ในทางสถิติ ค่ากำลังสองเฉลี่ยที่คาดหวัง ( Expected Mean Squares: EMS)คือค่าที่คาดหวังของสถิติบางอย่างที่เกิดขึ้นในการแบ่งส่วนผลรวมกำลังสองในการวิเคราะห์ความแปรปรวน (ANOVA) สามารถใช้ค่า EMS เพื่อตรวจสอบว่าสถิติใดควรปรากฏในตัวหารในการทดสอบ Fเพื่อทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าไม่มีผลกระทบใดๆ เกิดขึ้น

เมื่อผลรวมกำลังสองที่ปรับแก้แล้วทั้งหมดใน ANOVA ถูกแบ่งออกเป็นหลายส่วน โดยแต่ละส่วนเกิดจากผลกระทบของตัวแปรทำนายเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง ผลรวมกำลังสองในแต่ละส่วนนั้นจะเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหวัง ค่าคาดหวังนั้นหารด้วยจำนวนองศาอิสระที่สอดคล้องกัน จะได้ค่าเฉลี่ยกำลังสอง ที่คาดหวัง สำหรับตัวแปรทำนายนั้น

ตัวอย่างต่อไปนี้มาจากการวิเคราะห์ข้อมูลตามยาวโดย Donald Hedeker และRobert D. Gibbons ^{[ 1 ]}

แต่ละวิธี การรักษา sวิธี (หนึ่งในนั้นอาจเป็นยาหลอก) จะถูกนำไปใช้กับกลุ่มตัวอย่างผู้ป่วย จำนวน N คนที่ถูกเลือกแบบสุ่ม โดย จะมีการสังเกตการวัดค่าบางอย่างในแต่ละช่วงเวลาnครั้งที่กำหนดไว้ เป็นเวลา(ดังนั้นจำนวนผู้ป่วยที่ได้รับการรักษาต่างกันอาจแตกต่างกัน) และเราสมมติว่ากลุ่มผู้ป่วยที่ได้รับการรักษาต่างกันนั้นแยกจากกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นผู้ป่วยจึงอยู่ภายใต้การรักษาแต่ละวิธีและไม่ทับซ้อนกันกับการรักษาอื่น เรามี ${\textstyle Y_{hij}}$${\textstyle h=1,\ldots ,s,\quad i=1,\ldots ,N_{h}}$${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$

${\displaystyle Y_{hij}=\mu +\gamma _{h}+\tau _{j}+(\gamma \tau )_{hj}+\pi _{i(h)}+\varepsilon _{hij}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle \mu }$= ค่าเฉลี่ยรวม (คงที่)
• ${\displaystyle \gamma _{h}}$= ผลของการรักษา(คงที่)${\displaystyle h}$
• ${\displaystyle \tau _{j}}$= ผลกระทบของเวลา(คงที่)${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle (\gamma \tau )_{hj}}$= ผลกระทบร่วมกันของการรักษาและเวลา(คงที่)${\displaystyle h}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \pi _{i(h)}}$= ผลกระทบความแตกต่างเฉพาะบุคคลสำหรับผู้ป่วยที่อยู่ภายใต้การรักษา(แบบสุ่ม)${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{hij}}$= ข้อผิดพลาดสำหรับผู้ป่วยที่อยู่ระหว่างการรักษาณ เวลา(สุ่ม)${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}}$= ความแปรปรวนของผลกระทบแบบสุ่มของผู้ป่วยที่อยู่ภายในกลุ่มการรักษา
• ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }}$= ความแปรปรวนของข้อผิดพลาด

ผลรวมกำลังสองที่แก้ไขแล้วทั้งหมดคือ

${\displaystyle \sum _{hij}(Y_{hij}-{\overline {Y}})^{2}\quad {\text{where }}{\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{hij}Y_{hij}.}$

ตาราง ANOVA ด้านล่างแบ่งผลรวมกำลังสอง (โดยที่): $N = ∑hNh$

แหล่งที่มาของความแปรปรวน	ระดับความเป็นอิสระ	ผลรวมของกำลังสอง	ค่าเฉลี่ยกำลังสอง	ค่าเฉลี่ยกำลังสองที่คาดหวัง
การรักษา	${\displaystyle s-1}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{Tr}}=n\sum _{h=1}^{s}N_{h}({\overline {Y}}_{h\cdot \cdot }-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}}{s-1}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}+D_{\text{Tr}}}$
เวลา	${\displaystyle n-1}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{T}}=N\sum _{j=1}^{n}({\overline {Y}}_{\cdot \cdot j}-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{T}}}{n-1}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+D_{\text{T}}}$
การรักษา × เวลา	${\displaystyle (s-1)(n-1)}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{Tr T}}=\sum _{h=1}^{s}\sum _{j=1}^{n}N_{h}({\overline {Y}}_{h\cdot j}-{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot }-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot j}+{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{Tr T}}}{(n-1)(s-1)}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+D_{\text{Tr T}}}$
ผู้ป่วยที่อยู่ระหว่างการรักษา	${\displaystyle Ns}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{{\text{S}}({\text{Tr}})}=n\sum _{h=1}^{s}\sum _{i=1}^{N_{h}}({\overline {Y}}_{hi\cdot }-{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{{\text{S}}({\text{Tr}})}}{N-s}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}$
ข้อผิดพลาด	${\displaystyle (N-s)(n-1)}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{E}}=\sum _{h=1}^{s}\sum _{i=1}^{N_{h}}\sum _{j=1}^{n}(Y_{hij}-{\overline {Y}}_{h\cdot j}-{\overline {Y}}_{hi\cdot }+{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{E}}}{(N-s)(n-1)}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}}$

สมมติฐานว่างที่น่าสนใจคือ ไม่มีผลที่แตกต่างกันระหว่างการรักษาที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของการรักษา สามารถแสดงได้โดยการกล่าวว่า(โดยใช้สัญลักษณ์ตามที่ใช้ในตารางด้านบน) ภายใต้สมมติฐานว่างนี้ ค่าเฉลี่ยกำลังสองที่คาดหวังสำหรับผลของการรักษาคือ${\textstyle D_{\text{Tr}}=0,}$${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}.}$

ตัวเศษในสถิติ F สำหรับการทดสอบสมมติฐานนี้คือค่าเฉลี่ยกำลังสองเนื่องจากความแตกต่างระหว่างการทดลอง กล่าวคือส่วนตัวส่วนนั้นไม่ใช่เหตุผลก็คือตัวแปรสุ่มด้านล่าง แม้ว่าภายใต้สมมติฐานว่างจะมีค่าการแจกแจงแบบ Fแต่ก็ไม่สามารถสังเกตได้—ไม่ใช่สถิติ—เพราะค่าของมันขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ไม่สามารถสังเกตได้${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$${\textstyle \sigma _{\pi }^{2}}$${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\left.{\frac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}}\right/(s-1)}{\left.{\frac {{\text{SS}}_{\text{E}}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}}}\neq {\frac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}/(s-1)}{{\text{SS}}_{\text{E}}/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}}}}$

แต่จะใช้ตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นสถิติการทดสอบซึ่งไม่ได้กำหนดไว้ในรูปของ: ${\textstyle {\text{SS}}_{\text{E}}}$

${\displaystyle F={\frac {\left.{\frac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}}\right/(s-1)}{\left.{\frac {{\text{SS}}_{{\text{S}}({\text{Tr}})}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}}\right/(N-s)}}={\frac {\left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1)}{\left.{\text{SS}}_{\text{S(Tr)}}\right/(N-s)}}}$