ในทางคณิตศาสตร์เอกลักษณ์ของออยเลอร์^{[หมายเหตุ 1 ]} (หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการของออยเลอร์ ) คือความเท่าเทียมกัน$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$ ที่ไหน

• ${\displaystyle e}$คือจำนวนของออยเลอร์ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
• ${\displaystyle i}$คือหน่วยจินตนาการซึ่งตามคำนิยามแล้วเป็นไปตามเงื่อนไข${\displaystyle i^{2}=-1}$, และ
• ${\displaystyle \pi }$ค่าพาย (π)คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส มันเป็นกรณีพิเศษของสูตรของออยเลอร์${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$เมื่อได้รับการประเมินสำหรับ${\displaystyle x=\pi }$เอกลักษณ์ของออยเลอร์ถือเป็นตัวอย่างที่งดงามของคณิตศาสตร์เนื่องจากแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์อันลึกซึ้งระหว่างตัวเลขพื้นฐานที่สุดในคณิตศาสตร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์มักถูกยกมาเป็นตัวอย่างของความงามทางคณิตศาสตร์ที่ ลึกซึ้ง ^{[ 3 ]} การดำเนินการ ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสามอย่างเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ได้แก่การบวกการคูณและการยกกำลัง เอกลักษณ์นี้ยังเชื่อมโยง ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าค่าเข้าด้วย^กัน [ ^{4 ]}

• เลข0ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการบวก
• เลข1ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การคูณ
• ค่าπ ( π = 3.14159... ) ซึ่งเป็นค่าคงที่ พื้นฐาน ของวงกลม
• จำนวนe ( e = 2.71828... ) หรือที่รู้จักกันในชื่อจำนวนของออยเลอร์ ซึ่งพบเห็นได้ทั่วไปในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
• จำนวนiคือหน่วยจินตนาการโดยที่i ² = − 1

สมการมักจะถูกกำหนดในรูปแบบของนิพจน์ที่เท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นวิธีปฏิบัติทั่วไปในหลายสาขาของคณิตศาสตร์

ศาสตราจารย์Keith Devlin แห่งมหาวิทยาลัย Stanford ผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ กล่าวว่า "เช่นเดียวกับบทกวีโซเน็ต ของเชกสเปียร์ ที่จับเอาแก่นแท้ของความรัก หรือภาพวาดที่แสดงให้เห็นถึงความงามของรูปร่างมนุษย์ที่ลึกซึ้งกว่าแค่เพียงผิวเผิน สมการของออยเลอร์ก็เข้าถึงแก่นแท้ของการดำรงอยู่เช่นกัน" ^{[ 5 ]} Paul Nahinศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัย New Hampshireผู้เขียนหนังสือที่อุทิศให้กับสูตรของออยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์กล่าวว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์นั้น "มีความงดงามอย่างยิ่ง" ^{[ 6 ]}

นักเขียนคณิตศาสตร์Constance Reidกล่าวว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็น "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด" ^{[ 7 ]} Benjamin Peirceนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ และศาสตราจารย์ชาวอเมริกันในศตวรรษที่ 19 แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดหลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ในระหว่างการบรรยาย กล่าวว่า "มันขัดแย้งอย่างสิ้นเชิง เราไม่สามารถเข้าใจมัน และเราไม่รู้ว่ามันหมายความว่าอย่างไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเรารู้ว่ามันต้องเป็นความจริง" ^{[ 8 ]}

ผลสำรวจความคิดเห็นผู้อ่านในปี 1990 โดยThe Mathematical Intelligencerระบุว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์" ^{[ 9 ]}ในผลสำรวจความคิดเห็นผู้อ่านในปี 2004 โดยPhysics Worldเอกลักษณ์ของออยเลอร์ได้รับคะแนนเท่ากับสมการของแม็กซ์เวลล์ (ของแม่เหล็กไฟฟ้า ) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยมีมา" ^{[ 10 ]}

