ในทฤษฎีความน่าจะเป็นการแจกแจงแบบไฮเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียลคือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องซึ่งฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มXกำหนดโดย

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},}$

โดยที่ Y แต่ละตัวเป็น ตัวแปรสุ่ม ที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราλ และp คือความน่าจะเป็นที่Xจะมีรูปแบบการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีอัตราλ i ^{1 ] เรียก}ว่า การแจกแจง แบบไฮเปอร์ เอกซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันของมันมากกว่าการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 1 และการแจกแจงแบบไฮโปเอกซ์โพเนนเชียลซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันน้อยกว่าหนึ่ง ในขณะที่การแจกแจงแบบเอกซ์โพเน นเชียล เป็นแบบต่อเนื่องที่ เทียบเคียงได้กับการแจกแจงแบบเรขาคณิต การแจกแจงแบบไฮเปอร์เอกซ์โพเนนเชียลไม่เทียบเคียงได้กับการแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตการแจกแจงแบบไฮเปอร์เอกซ์โพเนนเชียลเป็นตัวอย่างของ ความหนาแน่น แบบ ผสม

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไฮเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียลสามารถพบได้ในบริบทของระบบโทรศัพท์โดยหากบุคคลใดมีโมเด็มและโทรศัพท์ การใช้งานสายโทรศัพท์ของพวกเขาสามารถจำลองได้ด้วยการแจกแจงแบบไฮเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียล โดยมีความน่าจะเป็นpที่พวกเขาจะคุยโทรศัพท์ด้วยอัตราλ และความน่าจะเป็นqที่พวกเขาจะใช้การเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ตด้วย  อัตรา λ

เนื่องจากค่าที่คาดหวังของผลรวมคือผลรวมของค่าที่คาดหวัง ดังนั้นค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มไฮเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียลจึงสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

และ

${\displaystyle E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},}$

ซึ่งเราสามารถหาค่าความแปรปรวนได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.}$

โดยทั่วไป ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมากกว่าค่าเฉลี่ย (ยกเว้นกรณีพิเศษที่ ค่า λ ทั้งหมด เท่ากัน) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันจึงมากกว่า 1

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์กำหนดโดย

${\displaystyle E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$

การกระจายความน่าจะเป็นที่กำหนดรวมถึงการกระจายแบบหางหนักสามารถประมาณได้ด้วยการกระจายแบบไฮเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียลโดยการปรับให้เข้ากับช่วงเวลาที่แตกต่างกันโดยใช้วิธีของ Prony ^{[ 3 ]}

• การกระจายแบบเฟส
• การแจกจ่ายไฮเปอร์เออร์ลัง
• การแจกแจงโลแม็กซ์ (ส่วนผสมต่อเนื่องของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล)