สมการเวลาอธิบายความคลาดเคลื่อนระหว่างเวลาสุริยะ สองประเภท เวลาสองประเภทที่แตกต่างกันคือเวลาสุริยะปรากฏซึ่งติดตามการเคลื่อนที่รายวันของดวงอาทิตย์ โดยตรง และเวลาสุริยะเฉลี่ยซึ่งติดตาม ดวงอาทิตย์ เฉลี่ย ตามทฤษฎี ที่มีการเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามเส้นศูนย์สูตรท้องฟ้าเวลาสุริยะปรากฏสามารถหาได้จากการวัดตำแหน่งปัจจุบัน ( มุมชั่วโมง ) ของดวงอาทิตย์ ตามที่ระบุ (ด้วยความแม่นยำที่จำกัด) โดยนาฬิกาแดด เวลาสุริยะ เฉลี่ย สำหรับสถานที่เดียวกันจะเป็นเวลาที่นาฬิกาคงที่ซึ่งตั้งค่าไว้เพื่อ ให้ความแตกต่างจากเวลาสุริยะปรากฏตลอดทั้งปีมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์^{[ 1 ]}

สมการเวลาคือส่วนประกอบทางทิศตะวันออกหรือทิศตะวันตกของอนาเลมมาซึ่งเป็นเส้นโค้งที่แสดงถึงการเบี่ยงเบนเชิงมุมของดวงอาทิตย์จากตำแหน่งเฉลี่ยบนทรงกลมท้องฟ้าเมื่อมองจากโลก ค่าสมการเวลาสำหรับแต่ละวันของปี ซึ่งรวบรวมโดยหอดูดาว ทางดาราศาสตร์ ได้รับการระบุไว้อย่างกว้างขวางในปฏิทินและปฏิทินดาราศาสตร์ [ ^{2 ] [ 3 ] : 14}

สมการของเวลาสามารถประมาณได้ด้วยผลรวมของคลื่นไซน์ สองลูก :

${\displaystyle \Delta t_{ey}=-7.659\sin(D)+9.863\sin \left(2D+3.5932\right)}$[นาที]

ที่ไหน:${\displaystyle D=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d)}$

โดยที่แทนจำนวนวันนับตั้งแต่วันที่ 1 มกราคมของปีปัจจุบัน ${\displaystyle d}$${\displaystyle y}$

ในระหว่างปี สมการเวลาจะเปลี่ยนแปลงไปตามที่แสดงในกราฟ การเปลี่ยนแปลงจากปีหนึ่งไปอีกปีหนึ่งนั้นเล็กน้อย เวลาปรากฏและนาฬิกาแดดอาจเร็วกว่า (เร็ว) ได้มากถึง 16  นาที  33  วินาที (ประมาณวันที่ 3 พฤศจิกายน) หรือช้ากว่า (ช้า) ได้มากถึง 14 นาที 6 วินาที (ประมาณวันที่ 11 กุมภาพันธ์) สมการเวลามีค่าเป็นศูนย์ใกล้กับวันที่ 15 เมษายน 13 มิถุนายน 1 กันยายน และ 25 ธันวาคม หากไม่นับการเปลี่ยนแปลงที่ช้ามากในวงโคจรและการหมุนของโลก เหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นซ้ำในเวลาเดียวกันทุกปีสุริยคติอย่างไรก็ตาม เนื่องจากจำนวนวันในหนึ่งปีไม่ใช่จำนวนเต็ม วันที่เหล่านี้จึงอาจแตกต่างกันไปประมาณหนึ่งวันในแต่ละปี ตัวอย่างเช่น ความไม่แม่นยำของวันที่ ตามปฏิทินคอมพิวเตอร์แบบโต้ตอบหลายปี ของหอดูดาวกองทัพเรือสหรัฐฯ สมการเวลามีค่าเป็นศูนย์ที่เวลา 02:00 UT1ในวันที่ 16 เมษายน 2554 ^{[ 4 ] : 277}

กราฟของสมการเวลาโดยประมาณนั้นใกล้เคียงกับผลรวมของเส้นโค้งไซน์สองเส้น เส้นหนึ่งมีคาบหนึ่งปี และอีกเส้นหนึ่งมีคาบครึ่งปี เส้นโค้งเหล่านี้สะท้อนถึงปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์สองอย่าง ซึ่งแต่ละอย่างทำให้เกิดความไม่สม่ำเสมอที่แตกต่างกันในการเคลื่อนที่ปรากฏรายวันของดวงอาทิตย์เมื่อเทียบกับดวงดาว:

• ความเอียงของระนาบสุริยวิถี (ระนาบการโคจรประจำปีของโลกรอบดวงอาทิตย์) ซึ่งเอียงประมาณ 23.44 องศาเมื่อเทียบกับระนาบเส้นศูนย์สูตร ของโลก และ
• ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของโลกที่โคจรรอบดวงอาทิตย์นั้นอยู่ที่ประมาณ 0.0167

สมการเวลาจะหายไปเฉพาะกับดาวเคราะห์ที่มีแกนเอียงเป็นศูนย์และความเยื้องศูนย์ของวงโคจรเป็นศูนย์เท่านั้น^{[ 5 ]}ตัวอย่างของดาวเคราะห์ที่มีสมการเวลาขนาดใหญ่สองดวง ได้แก่ ดาวอังคารและดาวยูเรนัส บนดาวอังคารความแตกต่างระหว่างเวลาของนาฬิกาแดดและเวลาของนาฬิกาอาจมากถึง 50 นาที เนื่องมาจากความเยื้องศูนย์ของวงโคจรที่มากกว่ามาก ดาวเคราะห์ยูเรนัสซึ่งมีแกนเอียงขนาดใหญ่มาก มีสมการเวลาที่ทำให้วันของมันเริ่มต้นและสิ้นสุดเร็วขึ้นหรือช้าลงหลายชั่วโมง ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในวงโคจรของมัน

หอดูดาวกองทัพเรือสหรัฐฯ ระบุว่า "สมการเวลาคือผลต่างระหว่างเวลาสุริยะปรากฏกับเวลาสุริยะเฉลี่ย " กล่าวคือ ถ้าดวงอาทิตย์เร็วกว่านาฬิกา เครื่องหมายจะเป็นบวก และถ้านาฬิกาเร็วกว่าดวงอาทิตย์ เครื่องหมายจะเป็นลบ^{[ 6 ] [ 7 ]}สมการเวลาแสดงอยู่ในกราฟด้านบนสำหรับช่วงเวลามากกว่าหนึ่งปีเล็กน้อย กราฟด้านล่าง (ซึ่งครอบคลุมหนึ่งปีปฏิทินพอดี) มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน แต่เครื่องหมายจะกลับกัน เนื่องจากแสดงให้เห็นว่านาฬิกาเร็วกว่าดวงอาทิตย์มากน้อยเพียงใด สิ่งพิมพ์อาจใช้รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งก็ได้ ในโลกที่ใช้ภาษาอังกฤษ การใช้งานแบบแรกเป็นที่นิยมมากกว่า แต่ก็ไม่ได้ปฏิบัติตามเสมอไป ผู้ใดก็ตามที่ใช้ตารางหรือกราฟที่ตีพิมพ์ควรตรวจสอบการใช้เครื่องหมายก่อน บ่อยครั้งจะมีหมายเหตุหรือคำบรรยายที่อธิบายไว้ มิฉะนั้น สามารถกำหนดการใช้งานได้โดยการทราบว่า ในช่วงสามเดือนแรกของแต่ละปี นาฬิกาจะเร็วกว่านาฬิกาแดด คำช่วยจำ "NYSS" (ออกเสียงว่า "ไนซ์") ซึ่งย่อมาจาก "new year, sundial slow" อาจมีประโยชน์ ตารางที่เผยแพร่บางตารางหลีกเลี่ยงความกำกวมโดยไม่ใช้สัญลักษณ์ แต่แสดงวลีเช่น "sundial fast" หรือ "sundial slow" แทน^{[ 8 ]}

วลี "สมการเวลา" มาจากภาษาละตินยุคกลางaequātiō diērumซึ่งหมายถึง "สมการของวัน" หรือ "ความแตกต่างของวัน" คำว่าสมการถูกใช้ในความหมายยุคกลางของ "การปรับความแตกต่างให้สอดคล้องกัน" คำว่าaequātiō (และภาษาอังกฤษยุคกลางequation ) ถูกใช้ในดาราศาสตร์ยุคกลางเพื่อจัดทำตารางความแตกต่างระหว่างค่าที่สังเกตได้กับค่าที่คาดหวัง (เช่น สมการของศูนย์กลาง สมการของวิษุวัต สมการของวงโคจรย่อย) Gerald J. Toomerใช้คำว่า "สมการ" ในยุคกลาง ซึ่งมาจากภาษาละตินaequātiō (การปรับให้เท่ากันหรือการปรับ) สำหรับความแตกต่างของปโตเลมีระหว่างเวลาสุริยะเฉลี่ยและเวลาสุริยะปรากฏ คำจำกัดความของสมการของ โยฮันเนส เคปเลอร์คือ "ความแตกต่างระหว่างจำนวนองศาและนาทีของความผิดปกติเฉลี่ยและองศาและนาทีของความผิดปกติที่แก้ไขแล้ว" ^{[ 9 ] : 155}

ความแตกต่างระหว่างเวลาสุริยะปรากฏและเวลาเฉลี่ยได้รับการยอมรับจากนักดาราศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ แต่ก่อนการประดิษฐ์นาฬิกาเชิงกลที่แม่นยำในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 นาฬิกาแดดเป็นนาฬิกาบอกเวลาที่เชื่อถือได้เพียงอย่างเดียว และเวลาสุริยะปรากฏถือเป็นมาตรฐานที่ยอมรับกันโดยทั่วไป เวลาเฉลี่ยไม่ได้เข้ามาแทนที่เวลาปรากฏในปฏิทินและปฏิทินดาราศาสตร์ของประเทศจนกระทั่งต้นศตวรรษที่ 19 ^{[ 10 ]}

ชาวบาบิโลนทราบดีอยู่แล้วว่าดวงอาทิตย์เคลื่อนที่ไม่แน่นอนในแต่ละวัน

หนังสือเล่มที่ 3 ของAlmagestของปโตเลมี (ศตวรรษที่ 2) เกี่ยวข้องกับความผิดปกติของดวงอาทิตย์เป็นหลัก และเขาก็ได้จัดทำตารางสมการเวลาไว้ใน Handy Tables ของเขา[ 11 ^]ปโตเลมีได้กล่าวถึงการแก้ไขที่จำเป็นในการแปลงการข้ามเส้นเมริเดียนของดวงอาทิตย์เป็นเวลาสุริยะเฉลี่ย และคำนึงถึงการเคลื่อนที่ที่ไม่สม่ำเสมอของดวงอาทิตย์ตามสุริยวิถีและการแก้ไขเส้นเมริเดียนสำหรับลองจิจูดสุริยวิถีของดวงอาทิตย์ เขากล่าวว่าการแก้ไขสูงสุดคือ8+1/3องศา  เวลาหรือ 5/9 ของชั่วโมง (หนังสือเล่มที่ 3 บทที่ 9) ^{[ 12 ]} อย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้พิจารณาว่าผลกระทบ นี้ มีความเกี่ยวข้องกับการคำนวณส่วนใหญ่ เนื่องจากมันไม่สำคัญสำหรับดวงดาวที่เคลื่อนที่ช้า และ เขาใช้เฉพาะกับดวงดาวที่เคลื่อนที่เร็วที่สุดคือดวงจันทร์เท่านั้น

จากการอภิปรายของปโตเลมีในอัลมาเกสต์ค่าสำหรับสมการเวลา (ภาษาอาหรับtaʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) ถือเป็นมาตรฐานสำหรับตาราง ( zij ) ในงานดาราศาสตร์อิสลามยุค^กลาง [ ^{13 ]}

เนวิล มาสเคลีน ได้ให้คำอธิบายเกี่ยวกับเวลาปรากฏและเวลาเฉลี่ยไว้ในปฏิทินเดินเรือประจำปี 1767 ว่า "เวลาปรากฏคือเวลาที่อนุมานได้ทันทีจากดวงอาทิตย์ ไม่ว่าจะจากการสังเกตการเคลื่อนผ่านเส้นเมริเดียน หรือจากการสังเกตการขึ้นหรือตกของดวงอาทิตย์ เวลาดังกล่าวแตกต่างจากเวลาที่แสดงโดยนาฬิกาและเครื่องบอกเวลาที่ได้รับการปรับตั้งอย่างดีบนบก ซึ่งเรียกว่าเวลาสมดุลหรือเวลาเฉลี่ย" เขากล่าวต่อไปว่า ในทะเล เวลาปรากฏที่พบจากการสังเกตดวงอาทิตย์จะต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้สมการเวลา หากผู้สังเกตต้องการเวลาเฉลี่ย^{[ 1 ]}

เดิมทีเวลาที่ถูกต้องนั้นถือว่าเป็นเวลาที่แสดงโดยนาฬิกาแดด เมื่อมีการนำนาฬิกาเชิงกลที่ดีมาใช้ นาฬิกาเหล่านั้นจะตรงกับนาฬิกาแดดเพียงประมาณสี่วันในแต่ละปี ดังนั้นจึงใช้สมการเวลาเพื่อ "แก้ไข" การอ่านค่าของนาฬิกาเพื่อให้ได้เวลาของนาฬิกาแดด นาฬิกาบางเรือนที่เรียกว่านาฬิกาสมการ มีกลไกภายในเพื่อทำการ "แก้ไข" นี้ ต่อมา เมื่อนาฬิกากลายเป็นเครื่องบอกเวลาที่ดีที่แพร่หลาย เวลาของนาฬิกาที่ไม่ได้รับการแก้ไข หรือ "เวลาเฉลี่ย" จึงกลายเป็นมาตรฐานที่ยอมรับกัน การอ่านค่าของนาฬิกาแดด เมื่อมีการใช้งาน จะได้รับการแก้ไขด้วยสมการเวลา ซึ่งใช้ในทิศทางตรงกันข้ามกับก่อนหน้านี้ เพื่อให้ได้เวลาของนาฬิกา ดังนั้น นาฬิกาแดดหลายเรือนจึงมีตารางหรือกราฟของสมการเวลาสลักไว้เพื่อให้ผู้ใช้สามารถทำการแก้ไขนี้ได้^{[ 8 ] : 123}

สมการเวลาถูกนำมาใช้ในการตั้งเวลา มาตั้งแต่สมัยโบราณ ระหว่างการประดิษฐ์นาฬิกาที่แม่นยำในปี ค.ศ. 1656 และการเกิดขึ้นของบริการกระจายเวลาเชิงพาณิชย์ราวปี ค.ศ. 1900 มีวิธีการตั้งเวลาบนพื้นดินหลายวิธีที่ใช้กันทั่วไป คือ การอ่านค่าจากนาฬิกาแดดและปรับแก้ด้วยตารางหรือกราฟของสมการเวลา

หากมีเครื่องมือวัดการผ่านของดวงอาทิตย์ หรือความแม่นยำเป็นสิ่งสำคัญ การผ่านของดวงอาทิตย์ข้าม เส้นเมริเดียน (ช่วงเวลาที่ดวงอาทิตย์ปรากฏอยู่ทางทิศใต้หรือทิศเหนือของผู้สังเกตการณ์ ซึ่งเรียกว่าจุดสูงสุด ) จะถูกบันทึกไว้ จากนั้นนาฬิกาจะถูกตั้งเป็นเที่ยงวันและชดเชยด้วยจำนวนนาทีที่กำหนดโดยสมการเวลาสำหรับวันนั้น วิธีที่สามไม่ได้ใช้สมการเวลา แต่ใช้ การสังเกตการณ์ ดวงดาวเพื่อให้ได้เวลาดาราศาสตร์โดยใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ระหว่างเวลาดาราศาสตร์และเวลาสุริยะเฉลี่ย [ ^{14 ] : 57–58} วิธีการที่แม่นยำกว่ายังเป็นพื้นฐานในการหา ลองจิจูดของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับเส้นเมริเดียนหลักเช่น ในการสำรวจทางธรณีวิทยาบนบกและการนำทางทางดาราศาสตร์ในทะเล

ตารางแรกที่ให้สมการเวลาในรูปแบบที่ถูกต้องอย่างแท้จริงได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1665 โดยChristiaan Huygens [ ^{15 ] Huygens}ตามธรรมเนียมของ Ptolemy และนักดาราศาสตร์ในยุคกลางโดยทั่วไป ได้กำหนดค่าสำหรับสมการเวลาเพื่อให้ค่าทั้งหมดเป็นบวกตลอดทั้งปี^{[ 15 ]}ซึ่งหมายความว่านาฬิกาใดๆ ที่ตั้งเวลาตามค่าเฉลี่ยของตารางของ Huygens จะช้ากว่าค่าเฉลี่ยของวันนี้ประมาณ 15 นาทีอย่างสม่ำเสมอ

ตารางชุดอื่นได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1672–73 โดยJohn Flamsteedซึ่งต่อมาได้เป็นนักดาราศาสตร์หลวงคน แรก ของหอดูดาวหลวงกรีนิช แห่งใหม่ ตารางเหล่านี้ดูเหมือนจะเป็นตารางที่ถูกต้องเป็นครั้งแรกซึ่งให้ความหมายของเวลาเฉลี่ยในปัจจุบัน (ก่อนหน้านี้ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เครื่องหมายของสมการจะเป็นบวกเสมอ และจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์เมื่อเวลาปรากฏของพระอาทิตย์ขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเทียบกับเวลาจริงของพระอาทิตย์ขึ้น) Flamsteed ได้นำเอาธรรมเนียมการจัดทำตารางและตั้งชื่อการแก้ไขมาใช้ในแง่ที่ว่าจะต้องนำไปใช้กับเวลาปรากฏเพื่อให้ได้เวลาเฉลี่ย^{[ 16 ]}

สมการเวลาซึ่งอิงตามส่วนประกอบหลักสองส่วนของการเคลื่อนที่ปรากฏที่ไม่สม่ำเสมอของดวงอาทิตย์อย่างถูกต้องนั้น ไม่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปจนกระทั่งหลังจากตารางของ Flamsteed ในปี 1672–73 ซึ่งตีพิมพ์พร้อมกับฉบับหลังมรณกรรมของผลงานของJeremiah Horrocks [ ^{17 ] : 49}

โรเบิร์ต ฮุค (1635–1703) ผู้ซึ่งวิเคราะห์ข้อต่อสากล ทางคณิตศาสตร์ เป็นคนแรกที่สังเกตว่าเรขาคณิตและคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสมการเวลา (ที่ไม่ใช่ทางโลก) และข้อต่อสากลนั้นเหมือนกัน และเสนอให้ใช้ข้อต่อสากลในการสร้าง "นาฬิกาแดดเชิงกล" ^{[ 18 ] : 219}

การแก้ไขในตารางของฟลามสตีดในปี ค.ศ. 1672–1673 และ 1680 ทำให้ค่าเวลาเฉลี่ยที่คำนวณได้ถูกต้องโดยพื้นฐานและไม่จำเป็นต้องปรับแก้เพิ่มเติม แต่ค่าตัวเลขในตารางสมการเวลาได้เปลี่ยนแปลงไปบ้างนับตั้งแต่นั้นมา เนื่องมาจากสามปัจจัย:

• การปรับปรุงความแม่นยำโดยทั่วไปที่เกิดจากการพัฒนาเทคนิคการวัดทางดาราศาสตร์ให้ดียิ่งขึ้น
• การเปลี่ยนแปลงภายในอย่างช้าๆ ในสมการเวลา ซึ่งเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในระยะยาวของความเอียงและความเยื้องศูนย์กลางของโลก (ซึ่งส่งผลต่อระยะทางและวันที่ของการโคจรเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ ที่สุด เป็นต้น) และ
• การรวมแหล่งกำเนิดความแปรผันเพิ่มเติมเล็กน้อยในการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงอาทิตย์ ซึ่งไม่เป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 17 แต่ถูกค้นพบตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 เป็นต้นไป รวมถึงผลกระทบของดวงจันทร์ (ดูจุดศูนย์กลางมวล ) ดาวศุกร์ และดาวพฤหัสบดี^{[ 19 ]}

ตั้งแต่ปี 1767 ถึงปี 1833 ปฏิทินเดินเรือและปฏิทินดาราศาสตร์ ของอังกฤษ ได้จัดทำตารางสมการเวลาในความหมายว่า 'บวกหรือลบ (ตามคำสั่ง) จำนวนนาทีและวินาทีที่ระบุไว้จากเวลาปรากฏเพื่อให้ได้เวลาเฉลี่ย' เวลาในปฏิทินใช้เวลาสุริยะปรากฏ เนื่องจากเวลาบนเรือส่วนใหญ่มักกำหนดโดยการสังเกตดวงอาทิตย์ การคำนวณนี้จะทำในกรณีที่ไม่ปกติที่ต้องการเวลาสุริยะเฉลี่ยของการสังเกต ในฉบับตั้งแต่ปี 1834 เป็นต้นมา เวลาทั้งหมดใช้เวลาสุริยะเฉลี่ย เนื่องจากในเวลานั้นเวลาบนเรือมักถูกกำหนดโดยนาฬิกาเดินเรือ มากขึ้น คำแนะนำจึงเป็นการบวกหรือลบ (ตามคำสั่ง) จำนวนนาทีที่ระบุไว้จากเวลาเฉลี่ยเพื่อให้ได้เวลาปรากฏ ดังนั้นการบวกจึงสอดคล้องกับสมการที่เป็นบวก และการลบสอดคล้องกับสมการที่เป็นลบ

เนื่องจากการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงอาทิตย์ในแต่ละวันคือหนึ่งรอบต่อวัน หรือ 360° ทุก 24 ชั่วโมง และดวงอาทิตย์เองปรากฏเป็นแผ่นดิสก์ขนาดประมาณ 0.5° บนท้องฟ้า นาฬิกาแดดแบบง่ายๆ จึงสามารถอ่านค่าได้แม่นยำสูงสุดประมาณหนึ่งนาที เนื่องจากสมการเวลา (equation of time) มีช่วงความคลาดเคลื่อนประมาณ 33 นาที ความแตกต่างระหว่างเวลาจากนาฬิกาแดดกับเวลาจากนาฬิกาธรรมดาจึงไม่สามารถละเลยได้ นอกจากสมการเวลาแล้ว ยังต้องทำการแก้ไขเพิ่มเติมเนื่องจากระยะห่างจากเส้นเมริเดียนของเขตเวลาท้องถิ่นและเวลาฤดูร้อน (ถ้ามี) ด้วย

การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของวันสุริยะเฉลี่ยอันเนื่องมาจากการหมุนของโลกที่ช้าลง ประมาณ 2 มิลลิวินาทีต่อวันต่อศตวรรษ ซึ่งปัจจุบันสะสมได้ประมาณ 1 วินาทีทุกปีนั้น ไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาในคำจำกัดความดั้งเดิมของสมการเวลา เนื่องจากไม่สามารถรับรู้ได้ในระดับความแม่นยำของนาฬิกาแดด

โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ เมื่อมองจากโลก ดวงอาทิตย์ดูเหมือนจะโคจรรอบโลกหนึ่งรอบผ่านดาวฤกษ์พื้นหลังในหนึ่งปี หากโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ด้วยความเร็วคงที่ ในวงโคจรวงกลมในระนาบตั้งฉากกับแกนโลก ดวงอาทิตย์จะขึ้นสูงสุดทุกวันในเวลาเดียวกันเป๊ะ และเป็นตัวบอกเวลาที่สมบูรณ์แบบ (ยกเว้นผลกระทบเล็กน้อยมากจากการหมุนที่ช้าลงของโลก) แต่วงโคจรของโลกเป็นวงรีที่ไม่ได้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ดวงอาทิตย์ และความเร็วของมันแปรผันระหว่าง 30.287 ถึง 29.291 กม./วินาที ตามกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์และความเร็วเชิงมุมของมันก็แปรผันเช่นกัน ดังนั้นดวงอาทิตย์จึงดูเหมือนเคลื่อนที่เร็วขึ้น (เมื่อเทียบกับดาวฤกษ์พื้นหลัง) ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ ที่สุด (ปัจจุบันประมาณวันที่ 3 มกราคม) และช้าลงที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุดในอีกครึ่งปีต่อมา^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

ณ จุดสุดขั้วเหล่านี้ ผลกระทบนี้ทำให้เวลาปรากฏของวันสุริยะเปลี่ยนแปลงไป 7.9 วินาทีต่อวันจากค่าเฉลี่ย ดังนั้น ความแตกต่างเล็กน้อยในแต่ละวันของความเร็วจึงสะสมกันจนถึงจุดเหล่านี้ ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าโลกมีการเร่งและลดความเร็วเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยอย่างไร

ดังนั้น ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของโลกจึงก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเป็นคาบ ซึ่ง (ในการประมาณอันดับแรก) จะเป็นคลื่นไซน์ที่มีลักษณะดังนี้:

• แอมพลิจูด: 7.66 นาที
• ระยะเวลา : หนึ่งปี
• จุดศูนย์: จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (ต้นเดือนมกราคม) และจุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (ต้นเดือนกรกฎาคม)
• ค่าสุดขั้ว: ต้นเดือนเมษายน (ค่าลบ) และต้นเดือนตุลาคม (ค่าบวก)

ส่วนประกอบนี้ของ EoT แสดงโดยปัจจัยa ที่กล่าวถึงข้างต้น :

