เพื่อจำลองความล้มเหลวเมื่อเวลาผ่านไปได้อย่างแม่นยำ จำเป็นต้องใช้การกระจายความล้มเหลวสะสม${\displaystyle F(t)}$จะต้องมีการกำหนด ซึ่งอาจเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ใดๆ ก็ได้ที่ค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก${\displaystyle 0}$ถึง${\displaystyle 1}$ในกรณีที่มีระบบที่เหมือนกันจำนวนมาก อาจมองได้ว่านี่คือสัดส่วนของระบบที่ล้มเหลวเมื่อเวลาผ่านไป${\displaystyle t}$หลังจากเริ่มดำเนินการทั้งหมดในเวลาที่กำหนด${\displaystyle t=0}$หรือในกรณีของระบบเดี่ยว หมายถึงความน่าจะเป็นที่ระบบจะเกิดความล้มเหลวตามเวลาที่กำหนด${\displaystyle T}$ก่อนเวลา${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t).}$$

เนื่องจาก CDF ถูกกำหนดโดยการอินทิเกรตฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังนั้นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความล้มเหลว${\displaystyle f(t)}$ถูกกำหนดไว้ดังนี้:

$${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau }$$

ที่ไหน${\displaystyle \tau }$เป็นตัวแปรอินทิกรัลจำลอง ที่นี่${\displaystyle f(t)}$อาจมองได้ว่าเป็นอัตราความล้มเหลวทันทีกล่าวคือ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในช่วงเวลาระหว่าง${\displaystyle t}$และ${\displaystyle t{+}\Delta t}$, เช่น${\displaystyle \Delta t}$มีแนวโน้มไปทาง${\displaystyle 0}$:

$${\displaystyle f(t)=\lim _{\Delta t\to 0^{+}}{\frac {\Pr(t<T\leq t{+}\Delta t)}{\Delta t}}.}$$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่แตกต่างกัน^{[ 2 ]}กับอัตราความล้มเหลวทันที${\displaystyle f(t)}$คืออัตราความเสี่ยง (หรือฟังก์ชันอันตราย ),${\displaystyle h(t)}$ในกรณีที่มีหลายระบบ อัตราความล้มเหลวตามสัดส่วนของระบบที่ยังคงทำงานอยู่ณ เวลา ... นั้นถูกกำหนดไว้เช่นนั้น${\displaystyle t}$– ตรงข้ามกับ${\displaystyle f(t)}$ซึ่งแสดงออกมาในรูปสัดส่วนของ จำนวน ระบบเริ่มต้น

เพื่อความสะดวก เราจะกำหนดความน่าเชื่อถือ (หรือฟังก์ชันการอยู่รอด ) ดังนี้:

$${\displaystyle R(t)=1-F(t)=\Pr(T>t)}$$

ดังนั้น อัตราความเสี่ยงจึงเป็นเพียงอัตราความล้มเหลวทันทีที่ปรับขนาดตามสัดส่วนของระบบที่ยังคงทำงานอยู่ ณ เวลาดังกล่าว${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$$

ในแง่ของความน่าจะเป็นสำหรับระบบเดี่ยว สามารถตีความได้ว่าเป็นอัตราความล้มเหลวทันทีภายใต้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขว่าระบบหรือส่วนประกอบนั้นได้ทำงานมาจนถึงเวลาที่กำหนดแล้ว${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0^{+}}{\frac {\Pr(t<T\leq t{+}\Delta t\mid T>t)}{\Delta t}}.}$$

มีฟังก์ชันที่เป็นไปได้หลายฟังก์ชันที่สามารถเลือกใช้ในการแสดงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความล้มเหลว${\displaystyle f(t)}$หรืออัตราความเสี่ยง${\displaystyle h(t)}$โดยอิงจากหลักฐานเชิงประจักษ์หรือเชิงทฤษฎี แต่ทางเลือกที่พบได้บ่อยที่สุดและเข้าใจง่ายที่สุดคือการกำหนด

$${\displaystyle f(t)=\lambda e^{-\lambda t},}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีค่าคงที่การปรับขนาด${\displaystyle \lambda }$ดังที่แสดงในภาพข้างต้น แสดงให้เห็นถึงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความล้มเหลวที่ลดลงเรื่อยๆ

ซีดีเอฟ${\displaystyle F(t)}$จากนั้นจึงคำนวณได้ดังนี้:

$${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},}$$

ซึ่งสามารถมองเห็นได้ว่าค่อยๆเข้าใกล้${\displaystyle 1}$เช่น${\displaystyle t\to \infty ,}$ซึ่งแสดงให้เห็นว่าในที่สุดแล้วระบบทั้งหมดที่กำลังศึกษาอยู่จะล้มเหลว

