บุคคลหนึ่งได้รับซองจดหมายสองซองที่เหมือนกันทุกประการ โดยแต่ละซองบรรจุเงินจำนวนหนึ่ง ซองหนึ่งมีเงินเป็นสองเท่าของอีกซองหนึ่ง บุคคลนั้นสามารถเลือกซองใดซองหนึ่งและเก็บเงินจำนวนเท่าใดก็ได้ที่อยู่ในซองนั้น พวกเขาเลือกซองหนึ่งแบบสุ่ม แต่ก่อนที่จะเปิดซอง พวกเขามีโอกาสที่จะเลือกซองอีกซองหนึ่งแทนได้^{[ 1 ]}

สมมติว่าบุคคลนั้นให้เหตุผลดังต่อไปนี้:

ตามเหตุผลที่ผิดพลาดนี้ (ซึ่งจะอธิบายต่อไป) บุคคลนั้นควรเปลี่ยนไปใช้ระบบอื่น

ด้านล่างนี้คือแนวทางแก้ไขอย่างง่ายข้อหนึ่งจากหลายข้อที่ได้รับการเสนอมา

ข้อโต้แย้งการสลับไม่ถูกต้องตามที่ระบุไว้ เนื่องจากสัญลักษณ์Aถูกใช้ไม่สอดคล้องกัน โดยหมายถึงทั้ง (i) ตัวแปรสุ่มแบบไม่มีเงื่อนไขที่แสดงถึงจำนวนเงินในซองที่เลือก และ (ii) จำนวนเงินที่มีเงื่อนไขว่าซองนั้นมีค่าที่น้อยกว่าหรือมากกว่าของสองค่า ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเหล่านี้โดยทั่วไปจะแตกต่างกันและไม่สามารถรวมกันในการคำนวณค่าคาดหวังเดียวได้^{[ 8 ]}

การโต้แย้งแบบสลับบทบาทนั้นเขียนได้อย่างมีประสิทธิภาพว่า $${\displaystyle E(B)={\tfrac {1}{2}}E(2A)+{\tfrac {1}{2}}E(A/2),}$$ โดยถือว่าAเป็นปริมาณเดียวกันในทั้งสองกรณี การกำหนดสูตรที่ถูกต้องจะทำให้เงื่อนไขนั้นชัดเจน: $${\displaystyle {\begin{aligned}E(B)&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}E(B\mid B>A)+E(B\mid B<A){\bigr )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}E(2A\mid B>A)+E(A/2\mid B<A){\bigr )}.\end{aligned}}}$$ ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเหล่านี้ไม่ใช่ปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไข${\displaystyle E(2A)}$และ${\displaystyle E(A/2)}$.

หากจำนวนเงินในซองถูกกำหนดไว้ตายตัวแล้ว${\displaystyle x}$และ${\displaystyle 2x}$โดยมีความไม่แน่นอนเพียงแค่ว่าซองจดหมายใดถูกเลือก จากนั้น${\displaystyle E(2A\mid B>A)=2x}$และ${\displaystyle E(A/2\mid B<A)=x}$และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle E(A)=E(B)={\tfrac {1}{2}}(x+2x)={\tfrac {3}{2}}x,}$$ ดังนั้นการเปลี่ยนไปใช้ระบบอื่นจึงไม่มีข้อได้เปรียบที่คาดหวังได้

กลไกที่ใช้กำหนดจำนวนเงินในซองทั้งสองซองมีความสำคัญต่อการตัดสินใจของผู้เล่นในการสลับซองของเธอ^{[ 9 ] [ 10 ]}สมมติว่าจำนวนเงินในซอง A และ B ไม่ได้ถูกกำหนดโดยการกำหนดเนื้อหาของซอง E1 และ E2 ก่อน แล้วจึงตั้งชื่อซองเหล่านั้นว่า A และ B แบบสุ่ม (เช่น โดยการโยนเหรียญที่ยุติธรรม^{[ 11 ]} ) แต่เราเริ่มต้นตั้งแต่แรกโดยการใส่จำนวนเงินบางส่วนลงในซอง A แล้วจึงเติมซอง B ในลักษณะที่ขึ้นอยู่กับทั้งโอกาส (การโยนเหรียญ) และสิ่งที่เราใส่ลงในซอง A สมมติว่าจำนวนเงิน aในซอง A ถูกกำหนดไว้ก่อนด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง แล้วจำนวนเงินในซอง B ก็ถูกกำหนดไว้ โดยขึ้นอยู่กับสิ่งที่มีอยู่ในซอง A แล้ว ตามผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่ยุติธรรม ถ้าเหรียญออกหัว จะใส่เงิน 2aลงในซอง B ถ้าเหรียญออกก้อย จะใส่เงิน a /2 ลงในซอง B ถ้าผู้เล่นรู้กลไกนี้ และรู้ว่าตนเองถือซอง A แต่ไม่รู้ผลการโยนเหรียญ และไม่รู้ค่าaการโต้แย้งเรื่องการสลับซองจึงถูกต้อง และแนะนำให้ผู้เล่นสลับซอง ปัญหาในรูปแบบนี้ถูกนำเสนอโดย Nalebuff (1988) และมักเรียกว่าปัญหาอาลีบาบา โปรดสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องดูในซอง A เพื่อตัดสินใจว่าจะสลับซองหรือไม่

มีการนำเสนอรูปแบบปัญหาเพิ่มเติมอีกมากมาย Nickerson และFalkสำรวจอย่างเป็นระบบทั้งหมด 8 รูปแบบ^{[ 11 ]}

วิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายนั้นขึ้นอยู่กับการตีความเฉพาะเจาะจงของสิ่งที่ผู้เขียนข้อโต้แย้งพยายามคำนวณ กล่าวคือ สมมติว่าเขาต้องการค่าคาดหวัง (แบบไม่มีเงื่อนไข) ของสิ่งที่อยู่ในซอง B ในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับปัญหาซองสองซอง การตีความที่แตกต่างออกไปนั้นพบได้บ่อยกว่า โดยเกี่ยวข้องกับ ค่า คาดหวังแบบมีเงื่อนไข (ขึ้นอยู่กับสิ่งที่อาจอยู่ในซอง A) เพื่อแก้ปัญหานี้และการตีความหรือเวอร์ชันที่เกี่ยวข้อง ผู้เขียนส่วนใหญ่ใช้การตีความความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน ซึ่งหมายความว่าการให้เหตุผลเชิงความน่าจะเป็นไม่ได้นำไปใช้กับเหตุการณ์สุ่มอย่างแท้จริง เช่น การสุ่มเลือกซองเท่านั้น แต่ยังนำไปใช้กับความรู้ (หรือการขาดความรู้) ของเราเกี่ยวกับสิ่งต่างๆ ที่กำหนดไว้แต่ไม่ทราบ เช่น จำนวนเงินสองจำนวนที่ใส่ไว้ในซองสองซองในตอนแรก ก่อนที่จะสุ่มเลือกซองหนึ่งและเรียกว่า "ซอง A" ยิ่งไปกว่านั้น ตามธรรมเนียมปฏิบัติอันยาวนานที่ย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงลาปลาซและหลักการของเหตุผลที่ไม่เพียงพอเราควรจะกำหนดความน่าจะเป็นที่เท่ากันเมื่อเราไม่มีความรู้ใดๆ เกี่ยวกับค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณบางอย่างเลย ดังนั้น ข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่ได้รับแจ้งอะไรเลยเกี่ยวกับวิธีการบรรจุซองจดหมายนั้น สามารถนำมาแปลงเป็นข้อความแสดงความน่าจะเป็นเกี่ยวกับจำนวนเหล่านั้นได้แล้ว การไม่มีข้อมูลหมายความว่าความน่าจะเป็นเท่ากัน

ในขั้นตอนที่ 6 และ 7 ของการโต้แย้งแบบสลับ ผู้เขียนจินตนาการว่าซองจดหมาย A บรรจุสิ่งของจำนวนหนึ่งaและดูเหมือนจะเชื่อว่าเมื่อพิจารณาข้อมูลนั้นแล้ว ซองจดหมายอีกซองหนึ่งก็มีโอกาสเท่าๆ กันที่จะบรรจุสิ่งของจำนวนสองเท่าหรือครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้น สมมติฐานนี้จะถูกต้องก็ต่อเมื่อก่อนที่จะทราบว่ามีอะไรอยู่ในซองจดหมาย A ผู้เขียนได้พิจารณาค่าสองคู่ต่อไปนี้สำหรับซองจดหมายทั้งสองว่ามีโอกาสเท่าๆ กัน ได้แก่ จำนวนa /2 และaและจำนวนaและ 2a (สิ่งนี้เป็นไปตามกฎของเบย์สในรูปแบบอัตราต่อรอง: อัตราต่อรองภายหลังเท่ากับอัตราต่อรองก่อนหน้าคูณด้วยอัตราส่วนความน่าจะเป็น) แต่ตอนนี้เราสามารถใช้เหตุผลเดียวกัน โดยจินตนาการว่าไม่ใช่aแต่เป็นa/2ในซองจดหมาย A และในทำนองเดียวกันสำหรับ 2a และ ในทำนองเดียวกันไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยแบ่งครึ่งหรือเพิ่มเป็นสองเท่าซ้ำๆ กันหลายครั้งเท่าที่คุณต้องการ^{[ 13 ]}

สมมติเพื่อประโยชน์ในการโต้แย้ง เราเริ่มต้นด้วยการจินตนาการว่ามีจำนวนเงิน 32 ในซอง A เพื่อให้การให้เหตุผลในขั้นตอนที่ 6 และ 7 ถูกต้องไม่ว่าจำนวนเงินในซอง A จะเป็นเท่าใด เราจึงเชื่อล่วงหน้าว่าจำนวนเงินทั้งสิบจำนวนต่อไปนี้มีโอกาสเท่ากันที่จะเป็นจำนวนเงินที่น้อยกว่าในสองซอง: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (กำลังของ 2 ที่มีโอกาสเท่ากัน^{[ 13 ]} ) แต่เมื่อไปถึงจำนวนเงินที่มากขึ้นหรือน้อยลง สมมติฐาน "มีโอกาสเท่ากัน" เริ่มดูไม่สมเหตุสมผล สมมติว่าเราหยุดเพียงแค่ความเป็นไปได้สิบประการที่มีโอกาสเท่ากันสำหรับจำนวนเงินที่น้อยกว่าในสองซอง ในกรณีนั้น เหตุผลในขั้นตอนที่ 6 และ 7 นั้นถูกต้องอย่างสมบูรณ์ หากซอง A มีจำนวนเงิน 2, 4, ... 512 อยู่ การสลับซองจะทำให้ได้กำไรโดยเฉลี่ย 25% หากซอง A มีจำนวนเงิน 1 อยู่ กำไรที่คาดหวังจะเป็น 100% แต่ถ้าหากซอง A มีจำนวนเงิน 1024 อยู่ จะเกิดการขาดทุนอย่างมหาศาลถึง 50% (จากจำนวนเงินที่ค่อนข้างมาก) ซึ่งเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวในยี่สิบครั้ง แต่ก็เพียงพอที่จะชดเชยกำไรที่คาดหวังในอีก 19 ครั้งจาก 20 ครั้งที่เหลือ

หรืออีกทางหนึ่ง เราจะดำเนินการต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่ตอนนี้เรากำลังทำงานอยู่กับสมมติฐานที่ค่อนข้างไร้สาระ ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น มีโอกาสมากกว่าอย่างไม่มีที่สิ้นสุดที่จำนวนเงินในซอง A จะน้อยกว่า 1 และมีโอกาสมากกว่าอย่างไม่มีที่สิ้นสุดที่จะมากกว่า 1024 มากกว่าระหว่างค่าทั้งสองนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่ไม่เหมาะสม : แคลคูลัสความน่าจะเป็นล้มเหลว ค่าคาดหวังไม่ได้ถูกกำหนดไว้ด้วยซ้ำ^{[ 13 ]}

ผู้เขียนหลายท่านยังชี้ให้เห็นว่า หากมีผลรวมสูงสุดที่สามารถใส่ลงในซองที่มีจำนวนเงินน้อยกว่าได้ ก็จะเห็นได้ง่ายว่าขั้นตอนที่ 6 จะใช้ไม่ได้ผล เพราะหากผู้เล่นถือเงินมากกว่าผลรวมสูงสุดที่สามารถใส่ลงในซองที่มีจำนวนเงิน "น้อยกว่า" ได้ พวกเขาจะต้องถือซองที่มีจำนวนเงินมากกว่า และแน่นอนว่าจะต้องเสียเงินหากเปลี่ยนซอง แม้ว่าเหตุการณ์นี้จะไม่เกิดขึ้นบ่อยนัก แต่เมื่อเกิดขึ้น การสูญเสียอย่างหนักของผู้เล่นหมายความว่าโดยเฉลี่ยแล้ว การเปลี่ยนซองไม่มีข้อได้เปรียบใดๆ ผู้เขียนบางท่านคิดว่าวิธีนี้สามารถแก้ปัญหากรณีต่างๆ ในทางปฏิบัติได้ทั้งหมด^{[ 14 ]}

แต่ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ทางคณิตศาสตร์โดยไม่ต้องสมมติจำนวนสูงสุด Nalebuff ^{[ 14 ]} Christensen และ Utts ^{[ 15 ]} Falk และ Konold ^{[ 13 ]} Blachman, Christensen และ Utts ^{[ 16 ]} Nickerson และ Falk ^{[ 11 ]}ชี้ให้เห็นว่าหากจำนวนเงินในซองทั้งสองมีการกระจายความน่าจะเป็นที่เหมาะสมซึ่งแสดงถึงความเชื่อก่อนหน้าของผู้เล่นเกี่ยวกับจำนวนเงินในซองทั้งสองแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่ไม่ว่าจำนวนเงินA=aในซองแรกจะเป็นเท่าใด ก็จะมีโอกาสเท่ากันตามความเชื่อก่อนหน้าเหล่านี้ที่ซองที่สองจะมีa /2 หรือ 2a ดังนั้นขั้นตอนที่ 6 ของข้อโต้แย้งซึ่งนำไปสู่การสลับเสมอจึงเป็นข้อสรุปที่ไม่สมเหตุสมผล แม้ว่าจะไม่มีจำนวนสูงสุดในซองก็ตาม

มติสองข้อแรกที่กล่าวถึงข้างต้น (มติแบบ "ง่าย" และมติแบบ "เบย์เซียน") สอดคล้องกับการตีความที่เป็นไปได้สองแบบของสิ่งที่เกิดขึ้นในขั้นตอนที่ 6 ของข้อโต้แย้ง ทั้งสองแบบต่างสมมติว่าขั้นตอนที่ 6 เป็น "ขั้นตอนที่ไม่ดี" จริงๆ แต่คำอธิบายในขั้นตอนที่ 6 นั้นคลุมเครือ ผู้เขียนต้องการค่าคาดหวังโดยรวม (ไม่มีเงื่อนไข) ของสิ่งที่อยู่ในซอง B (อาจขึ้นอยู่กับจำนวนที่น้อยกว่าx ) หรือต้องการค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของสิ่งที่อยู่ในซอง B โดยพิจารณาจากจำนวนใดๆ ก็ตามaที่อาจอยู่ในซอง A? ดังนั้นจึงมีการตีความหลักสองแบบเกี่ยวกับเจตนาของผู้เขียนข้อโต้แย้งที่ขัดแย้งกันสำหรับการสลับ และมีมติหลักสองข้อ