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))}$

แม้ว่าวงโคจรของโลกจะเป็นวงกลม การเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ที่รับรู้ได้ตามเส้นศูนย์สูตรท้องฟ้า ของเรา ก็ยังคงไม่สม่ำเสมอ^{[ 5 ]}นี่เป็นผลมาจากการเอียงของแกนหมุนของโลกเมื่อเทียบกับระนาบวงโคจรหรือเทียบเท่ากับการเอียงของสุริยวิถี (เส้นทางที่ดวงอาทิตย์ปรากฏให้เห็นในทรงกลมท้องฟ้า ) เมื่อเทียบกับเส้นศูนย์สูตรท้องฟ้าการฉายภาพการเคลื่อนที่นี้ลงบนเส้นศูนย์สูตรท้องฟ้า ของเรา ซึ่งใช้วัด "เวลาตามนาฬิกา" จะมีค่าสูงสุดในช่วงครึ่งปีเมื่อการเคลื่อนที่ประจำปีของดวงอาทิตย์ขนานกับเส้นศูนย์สูตร (ทำให้ความเร็วที่รับรู้เพิ่มขึ้น) และส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของไรต์แอสเซนชันเป็น หลัก ค่าต่ำสุดอยู่ที่จุดวิษุวัตเมื่อการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงอาทิตย์มีความลาดชันมากขึ้นและทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในเดคลิเนชัน มากขึ้น เหลือส่วนประกอบในไรต์แอสเซน ชันน้อยลง ซึ่งเป็นส่วนประกอบเดียวที่มีผลต่อระยะเวลาของวันสุริยะ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของความเอียงคือ การเลื่อนของเงาที่ดวงอาทิตย์ทอดลงบนนาฬิกาแดดในแต่ละวัน แม้จะอยู่บนเส้นศูนย์สูตร ก็จะน้อยลงเมื่อใกล้ถึงจุดอายันและจุดอายัน และมากขึ้นเมื่อใกล้ถึงจุดวิษุวัต หากผลกระทบนี้เกิดขึ้นเพียงอย่างเดียว วันก็จะยาวถึง 24 ชั่วโมง 20.3 วินาที (วัดจากเที่ยงวันถึงเที่ยงวัน) เมื่อใกล้ถึงจุดอายัน และสั้นกว่า 24 ชั่วโมงถึง 20.3 วินาที เมื่อใกล้ถึงจุดวิษุวัต^{[ 20 ] [ 23 ] [ 22 ]}

ในภาพด้านขวา เราจะเห็นการเปลี่ยนแปลงรายเดือนของความลาดชันที่ปรากฏของระนาบสุริยวิถี ณ เวลาเที่ยงวัน เมื่อมองจากโลก การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดจากการเคลื่อนที่คลาดเคลื่อน ที่ปรากฏ ของโลกที่หมุนรอบตัวเองตลอดทั้งปี เมื่อมองจากดวงอาทิตย์ ณ เวลาเที่ยงวัน

ในแง่ของสมการเวลา ความเอียงของระนาบสุริยวิถีส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงแบบคลื่นไซน์ดังนี้:

• แอมพลิจูด: 9.87 นาที
• ระยะเวลา: ครึ่งปี
• จุดศูนย์: วันวิษุวัตและวันเหมายัน
• ค่าสุดขั้ว: ต้นเดือนกุมภาพันธ์และสิงหาคม (ค่าลบ) และต้นเดือนพฤษภาคมและพฤศจิกายน (ค่าบวก)

ส่วนประกอบนี้ของ EoT แสดงด้วยปัจจัย "b" ที่กล่าวถึงข้างต้น:

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

(หมายเหตุ: คำว่า “ฆราวาส” ในบริบทนี้หมายถึง “เกี่ยวข้องกับการผ่านไปของเวลาในช่วงระยะเวลานาน” ไม่ใช่ “ปราศจากศาสนา” ดูตัวอย่างเช่น “ แนวโน้มฆราวาส ” ซึ่งใช้คำนี้ในความหมายเดียวกัน)

ปัจจัยทั้งสองที่กล่าวถึงข้างต้นมีคลื่นความยาว แอมพลิจูด และเฟสที่แตกต่างกัน ดังนั้นผลรวมของปัจจัยทั้งสองจึงก่อให้เกิดคลื่นที่ไม่สม่ำเสมอ ณยุค 2000 ค่าเหล่านี้คือ (หน่วยเป็นนาทีและวินาที โดยใช้ เวลา สากล ):

ในกรอบเวลาที่สั้นกว่า (หลายพันปี) การเปลี่ยนแปลงของวันที่เกิดวิษุวัตและจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดจะมีความสำคัญมากกว่า การเปลี่ยนแปลงของวิษุวัตเกิดจากการเคลื่อนตัวของแกนโลก ซึ่งทำให้วิษุวัตเลื่อนถอยหลังเมื่อเทียบกับดวงดาว แต่เราสามารถละเลยได้ในการอภิปรายปัจจุบัน เนื่องจากปฏิทินเกรกอเรียน ของเรา สร้างขึ้นในลักษณะที่รักษาวันที่วิษุวัตฤดูใบไม้ผลิไว้ที่ 20 มีนาคม (อย่างน้อยก็มีความแม่นยำเพียงพอสำหรับเป้าหมายของเราในที่นี้) การเปลี่ยนแปลงของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดเป็นการเลื่อนไปข้างหน้า ประมาณ 1.7 วันทุกศตวรรษ ในปี 1246 จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดเกิดขึ้นในวันที่ 22 ธันวาคม ซึ่งเป็นวันเหมายัน ดังนั้นคลื่นทั้งสองที่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงจึงมีจุดศูนย์ร่วมกัน และเส้นโค้งสมการเวลาจึงสมมาตร: ในหนังสือAstronomical Algorithms Meeus ระบุค่าสุดขั้วของเดือนกุมภาพันธ์และพฤศจิกายนที่ 15 นาที 39 วินาที และค่าสุดขั้วของเดือนพฤษภาคมและกรกฎาคมที่ 4 นาที 58 วินาที ก่อนหน้านั้น ค่าต่ำสุดในเดือนกุมภาพันธ์มีค่ามากกว่าค่าสูงสุดในเดือนพฤศจิกายน และค่าสูงสุดในเดือนพฤษภาคมมีค่ามากกว่าค่าต่ำสุดในเดือนกรกฎาคม อันที่จริง ในปีที่ก่อน −1900 (1901 ปีก่อนคริสตกาล) ค่าสูงสุดในเดือนพฤษภาคมมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดในเดือนพฤศจิกายน ในปี −2000 (2001 ปีก่อนคริสตกาล) ค่าสูงสุดในเดือนพฤษภาคมมีค่ามากกว่า 12 นาทีและอีกสองสามวินาที ในขณะที่ค่าสูงสุดในเดือนพฤศจิกายนมีค่าน้อยกว่า 10 นาที การเปลี่ยนแปลงตามกาลเวลานั้นเห็นได้ชัดเมื่อเปรียบเทียบกราฟสมการเวลาปัจจุบัน (ดูด้านล่าง) กับกราฟจาก 2000 ปีก่อน เช่น กราฟที่สร้างจากข้อมูลของปโตเลมี^{[ 25 ]}

ถ้าแท่งบอกเวลา (วัตถุที่ทำให้เกิดเงา) ไม่ใช่ขอบ แต่เป็นจุด (เช่น รูในจาน) เงา (หรือจุดแสง) จะลากเป็นเส้นโค้งตลอดทั้งวัน ถ้าเงาตกกระทบลงบนพื้นผิวเรียบ เส้นโค้งนี้จะเป็นภาคตัดกรวย(โดยปกติจะเป็นไฮเปอร์โบลา) เนื่องจากวงกลมของการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์รวมกับจุดของแท่งบอกเวลาจะกำหนดเป็นรูปกรวย ในช่วงวิษุวัตฤดูใบไม้ผลิและฤดูใบไม้ร่วง รูปกรวยจะกลายเป็นระนาบ และไฮเปอร์โบลาจะกลายเป็นเส้นตรง ด้วยไฮเปอร์โบลาที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละวัน เราสามารถใส่เครื่องหมายชั่วโมงลงบนไฮเปอร์โบลาแต่ละอัน ซึ่งรวมถึงการแก้ไขที่จำเป็นใดๆ ด้วย น่าเสียดายที่ไฮเปอร์โบลาแต่ละอันสอดคล้องกับสองวันต่างกัน วันหนึ่งในแต่ละครึ่งปี และสองวันนี้จะต้องมีการแก้ไขที่แตกต่างกัน วิธีแก้ปัญหาที่สะดวกคือการลากเส้นตรงสำหรับ "เวลาเฉลี่ย" และเพิ่มเส้นโค้งที่แสดงตำแหน่งที่แน่นอนของจุดเงาในเวลาเที่ยงวันตลอดทั้งปี เส้นโค้งนี้จะมีลักษณะเป็นรูปเลขแปดและเรียกว่า อนาเลมมา โดยการเปรียบเทียบเส้นอนาเลมมากับเส้นค่าเฉลี่ยเที่ยงวัน จะสามารถกำหนดปริมาณการปรับแก้ที่ต้องใช้ในวันนั้นโดยทั่วไปได้

สมการเวลาไม่ได้ถูกนำมาใช้เฉพาะในเรื่องนาฬิกาแดดและอุปกรณ์ที่คล้ายคลึงกันเท่านั้น แต่ยังถูกนำมาใช้ในหลายๆ ด้านของพลังงานแสงอาทิตย์ด้วย เครื่องจักรต่างๆ เช่นเครื่องติดตามแสงอาทิตย์และเฮลิโอสแตทต้องเคลื่อนที่ในลักษณะที่ได้รับอิทธิพลจากสมการเวลา

เวลาพลเรือนคือเวลาเฉลี่ยท้องถิ่นสำหรับเส้นเมริเดียนซึ่งมักจะผ่านใกล้ศูนย์กลางของเขตเวลาและอาจมีการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมเนื่องจากเวลาออมแสงเมื่อต้องการหาเวลาสุริยะปรากฏที่สอดคล้องกับเวลาพลเรือนที่กำหนด จะต้องพิจารณาความแตกต่างของลองจิจูดระหว่างตำแหน่งที่สนใจกับเส้นเมริเดียนของเขตเวลา เวลาออมแสง และสมการเวลา^{[ 26 ]}

