การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล-ลอการิทึม (EL)
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
พารามิเตอร์	${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$
สนับสนุน	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {1}{-\ln p}}\times {\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle 1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}}}$
หมายถึง	${\displaystyle -{\frac {{\text{polylog}}(2,1-p)}{\beta \ln p}}}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle {\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\เบต้า }}}$
โหมด	0
ความแปรปรวน	${\displaystyle -{\frac {2{\text{polylog}}(3,1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}}$${\displaystyle -{\frac {{\text{polylog}}^{2}(2,1-p)}{\beta ^{2}\ln ^{2}p}}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle -{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}{\text{hypergeom}}_{2,1}}$${\displaystyle ([1,{\frac {\beta -t}{\beta }}],[{\frac {2\beta -t}{\beta }}],1-p)}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการ แจกแจง แบบเอกซ์โพเนนเชียล-ลอการิทมิก (EL)คือตระกูลของการแจกแจง อายุการใช้งานที่มี อัตราความล้มเหลวลดลงโดยกำหนดไว้ในช่วง [0, ∞) การแจกแจงนี้มีพารามิเตอร์สองตัวคือ และ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$

การศึกษาเกี่ยวกับช่วงอายุขัยของสิ่งมีชีวิต อุปกรณ์ วัสดุ ฯลฯ มีความสำคัญอย่างยิ่งใน สาขา วิทยาศาสตร์ชีวภาพและวิศวกรรมศาสตร์โดยทั่วไปแล้ว อายุการใช้งานของอุปกรณ์คาดว่าจะแสดงอัตราความล้มเหลวที่ลดลง (DFR) เมื่อพฤติกรรมของอุปกรณ์เมื่อเวลาผ่านไปมีลักษณะเป็น 'การเพิ่มความทนทาน' (ในทางวิศวกรรม) หรือ 'ภูมิคุ้มกัน' (ในทางชีววิทยา)

แบบจำลองเลขชี้กำลัง-ลอการิทึม พร้อมด้วยคุณสมบัติต่างๆ ของแบบจำลองนี้ ได้รับการศึกษาโดย Tahmasbi และ Rezaei (2008) ^{[ 1 ]} แบบจำลองนี้ได้รับภายใต้แนวคิดของความไม่สม่ำเสมอของประชากร (ผ่านกระบวนการผสม)

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจง EL ได้รับการกำหนดโดย Tahmasbi และ Rezaei (2008) ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$

โดยที่และฟังก์ชันนี้ลดลงอย่างเคร่งครัดในและมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์เมื่อการแจกแจง EL มีค่าฐานนิยมของความหนาแน่นที่ x=0 ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\ลูกศรขวา \infty }$

${\displaystyle {\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}}$

EL ลดรูปเป็นการกระจาย แบบเอกซ์โปเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราเมื่อ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle p\ลูกศรขวา 1}$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมกำหนดโดย

${\displaystyle F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

ดังนั้น ค่ามัธยฐานจึงกำหนดโดย

${\displaystyle x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$.

ฟังก์ชันก่อกำเนิดโมเมนต์ของสามารถหาได้จากฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) โดยการอินทิเกรตโดยตรง และกำหนดโดย ${\displaystyle X}$

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกฟังก์ชันนี้เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบขยายของบาร์นส์นิยามของ คือ ${\displaystyle F_{2,1}}$${\displaystyle F_{N,D}({n,d},z)}$

${\displaystyle F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]}$${\displaystyle {d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]}$

โมเมนต์ของสามารถหาได้จากสำหรับ โมเมนต์ดิบจะกำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{X}(t)}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},}$

โดยที่ ฟังก์ชัน โพลีโลการิธึมซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Li} _{a}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.}$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจง EL จึงกำหนดโดย ตามลำดับ

${\displaystyle E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.}$

ฟังก์ชันการอยู่รอด (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันความน่าเชื่อถือ) และฟังก์ชันความเสี่ยง (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันอัตราความล้มเหลว) ของการแจกแจง EL กำหนดโดย ตามลำดับ

${\displaystyle s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

${\displaystyle h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.}$

อายุการใช้งานเฉลี่ยที่เหลืออยู่ของการกระจาย EL กำหนดโดย

${\displaystyle m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}}$

ฟังก์ชัน ได โลการิธึมอยู่ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$

ให้Uเป็นตัวแปรสุ่ม จาก การกระจายแบบเอกรูปมาตรฐานแล้วการแปลงU ต่อไปนี้ จะมีการกระจายแบบ EL โดยมีพารามิเตอร์pและ  β :

${\displaystyle X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).}$

เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์จะใช้อัลกอริธึม EM วิธีนี้ได้รับการกล่าวถึงโดย Tahmasbi และ Rezaei (2008) ^{[ 1 ]}การวนซ้ำของ EM กำหนดโดย

${\displaystyle \beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.}$

การแจกแจง EL ได้รับการขยายให้เป็นรูปแบบการแจกแจง Weibull-logarithmic ^{[ 3 ]}

ถ้า กำหนดให้ Xเป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นค่าต่ำสุดของ ค่าที่เกิดขึ้นเองโดยอิสระจำนวน Nค่า จากการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราβและถ้าNเป็นค่าที่เกิดขึ้นเองจากการแจกแจงแบบลอการิทึม (โดยที่พารามิเตอร์pในการกำหนดพารามิเตอร์แบบปกติถูกแทนที่ด้วย(1 −  p ) ) แล้วXจะมีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล-ลอการิทึมในการกำหนดพารามิเตอร์ที่ใช้ข้างต้น