มีงานวิจัยจำนวนมากที่พัฒนาขึ้นเกี่ยวกับรูปแบบต่างๆ ของปัญหา^{[ 17 ] [ 18 ]}ข้อสันนิษฐานมาตรฐานเกี่ยวกับวิธีการตั้งซองคือ เงินจำนวนหนึ่งอยู่ในซองหนึ่ง และเงินสองเท่าของจำนวนนั้นอยู่ในอีกซองหนึ่ง ผู้เล่นจะได้รับซองใดซองหนึ่งจากสองซอง ( ซอง A ) ปัญหาที่เสนอมาแต่เดิมไม่ได้ระบุอย่างชัดเจนว่าจำนวนเงินที่น้อยกว่าในสองจำนวนนั้นถูกกำหนดอย่างไร ค่าที่เป็นไปได้คืออะไร และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีจำนวนเงินขั้นต่ำหรือสูงสุดที่อาจบรรจุอยู่หรือไม่^{[ 19 ] [ 20 ]}อย่างไรก็ตาม หากเราใช้การตีความความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน เราจะเริ่มต้นด้วยการแสดงความเชื่อก่อนหน้าของเราเกี่ยวกับจำนวนเงินที่น้อยกว่าในสองซองผ่านการแจกแจงความน่าจะเป็น การขาดความรู้ยังสามารถแสดงได้ในแง่ของความน่าจะเป็น

รูปแบบแรกในเวอร์ชันเบย์เซียนคือการสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เหมาะสมสำหรับจำนวนเงินที่น้อยกว่าในซองทั้งสองซอง เพื่อให้เมื่อดำเนินการขั้นตอนที่ 6 อย่างถูกต้อง คำแนะนำก็ยังคงเป็นให้เลือกซอง B ไม่ว่าอะไรจะอยู่ในซอง A ก็ตาม ดังนั้นแม้ว่าการคำนวณเฉพาะที่ดำเนินการในขั้นตอนที่ 6 จะไม่ถูกต้อง (ไม่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เหมาะสมใดๆ ที่จะทำให้เมื่อกำหนดสิ่งที่อยู่ในซองแรก A แล้ว ซองอีกซองหนึ่งมีโอกาสเท่ากันที่จะมากกว่าหรือน้อยกว่า) แต่การคำนวณที่ถูกต้อง ขึ้นอยู่กับการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เราใช้ ก็จะนำไปสู่ผลลัพธ์ดังกล่าว${\displaystyle E(B|A=a)>a}$สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด^ของ a [ ^{21 ]}

ในกรณีเหล่านี้ สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าผลรวมที่คาดหวังในซองทั้งสองนั้นเป็นอนันต์ โดยเฉลี่ยแล้ว การสลับซองจะไม่ก่อให้เกิดประโยชน์ใดๆ

แม้ว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียนจะสามารถแก้ไขการตีความทางคณิตศาสตร์แรกของความขัดแย้งข้างต้นได้ แต่ปรากฏว่าสามารถพบตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เหมาะสมได้ โดยที่ค่าที่คาดหวังของจำนวนเงินในซองที่สอง ซึ่งมีเงื่อนไขว่าจำนวนเงินในซองแรก จะมากกว่าจำนวนเงินในซองแรก ไม่ว่าจำนวนเงินนั้นจะเป็นเท่าใดก็ตาม ตัวอย่างแรกดังกล่าวได้รับการนำเสนอโดย Nalebuff แล้ว^{[ 14 ]}ดูเพิ่มเติมที่ Christensen และ Utts (1992) ^{[ 15 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

ให้ Aแทนจำนวนเงินในซองแรก และ Bแทนจำนวนเงินในซองที่สองเราคิดว่าจำนวนเงินเหล่านี้เป็นการสุ่ม ให้Xเป็นจำนวนเงินที่น้อยกว่า และY = 2Xเป็นจำนวนเงินที่มากกว่า สังเกตว่าเมื่อเรากำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับXแล้วการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของA, Bก็จะคงที่เช่นกัน เนื่องจากA, B = X, YหรือY, Xโดยแต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 1/2 อย่างอิสระจากX, Y

ขั้น ตอนที่ 6 ที่ผิดพลาดในข้อโต้แย้งเรื่อง "การสลับเสมอ" นำเราไปสู่การค้นพบว่าE(B|A=a)>aสำหรับทุกค่าaและด้วยเหตุนี้จึงนำไปสู่คำแนะนำให้สลับ ไม่ว่าเราจะรู้ค่า a หรือไม่ ก็ตาม แต่ปรากฏว่าเราสามารถสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เหมาะสมสำหรับXซึ่งเป็นจำนวนเงินที่น้อยกว่าในสองจำนวนนั้นได้อย่างง่ายดาย เพื่อให้ข้อสรุปที่ผิดพลาดนี้ยังคงเป็นจริงอยู่ ตัวอย่างหนึ่งจะได้รับการวิเคราะห์อย่างละเอียดมากขึ้นในอีกสักครู่

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ เป็นไปไม่ได้ที่ค่า a ใดๆ ก็ตาม เมื่อกำหนดให้A=a ค่า B จะมีโอกาสเท่ากันที่จะเป็นa /2 หรือ 2a แต่เป็นไปได้ที่ ค่า a ใดๆ ก็ตาม เมื่อกำหนด ให้A=a ค่า B จะมีค่าคาดหวังมากกว่าa

สมมติตัวอย่างเช่นว่าซองจดหมายที่มีจำนวนเงินน้อยกว่านั้นบรรจุเงิน 2n ^{ดอลลาร์}ด้วยความน่าจะเป็น 2n ^/ 3n ^{+ 1}โดยที่n = 0, 1, 2, ... ผลรวมของความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากับ 1 ดังนั้นการแจกแจงนี้จึงเป็นความน่าจะเป็นเบื้องต้นที่เหมาะสม (สำหรับนักอัตวิสัย) และเป็นกฎความน่าจะเป็นที่ดีอย่างสมบูรณ์สำหรับนักความถี่ด้วย^{[ 25 ]}