สมการเวลาได้มาจากตารางหรือกราฟที่ตีพิมพ์ สำหรับวันที่ในอดีต ตารางดังกล่าวได้มาจากการวัดทางประวัติศาสตร์หรือการคำนวณ สำหรับวันที่ในอนาคต แน่นอนว่าตารางสามารถคำนวณได้เท่านั้น ในอุปกรณ์เช่นเฮลิโอสแตทที่ควบคุมด้วยคอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอร์มักจะถูกตั้งโปรแกรมให้คำนวณสมการเวลา การคำนวณอาจเป็นแบบเชิงตัวเลขหรือแบบเชิงวิเคราะห์ แบบเชิงตัวเลขนั้นอาศัย การอินทิเกรต เชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ ซึ่งรวมถึงผลกระทบทางแรงโน้มถ่วงและสัมพัทธภาพที่สำคัญทั้งหมด ผลลัพธ์มีความแม่นยำดีกว่า 1 วินาทีและเป็นพื้นฐานสำหรับข้อมูลปฏิทินดาราศาสตร์สมัยใหม่ แบบเชิงวิเคราะห์นั้นอาศัยวิธีแก้ปัญหาที่รวมเฉพาะปฏิสัมพันธ์ทางแรงโน้มถ่วงระหว่างดวงอาทิตย์และโลก ซึ่งง่ายกว่าแต่ไม่แม่นยำเท่าแบบแรก ความแม่นยำสามารถปรับปรุงได้โดยการเพิ่มการแก้ไขเล็กน้อย

การอภิปรายต่อไปนี้อธิบายอัลกอริทึมที่มีความแม่นยำพอสมควร (สอดคล้องกับข้อมูลปฏิทินภายใน 3 วินาทีในช่วงหลายปี) สำหรับสมการของเวลาที่นักดาราศาสตร์รู้จักกันดี^{[ 27 ] : 89} นอกจากนี้ยังแสดงวิธีการรับสูตรโดยประมาณอย่างง่าย (แม่นยำภายใน 1 นาทีในช่วงเวลาที่ยาวนาน) ซึ่งสามารถประเมินได้ง่ายด้วยเครื่องคิดเลข และให้คำอธิบายอย่างง่ายของปรากฏการณ์ที่ใช้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้

นิยามที่แม่นยำของสมการเวลาคือ: ^{[ 28 ] : 1529}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA} }$

ปริมาณที่ปรากฏในสมการนี้ได้แก่:

• EOT คือ ผลต่างระหว่างเวลาสุริยะปรากฏและเวลาสุริยะเฉลี่ย
• GHA คือมุมชั่วโมง กรีนวิช ของดวงอาทิตย์ที่ปรากฏ (จริง)
• GMHA = เวลาสากล − ค่าชดเชย คือ มุมชั่วโมงมาตรฐานกรีนวิชของดวงอาทิตย์เฉลี่ย (สมมุติ)

ในที่นี้ เวลาและมุมเป็นปริมาณที่สัมพันธ์กันด้วยปัจจัยต่างๆ เช่น 2π เรเดียน  = 360° = 1 วัน = 24 ชั่วโมง ส่วนต่าง EOT นั้นสามารถวัดได้ เนื่องจาก GHA เป็นมุมที่วัดได้ และเวลาสากล UT เป็นมาตราส่วนสำหรับการวัดเวลา ค่าชดเชยπ = 180° = 12 ชั่วโมงจาก UT นั้นจำเป็น เพราะ UT เป็นศูนย์ที่เที่ยงคืนเฉลี่ย ในขณะที่ GMHA = 0 ที่เที่ยงวันเฉลี่ย เวลาสากลไม่ต่อเนื่องที่เที่ยงคืนเฉลี่ย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีปริมาณวันอีกตัวหนึ่งคือNซึ่งเป็นจำนวนเต็ม เพื่อสร้างปริมาณเวลาต่อเนื่องt : t = N + ⁠ยูที/24 ชั่วโมงวัน ทั้ง GHA และ GMHA เช่น เดียวกับมุมทางกายภาพทั้งหมด มีความไม่ต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ แต่ไม่ใช่ทางกายภาพ ณ เวลาเที่ยง (เที่ยงปรากฏและเที่ยงเฉลี่ย) ของแต่ละมุม แม้จะมีความไม่ต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ของส่วนประกอบต่างๆ แต่ EOT ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการบวก (หรือลบ) 24 ชั่วโมงในช่วงเวลาสั้นๆ ระหว่างความไม่ต่อเนื่องใน GHA และ GMHA

ตามนิยามของมุมบนทรงกลมท้องฟ้าGHA = GAST − α (ดูมุมชั่วโมง ) โดยที่:

• GAST คือเวลาปรากฏของดาราศาสตร์ ที่กรีนวิช (มุมระหว่างวิษุวัต ปรากฏ และเส้นเมริเดียนในระนาบของเส้นศูนย์สูตร) ​​ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ทราบของ UT ^{[ 29 ]}
• αคือค่าไรต์แอสเซนชันของดวงอาทิตย์ที่ปรากฏ (มุมระหว่างจุดวิษุวัตที่ปรากฏกับดวงอาทิตย์จริงในระนาบของเส้นศูนย์สูตร)

เมื่อแทนค่าลงในสมการของเวลา จะได้ว่า

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับ GHA ข้างต้น เราสามารถเขียนGMHA = GAST − α _Mโดยที่พจน์สุดท้ายคือไรต์แอสเซนชันของดวงอาทิตย์เฉลี่ย สมการมักจะเขียนในรูปแบบเหล่านี้^{[ 4 ] : 275 [ 30 ] : 45}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\alpha _{M}-\alpha }$

โดยที่α _M = GAST − UT + offsetในสูตรนี้ การวัดหรือคำนวณ EOT ณ ค่าเวลาหนึ่งๆ ขึ้นอยู่กับการวัดหรือคำนวณαณ เวลานั้น ทั้งαและα _Mมีค่าเปลี่ยนแปลงจาก 0 ถึง 24 ชั่วโมงตลอดทั้งปี α มีจุดไม่ต่อเนื่อง ณ เวลาที่ขึ้นอยู่กับค่า UT ในขณะที่ α M มีจุดไม่ต่อเนื่อง ณ เวลาที่ช้ากว่าเล็กน้อย ดังนั้น เมื่อคำนวณด้วยวิธีนี้ EOT จึงมีจุดไม่ต่อเนื่องเทียมสองจุด ซึ่งสามารถกำจัดได้โดยการลบ 24 ชั่วโมงออกจากค่า EOT ในช่วงเวลาสั้นๆ หลังจุดไม่ต่อเนื่องในαและก่อนจุดไม่ต่อเนื่องในα _M EOT ที่ได้จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลา

นิยามอีกแบบหนึ่ง ซึ่งใช้สัญลักษณ์Eเพื่อแยกความแตกต่างจาก EOT คือ

${\displaystyle E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

ในที่นี้GMST = GAST − eqeqคือเวลาดาราศาสตร์เฉลี่ยของกรีนวิช (มุมระหว่างจุดวิษุวัตเฉลี่ยและดวงอาทิตย์เฉลี่ยในระนาบของเส้นศูนย์สูตร) ​​ดังนั้น GMST จึงเป็นค่าประมาณของ GAST (และEเป็นค่าประมาณของ EOT) eqeq เรียกว่าสมการของจุดวิษุวัต ซึ่งเกิดจากการสั่นไหวหรือการสั่นไหวของแกนหมุนของโลกเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบพรีเซสชัน เนื่องจากแอมพลิจูดของการสั่นไหวมีเพียงประมาณ 1.2 วินาที (18″ ของลองจิจูด) ความแตกต่างระหว่าง EOT และEจึงสามารถละเลยได้ เว้นแต่ว่าต้องการความแม่นยำระดับต่ำกว่าวินาที

นิยามที่สาม ซึ่งใช้สัญลักษณ์Δtเพื่อแยกความแตกต่างจาก EOT และEและปัจจุบันเรียกว่าสมการเวลาของปฏิทินดาราศาสตร์^{[ 28 ] : 1532} (ก่อนที่จะมีการแยกความแตกต่างระหว่าง EOT, EและΔt ซึ่งต่อมาเรียกว่าสมการเวลา) คือ

${\displaystyle \Delta t=\Lambda -\alpha }$

ในที่นี้Λคือลองจิจูดสุริยวิถีของดวงอาทิตย์เฉลี่ย (มุมจากจุดวิษุวัตเฉลี่ยไปยังดวงอาทิตย์เฉลี่ยในระนาบสุริยวิถี )

