ในกลศาสตร์คลาสสิกกฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์เป็นสมการการเคลื่อนที่ที่ขยายกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันสำหรับอนุภาคจุดไปสู่การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็ง^{[ 1 ]} กฎ เหล่านี้ได้รับการกำหนดโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ประมาณ 50 ปีหลังจากที่ไอแซค นิวตันได้กำหนดกฎของเขา

กฎข้อแรกของออยเลอร์ระบุว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงเส้นpของวัตถุแข็งเกร็งเท่ากับผลรวมของแรงภายนอกทั้งหมดF ที่กระทำต่อวัตถุ: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}$$

แรงภายในระหว่างอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุไม่ได้มีส่วนทำให้โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนแปลง เนื่องจากมีแรงที่เท่ากันและตรงข้ามกัน ส่งผลให้ไม่มีผลสุทธิ^{[ 3 ]}

โมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุแข็งเกร็งคือผล คูณของมวลของวัตถุและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลv ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}

กฎข้อที่สองของออยเลอร์ระบุว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมLรอบจุดที่คงที่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (มักจะเป็นศูนย์กลางมวลของวัตถุ) เท่ากับผลรวมของโมเมนต์แรงภายนอก ( แรงบิด ) ที่กระทำต่อวัตถุนั้นMรอบจุดนั้น: ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}$$

โปรดทราบว่าสูตรข้างต้นใช้ได้เฉพาะในกรณีที่คำนวณทั้งMและLโดยอ้างอิงกับกรอบเฉื่อยคงที่หรือกรอบที่ขนานกับกรอบเฉื่อยแต่ยึดกับศูนย์กลางมวล สำหรับวัตถุแข็งที่เคลื่อนที่และหมุนในสองมิติเท่านั้น สามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 6 ]} โดยที่: $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},}$$

• r คือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุเทียบกับจุดที่ใช้ในการรวมโมเมนต์
• a คือความเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ
• mคือมวลของวัตถุ
• αคือความเร่งเชิงมุมของวัตถุ และ
• Iคือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบจุดศูนย์กลางมวลของมัน

ดูเพิ่มเติมที่ สมการของออยเลอร์ (พลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง )

การกระจายของแรงภายในในร่างกายที่สามารถเปลี่ยนรูปได้นั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากันตลอดทั้งตัว กล่าวคือ ความเครียดจะแตกต่างกันไปในแต่ละจุด การเปลี่ยนแปลงของแรงภายในตลอดทั้งตัวนั้นอยู่ภายใต้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันเกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุมซึ่งในการใช้งานที่ง่ายที่สุดนั้นใช้กับอนุภาคมวล แต่ในกลศาสตร์ต่อเนื่อง จะขยาย ไปถึงร่างกายที่มีมวลกระจายอย่างต่อเนื่อง สำหรับร่างกายต่อเนื่อง กฎเหล่านี้เรียกว่ากฎการเคลื่อนที่ของออยเลอร์^{[ 7 ]}

แรงรวมที่กระทำต่อวัตถุต่อเนื่องที่มีมวลm ความหนาแน่นมวลρและปริมาตรVคือ ปริพันธ์ ปริมาตรที่อินทิเกรตตลอดปริมาตรของวัตถุ:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$$

โดยที่bคือแรงที่กระทำต่อวัตถุต่อหน่วยมวล ( มิติของความเร่ง ซึ่งมักเรียกอย่างไม่ถูกต้องว่า "แรงกระทำต่อวัตถุ") และdm = ρ dVคือองค์ประกอบมวลที่เล็กมากของวัตถุ

แรงภายนอกและแรงสัมผัสที่กระทำต่อวัตถุจะนำไปสู่โมเมนต์ ( แรงบิด ) ที่สอดคล้องกันของแรงเหล่านั้นเทียบกับจุดที่กำหนด ดังนั้น แรงบิดรวมที่กระทำMรอบจุดกำเนิดจึงกำหนดโดย

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}$$

โดยที่M และM แสดงถึงโมเมนต์ที่เกิดจากแรงของตัววัตถุและแรงสัมผัสตามลำดับ

ดังนั้น ผลรวมของแรงและแรงบิดทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ (โดยอ้างอิงจากจุดกำเนิดของระบบพิกัด) สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของปริมาตรและปริพันธ์พื้นผิว :

$${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$$$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}$$

โดยที่t = t ( n )เรียกว่าแรงดึงผิวซึ่งถูกรวมเข้าด้วยกันบนผิวของวัตถุ และในทางกลับกันnแทนเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากและ ชี้ออกไปที่ผิวS

ให้ระบบพิกัด( x , x , x )เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย r เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง ของอนุภาคจุดในวัตถุต่อเนื่องเทียบกับจุดกำเนิดของระบบพิกัด และv = ⁠ดร/ดีทีให้เป็นเวกเตอร์ความเร็วของจุดนั้น

สัจพจน์ข้อแรกของออยเลอร์หรือกฎข้อแรก (กฎสมดุลของโมเมนตัมเชิงเส้นหรือสมดุลของแรง) กล่าวว่า ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงเส้นpของส่วนใดส่วนหนึ่งของวัตถุต่อเนื่องเมื่อเทียบกับเวลา จะเท่ากับแรงรวมFที่กระทำต่อส่วนนั้น และสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$$

สัจพจน์ข้อที่สองของออยเลอร์หรือกฎ (กฎสมดุลของโมเมนตัมเชิงมุมหรือสมดุลของแรงบิด) กล่าวว่า ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมLของส่วนใดส่วนหนึ่งของวัตถุต่อเนื่องจะเท่ากับแรงบิดรวมMที่กระทำต่อส่วนนั้น และสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$$

โดยที่คือความเร็ว คือปริมาตร และอนุพันธ์ของpและLคือ อนุพันธ์ เชิง วัสดุ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$

• รายชื่อหัวข้อที่ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์
• กฎการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งของออยเลอร์
• สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน-ออยเลอร์ที่มี 6 องค์ประกอบ ซึ่งเป็นการรวมกฎสองข้อของออยเลอร์เข้าไว้ในสมการเดียว