ลองนึกภาพว่าซองแรกอาจมีอะไรอยู่บ้าง กลยุทธ์ที่สมเหตุสมผลก็คือการสลับซองเมื่อซองแรกมีเลข 1 เพราะซองอีกซองจะต้องมีเลข 2 สมมติว่าซองแรกมีเลข 2 ในกรณีนั้น จะมีสองความเป็นไปได้ คือคู่ซองที่อยู่ตรงหน้าเราคือ {1, 2} หรือ {2, 4} คู่ซองอื่นๆ เป็นไปไม่ได้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เรากำลังพิจารณาคู่ซอง {1, 2} เมื่อทราบว่าซองแรกมีเลข 2 คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(\{1,2\}\mid 2)&={\frac {P(\{1,2\})/2}{P(\{1,2\})/2+P(\{2,4\})/2}}\\&={\frac {P(\{1,2\})}{P(\{1,2\})+P(\{2,4\})}}\\&={\frac {1/3}{1/3+2/9}}=3/5,\end{aligned}}}$$

และด้วยเหตุนี้ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นคู่ {2, 4} คือ 2/5 เนื่องจากมีเพียงสองความเป็นไปได้นี้เท่านั้น ในการพิสูจน์นี้${\displaystyle P(\{1,2\})/2}$คือความน่าจะเป็นที่ซองจดหมายคู่หนึ่งจะเป็นคู่ที่ 1 และ 2 และซองจดหมาย A บังเอิญบรรจุเลข 2;${\displaystyle P(\{2,4\})/2}$คือความน่าจะเป็นที่ซองจดหมายคู่นั้นจะเป็นคู่ 2 และ 4 และ (อีกครั้ง) ซองจดหมาย A บังเอิญบรรจุเลข 2 นี่เป็นเพียงสองวิธีเท่านั้นที่ซองจดหมาย A จะบรรจุเลข 2 ได้

ปรากฏว่าสัดส่วนเหล่านี้เป็นจริงโดยทั่วไป เว้นแต่ซองแรกจะมีเลข 1 ให้ a แทนจำนวนที่เราคิดว่าจะพบในซอง A ถ้าเราเปิดซองนั้น และสมมติว่าa = 2n ^{สำหรับ} n ≥ 1 บางค่าในกรณีนั้น ซองอีกซองจะมีa /2 ด้วยความน่าจะเป็น 3/5 และ 2a ด้วยความน่าจะเป็น 2/5

ดังนั้น ซองแรกอาจมีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งในกรณีนี้ ค่าที่คาดหวังแบบมีเงื่อนไขในซองอื่นจะเป็น 2 หรือซองแรกอาจมีค่ามากกว่า 1 และถึงแม้ว่าซองที่สองจะมีโอกาสน้อยที่จะมีค่ามากกว่า แต่ค่าที่คาดหวังแบบมีเงื่อนไขในซองที่สองจะมีค่ามากกว่า: ค่าที่คาดหวังแบบมีเงื่อนไขในซอง B คือ

$${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {a}{2}}+{\frac {2}{5}}2a={\frac {11}{10}}a}$$

ซึ่งมากกว่าaหมายความว่าผู้เล่นที่เปิดซอง A จะตัดสินใจเปลี่ยนสิ่งที่เขาเห็นในนั้น ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปิดซอง A เพื่อตัดสินใจเช่นนั้น

ข้อสรุปนี้ผิดอย่างชัดเจนเช่นเดียวกับการตีความปัญหาซองจดหมายสองซองก่อนหน้านี้ แต่ในครั้งนี้ข้อบกพร่องที่กล่าวถึงข้างต้นไม่เกี่ยวข้องแล้ว เนื่องจากค่าaในการคำนวณค่าคาดหวังเป็นค่าคงที่ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในสูตรได้มาจากการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่กำหนดไว้และเหมาะสม

