet กล่าวว่า ถ้าเท่ากับจำนวนลักษณะเฉพาะ คำตอบหนึ่งในสองคำตอบนี้สามารถเลือกให้เป็นคาบได้ และอีกคำตอบหนึ่งเป็นแบบไม่เป็นคาบ คำตอบที่เป็นคาบคือหนึ่งในและเรียกว่าฟังก์ชัน Mathieu ชนิดแรกของอันดับจำนวนเต็ม คำตอบที่ไม่เป็นคาบจะถูกแทนด้วยและตามลำดับ และเรียกว่าฟังก์ชัน Mathieu ชนิดที่สอง (ของอันดับจำนวนเต็ม) คำตอบที่ไม่เป็นคาบนั้นไม่เสถียร กล่าวคือ ล diverge เมื่อ^{[ 14 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

คำตอบที่สองที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน Mathieu ที่แก้ไขแล้วนั้นถูกกำหนดตามธรรมชาติเป็น และ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$

ฟังก์ชัน Mathieu ที่มีอันดับเศษส่วนสามารถกำหนดได้ว่าเป็นคำตอบเหล่านั้นและซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเปลี่ยนเป็นและเมื่อ^{[ 7 ]}ถ้า เป็นจำนวนอตรรกยะ ฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่เป็นคาบ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเหล่านี้ยังคงมีขอบเขตจำกัดเมื่อ ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \cos px}$${\displaystyle \sin px}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของคำตอบและสำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม คือ คำตอบทั้งสองจะมีอยู่สำหรับค่าเดียวกันของในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็นจำนวนเต็มและจะไม่เกิดขึ้นสำหรับค่าเดียวกันของเลย (ดูทฤษฎีบทของอินซ์ข้างต้น) ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle a}$

การจัดประเภทเหล่านี้สรุปไว้ในตารางด้านล่าง ฟังก์ชัน Mathieu ที่ได้รับการดัดแปลงก็มีคำจำกัดความในลักษณะเดียวกัน

การจำแนกประเภทของฟังก์ชัน Mathieu ^{[ 15 ]}

คำสั่ง	ชนิดแรก	ชนิดที่สอง
อินทิกรัล	${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$
อินทิกรัล	${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$
เศษส่วน ( ไม่ใช่จำนวนเต็ม) ${\displaystyle p}$	${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$

ฟังก์ชัน Mathieu ชนิดแรกสามารถแสดงเป็นอนุกรม Fourier ได้ดังนี้ : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

สัมประสิทธิ์การขยายตัวและเป็นฟังก์ชันของแต่ไม่ขึ้นอยู่กับ โดยการแทนที่ลงในสมการของ Mathieu จะสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นไปตาม ความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์ในดัชนีล่าง ตัวอย่างเช่น สำหรับแต่ละจะพบว่า^{[ 16 ]}${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

เนื่องจากการเกิดซ้ำลำดับที่สองในดัชนีจึงสามารถหาคำตอบอิสระสองคำตอบได้เสมอและเช่นนั้น คำตอบทั่วไปสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของทั้งสองได้: ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีเฉพาะนี้การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก^{[ 17 ]}แสดงให้เห็นว่าตัวเลือกที่เป็นไปได้ของคำตอบพื้นฐานมีคุณสมบัติ ${\displaystyle 2r}$${\displaystyle X_{2r}}$${\displaystyle Y_{2r}}$${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีค่าจำกัด ในขณะที่ค่าลู่เข้า เมื่อเขียนเราจึงเห็นว่าเพื่อให้การแสดงอนุกรมฟูริเยร์ของลู่เข้าจะต้องเลือกค่าให้สอดคล้องกับ ค่า เหล่านี้ การเลือกค่าเหล่านี้สอดคล้องกับจำนวนลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle X_{2r}}$${\displaystyle Y_{2r}}$${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c_{2}=0.}$${\displaystyle a}$