ดังนั้น ฟังก์ชันอัตราความเสี่ยงจึงเป็นดังนี้:

$${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้เท่านั้นอัตราความเสี่ยงจะคงที่ตลอดเวลา

นี่แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างอัตราความเสี่ยงและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความล้มเหลว ซึ่งก็คือจำนวนระบบที่ยังคงใช้งานได้ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง${\displaystyle t>0}$เมื่ออัตราความล้มเหลวโดยรวมค่อยๆ ลดลง อัตราความล้มเหลวโดยรวมก็จะลดลงเช่นกัน แต่ความเสี่ยงยังคงที่กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่ระบบแต่ละระบบจะล้มเหลวจะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเมื่อระบบมีอายุมากขึ้น – ระบบเหล่านี้ “ ไม่มีหน่วยความจำ ”

สำหรับระบบหลายๆ ระบบ ฟังก์ชันอัตราความเสี่ยงคงที่อาจไม่ใช่ค่าประมาณที่สมจริง เนื่องจากโอกาสที่ส่วนประกอบแต่ละชิ้นจะล้มเหลวอาจขึ้นอยู่กับอายุการใช้งาน ดังนั้นจึงมักใช้การแจกแจงแบบอื่นๆ แทน

ตัวอย่างเช่นการแจกแจงแบบกำหนดตายตัวจะเพิ่มอัตราความเสี่ยงเมื่อเวลาผ่านไป (สำหรับระบบที่การสึกหรอเป็นปัจจัยสำคัญที่สุด) ในขณะที่การแจกแจงแบบพาเรโต จะลดอัตราความเสี่ยง ลง (สำหรับระบบที่ความล้มเหลวในช่วงเริ่มต้นใช้งานเกิดขึ้นบ่อยกว่า) การแจกแจงแบบไวบูล ที่ใช้กันทั่วไป จะรวมผลกระทบทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลและไฮเปอร์ทาบาสติ ก

หลังจากสร้างแบบจำลองการแจกแจงและพารามิเตอร์ที่กำหนดแล้ว${\displaystyle h(t)}$ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความล้มเหลว${\displaystyle f(t)}$และการกระจายความล้มเหลวสะสม${\displaystyle F(t)}$สามารถทำนายได้โดยใช้สมการที่กำหนดให้

อัตราความล้มเหลวที่ลดลงอธิบายถึงกรณีที่ความล้มเหลวในช่วงต้นชีวิตเป็นเรื่องปกติ^{[ 7 ]}และสอดคล้องกับสถานการณ์ที่${\displaystyle h(t)}$เป็นฟังก์ชันที่ลดลง

สิ่งนี้สามารถใช้อธิบายได้ เช่น ระยะเวลาการเสียชีวิตของทารกในมนุษย์ หรือความล้มเหลวในช่วงแรกของทรานซิสเตอร์เนื่องจากข้อบกพร่องในการผลิต

พบว่าอัตราความล้มเหลวที่ลดลงในช่วงอายุการใช้งานของยานอวกาศ - Baker และ Baker แสดงความคิดเห็นว่า "ยานอวกาศที่ใช้งานได้ยาวนาน จะใช้งานได้ยาวนานต่อไปเรื่อยๆ" ^{[ 8 ] [ 9 ]}

พบว่าอัตราอันตรายของระบบปรับอากาศของเครื่องบินมีการกระจายแบบลดลงอย่างรวดเร็ว^{[ 10 ]}

ในกระบวนการพิเศษที่เรียกว่ากระบวนการต่ออายุซึ่งสามารถละเลยเวลาในการฟื้นตัวจากความล้มเหลวได้ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวยังคงที่เมื่อเทียบกับเวลา

สำหรับกระบวนการต่ออายุที่มีฟังก์ชันต่ออายุ DFR เวลาระหว่างการต่ออายุจะเป็นแบบเว้า^{[ 11 ] [ 12 ]}บราวน์ตั้งข้อสันนิษฐานในทางตรงกันข้ามว่า DFR ก็จำเป็นเช่นกันเพื่อให้เวลาระหว่างการต่ออายุเป็นแบบเว้า^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตาม ได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าข้อสันนิษฐานนี้ไม่เป็นจริงทั้งในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 12 ]}และในกรณีแบบต่อเนื่อง^{[ 14 ]}

เมื่ออัตราความล้มเหลวลดลงค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันจะมีค่า ⩾  1 และเมื่ออัตราความล้มเหลวเพิ่มขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันจะมีค่า ⩽  1 ^{[ 15 ]}โปรดทราบว่าผลลัพธ์นี้ใช้ได้เฉพาะเมื่ออัตราความล้มเหลวถูกกำหนดสำหรับ t ⩾ 0 ทั้งหมด ^{[ 16 ]}และผลลัพธ์ตรงกันข้าม (ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันกำหนดลักษณะของอัตราความล้มเหลว) ไม่เป็นจริง  