นักเขียนส่วนใหญ่คิดว่าความขัดแย้งใหม่นี้สามารถแก้ไขได้ แม้ว่าการแก้ไขจะต้องใช้แนวคิดจากเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ก็ตาม^{[ 26 ]}สมมติว่า${\displaystyle E(B|A=a)>a}$สำหรับทุกคน${\displaystyle a}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าสิ่งนี้เป็นไปได้สำหรับบางการแจกแจงความน่าจะเป็นของX (จำนวนเงินที่น้อยกว่าในซองทั้งสอง) ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle E(X)=\infty }$นั่นคือ เฉพาะในกรณีที่ค่าเฉลี่ยของค่าเงินที่เป็นไปได้ทั้งหมดในซองจดหมายเป็นอนันต์ เพื่อให้เข้าใจเหตุผล ลองเปรียบเทียบอนุกรมที่อธิบายไว้ข้างต้น ซึ่งความน่าจะเป็นของแต่ละXมีค่าเป็น 2/3 ของความน่าจะเป็นของX ก่อนหน้า กับอนุกรมที่ความน่าจะเป็นของแต่ละXมีค่าเพียง 1/3 ของความน่าจะเป็นของX ก่อนหน้า เมื่อความน่าจะเป็นของแต่ละพจน์ถัดไปมากกว่าครึ่งหนึ่งของความน่าจะเป็นของพจน์ก่อนหน้า (และแต่ละXมีค่าเป็นสองเท่าของXก่อนหน้า) ค่าเฉลี่ยจะเป็นอนันต์ แต่เมื่อตัวประกอบความน่าจะเป็นน้อยกว่าครึ่งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยจะลู่เข้า ในกรณีที่ตัวประกอบความน่าจะเป็นน้อยกว่าครึ่งหนึ่ง${\displaystyle E(B|A=a)<a}$สำหรับค่าa ทั้งหมด ยกเว้นค่า aแรกที่เล็กที่สุดค่าที่คาดหวังโดยรวมของการเปลี่ยนค่าจะลู่เข้าสู่ 0 นอกจากนี้ หากการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่มีปัจจัยความน่าจะเป็นมากกว่าหนึ่งในสองถูกทำให้เป็นค่าจำกัดโดยการกำหนดพจน์สุดท้ายด้วย "ความน่าจะเป็นที่เหลือทั้งหมด" หลังจากจำนวนพจน์ใดๆ ก็ตาม นั่นคือ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของพจน์ก่อนหน้าทั้งหมด ค่าที่คาดหวังของการเปลี่ยนค่าเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นที่Aเท่ากับ ค่า a สุดท้ายที่ใหญ่ที่สุด จะหักล้างผลรวมของค่าที่คาดหวังที่เป็นบวกที่มาก่อนหน้านี้อย่างแม่นยำ และค่าที่คาดหวังโดยรวมของการเปลี่ยนค่าจะลดลงเหลือ 0 อีกครั้ง (นี่คือกรณีทั่วไปของการกำหนดความน่าจะเป็นที่เท่ากันของชุดค่าจำกัดในซองที่อธิบายไว้ข้างต้น) ดังนั้น การแจกแจงเดียวที่ดูเหมือนจะชี้ไปยังค่าที่คาดหวังที่เป็นบวกสำหรับการเปลี่ยนค่าคือการแจกแจงที่${\displaystyle E(X)=\infty }$เมื่อหาค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งจะได้ว่า${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$(เนื่องจากAและBมีการกระจายความน่าจะเป็นที่เหมือนกันโดยสมมาตร และทั้งAและBมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับX )

หากเราไม่เปิดซองแรก ก็เห็นได้ชัดว่าไม่มีเหตุผลที่จะเปลี่ยน เพราะเราจะแลกเปลี่ยนเงินจำนวนหนึ่งที่ไม่ทราบค่า ( A ) ซึ่งมีค่าคาดหวังเป็นอนันต์ กับเงินอีกจำนวนหนึ่งที่ไม่ทราบค่า ( B ) ซึ่งมีการกระจายความน่าจะเป็นแบบเดียวกันและมีค่าคาดหวังเป็นอนันต์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม หากเราเปิดซองแรกแล้ว สำหรับค่าทั้งหมดที่สังเกตได้ (${\displaystyle A=a}$) เราอยากจะเปลี่ยนเพราะ${\displaystyle E(B|A=a)>a}$สำหรับa ทั้งหมด ดังที่David Chalmers ตั้งข้อสังเกตไว้ ปัญหานี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นความล้มเหลวของการให้เหตุผลแบบครอบงำ^{[ 27 ]}

ภายใต้การให้เหตุผลแบบความเด่น การที่เราชอบAมากกว่าB อย่างชัดเจน สำหรับค่าที่สังเกตได้ทั้งหมดaควรจะหมายความว่าเราชอบAมากกว่าB อย่างชัดเจน โดยไม่ต้องสังเกตค่า aด้วย อย่างไรก็ตาม ดังที่ได้แสดงไปแล้ว นั่นไม่เป็นความจริงเพราะ${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$เพื่อกอบกู้เหตุผลเชิงอำนาจในขณะที่อนุญาตให้${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$หากเป็นเช่นนั้น เราจะต้องแทนที่ค่าที่คาดหวังด้วยเกณฑ์การตัดสินใจ ซึ่งจะต้องใช้เหตุผลที่ซับซ้อนกว่าจากเศรษฐศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น เราอาจสมมติว่าผู้ตัดสินใจเป็นผู้ ที่แสวงหา ประโยชน์ที่คาดหวังสูงสุด โดยมีทรัพย์สินเริ่มต้นWและฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของเขา/เธอคือ${\displaystyle u(w)}$ถูกเลือกเพื่อตอบสนองความต้องการ${\displaystyle E(u(W+B)|A=a)<u(W+a)}$สำหรับค่าบางค่าของ aอย่างน้อย(นั่นคือ การยึดถือไว้)${\displaystyle A=a}$ถือว่าดีกว่าการเปลี่ยนไปใช้B อย่างเห็นได้ชัด สำหรับบางค่าa ) แม้ว่านี่จะไม่เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ทั้งหมด แต่จะเป็นจริงหาก${\displaystyle u(w)}$มีขีดจำกัดบน${\displaystyle \beta <\infty }$เมื่อwเพิ่มขึ้นไปสู่ค่าอนันต์ (สมมติฐานทั่วไปในเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์และทฤษฎีการตัดสินใจ) ^{[ 28 ]} Michael R. Powersให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ในการแก้ไขความขัดแย้ง และตั้งข้อสังเกตว่าทั้งสองอย่าง${\displaystyle u(w)<\beta }$ก็ไม่เช่นกัน${\displaystyle E(u(W+A))=E(u(W+B))<\infty }$จำเป็น^{[ 29 ]}