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบของสมการเวียนเกิดสามพจน์ที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันนั้นไม่สามารถแสดงออกมาในรูปแบบที่ง่ายได้ ดังนั้นจึงไม่มีวิธีง่ายๆ ในการหาค่าจากเงื่อนไขนั้น ยิ่งไปกว่านั้น แม้ว่าจะทราบค่าโดยประมาณของจำนวนลักษณะเฉพาะแล้ว ก็ไม่สามารถนำมาใช้หาค่าสัมประสิทธิ์โดยการวนซ้ำสมการเวียนเกิดไปเรื่อยๆ โดยเพิ่มค่า ได้เหตุผลก็คือ ตราบใดที่ เป็นเพียงค่าประมาณของจำนวนลักษณะเฉพาะจะไม่เป็นค่าที่แน่นอนและในที่สุดคำตอบที่ลู่เข้าก็จะครอบงำเมื่อ มีค่ามากพอ ${\displaystyle a}$${\displaystyle c_{2}=0}$${\displaystyle A_{2r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Y_{2r}}$${\displaystyle r}$

เพื่อเอาชนะปัญหาเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้วิธีการกึ่งวิเคราะห์/เชิงตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น การใช้การขยายเศษส่วนต่อเนื่อง^{[ 18 ] [ 5 ]}การแปลงความสัมพันธ์เวียนเกิดเป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์^{[ 19 ]}หรือการใช้อัลกอริธึมเวียนเกิดแบบย้อนกลับ^{[ 17 ]}ความซับซ้อนของความสัมพันธ์เวียนเกิดสามเทอมเป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้มีสูตรและเอกลักษณ์ง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Mathieu น้อยมาก^{[ 20 ]}

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชัน Mathieu และตัวเลขลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้โดยใช้ซอฟต์แวร์สำเร็จรูป เช่นMathematica , Maple , MATLABและSciPyสำหรับค่าเล็กๆ ของและลำดับต่ำฟังก์ชันเหล่านี้ยังสามารถแสดงในรูปแบบการรบกวนเป็นอนุกรมกำลังของซึ่งอาจมีประโยชน์ในการใช้งานทางฟิสิกส์^{[ 21 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

มีหลายวิธีในการแสดงฟังก์ชัน Mathieu ชนิดที่สอง^{[ 22 ]}การแสดงหนึ่งวิธีคือในรูปของฟังก์ชัน Bessel : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

โดยที่, และและคือฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง ${\displaystyle n,q>0}$${\displaystyle J_{r}(x)}$${\displaystyle Y_{r}(x)}$

แนวทางดั้งเดิมสำหรับการประเมินเชิงตัวเลขของฟังก์ชัน Mathieu ที่แก้ไขแล้วคือผ่านอนุกรมผลคูณของฟังก์ชัน Bessel ^{[ 24 ]}สำหรับค่าและ ที่มีขนาดใหญ่ รูปแบบของอนุกรมจะต้องถูกเลือกอย่างระมัดระวังเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการลบ^{[ 25 ] [ 26 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

มีนิพจน์และเอกลักษณ์เชิงวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมาธิเยอค่อนข้างน้อย ยิ่งไปกว่านั้น ต่างจากฟังก์ชันพิเศษ อื่นๆ อีกมากมาย คำตอบของสมการของมาธิเยอโดยทั่วไปไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกได้ สามารถเห็นได้จากการแปลงสมการของมาธิเยอให้อยู่ในรูปพีชคณิต โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปร: ${\displaystyle t=\cos(x)}$

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

เนื่องจากสมการนี้มีจุดเอกฐานที่ไม่ปกติที่อนันต์จึงไม่สามารถแปลงเป็นสมการประเภทไฮเปอร์จีโอเมตริกได้^{[ 20 ]}