ความแตกต่างΛ − (GMST − UT + offset)คือ 1.3 วินาที ตั้งแต่ปี 1960 ถึง 2040 ดังนั้น ในช่วงเวลาจำกัดนี้Δt จึงเป็นการประมาณค่า EOT ซึ่งมีข้อผิดพลาดอยู่ในช่วง 0.1 ถึง 2.5 วินาที ขึ้นอยู่กับการแก้ไขลองจิจูดในสมการของวิษุวัต สำหรับวัตถุประสงค์หลายอย่าง เช่น การแก้ไขนาฬิกาแดด ความแม่นยำระดับนี้ก็เพียงพอแล้ว

ค่าไรต์แอสเซนชัน และสมการเวลา สามารถคำนวณได้จากทฤษฎีการเคลื่อนที่ของวัตถุสองชิ้นของนิวตัน ซึ่งวัตถุทั้งสอง (โลกและดวงอาทิตย์) โคจรเป็นวงรีรอบศูนย์กลางมวลร่วมกัน โดยใช้ทฤษฎีนี้ สมการเวลาจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle \Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha }$

โดยมุมมองใหม่ที่ปรากฏคือ:

• M = ⁠2π( t − t _p )/ที_วาย⁠คือ _{ค่า ความ}ผิดปกติเฉลี่ยซึ่งเป็นมุมจากจุดใกล้ที่สุด ของวงโคจร วงรี ไปยังดวงอาทิตย์เฉลี่ย โดยมี _ค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 2πเมื่อ tเพิ่มขึ้นจาก tpเป็น _tp + tY
• t _Y =365.259 6358  วัน คือระยะเวลาในหนึ่งปีที่ผิดปกติ : ช่วงเวลาระหว่างการผ่านจุดใกล้ที่สุดของวงโคจรโลกสองครั้งติดต่อกัน
• λ _p = Λ − Mคือลองจิจูดสุริยวิถีของจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร
• tคือเวลาแบบไดนามิกซึ่งเป็นตัวแปรอิสระในทฤษฎี ในที่นี้ถือว่าเหมือนกับเวลาต่อเนื่องตาม UT (ดูข้างต้น) แต่ในการคำนวณที่แม่นยำยิ่งขึ้น (ของ Eหรือ EOT) จะต้องคำนึงถึงความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างกันด้วย ^{[ 28 ] : 1530 [ 29 ]}รวมถึงความแตกต่างระหว่าง UT1 และ UTC ด้วย
• t _pคือค่าของ tณ จุดใกล้ที่สุดของวงโคจร (periapsis)

ในการคำนวณให้เสร็จสมบูรณ์ จำเป็นต้องใช้มุมเพิ่มเติมอีกสามมุม:

• E คือ ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงวงรีของดวงอาทิตย์(โปรดทราบว่านี่แตกต่างจาก M )
• ν ซึ่ง เป็นค่าความผิดปกติที่แท้จริงของดวงอาทิตย์
• λ = ν + λ _pซึ่งเป็นลองจิจูดที่แท้จริงของดวงอาทิตย์บนระนาบสุริยวิถี

มุมทั้งหมดเหล่านี้แสดงอยู่ในรูปทางด้านขวา ซึ่งแสดงทรงกลมท้องฟ้า และ วงโคจรวงรีของดวงอาทิตย์เมื่อมองจากโลก (เช่นเดียวกับวงโคจรของโลกเมื่อมองจากดวงอาทิตย์) ในรูปนี้εคือค่าความเอียงของแกนโลกในขณะที่e = √ 1 − ( b / a ) ²คือค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี

เมื่อกำหนดค่า0 ≤ M ≤ 2πแล้ว เราสามารถคำนวณα ( M ) ได้ โดยใช้ขั้นตอนที่รู้จักกันดีดังต่อไปนี้: ^{[ 27 ] : 89}

ขั้นแรก เมื่อกำหนดM แล้ว ให้คำนวณEจากสมการของเคปเลอร์ : ^{[ 31 ] : 159}

${\displaystyle M=Ee\sin {E}}$

แม้ว่าสมการนี้จะไม่สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำในรูปแบบปิด แต่ค่าของE ( M )สามารถหาได้จากอนุกรมอนันต์ (กำลังหรือตรีโกณมิติ) วิธีกราฟิก หรือวิธีเชิงตัวเลข หรืออีกทางหนึ่ง ให้สังเกตว่าสำหรับe = 0 , E = Mและโดยการทำซ้ำ: ^{[ 32 ] : 2}

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}}$

สามารถปรับปรุงค่าประมาณนี้ได้ สำหรับค่า e ที่มีขนาดเล็ก โดยการทำซ้ำอีกครั้ง:

${\displaystyle E\ประมาณ M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}}$,

และการทำซ้ำอย่างต่อเนื่องจะสร้างพจน์ลำดับสูงขึ้นเรื่อยๆ ของการขยายอนุกรมกำลังในeสำหรับค่าe ที่มีขนาดเล็ก (น้อยกว่า 1 มาก) พจน์สองหรือสามพจน์ของอนุกรมจะให้ค่าประมาณที่ดีสำหรับE ยิ่ง eมีค่าน้อยลงเท่าใดค่าประมาณก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น

ถัดไป เมื่อทราบEแล้ว ให้คำนวณความผิดปกติที่แท้จริงνจากความสัมพันธ์วงโคจรวงรี^{[ 31 ] : 165}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)}$

สาขาที่ถูกต้องของฟังก์ชันหลายค่าarctan xที่ควรใช้คือสาขาที่ทำให้_νเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของE ( M )โดยเริ่มจากνE _{= 0} = 0ดังนั้นสำหรับ0 ≤ E < πให้ใช้arctan x = arctan xและสำหรับπ < E ≤ 2πให้ใช้arctan x = arctan x + πที่ค่าเฉพาะE = πซึ่งอาร์กิวเมนต์ของtanเป็นอนันต์ ให้ใช้ν = Eในที่นี้arctan xเป็นสาขาหลัก| arcttan x | < ⁠π/2ฟังก์ชันที่ส่งคืนโดยเครื่องคิดเลขและแอปพลิเคชันคอมพิวเตอร์ หรืออีกทางหนึ่ง ฟังก์ชันนี้สามารถแสดงในรูปของอนุกรมเทย์เลอร์ใน e ได้ โดยสามพจน์แรกคือ:

${\displaystyle \nu \ประมาณ E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}}$.

สำหรับ ค่า e เล็กๆ การประมาณค่านี้ (หรือแม้แต่เพียงสองพจน์แรก) ก็ถือว่าดี เมื่อรวมการประมาณค่าสำหรับE ( M )เข้ากับการประมาณค่าสำหรับν ( E )จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle \nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

ความสัมพันธ์ν ( M )เรียกว่าสมการของจุดศูนย์กลางนิพจน์ที่เขียนไว้ตรงนี้เป็นการประมาณอันดับสองในeสำหรับค่าeที่ มีขนาดเล็ก ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของวงโคจรของโลก นิพจน์นี้จะให้การประมาณที่ดีมากสำหรับν ( M )

ต่อไป เมื่อทราบค่าνแล้ว ให้คำนวณค่า λจากนิยามของมัน:

${\displaystyle \lambda =\nu +\lambda _{p}}$

ค่าของλแปรผันแบบไม่เป็นเชิงเส้นกับMเนื่องจากวงโคจรเป็นรูปวงรี ไม่ใช่รูปวงกลม จากการประมาณค่าν :

${\displaystyle \lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

สุดท้าย เมื่อทราบค่าλ แล้ว ให้คำนวณαจากความสัมพันธ์สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากบนทรงกลมท้องฟ้าที่แสดงไว้ข้างต้น^{[ 33 ] : 22}

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$

โปรดสังเกตว่าควอดแรนต์ของαนั้นเหมือนกับควอดแรนต์ของλดังนั้นให้ลดค่าλให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 2π แล้วเขียน

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)}$,

โดยที่kมีค่าเป็น 0 ถ้าλอยู่ในควadrant ที่ 1, มีค่าเป็น 1 ถ้าλอยู่ในควadrant ที่ 2 หรือ 3 และมีค่าเป็น 2 ถ้าλ อยู่ในควadrant ที่ 4 สำหรับค่าที่ tan มีค่าเป็นอนันต์α = λ

แม้ว่าค่าโดยประมาณของαจะสามารถหาได้จากอนุกรมเทย์เลอร์ที่ตัดทอนเช่นเดียวกับν [ ^{34 ] : 32 แต่}การใช้สมการ^{[ 35 ] : 374 นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่า}

${\displaystyle \alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)}$

โดยที่y = tan ² ( ⁠ε/2) .โปรดทราบว่าสำหรับ ε = y = 0 , α = λและทำการวนซ้ำสองครั้ง:

${\displaystyle \alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }}$.