นักเขียนบางคนอาจเลือกที่จะโต้แย้งว่าในสถานการณ์จริงนั้น${\displaystyle u(W+A)}$และ${\displaystyle u(W+B)}$จำนวนเงินในซองนั้นมีขอบเขตจำกัด เนื่องจากจำนวนเงินในซองนั้นมีขอบเขตจำกัดตามจำนวนเงินทั้งหมดในโลก ( M ) ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle u(W+A)\leq u(W+M)}$และ${\displaystyle u(W+B)\leq u(W+M)}$จากมุมมองนี้ ความขัดแย้งข้อที่สองจึงได้รับการแก้ไข เนื่องจากสมมติฐานการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับX (โดยที่${\displaystyle E(X)=\infty }$) ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในสถานการณ์จริง ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันนี้มักถูกนำมาใช้เพื่อแก้ไขปริศนาแห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นการแจกแจงใดๆที่สร้างรูปแบบความขัดแย้งนี้จะต้องมีค่าเฉลี่ยเป็นอนันต์ ดังนั้นก่อนที่ผู้เล่นจะเปิดซองจดหมาย ผลกำไรที่คาดหวังจากการเปลี่ยนคือ "∞ − ∞" ซึ่งไม่สามารถนิยามได้ ตามคำพูดของเดวิด ชาลเมอร์สนี่คือ "เพียงอีกตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ที่คุ้นเคย พฤติกรรมแปลกประหลาดของอนันต์" ^{[ 27 ]}ชาลเมอร์สแนะนำว่าทฤษฎีการตัดสินใจโดยทั่วไปจะล้มเหลวเมื่อเผชิญกับเกมที่มีความคาดหวังที่แตกต่างกัน และเปรียบเทียบกับสถานการณ์ที่เกิดจากความขัดแย้งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กแบบ คลาสสิก

อย่างไรก็ตาม คลาร์กและแช็คเคลโต้แย้งว่าการโทษทุกอย่างไปที่ "พฤติกรรมแปลกประหลาดของอนันต์" นั้นไม่ได้แก้ปัญหาความขัดแย้งเลย ไม่ว่าจะเป็นกรณีเดียวหรือกรณีเฉลี่ย พวกเขายกตัวอย่างง่ายๆ ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีค่าเฉลี่ยเป็นอนันต์ แต่เห็นได้ชัดว่าการเลือกตัวใดตัวหนึ่งมากกว่าอีกตัวหนึ่งนั้นสมเหตุสมผล ทั้งแบบมีเงื่อนไขและโดยเฉลี่ย^{[ 30 ]}พวกเขาโต้แย้งว่าทฤษฎีการตัดสินใจควรได้รับการขยายเพื่อให้ค่าคาดหวังเป็นอนันต์ในบางสถานการณ์

มีการเสนอแนวทางแก้ไขหลายประการ นักตรรกศาสตร์บางท่านได้ทำการวิเคราะห์อย่างละเอียดถี่ถ้วน แม้ว่าแนวทางแก้ไขจะแตกต่างกัน แต่ทั้งหมดก็ชี้ให้เห็นถึงประเด็นทางความหมายที่เกี่ยวข้องกับ การให้เหตุผล เชิงสมมติเราต้องการเปรียบเทียบจำนวนที่เราจะได้รับหากเราเปลี่ยนทางเลือก หากการเปลี่ยนทางเลือกนั้นทำให้เราได้รับผลประโยชน์ กับจำนวนที่เราจะสูญเสียหากเราเปลี่ยนทางเลือกนั้นทำให้เราสูญเสียผลประโยชน์ อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถได้รับและสูญเสียผลประโยชน์จากการเปลี่ยนทางเลือกในเวลาเดียวกันได้ เราถูกขอให้เปรียบเทียบสถานการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันสองสถานการณ์ มีเพียงสถานการณ์เดียวเท่านั้นที่เกิดขึ้นได้จริง ส่วนอีกสถานการณ์หนึ่งเป็นสถานการณ์สมมติ ซึ่งเป็นสิ่งที่สมมติขึ้นมา เพื่อที่จะเปรียบเทียบสถานการณ์ทั้งสองได้ เราต้อง "ปรับ" สถานการณ์ทั้งสองให้สอดคล้องกัน โดยให้มีจุดร่วมที่ชัดเจนบางอย่าง

เจมส์ เชส โต้แย้งว่าข้อโต้แย้งที่สองนั้นถูกต้อง เพราะมันสอดคล้องกับวิธีการจัดเรียงสถานการณ์สองสถานการณ์ (สถานการณ์หนึ่งที่เราได้กำไร อีกสถานการณ์หนึ่งที่เราขาดทุน) ซึ่งระบุไว้อย่างชัดเจนในคำอธิบายปัญหา^{[ 32 ]}นอกจากนี้ เบอร์นาร์ด แคทซ์ และดอริส โอลิน ก็โต้แย้งในมุมมองนี้เช่นกัน^{[ 33 ]}ในข้อโต้แย้งที่สอง เราพิจารณาจำนวนเงินในซองทั้งสองซองว่าคงที่ สิ่งที่เปลี่ยนแปลงคือซองใดจะถูกมอบให้ผู้เล่นก่อน เนื่องจากเป็นการเลือกโดยพลการและเป็นไปตามความเป็นจริงโลกสมมติที่ผู้เล่นได้รับซองอีกซองหนึ่งแทนที่จะเป็นซองที่เขาได้รับจริง (ตามความเป็นจริง) จึงเป็นโลกสมมติที่มีความหมายสูง ดังนั้นการเปรียบเทียบระหว่างกำไรและขาดทุนในสองโลกจึงมีความหมาย การเปรียบเทียบนี้ระบุไว้อย่างชัดเจนในคำอธิบายปัญหา ซึ่งเงินสองจำนวนถูกใส่ไว้ในซองสองซองก่อน จากนั้นจึงเลือกซองใดซองหนึ่งโดยพลการและมอบให้ผู้เล่น อย่างไรก็ตาม ในข้อโต้แย้งแรก เราถือว่าจำนวนเงินในซองแรกที่มอบให้ผู้เล่นนั้นคงที่ และพิจารณาสถานการณ์ที่ซองที่สองมีเงินครึ่งหนึ่งหรือสองเท่าของจำนวนแรก นี่จะเป็นสถานการณ์สมมติที่สมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อในความเป็นจริงแล้ว ซองทั้งสองถูกบรรจุเงินดังนี้: ขั้นแรก เงินจำนวนหนึ่งถูกใส่ลงในซองเฉพาะที่จะมอบให้ผู้เล่น และขั้นที่สอง ด้วยกระบวนการใดๆ ก็ตาม ซองอีกซองหนึ่งจะถูกบรรจุ (โดยพลการหรือแบบสุ่ม) ด้วยเงินสองเท่าหรือครึ่งหนึ่งของจำนวนแรก