สำหรับค่าเล็ก ๆและจะมีพฤติกรรมคล้ายกับและสำหรับค่าใด ๆ ก็ตามพวกมันอาจเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญจากค่าตรีโกณมิติที่เทียบเท่ากัน อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วพวกมันยังคงเป็นคาบ นอกจากนี้ สำหรับค่าจริงใด ๆและจะมีศูนย์ที่เรียบง่าย เพียงศูนย์เดียว ในและศูนย์เหล่านั้นจะรวมกลุ่มกันรอบๆ^{[ 27 ] [ 28 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle \cos nx}$${\displaystyle \sin nx}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0<x<\pi }$${\displaystyle q\rightarrow \infty }$${\displaystyle x=\pi /2}$

เนื่องจากฟังก์ชัน Mathieu ที่ได้รับการดัดแปลงมีแนวโน้มที่จะแสดงพฤติกรรมเหมือนฟังก์ชันคาบแบบลด ทอน${\displaystyle q>0}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

ต่อไปนี้ ปัจจัย และจากการขยายอนุกรมฟูริเยร์สำหรับและอาจถูกอ้างอิง (ดูการแสดงผลและการคำนวณอย่างชัดเจน ) ปัจจัยเหล่านี้ขึ้นอยู่กับและแต่ไม่ขึ้นอยู่กับ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

เนื่องจากความสมมาตรและความเป็นคาบและ มีคุณสมบัติที่เรียบง่ายภายใต้การสะท้อนและการเลื่อนโดยผลคูณของ: ^{[ 7 ]}${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนฟังก์ชันที่มีค่าลบในรูปของฟังก์ชันที่มีค่าบวกได้: ^{[ 5 ] [ 29 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

นอกจากนี้,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

เช่นเดียวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เทียบเท่ากันฟังก์ชันMathieu แบบคาบและก็เป็นไปตามความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากเช่นกัน ${\displaystyle \cos nx}$${\displaystyle \sin nx}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อกำหนดค่าคงที่และถือว่าเป็นค่าลักษณะเฉพาะ สมการของ Mathieu จะอยู่ใน รูปแบบ Sturm–Liouvilleซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและก่อตัวเป็นชุดที่สมบูรณ์ กล่าวคือฟังก์ชันคาบ- หรือ - ใดๆ ของ สามารถขยายเป็นอนุกรมในและได้^{[ 4 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

คำตอบของสมการของ Mathieu สอดคล้องกับเอกลักษณ์เชิงปริพันธ์กลุ่มหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเคอร์เนล ซึ่งเป็นคำตอบของสมการดังกล่าว ${\displaystyle \chi (x,x')}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

กล่าวโดยละเอียด หากแก้สมการของมาธิเยอโดยกำหนดให้และแล้วปริพันธ์จะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

โดยที่เส้นทางในระนาบเชิงซ้อนยังแก้สมการของ Mathieu ด้วยและ เช่นเดียวกัน โดยมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ^{[ 30 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$แก้ไข${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• ในภูมิภาคที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นมีอยู่และสามารถวิเคราะห์ได้${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \chi (x,x')}$
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$มีค่าเท่ากันที่จุดปลายของ${\displaystyle C}$

โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรที่เหมาะสม สมการสำหรับสามารถแปลงเป็นสมการคลื่นและแก้ได้ ตัวอย่างเช่น คำตอบหนึ่งคือตัวอย่างของเอกลักษณ์ที่ได้มาด้วยวิธีนี้คือ^{[ 31 ]}${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

เอกลักษณ์ประเภทหลังนี้มีประโยชน์สำหรับการศึกษาคุณสมบัติเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชัน Mathieu ที่แก้ไขแล้ว^{[ 32 ]}

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ระหว่างฟังก์ชันประเภทแรกและประเภทที่สอง เช่น^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

ใช้ได้กับสถานการณ์ที่ซับซ้อนและเป็นจริง ทุกรูป แบบ ${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$

การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกต่อไปนี้ใช้ได้กับ, , , และ: ^{[ 33 ]}${\displaystyle q>0}$${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