อัตราความล้มเหลวสามารถแสดงได้โดยใช้หน่วยวัดเวลาใดก็ได้ แต่ชั่วโมงเป็นหน่วยที่ใช้กันทั่วไปในทางปฏิบัติ หน่วยอื่นๆ เช่น ไมล์ รอบ เป็นต้น ก็สามารถใช้แทนหน่วย "เวลา" ได้เช่นกัน

โดยทั่วไป อัตราความล้มเหลวมักแสดงในสัญลักษณ์ทางวิศวกรรมเป็นความล้มเหลวต่อล้านครั้ง หรือ 10⁻⁶ ^โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับชิ้นส่วนแต่ละชิ้น เนื่องจากอัตราความล้มเหลวของชิ้นส่วนเหล่านั้นมักต่ำมาก

อัตราความล้มเหลวตามเวลา ( FIT ) ของอุปกรณ์คือจำนวนความล้มเหลวที่คาดว่าจะเกิดขึ้นได้ในเวลาใช้งานอุปกรณ์ 1 พันล้าน (10 ^{9 ) ชั่วโมง [ 17 ]} (เช่น อุปกรณ์ 1,000 เครื่องเป็นเวลา 1,000,000 ชั่วโมง หรืออุปกรณ์ 1,000,000 เครื่องเป็นเวลา 1,000 ชั่วโมงต่อเครื่อง หรือการผสมผสานอื่นๆ) คำศัพท์นี้ใช้โดยเฉพาะในอุตสาหกรรมเซมิคอนดักเตอร์

ถ้าหากระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยชิ้นส่วนจำนวนมาก และความล้มเหลวของชิ้นส่วนใดชิ้นส่วนหนึ่งหมายถึงความล้มเหลวของระบบทั้งหมด และโอกาสที่จะเกิดความล้มเหลวของแต่ละชิ้นส่วนนั้นเป็นอิสระจากความล้มเหลวของชิ้นส่วนอื่น ๆ อย่างมีเงื่อนไข อัตราความล้มเหลวโดยรวมก็คือผลรวมของอัตราความล้มเหลวของแต่ละชิ้นส่วนนั่นเอง

${\displaystyle \lambda _{S}=\lambda _{P1}+\lambda _{P2}+\ldots }$

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นการสมมติว่าอัตราความล้มเหลว${\displaystyle \lambda (t)}$มีค่าคงที่ และหน่วยมีความสอดคล้องกัน (เช่น ความล้มเหลวต่อล้านชั่วโมง) และไม่ได้แสดงเป็นอัตราส่วนหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นประโยชน์ในการประมาณอัตราความล้มเหลวของระบบเมื่อส่วนประกอบหรือระบบย่อยแต่ละส่วนได้รับการทดสอบแล้ว^{[ 18 ] [ 19 ]}

เมื่อเพิ่มส่วนประกอบ "ที่ซ้ำซ้อน" เพื่อกำจัดจุดล้มเหลวเพียงจุดเดียวปริมาณที่น่าสนใจไม่ใช่ผลรวมของอัตราความล้มเหลวแต่ละรายการ แต่เป็นอัตรา "ความล้มเหลวของภารกิจ" หรือ "เวลาเฉลี่ยระหว่างความล้มเหลวที่สำคัญ" (MTBCF) ^{[ 20 ]}

การรวมอัตราความล้มเหลวหรืออัตราอันตรายที่ขึ้นอยู่กับเวลาเป็นเรื่องที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น ส่วนผสมของตัวแปรอัตราความล้มเหลวที่ลดลง (DFR) ก็เป็น DFR เช่นกัน^{[ 11 ]} ส่วนผสมของ อัตราความล้มเหลว ที่กระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลจะกระจายแบบไฮเปอร์ เอกซ์โพเนนเชีย ล

สมมติว่าต้องการประเมินอัตราความล้มเหลวของชิ้นส่วนหนึ่ง ชิ้นส่วนที่เหมือนกันสิบชิ้นจะถูกทดสอบแต่ละชิ้นจนกว่าจะล้มเหลวหรือใช้งานได้ครบ 1,000 ชั่วโมง จากนั้นการทดสอบจะยุติลง มีการทดสอบรวมทั้งหมด 7,502 ชั่วโมง และบันทึกความล้มเหลวไว้ 6 ครั้ง

อัตรา ความล้มเหลว โดยประมาณคือ:

${\displaystyle {\frac {6{\text{ ความล้มเหลว}}}{7502{\text{ ชั่วโมง}}}}=0.0007998\,{\frac {\text{ความล้มเหลว}}{\text{ ชั่วโมง}}}}$

ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของค่า MTBF ที่ 1,250 ชั่วโมง หรือประมาณ 800 ข้อผิดพลาดต่อการใช้งานทุกๆ หนึ่งล้านชั่วโมง