ในทางกลับกัน Byeong-Uk Yi โต้แย้งว่าการเปรียบเทียบจำนวนที่คุณจะได้รับหากคุณได้รับจากการเปลี่ยนกับจำนวนที่คุณจะเสียหากคุณเสียจากการเปลี่ยนนั้นเป็นการกระทำที่ไร้ความหมายตั้งแต่แรก^{[ 34 ]}ตามการวิเคราะห์ของเขา ข้อสรุปทั้งสามข้อ (เปลี่ยน ไม่เปลี่ยนแปลง ไม่เปลี่ยน) ล้วนไม่ถูกต้อง เขาทำการวิเคราะห์ข้อโต้แย้งของ Smullyan อย่างละเอียด แสดงให้เห็นว่ามีการดำเนินการขั้นตอนกลาง และระบุตำแหน่งที่การอนุมานที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นตามการกำหนดรูปแบบการอนุมานเชิงสมมติของเขา ความแตกต่างที่สำคัญกับการวิเคราะห์ของ Chase คือเขาไม่ได้คำนึงถึงส่วนหนึ่งของเรื่องราวที่เราได้รับแจ้งว่าซองจดหมายที่เรียกว่าซองจดหมาย A นั้นถูกตัดสินใจแบบสุ่มโดยสมบูรณ์ ดังนั้น Chase จึงใส่ความน่าจะเป็นกลับเข้าไปในคำอธิบายปัญหาเพื่อสรุปว่าข้อโต้แย้งที่ 1 และ 3 ไม่ถูกต้อง ข้อโต้แย้งที่ 2 ถูกต้อง ในขณะที่ Yi ยังคง "ปัญหาซองจดหมายสองซองโดยไม่มีความน่าจะเป็น" โดยปราศจากความน่าจะเป็นโดยสิ้นเชิง และสรุปได้ว่าไม่มีเหตุผลใดที่จะเลือกการกระทำใดๆ สิ่งนี้สอดคล้องกับมุมมองของ Albers และคณะ ที่ว่า หากไม่มีองค์ประกอบด้านความน่าจะเป็น ก็ไม่มีทางที่จะโต้แย้งได้ว่าการกระทำหนึ่งดีกว่าการกระทำอื่น

บลิสแย้งว่าที่มาของความขัดแย้งคือเมื่อบุคคลหนึ่งเชื่ออย่างผิดพลาดในความเป็นไปได้ของผลตอบแทนที่มากกว่าซึ่งในความเป็นจริงไม่มีอยู่จริง บุคคลนั้นจะเข้าใจผิดมากกว่าเมื่อบุคคลหนึ่งเชื่อในความเป็นไปได้ของผลตอบแทนที่น้อยกว่าซึ่งในความเป็นจริงไม่มีอยู่จริง^{[ 35 ]}ตัวอย่างเช่น หากซองจดหมายมีเงิน 5.00 ดอลลาร์และ 10.00 ดอลลาร์ตามลำดับ ผู้เล่นที่เปิดซองจดหมาย 10.00 ดอลลาร์จะคาดหวังความเป็นไปได้ที่จะได้รับเงินรางวัล 20.00 ดอลลาร์ซึ่งไม่มีอยู่จริง หากผู้เล่นคนนั้นเปิดซองจดหมาย 5.00 ดอลลาร์แทน เขาจะเชื่อในความเป็นไปได้ที่จะได้รับเงินรางวัล 2.50 ดอลลาร์ ซึ่งถือเป็นการเบี่ยงเบนจากมูลค่าที่แท้จริงน้อยกว่า ส่งผลให้เกิดความคลาดเคลื่อนที่ขัดแย้งกัน

Albers, Kooi และ Schaafsma พิจารณาว่าหากไม่เพิ่มส่วนประกอบความน่าจะเป็น (หรือส่วนประกอบอื่นๆ) เข้าไปในปัญหา^{[ 18 ]}ข้อโต้แย้งของ Smullyan ก็ไม่ได้ให้เหตุผลใดๆ ในการสลับหรือไม่สลับ ไม่ว่าในกรณีใดๆ ดังนั้นจึงไม่มีความขัดแย้ง ทัศนคติที่มองข้ามเช่นนี้เป็นเรื่องปกติในหมู่นักเขียนจากสาขาความน่าจะเป็นและเศรษฐศาสตร์ ความขัดแย้งของ Smullyan เกิดขึ้นอย่างแม่นยำเพราะเขาไม่ได้คำนึงถึงความน่าจะเป็นหรืออรรถประโยชน์เลย