ดังนั้น ฟังก์ชัน Mathieu ที่ปรับเปลี่ยนแล้วจะลดลงแบบเลขชี้กำลังสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์จริงขนาดใหญ่ การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกที่คล้ายกันนี้สามารถเขียนได้สำหรับและ; ซึ่งจะลดลงแบบเลขชี้กำลังสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์จริงขนาดใหญ่เช่นกัน ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$

สำหรับฟังก์ชัน Mathieu ที่เป็นคาบคู่และคี่และจำนวนลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง เราสามารถหาการขยายอนุกรมเชิงเส้นกำกับสำหรับค่าขนาดใหญ่ได้เช่นกัน[ ^{34 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนลักษณะเฉพาะ จะมีค่าประมาณเป็นจำนวนเต็มคี่ นั่นคือ${\displaystyle ce,se}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

สังเกตสมมาตรที่นี่ในการแทนที่และด้วยและซึ่งเป็นคุณลักษณะที่สำคัญของการขยาย เทอมของการขยายนี้ได้รับมาอย่างชัดเจนจนถึงเทอมลำดับ[ ^{35 ] ที่} นี่เป็นเพียงจำนวนเต็มคี่โดยประมาณ เนื่องจากในขีดจำกัดของส่วนต่ำสุดทั้งหมดของศักยภาพแบบคาบจะกลายเป็นตัวสั่นฮาร์มอนิกอิสระอย่างมีประสิทธิภาพ (ดังนั้นจึงเป็นจำนวนเต็มคี่) โดยการลดการทะลุผ่านสิ่งกีดขวางจะกลายเป็นไปได้ (ในภาษาฟิสิกส์) นำไปสู่การแยกตัวเลขลักษณะเฉพาะ(ในกลศาสตร์ควอนตัมเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะ) ที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน Mathieu แบบคาบคู่และคี่ การแยกนี้ได้รับด้วยเงื่อนไขขอบเขต^{[ 35 ]} (ในกลศาสตร์ควอนตัม สิ่งนี้ทำให้เกิดการแยกค่าลักษณะเฉพาะออกเป็นแถบพลังงาน) ^{[ 36 ]}เงื่อนไขขอบเขตคือ: ${\displaystyle q^{1/2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle -q^{1/2}}$${\displaystyle -N}$${\displaystyle |q|^{-7/2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q\to \infty }$${\displaystyle \cos 2x}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a\to a_{\mp }}$

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

เมื่อกำหนดเงื่อนไขขอบเขตเหล่านี้ให้กับฟังก์ชัน Mathieu แบบคาบเชิงอะซิมโทติกที่เกี่ยวข้องกับการขยายข้างต้นจะได้ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

จากนั้นจะได้ค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าไอเกนที่สอดคล้องกันโดยการขยายความ กล่าวคือ

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

การแทนค่าสูตรที่เหมาะสมลงในสมการข้างต้นจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

เนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ Mathieu คู่หรือ(เช่น มีเครื่องหมายลบด้านบน) และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ Mathieu คี่หรือ (เช่น มีเครื่องหมายบวกด้านล่าง) การขยายแบบชัดเจนและแบบปกติของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสามารถพบได้ใน^{[ 35 ]}หรือ^{[ 36 ]}${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$${\displaystyle ce_{N_{0}}}$${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$${\displaystyle se_{N_{0}}}$

สามารถหาการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกที่คล้ายกันได้สำหรับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์คาบอื่นๆ เช่นฟังก์ชัน Lamé และ ฟังก์ชันคลื่นทรงรีแบบยาวและแบบแบน

ลักษณะเชิงอะซิมโทติกของคำตอบเชิงอะซิมโทติกของสมการ Mathieu ได้รับการตรวจสอบอย่างละเอียดโดยการตรวจสอบพฤติกรรมลำดับใหญ่ของการขยาย^{[ 37 ] [ 38 ]}