มีหนังสือ คณิตศาสตร์ยอดนิยมอย่างน้อยสามเล่มที่ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของออยเลอร์:

• สูตรอันยอดเยี่ยมของดร.ออยเลอร์: แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมายโดยพอล นาฮิน (2011) ^{[ 11 ]}
• สมการที่สง่างามที่สุด: สูตรของออยเลอร์และความงดงามของคณิตศาสตร์โดย David Stipp (2017) ^{[ 12 ]}
• สมการบุกเบิกของออยเลอร์: ทฤษฎีบทที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์โดยRobin Wilson (2018) ^{[ 13 ]}

เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ทั่วไปที่ว่า รากที่n ของเอกภาพสำหรับn > 1รวมกันได้ 0:

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$$

เอกลักษณ์ของออยเลอร์คือกรณีที่n = 2

เอกลักษณ์ที่คล้ายกันนี้ยังใช้ได้กับเลขชี้กำลังควอเทอร์เนียน ด้วย : ให้{ i , j , k } เป็น ควอเทอร์เนียนพื้นฐานจากนั้น $${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ให้qเป็นควอเทอร์เนียนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์และนอร์มเท่ากับ 1 นั่นคือ${\displaystyle q=ai+bj+ck,}$กับ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.}$จากนั้นก็มีคนหนึ่ง $${\displaystyle e^{q\pi }+1=0.}$$

สูตรเดียวกันนี้ใช้ได้กับอ็อกโทเนียนซึ่งมีส่วนจริงเป็นศูนย์และนอร์มเท่ากับ 1 สูตรเหล่านี้เป็นการขยายความโดยตรงของเอกลักษณ์ของออยเลอร์ เนื่องจาก${\displaystyle i}$และ${\displaystyle -i}$เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพียงชนิดเดียวที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์และมีค่าสัมบูรณ์ (ค่ามาตรฐาน) เท่ากับ 1

เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นผลโดยตรงจากสูตรของออยเลอร์ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในงานวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อันยิ่งใหญ่ของเขาในปี ค.ศ. 1748 ^ชื่อ Introductio in analysin infinitorum [ ^{14 ]}แต่เป็นที่น่าสงสัยว่าแนวคิดเฉพาะของการเชื่อมโยงค่าคงที่พื้นฐานห้าค่าในรูปแบบที่กระชับสามารถนำมาอ้างอิงถึงออยเลอร์เองได้หรือไม่ เนื่องจากเขาอาจไม่เคยแสดงออกถึงแนวคิดนี้เลย^{[ 15 ]}

Robin Wilsonเขียนว่า: ^{[ 16 ]}

เราได้เห็นแล้วว่า [เอกลักษณ์ของออยเลอร์] สามารถอนุมานได้ง่ายจากผลลัพธ์ของโยฮันน์ แบร์นูลลีและโรเจอร์ โคเตสแต่ดูเหมือนว่าทั้งสองคนจะไม่ได้ทำเช่นนั้น แม้แต่ออยเลอร์เองก็ดูเหมือนจะไม่ได้เขียนมันลงไปอย่างชัดเจน—และแน่นอนว่ามันไม่ปรากฏในสิ่งพิมพ์ใด ๆ ของเขา—ถึงแม้ว่าเขาจะต้องตระหนักอย่างแน่นอนว่ามันเป็นผลโดยตรงจากเอกลักษณ์ของเขา [เช่นสูตรของออยเลอร์ ] e ^ix = cos x + i sin xยิ่งไปกว่านั้น ดูเหมือนว่าจะไม่มีใครทราบว่าใครเป็นคนแรกที่กล่าวถึงผลลัพธ์นี้อย่างชัดเจน

• สูตรของเดอ มัวร์
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• ค่าคงที่ของเจลฟอนด์

• ความเข้าใจโดยสัญชาตญาณเกี่ยวกับสูตรของออยเลอร์