สมการเวลาได้มาจากการแทนค่าผลลัพธ์ของการคำนวณไรต์แอสเซนชันลงในสูตรสมการเวลา ในที่นี้ใช้ Δt ( M ) = M + λp − _α [ λ ( M )] ส่วนหนึ่งเป็นเพราะ การแก้ไขเล็กน้อย (ประมาณ 1 วินาที) ซึ่งจะทำให้ต้องใช้E นั้นไม่ได้รวมอยู่ด้วย และอีกส่วนหนึ่ง _เป็นเพราะเป้าหมายคือการได้นิพจน์เชิงวิเคราะห์ที่เรียบง่าย การใช้การประมาณค่าสองพจน์สำหรับλ ( M )และ α ( λ )ทำให้สามารถเขียนΔt เป็นนิพจน์สองพจน์ที่ชัดเจน ซึ่งกำหนดให้ เป็น Δteyเพราะเป็นการประมาณค่าอันดับแรกในe และในy

1) นาที${\displaystyle \Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)}$

สมการนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย Milne ^{[ 35 ] : 375} ซึ่งเขียนในรูปของλ = M + λ _pค่าตัวเลขที่เขียนไว้ที่นี่เป็นผลมาจากการใช้ค่าพารามิเตอร์วงโคจรe =0.016 709 , ε =23.4393 ° =0.409 093  เรเดียน และλ _p =282.9381 ° =4.938 201  เรเดียน ซึ่งสอดคล้องกับยุค 1 มกราคม 2000 เวลา 12.00 น . UT1เมื่อประเมินนิพจน์เชิงตัวเลขสำหรับΔ t _eyตามที่ระบุไว้ข้างต้น เครื่องคิดเลขจะต้องอยู่ในโหมดเรเดียนเพื่อให้ได้ค่าที่ถูกต้อง เนื่องจากค่าของ2 λ _p − 2πในอาร์กิวเมนต์ของพจน์ที่สองเขียนไว้ในหน่วยเรเดียน การประมาณค่าลำดับที่สูงกว่าก็สามารถเขียนได้เช่นกัน^{[ 36 ] : สมการ (45) และ (46)} แต่จำเป็นต้องมีพจน์มากกว่า ตัวอย่างเช่น การประมาณค่าลำดับที่สองในทั้งeและyประกอบด้วยห้าพจน์^{[ 28 ] : 1535}

2)${\displaystyle \Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)}$

การประมาณค่านี้มีศักยภาพที่จะมีความแม่นยำสูง อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังกล่าวในช่วงหลายปี พารามิเตอร์_e , ε และ λp จะต้องได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนแปลงตามเวลา^{[ 27 ] : 86 [ 28 ] : 1531,1535 ซึ่งทำให้เกิดความซับซ้อนในการคำนวณเพิ่มเติม มีการเสนอการประมาณค่าอื่นๆ เช่น Δt e [ 27 ] : 86 [ 37 ]ซึ่งใช้สม} การอันดับแรก^{ของศูนย์กลาง}_แต่^{ไม่มี การประมาณค่า}อื่นใดในการกำหนดαและΔt e ₂ ^{[ ₃₈ ] ซึ่ง ใช้}สมการอันดับสองของศูนย์กลาง

ตัวแปรเวลาMสามารถเขียนได้ทั้งในรูปของnซึ่งเป็นจำนวนวันนับจากจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด หรือDซึ่งเป็นจำนวนวันนับจากวันที่และเวลาที่กำหนด (ยุคเริ่มต้น):

3) วันวัน${\displaystyle M={\frac {2\pi }{t_{Y}}}n}$${\displaystyle =M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D}$${\displaystyle =6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

4) ${\displaystyle M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

ในที่นี้M _Dคือค่าของMณ วันและเวลาที่เลือก สำหรับค่าที่ให้มาในหน่วยเรเดียนM _Dคือค่าที่วัดได้สำหรับดวงอาทิตย์จริง ณ ยุคเริ่มต้น คือวันที่ 1 มกราคม 2000 เวลา 12.00 น. UT1 และDคือจำนวนวันที่ผ่านพ้นยุคเริ่มต้นนั้นไปแล้ว ณ จุดใกล้ที่สุดของวงโคจรM = 2πดังนั้นการแก้สมการจะได้D = D _p =2.508 109 . ซึ่งทำให้จุดใกล้ที่สุดของวงโคจรตรงกับวันที่ 4 มกราคม พ.ศ. 2543 เวลา 00:11:41 ในขณะที่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจรที่แท้จริงนั้น ตามผลลัพธ์จากMultiyear Interactive Computer Almanac ^{[ 39 ]} (ย่อว่า MICA) คือวันที่ 3 มกราคม พ.ศ. 2543 เวลา 05:17:30 ความคลาดเคลื่อนขนาดใหญ่นี้เกิดขึ้นเนื่องจากความแตกต่างระหว่างรัศมีวงโคจรที่ตำแหน่งทั้งสองมีเพียง 1 ส่วนในล้านส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง รัศมีเป็นฟังก์ชันของเวลาที่อ่อนมากใกล้จุดใกล้ที่สุดของวงโคจร ในทางปฏิบัติแล้ว หมายความว่าเราไม่สามารถได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสูงสำหรับสมการของเวลาโดยใช้n และเพิ่มวันที่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจรที่แท้จริงสำหรับปีที่กำหนด อย่างไรก็ตาม สามารถบรรลุความแม่นยำสูงได้โดยใช้สูตร ใน แง่ของD

เมื่อD > Dp _ค่า Mจะมากกว่า 2π และต้องลบค่าที่เป็นผลคูณของ 2π (ซึ่งขึ้นอยู่กับปี) ออกจากค่า M เพื่อให้ค่า M อยู่ในช่วง 0 ถึง 2π เช่นเดียวกันสำหรับปีที่ก่อนปี 2000 ต้องบวกค่าที่เป็นผลคูณของ 2π เข้าไปตัวอย่างเช่น สำหรับปี 2010 ค่า Dจะแตกต่างกันไปตั้งแต่3653ในวันที่ 1 มกราคม เวลาเที่ยงถึง4017ในวันที่ 31 ธันวาคม เวลาเที่ยง; ค่า M ที่สอดคล้องกัน คือ69.078 9468และ75.340 4748และลดลงเหลือช่วง 0 ถึง 2π โดยการลบ 10 และ 11 คูณ 2π ตามลำดับ

เราสามารถเขียนได้เสมอว่า:

5) D = n _Y + d

ที่ไหน:

• n _Y = จำนวนวันนับจากจุดเริ่มต้นจนถึงเที่ยงวันของวันที่ 1 มกราคมของปีที่ต้องการ
• 0 ≤ d ≤ 364 (365 ถ้าคำนวณสำหรับปีอธิกสุรทิน)

สมการที่ได้สำหรับปีหลังจากปี 2000 ซึ่งเขียนเป็นผลรวมของสองพจน์ โดยกำหนดให้ 1), 4) และ 5) คือ:

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))}$

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

6) [นาที] ${\displaystyle \Delta t_{ey}=a+b}$

ในรูปแบบข้อความธรรมดา:

7) การใช้พลังงาน = -7.659sin(6.24004077 + 0.01720197(365*(y-2000) + d)) + 9.863sin( 2 (6.24004077 + 0.01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3.5932 ) [นาที]

เทอม "a" แสดงถึงส่วนประกอบของความเยื้องศูนย์ เทอม "b" แสดงถึงส่วนประกอบของความเอียง

ผลลัพธ์ของการคำนวณมักจะแสดงเป็นชุดค่าในตาราง หรือกราฟของสมการเวลาเป็นฟังก์ชันของd ภาพแสดง การเปรียบเทียบกราฟของΔt , Δt eyและผลลัพธ์จาก MICA สำหรับปี 2000 จะเห็นได้ว่ากราฟของΔt _eyใกล้เคียงกับผลลัพธ์ที่ได้จาก MICA โดยค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ Err = |Δt ey − MICA2000| น้อยกว่า 1 นาทีตลอดทั้งปี ค่าสูงสุดคือ 43.2 วินาที ซึ่งเกิดขึ้นในวันที่ 276 (3 ตุลาคม) ส่วนกราฟของ Δt นั้นแทบจะแยกไม่ออกจากผลลัพธ์ของ MICA โดยค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุด_{ระหว่าง}ทั้ง_สองคือ2.46 วินาทีในวันที่ 324 (20 พฤศจิกายน )

ในการเลือกสาขาที่เหมาะสมของ ความสัมพันธ์ arctanโดยคำนึงถึงความต่อเนื่องของฟังก์ชันนั้น ฟังก์ชัน arctangent เวอร์ชันดัดแปลงจะเป็นประโยชน์ โดยจะนำความรู้เดิมเกี่ยวกับค่าที่คาดหวังของพารามิเตอร์มาใช้ ฟังก์ชัน arctangent เวอร์ชันดัดแปลงมีนิยามดังนี้:

${\displaystyle \arctan _{\eta }x=\arctan x+\pi \operatorname {round} {\left({\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}\right)}}$.

ฟังก์ชันนี้จะให้ค่าที่ใกล้เคียงกับη มากที่สุด โดยจะ ปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

เมื่อนำไปใช้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle \Delta t(M)=M+\lambda _{p}-\arctan _{M+\lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$.