สมการเชิงอนุพันธ์ของมาติเยอปรากฏในบริบทที่หลากหลายในสาขาวิศวกรรม ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์ การประยุกต์ใช้เหล่านี้ส่วนใหญ่จัดอยู่ในสองประเภทหลัก ได้แก่ 1) การวิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในเรขาคณิตวงรี และ 2) ปัญหาพลศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับแรงที่เปลี่ยนแปลงเป็นคาบในอวกาศหรือเวลา ตัวอย่างในทั้งสองประเภทจะกล่าวถึงต่อไปนี้

ฟังก์ชัน Mathieu เกิดขึ้นเมื่อการแยกตัวแปรในพิกัดวงรีถูกนำไปใช้กับ 1) สมการ Laplaceใน 3 มิติ และ 2) สมการ Helmholtzใน 2 หรือ 3 มิติ เนื่องจากสมการ Helmholtz เป็นสมการต้นแบบสำหรับการจำลองการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของคลื่นคลาสสิก ฟังก์ชัน Mathieu จึงสามารถใช้เพื่ออธิบายปรากฏการณ์คลื่นต่างๆ ได้ ตัวอย่างเช่น ในแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถใช้ในการวิเคราะห์การกระเจิงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากทรงกระบอกวงรี และการแพร่กระจายของคลื่นในท่อนำคลื่น วงรี ^{[ 39 ]}ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไปคำตอบคลื่นระนาบที่แน่นอนของสมการสนามของ Einsteinสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชัน Mathieu

เมื่อไม่นานมานี้ ฟังก์ชัน Mathieu ได้ถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหากรณีพิเศษของสมการ Smoluchowskiซึ่งอธิบายสถิติสถานะคงที่ของ อนุภาคที่ ขับเคลื่อนด้วยตนเอง^{[ 40 ]}

ส่วนที่เหลือของส่วนนี้จะอธิบายรายละเอียดการวิเคราะห์สมการเฮล์มโฮลทซ์สองมิติ^{[ 41 ]}ในพิกัดสี่เหลี่ยม สมการเฮล์มโฮลทซ์คือ

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

พิกัดวงรีถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

โดยที่, , และเป็นค่าคงที่บวก สมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดเหล่านี้คือ ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

เส้นโค้ง คงที่เหล่านี้เป็นวงรีแบบคอนโฟกัลที่มีความยาวโฟกัส ; ดังนั้นพิกัดเหล่านี้จึงสะดวกสำหรับการแก้สมการเฮล์มโฮลทซ์บนโดเมนที่มีขอบเขตเป็นรูปวงรี การแยกตัวแปรผ่านจะได้สมการมาธิเยอ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ของการแยก ${\displaystyle a}$

ตัวอย่างทางกายภาพเฉพาะเจาะจง สมการ Helmholtz สามารถตีความได้ว่าเป็นการอธิบายโหมดปกติของเมมเบรนยืดหยุ่นภายใต้แรงดึง สม่ำเสมอ ในกรณีนี้ เงื่อนไขทางกายภาพต่อไปนี้จะถูกกำหนด: ^{[ 42 ]}

• ความเป็นคาบโดยสัมพันธ์กับเช่น${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• ความต่อเนื่องของการเคลื่อนที่ข้ามเส้นเชื่อมจุดโฟกัส:${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• ความต่อเนื่องของอนุพันธ์ข้ามเส้นโฟกัส:${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

สำหรับค่าที่กำหนดนี้ จะจำกัดคำตอบให้อยู่ในรูปแบบและโดยที่ ซึ่งเหมือนกับการจำกัดค่าที่อนุญาตของสำหรับค่าที่กำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับเกิดขึ้นเนื่องจากการกำหนดเงื่อนไขทางกายภาพบนพื้นผิวขอบเขตบางอย่าง เช่น ขอบเขตวงรีที่กำหนดโดยตัวอย่างเช่น การยึดเมมเบรนที่จะกำหนดซึ่งในทางกลับกันต้องใช้ ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$