พารามิเตอร์M + λ _pในที่นี้จะกำหนดค่าΔ tให้ใกล้เคียงกับค่าศูนย์มากที่สุด ซึ่งเป็นค่าที่ต้องการ

ความแตกต่างระหว่าง ผลลัพธ์ MICA และΔtได้รับการตรวจสอบทุกๆ 5 ปีในช่วงตั้งแต่ปี 1960 ถึง 2040 ในทุกกรณี ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดน้อยกว่า 3 วินาที ความแตกต่างที่มากที่สุดคือ 2.91 วินาที เกิดขึ้นในวันที่ 22 พฤษภาคม 1965 (วันที่ 141) อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้ระดับความแม่นยำนี้ในช่วงหลายปีดังกล่าว จำเป็นต้องคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงในระยะยาวของพารามิเตอร์วงโคจรตามเวลา สมการที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้คือ: ^{[ 27 ] : 86 [ 28 ] : 1531,1535}

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}}$

จากความสัมพันธ์เหล่านี้ ใน 100 ปี ( D  = ) 36 525 ), λ _pเพิ่มขึ้นประมาณ 0.5% (1.7°), eลดลงประมาณ 0.25% และεลดลงประมาณ 0.05%

ด้วยเหตุนี้ จำนวนการคำนวณที่จำเป็นสำหรับการประมาณค่าลำดับสูงใดๆ ของสมการเวลา จึงต้องใช้คอมพิวเตอร์ในการดำเนินการ หากต้องการให้ได้ความแม่นยำที่แท้จริงในช่วงเวลาที่กว้าง ในกรณีนี้ การประเมินค่า Δt โดยใช้คอมพิวเตอร์นั้นไม่ได้ยากไปกว่าการประเมินค่าใดๆ ของสมการเวลาเลย

โดยสรุปแล้วΔt ey ที่เขียนไว้ข้างต้น _นั้นคำนวณได้ง่าย แม้จะใช้เครื่องคิดเลขก็ตาม มีความแม่นยำเพียงพอ (ดีกว่า 1 นาทีในช่วง 80 ปี) สำหรับการแก้ไขนาฬิกาแดด และมีคำอธิบายทางกายภาพที่ดีคือผลรวมของสองเทอม เทอมหนึ่งเกิดจากความเอียงของแกนโลก และอีกเทอมหนึ่งเกิดจากความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งได้ใช้ไปแล้วในบทความก่อนหน้านี้ แต่สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับΔtที่พิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของMหรือสำหรับการประมาณค่าลำดับสูงกว่าใดๆ ของมัน

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณสมการของเวลาสามารถทำได้ดังนี้^{[ 37 ]}มุมมีหน่วยเป็นองศาลำดับการดำเนินการ ตามปกติ ใช้ได้

n = ⁠360°/365.24 วัน⁠

โดยที่nคือความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการโคจรของโลกในหน่วยองศาต่อวัน หรือที่เรียกว่า"การเคลื่อนที่เฉลี่ยรายวัน "

${\displaystyle A=\left(D+9\right)n}$

โดยที่Dคือวันที่ นับเป็นวันโดยเริ่มตั้งแต่วันที่ 1 มกราคม (กล่าวคือ จำนวนวันที่อยู่ในลำดับที่ของปี) 9 คือจำนวนวันโดยประมาณจากวันเหมายันในเดือนธันวาคมถึงวันที่ 31 ธันวาคมและ Aคือมุมที่โลกจะเคลื่อนที่ในวงโคจรด้วยความเร็วเฉลี่ยจากวันเหมายันในเดือนธันวาคมถึงวันที่ D

${\displaystyle B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$

Bคือมุมที่โลกเคลื่อนที่จากจุดครึ่งปีถึงวันที่Dโดยรวมการแก้ไขอันดับแรกสำหรับความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของโลก 0.0167 องศา ตัวเลข 3 คือจำนวนวันโดยประมาณจากวันที่ 31 ธันวาคมถึงวันที่โลกโคจร เข้าใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดในปัจจุบัน นิพจน์สำหรับB นี้ สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการรวมค่าคงที่เข้าด้วยกันดังนี้:

${\displaystyle B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$.

${\displaystyle C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}}$

ในที่นี้Cคือผลต่างระหว่างมุมที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฉลี่ย และมุมที่ความเร็วที่แก้ไขแล้วซึ่งฉายลงบนระนาบเส้นศูนย์สูตร แล้วหารด้วย 180° เพื่อให้ได้ผลต่างใน " ครึ่งรอบ " ค่า 23.44° คือมุมเอียงของแกนโลก ("ความเอียง")การลบจะให้เครื่องหมายตามปกติแก่สมการเวลา สำหรับค่าx ใดๆ arctan x (บางครั้งเขียนว่าtan ⁻¹ x ) จะมีหลายค่า ซึ่งแตกต่างกันด้วยจำนวนเต็มของครึ่งรอบ ค่าที่ได้จากเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์อาจไม่ใช่ค่าที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณนี้ ซึ่งอาจทำให้Cผิดพลาดด้วยจำนวนเต็มของครึ่งรอบ ครึ่งรอบส่วนเกินจะถูกลบออกในขั้นตอนถัดไปของการคำนวณเพื่อให้ได้สมการเวลา:

${\displaystyle \mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)}$ นาที

นิพจน์nint( C )หมายถึงจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับCในคอมพิวเตอร์ สามารถตั้งโปรแกรมได้ เช่นINT(C + 0.5)ค่าของมันคือ 0, 1 หรือ 2 ในช่วงเวลาต่างๆ ของปี การลบค่านี้จะได้ค่าเศษส่วนบวกหรือลบเล็กน้อยของครึ่งรอบ ซึ่งจะถูกคูณด้วย 720 ซึ่งเป็นจำนวนนาที (12 ชั่วโมง) ที่โลกหมุนรอบตัวเองครึ่งรอบเมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์ เพื่อให้ได้สมการเวลา

เมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่เผยแพร่^{[ 8 ]}การคำนวณนี้มี ข้อผิดพลาด รากกำลังสองเฉลี่ยเพียง 3.7 วินาที ข้อผิดพลาดสูงสุดคือ 6.0 วินาที ซึ่งมีความแม่นยำมากกว่าการประมาณที่อธิบายไว้ข้างต้นมาก แต่ไม่แม่นยำเท่ากับการคำนวณที่ซับซ้อน

ค่าBในการคำนวณข้างต้นเป็นค่าที่ถูกต้องสำหรับลองจิจูดสุริยวิถีของดวงอาทิตย์ (เลื่อนไป 90°) ดังนั้นค่าเดคลิเนชันของดวงอาทิตย์δจึงสามารถหาได้โดยง่าย:

${\displaystyle \delta =-\arcsin \left(\sin 23.44^{\circ }\cdot \cos B\right)}$

ซึ่งมีความแม่นยำภายในเศษส่วนขององศา

• มุม อะซิมุธ  – มุมแนวนอนจากทิศเหนือหรือทิศหลักอื่นๆ ที่ใช้เป็นเกณฑ์อ้างอิง
• วัฏจักร Milankovitch  – วัฏจักรภูมิอากาศโลก

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับสมการเวลา (นาฬิกาแดด )

• เครื่องคำนวณพลังงานแสงอาทิตย์ของ NOAA
• "บริการข้อมูล USNO"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 29 พฤษภาคม 2557(รวมถึงเวลาขึ้น/ตก/เคลื่อนผ่านของดวงอาทิตย์และวัตถุทางดาราศาสตร์อื่นๆ)
• สมการเวลาที่อธิบายไว้ในเว็บไซต์ของหอดูดาวหลวงกรีนิช
• สมการแห่งเวลาและอนาเลมมาโดย เคียรอน เทย์เลอร์
• บทความโดย Brian Tungที่มีลิงก์ไปยังโปรแกรมภาษา C ซึ่งใช้สูตรที่แม่นยำกว่าสูตรส่วนใหญ่ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ค่าความเอียงและความเยื้องศูนย์สูง) โปรแกรมนี้สามารถคำนวณค่าความเอียงของดวงอาทิตย์ สมการเวลา หรืออนาเลมมาได้
• การคำนวณโดยใช้แบบจำลองระบบสุริยะแบบโลกเป็นศูนย์กลางของปโตเลมี พร้อมกับการอภิปรายเกี่ยวกับกราฟ ET ของเขา
• นาฬิกาตั้งพื้น Equation of Time โดย John Topping ประมาณปี ค.ศ. 1720
• ตารางปรับแก้สมการเวลาหน้าเว็บที่อธิบายวิธีการปรับแก้เวลาจากนาฬิกาให้ตรงกับนาฬิกาแดด
• เครื่องวัดอุณหภูมิพลังงานแสงอาทิตย์ : คำนวณเวลาตามแสงอาทิตย์ของคุณ รวมถึงสมการเวลา
• สมการเวลา (AEquatio Dierum) : ข้อมูลภาพประกอบอย่างละเอียดเกี่ยวกับสมการเวลาในเชิงทฤษฎี นาฬิกาแดด และนาฬิกา รวมถึงวิธีการคำนวณอย่างง่ายในทางปฏิบัติ